待定系数法
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数 ，从而得出函数解析式的方法
待定系数法求一次函数解析式的步骤为：
(1)设：先设出一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) ；
(2)代：将已知条件代入解析式中，建立方程或方程组;
(3)解：解方程或方程组，确定未知系数的值；
(4)写：写出解析式.
1.已知y与x成一次函数,当x=0时,y=3,当x=2时,y=7.
(1)求出y与x 之间的函数关系式；(2)当x=4时,求y的值.
2.在平面直角坐标系中,直线AB 经过(1,1),(-3,5)两点.
(1)求直线AB 所对应的函数解析式；
(2)若点 P(a,-2)在直线AB上,求a的值.
3..如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过第一、二、四象限,点 A(0,m)在 l上.
(1)在图中标出点A；(2)若m=2,且l过点(-3,4),求直线 l的表达式.
4. 已知点(1,6)和点(--1,-2)在一次函数图象上.(1)求此函数的解析式；
(2)写出它与两坐标轴的交点坐标；(3)求出这条直线与坐标轴围成的三角形的面积.
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点 A(2,3)与点 B(0,5).
(1)求此一次函数的表达式；
(2)若点 P 为此一次函数图象上一点，且△POB 的面积为 10,求点 P 的坐标.
已知一次函数图象如图.(1)求一次函数的解析式；(2)若点 P 为该一次函数图象上一点，
且点 A 为该函数图象与x 轴的交点，若S△PAO=6,求点 P坐标
参考答案
1 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
∵当x=0时,y=3,当x=2时,y=7. 解得
∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3.
(2)当x=4时,y=2x+3=11.∴当x=4时,y的值为11.
2.解:(1)设直线 AB所对应的函数表达式为y=kx+b.
∵直线AB经过 A(1,1),B(-3,5)两点, 解得
∴直线AB所对应的函数表达式为y=-x+2.
(2)∵点 P(a,-2)在直线AB 上,∴--2=-a+2.∴a=4.
3.解:(1)如图.(2)设直线l的表达式为
y=kx+b.把(0,2),(-3,4)分别代入表达式，得 解得
4.解:(1)y=4x+2.(2)与x轴交点为 与y轴交点为(0,2). (3) .
5.解:(1)由题意,得一次函数的表达式为y=-x+5.
(2)设点P的坐标为(a,-a+5).∵B(0,5),∴OB=5.
又∵S△POB=10, ∴ |a |=4,即a=±4.∴点 P的坐标为(4,1)或(-4,9).
6. 解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b,
根据题意，得 解得 所以一次函数解析式为
(2)把y=0代入 得 解得x=--4,则A 点坐标为(-4,0).
设 P 点坐标为(x,y),
解得 y=±3.
当y=3时,则 解得x=2;
当y=-3时,则 解得x=-10.∴P点坐标为(2,3)或(-10,-3).中小学教育资源及组卷应用平台
当前情况，实际意义
1．随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间 超时费/（元）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为
(1)如图是与x之间函数关系的图象，根据图象填： ； ．(2)求出与之间的函数关系式
(3)如果每月上网时间60小时，选择哪种方式上网学习合算，为什么？
2．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，
分别求出关于的函数表达式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同．
3．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示．(1)分别求出轿车和货车的平均速度；(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长时间后，两车相距？
成都2025年世界运动会期间，为展现智能科技与体育赛事的融合，组委会开展人形机器人模拟赛事项目竞速测试．两款人形机器人“蜀韵”和“锦风”参与测试，已知“蜀韵”和“锦风”同时从起点出发前往模拟赛事终点，与分别表示“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的关系，
根据图象解答下列问题：(1)分别求出“蜀韵”和“锦风”离开出发点的距离与时间之间的函数关系式；（不要求写的取值范围）(2)当时，求“蜀韵”和“锦风”相距时的时间．
5．两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示．(1) ；(2)求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式；(3)求当为何值时，无人机和无人机相距米．
1.【详解】（1）解：由函数图象可知，，，
（2）解：由图象知：，，超时费（元/h）；
当时，，
（3）解：如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算，理由如下：
依题意，当时，，
，∵，∴如果每月上网时间60小时，选择B方式上网学习合算．
2.【详解】（1）解：设直线，由图象可把点代入得：
，解得：，∴，
设直线，把点代入得：，∴；
（2）解：由（1）联立函数解析式得：，解得：，
答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同．
3.【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程时间速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，得，解得，，
当时，得，解得；
由图象得：在时，无法达到；当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，得，解得，，
当时，，解得．货车出发或后，两车相距．
4.【详解】（1）解：设，∵ 过点，∴ ，解得 ，∴，
设，∵ 过点，∴ 解得，，∴；
（2）解：当时，分两种情况：
情况一： 即，解得，
情况二：即，解得，
答：“蜀韵”和“锦风”相距时的时间为或．
5.【详解】（1）解：∵无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，∴
（2）解：设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为，
把代入可得：， 解得：，
∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为
（3）解：设无人机在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为
把代入可得：， 解得：， ∴，
依题意，，解得：或，
当无人机达到米停止后，无人机需达到米时与无人机距离米，
∴，解得：，
∴或或时，无人机和无人机相距米．中小学教育资源及组卷应用平台
函数的视角
1．某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案：
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与之间的关系式；
(2)某单位共34人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
2．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨，
A B
C 20 15
D 25 24
(1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________．
