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第4章 相似三角形 单元全优达标测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数y随x的增大而减小
C．关于x的方程 是一元二次方程
D．正方形的每一条对角线平分一组对角
2．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
3．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，且△ABC的周长为27，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．81
4．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）
A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙
C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙
5．如图，在 中，已知 ，E，F分别在边AC，AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形；若OA：OA'＝2：3，则△ABC和△A'B'C'的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9
7．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
8．如图所示，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图中相似的三角形所在的网格是（ ）.
A． B．
C． D．
9．下列命题中，表述正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．方程2x2﹣3x﹣2＝0有两个相等的实数根
C．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），则其函数值y随x的增大而增大
D．点C是线段AB上的一点，若AC2＝AB BC，则称点C是AB的黄金分割点．若线段AB＝，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝
10．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果b=4是a与c的比例中项，且a=3，那么c= ．
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形ABCD的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形EFGH，若AB：EF=3：2，则四边形EFGH的外接圆的半径为 .
13．已知，且，则 .
14．如图，在正方形中，P，H分别为和上的点，与交于点E，．
（1）判断与是否互相垂直 ；（选填“是”或“否”）
（2）若正方形的边长为4，，则线段的长为 ．
15．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 米．
16．已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
18．如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16．
（1）若PN=18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE：
（2）若AB=5，BC=6，BD=2，则点E到BC的距离为
20．如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
21．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．
22．如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长．
23．定义：三角形角的顶点到该角的外角平分线与该角对边延长线交点之间的连线叫做三角形的外角平分线.图中的AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的外角平分线.我们知道：两个相似三角形对应边上的高线、中线和对应角平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应的外角平分线之比是否等于相似比呢 例如：已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC 与△A'B'C'的相似比为 k，AD， A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的外角平分线，那么 是否成立 如果不成立，请说明理由；如果成立，请证明.
24．已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：
（1）；
（2）
25．如图，已知在矩形中，对角线，交于点O，点E为边的中点，连接交于点F，且，连接．求证：
（1）；
（2）．
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第4章 相似三角形 单元全优达标测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数y随x的增大而减小
C．关于x的方程 是一元二次方程
D．正方形的每一条对角线平分一组对角
【答案】D
【解析】【解答】解：A 两条直线被一组平行线所截，所得的对应的线段成比例，故A项不符合题意；
B 对于反比例函数当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0，y随x的增大而减小，故B项不符合题意；
C 关于x的方程 （a≠0）是一元二次方程，故C项不符合题意；
D 正方形的每一条对角线平分一组对角，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A项；根据反比例函数的图象的性质即可判断B项；根据一元二次方程的定义即可判断C项；根据正方形的性质即可判断D项.
2．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
3．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，且△ABC的周长为27，则△DEF的周长为（ ）
A．9 B．18 C．27 D．81
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为3：1，
∴
∴△DEF的周长=×27=9．
故选A．
【分析】根据相似三角形的性质得到，然后利用比例性质计算．
4．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）
A．甲＞乙，乙＞丙 B．甲＞乙，乙＜丙
C．甲＜乙，乙＞丙 D．甲＜乙，乙＜丙
【答案】D
【解析】【解答】方法一：
解：如图：过点B作BH⊥GF于点H，
则S乙= AB AC，
∵AC∥DE，
∴△ABC∽△DBE，
∴ ，
∵BC=7，CE=3，
∴DE= AC，DB= AB，
∴AD=BD﹣BA= AB，
∴S丙= （AC+DE） AD= AB AC，
∵AD∥GF，BH⊥GF，AC⊥AB，
∴BH∥AC，
∴四边形BDFH是矩形，
∴BH=DF，FH=BD= AB，
∴△GBH∽△BCA，
∴ ，
∵GB=2，BC=7，
∴GH= AB，BH= AC，
∴DF= AC，GF=GH+FH= AB，
∴S甲= （BD+GF） DF= AB AC，
∴甲＜乙，乙＜丙．
故答案为：D．
方法二：
如图所示，
∵AC∥DE，
∴△ABC∽△DBE，
= = = = ，
∴ = = ，
同理可证， = ，
设S△ABC=S乙=49a，则SDBE=100a，S△DGF=144a，
∴S甲=S△DGF﹣SDBE=44a，
S丙=SDBE﹣S△ABC=51a，
∴甲＜乙＜丙，
故答案为：D．
【分析】方法一：如图：过点B作BH⊥GF于点H，则S乙= AB AC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABC∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例得出，从而表示出DE，DB，AD，根据梯形面积的计算方法，得S丙= （AC+DE） AD= AB AC，进而判断出四边形BDFH是矩形，根据矩形的性质得出BH=DF，FH=BD= AB，然后判断出△GBH∽△BCA，根据相似三角形的性质得出，然后表示出GH，BH，DF，GF的长，根据梯形面积的计算方法，得S甲= （BD+GF） DF= AB AC，从而得出答案甲＜乙，乙＜丙；
方法二：首先判断出△ABC∽△DBE，根据相似三角形对应边成比例得出 = = = = ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 = = ，同理可证， = ，设S△ABC=S乙=49a，则SDBE=100a，S△DGF=144a，故S甲=S△DGF﹣SDBE=44a，S丙=SDBE﹣S△ABC=51a，故甲＜乙＜丙。
5．如图，在 中，已知 ，E，F分别在边AC，AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴， 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴， ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴， ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
6．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形；若OA：OA'＝2：3，则△ABC和△A'B'C'的面积比为（ ）
A．2：3 B．4：3 C．2：9 D．4：9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA∥OA′，
，
又，
∴△AOC∽△A'OC'，
，
∴△ABC和△A'B'C'的相似比为2：3，
∴△ABC和△A'B'C'的面积比为，
故答案为：D．
【分析】位似是相似的特殊形式，根据位似图形的性质可知△ABC∽△A'B'C'，OA∥OA′，由平行线的性质可得∠C A O=∠OAC，结合图形根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOC∽△A'OC'，由相似三角形的对应边成比例可得，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解.
7．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正方形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
【答案】A
【解析】【解答】解：A、所有的矩形不一定都相似．
B、所有的正方形因为四边相等都相似．
C、所有的等腰直角三角形两腰相等都相似．
D、所有的正八边形都相似．
故选A．
【分析】根据对应边的比相等，对应角相等的两个多边形相似，就可以判断．
8．如图所示，在的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图中相似的三角形所在的网格是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：△ABC中，，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∵A选项中的三角形是钝角三角形，D选项中的三角形是锐角三角形，故A、D选项中的三角形都不会与△ABC相似，故A、D选项不符合题意；
B选项的直角三角形中，两直角边分别为2与4，∴，所以B选项中的三角形与△ABC相似，故B选项符合题意；
C选项的直角三角形中，两直角边分别为2与3，∴，所以C选项中的三角形与△ABC不相似，故C选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理算出AB、BC、AC的长，进而利用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠B=90°，然后根据相似三角形的形状必须相同，可判断A、D选项；进而根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可判断B、C选项.
9．下列命题中，表述正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．方程2x2﹣3x﹣2＝0有两个相等的实数根
C．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），则其函数值y随x的增大而增大
D．点C是线段AB上的一点，若AC2＝AB BC，则称点C是AB的黄金分割点．若线段AB＝，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝
【答案】D
【解析】【解答】解：A选项， 对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形，故A错误；
B选项， 2x2﹣3x﹣2＝0的判别式△=(-3)2-4×2×(-2)=25>0，故方程有两个不相等的实根，故B错误；
C选项， 反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1） 可得k=2，在x<0和x>0范围内，y随x的增大而减小，故C错误；
D选项，C为AB的黄金分割点，由AC2＝AB BC， 可得，而AB=，则可得AC＝ ，故D正确；
答案：D.
【分析】对角线相等且垂直的四边形可能是等腰梯形；由一元二次方程的判别式即可判断B选项，反比例函数的增减性要分x<0和x>0两个范围；D中直接由黄金分割比的性质进行求解即可.
10．如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连结ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，记正方形ABCD面积为S1，正方形FPQG面积为S2，则S1：S2的值为（ ）
A．10：7 B．20：7 C．49：10 D．49：20
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，正方形FPQG，
∴∠EAD=∠ADG=∠DQG=GCF=90°，AB=AD，QG=GF，
∴∠GDQ=∠DEA，∠QGD=∠GFC，
∴△ADE∽△DQG，△QGD∽△GFC，
∴AE：AD=QD：QG=GC：CF，
∵E为AB的中点，
∴AD=AB=2AE，
∴QD：QG=GC：CF=1：2，
设QD=x，则QG=GF=2x，GC=y，则CF=2y，
∴S2=QG2=4x2，
在Rt△DQG中，由勾股定理得：DG==x，
∴DC=DG+GC=x+y，
在Rt△GCF中，由勾股定理得：GC2+CF2=GF2，
∴y2+4y2=4x2，
∴y=2x，整理得：y=x，
∴DC=x，
∴S1=DC2=x2，
∴S1：S2=x2：4x2
∴S1：S2=49：20.
故答案：D.
【分析】由正方形性质得∠EAD=∠ADG=∠DQG=GCF=90°，AB=AD，QG=GF，从而得到∠GDQ= ∠DEA，∠QGD=∠GFC，易证得△ADE∽△DQG，△QGD∽△GFC，由相似三角形性质及E为AB的中点可推出QD：QG=GC：CF=1：2，设QD=x，则QG=GF=2x，GC=y，则CF=2y，则S2=4x2，再由勾股定理求出DG=x，从而表示出DC=x+y，再在Rt△GCF中，由勾股定理得GC2+CF2=GF2，即y2+4y2=4x2，从而得到y=x，进而求得DC=x，则S1=DC2=x2，再列比例关系化简即可得出S1与S2之比.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如果b=4是a与c的比例中项，且a=3，那么c= ．
【答案】
【解析】【解答】 解：∵b是a与c的比例中项，
∴b2=ac，
∵b=4，a=3，
∴16=3c，
∴c=.
故答案为：.
【分析】根据等比中项定义得b2=ac，将a、b值代入，计算即可得出答案.
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美，如图，正方形ABCD的面积为18，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形EFGH，若AB：EF=3：2，则四边形EFGH的外接圆的半径为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：∵ EFGH 与 正方形ABCD 位似，且 AB：EF=3：2，
∴正方形EFGH 与 正方形ABCD的面积比为4：9，
∴正方形EFGH的面积为8，
设 四边形EFGH的外接圆的半径为r，
则，
解得r=2，
故答案为：2.
【分析】先根据位似得到正方形EFGH的面积为8，然后根据正方形的面积是对角线乘积的一半解题即可.
13．已知，且，则 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵x∶y∶z=3∶5∶6，
∴，
∴设x=3k，y=5k，z=6k，
∵2x-y+3z=38，
∴6k-5k+18k=38，
∴19k=38，
∴k=2；
∴x=6，y=10，z=12，
∴3x+y-2z=3×6+10-2×12=4.
故答案为：4.
【分析】根据等比设参可设x=3k，y=5k，z=6k，再结合2x-y+3z=38，可求出k的值，从而得到x、y、z的值，最后代入待求式子，含加减乘除运算的运算顺序计算可得答案.
14．如图，在正方形中，P，H分别为和上的点，与交于点E，．
（1）判断与是否互相垂直 ；（选填“是”或“否”）
（2）若正方形的边长为4，，则线段的长为 ．
【答案】（1）是
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵正方形的边长为4，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，即；
（2）先证出，可得，将数据代入可得，再求出即可。
15．甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 米．
【答案】9
【解析】【解答】解：如图，设路灯甲的高为x米，由题意和图可得： ，解得 ，
∴路灯甲的高为9米.
【分析】根据平行可得三角形相似，可得小华身高：灯高度=小华的影长：30，据此解答即可.
16．已知中，，，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 ．（用含有m的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
，
平分交于，
，
，
，
，，
，
设，
则，
，
，
整理得：，
解得：，
同理可得，
设，
，
，
，
解得：，
故答案为：
【分析】设，先证出，可得，再将数据代入可得，求出，再证出，可得，再将数据代入可得，最后求出即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在菱形中，为边延长线上一点，连接分别交和于和两点．
（1）求证：；
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
≌，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定与性质即可得解；
（2）结合（1）的结论证出，即可得出∽，根据相似三角形的性质即可得到结论.
18．如图，ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E，BC=48，AD=16．
（1）若PN=18，求DE的长；
（2）若矩形PQMN的周长为 80，求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）10；（2）144
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE：
（2）若AB=5，BC=6，BD=2，则点E到BC的距离为
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图，过点A作AH⊥BC，过点E作EM⊥BC，
∵AB=AC，
∴BH=CH=3，
∴AH===4，
∵ BC=6，BD=2 ，
∴CD=4，
∴△ABD的面积=BD·AH=4，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴△CDE的面积=，
∴△CDE的面积=×4CM=，
∴EM=.
故答案为：.
【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠C，利用三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE， 从而得出∠BAD=∠CDE， 根据相似三角形的判定即证；
（2）过点A作AH⊥BC，过点E作EM⊥BC，由勾股定理求出AH的长，再求CD的长，从而求出△ABD的面积=BD·AH=4，由△ABD∽△DCE可得，据此求出△CDE的面积，再利用三角形的面积公式可求出EM的长即可.
20．如图，，平分，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作圆弧，交于点，点．作直线，分别交于，点，，连结，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形。
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由
可设，则有，
∴，
∴，
∴。
【解析】【分析】（1）根据题干中的作图方法，易得，从而可得，，再根据平分，可得，进而可得，易证四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形的是平行四边形，据此即可证明。
（2）根据（1）易得，进而可得，易得的值，设，可得，进而根据相似三角形的性质：，代入数据即可求解
（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由题意可知：垂直平分，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴．
21．如图，在中，点、、分别在、、上，，．若，，，求的长度．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
又∵，，，
∴，
解得：，
∴的长度为.
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，可得，代入数据即可求解．
22．如图，已知菱形BEDF，内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB=15cm，BC=12cm，求菱形边长．
【答案】解：设菱形的边长为xcm，则DE=DF=BF=BE=xcm，∵四边形BEDF是菱形，∴DE∥BC，DF∥AB，∴∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴ ，∴ = ，x= ，即菱形的边长是 cm
【解析】【分析】设菱形的边长为xcm，根据菱形的性质得出DE=DF=BF=BE=xcm，DE∥BC，DF∥AB，根据二直线平行同位角相等得出∠ADE=∠C，∠A=∠CDF，进而判断出△AED∽△DFC，根据相似三角形对应边成比例列出方程，求解即可得出答案。
23．定义：三角形角的顶点到该角的外角平分线与该角对边延长线交点之间的连线叫做三角形的外角平分线.图中的AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的外角平分线.我们知道：两个相似三角形对应边上的高线、中线和对应角平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应的外角平分线之比是否等于相似比呢 例如：已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC 与△A'B'C'的相似比为 k，AD， A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的外角平分线，那么 是否成立 如果不成立，请说明理由；如果成立，请证明.
【答案】答：成立.理由如下：
∵△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k，
∴∠BAC=∠B'A'C'，∠C=∠C'，
∵∠ABD=∠BAC+∠C，∠A'B'D'=
∴∠ABD=∠A'B'D'.
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的外角平分线，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
【解析】【分析】先由相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得∠BAC=∠B'A'C'，∠C=∠C'， 再由同角的补角相等可得∠BAE=∠B'A'E'，则由角平分线的概念可得∠BAD=∠B'A'D'，再由三角形的外角性质可得∠ABD=∠A'B'D'，则由AA可证△ABD∽△A'B'D'，再由相似比即可证明.
24．已知：如图，在中，，M是BC的中点，于点E，交BA的延长交于点D．
求证：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
．
，
，
．
是的中点，
，
．
．
，
，
，
；
（2）解：，
，
，，
，
．
【解析】【分析】（1）看到 这样的式子，要首先想到MA是MD和ME的比例中项，即像的样子的成比例线段，故尝试寻找线段所在的三角形相似三角形，即，
两三角形有个公共角，还需要证明一组角相等才行；观察图形，易根据等角的余角相等，证明 ，再根据斜边中线等于斜边一半定理，找到等边，等边对等角，得到一组等角，至此，相似可证，整理思路写下过程即可。
（2）线段成比例，首先找相似，根据上一问的结论三边对应成比例 ， 用瞪眼法反复观察这个等式，由 想到等量代换得到 即可求证。
25．如图，已知在矩形中，对角线，交于点O，点E为边的中点，连接交于点F，且，连接．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明： 四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点E为边的中点，
，
；
（2）证明：延长交于点，
为的中点，
，
在矩形中，，，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质及BE⊥AC得∠AFE＝∠BAE＝90°，而∠FEA＝∠AEB，所以△FEA∽△AEB，得，因为AE＝DE，所以DE2＝EF EB.
(2)先根据两边对应成比例，夹角相等，证明△BED∽△DEF，得∠EBD＝∠EDF，再证明∠OBC＝∠OAD，∠CBF＝∠CFD，最后得到∠CBF＝∠ABO，故∠ABO＝∠CFD，即可证明△ABO∽△CFD．
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