(2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？
3．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元．
(1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？
(2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？
(3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用．
4．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
5．某水果种植基地计划租几辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）去外地销售，要求每辆货车只能装一种水果，且必须装满．
苹果 橘子
每辆车装载量（吨） 4 6
每吨获利（元） 1200 1500
(1)设装运苹果的货车有辆，装运橘子的货车有辆，则_____（用含的代数式表示）；
(2)求总利润（元）与（辆）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，则应安排多少辆货车装运苹果才能获得最大利润，并求出最大利润．
6．某公司每月销售两种型号的教学设备共20台，每台的销售成本和售价如下表．
型号
成本/（万元/台） 3 5
售价/（万元/台） 4 8
(1)设该公司每月销售型号设备台，则每月销售型号设备______台，每月共获得利润_____万元．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，则该公司如何安排购进两种型号教学设备的数量，使得每月销售完这些设备后获利最大？并求出最大利润．
1【详解】（1）解：票价为150元/张，方案一：每人票价打九折，此时单价为元，
故；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，此时费用为元，超过10人的部分的费用为，
总费用为：．
（2）解：当时，，
．，
选择方案二更优惠．
2【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨，
∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨；
（2）由题意，得：
随的增大而增大
当时，总运费W最小
A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少．
3．【详解】（1）解：设每个文具盒为元，每本笔记本为元，
依题意得，解得，
故每个文具盒为8元，每本笔记本为4元；
（2）解：设购买文具盒个，则购买笔记本个，
根据题意得，解得，
为整数，最多可购买文具盒62个；
（3）解：根据题意得，解得，，
为正整数，或61或62，
设学校购买奖品的总费用为元，
则，，∴随着a增大w增大，
当时，最小，最小值为（元），
此时，
购买费用最低的方案为：购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元．
4【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵∴w随m的增大而增大
又∵，∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
5【详解】（1）解：设装运苹果的货车有x辆，装运橘子的货车有y辆，
∵每辆车装载量苹果4吨或橘子6吨，∴，
即，∵，解得，且为3的倍数，∴ ，
（2）解：∵，
∴；
（3）解：，∴，解得，
∵，且为3的倍数，∴，且为3的倍数，
∵，，
∴随增大而减小，
∴当，，此时最大，最大值为（元）
即安排6辆货车运苹果，安排6辆货车运橘子，最大利润为元．
6【详解】（1）解：∵每月销售两种型号的教学设备共20台，该公司每月销售型号设备台，
∴每月销售型号设备为台，∴每月共获得利润为，即万元，
（2）解：∵每月购进两种型号的教学设备的总成本不超过80万元，
∴，解得，∵，∴利润随x的增大而减小，
∴当时，获得利润最大，最大利润为（万元），
∴，
∴此时，应购进型号设备10台，型号设备10台．直线有交点，联立解析式
如图，已知一次函数，的图象交于点A，
它们分别交x轴于点B，C，求点A的坐标的面积
2. 直线y＝kx+4与y轴交于点A，直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B，与y轴交于点C，
点B的横坐标为﹣1．（1）求点B坐标及k的值；
（2）求直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4及y轴所围成的△ABC的面积．
3．如图，正比例函数y＝2x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（﹣2，﹣1），且与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数表达式；（2）求C点的坐标；（3）求△AOD的面积．
4.已知点A、B、C、D的坐标如图．（1）求直线AB与直线CD的交点E的坐标；
（2）连接AC，求△ACE的面积．
如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，
一次函数的图象分别交轴、轴于点和点，两个一次函数的图象相交于点．
（1）求和的表达式；（2）求点的坐标；
（3）已知点是直线上的动点，当时，求点的坐标．
6．如图，直线l1：y1＝x和直线l2：y2＝kx+b相交于点A（2，2），直线l2与y轴交于C（0，6）与x轴交于点B，动点P在直线AB上运动．（1）求l2的解析式及点B的坐标；（2）求△AOB的面积；
（3）当△POB的面积是△AOB的面积的时，求出这时点P的坐标．
7．已知一次函数y＝kx＋b的图象过P(1，4)，Q(4，1)两点，且与x轴交于A点．
(1)求此一次函数的解析式；(2)求△POQ的面积；
(3)已知点M在x轴上，若使MP＋MQ的值最小，求点M的坐标及MP＋MQ的最小值．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1、l2、l3所对应的函数表达式分别为y1＝x+2、y2＝x﹣3、y3＝kx﹣2k+4（k≠0且k≠1），若l1与x轴相交于点A，l3与l1、l2分别相交于点P、Q，求△APQ的面积
1.解：∵一次函数，∴当时，，解得：，
∵一次函数，∴当时，，解得：，
当时，，解得：，∴，∴，
∴，边上的高即为点A的纵坐标1，∴的面积为：，
2.解：（1）∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，B（﹣1，3）
又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；
（2）∵k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），
∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC |xB|＝×3×1＝．
3.解：（1）将点A（m，2）代入正比例函数y＝2x，得2m＝2，解得m＝1，故点A的坐标为（1，2）．
把（1，2），（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得，解得y＝x+1．
（2）令y＝x+1中x＝0，得y＝1．故点C的坐标是（0，1）．
（3）令y＝x+1中y＝0，则x＝﹣1．故点D的坐标是（﹣1，0）．
∵点A（1，2），点D（﹣1，0），∴DO＝1，△AOD的OD边上的高为2．
∴S△ADO＝×1×2＝1．
4.解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣3，0）.B（0，6）代入得 ，解得 ，y＝2x+6；
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把C（0，1）.D（2，0）代入得 ，解得 ，y＝﹣x+1，
解方程组 得 ，所以E点坐标为（﹣2，2）；
（2）S＝S△ADE﹣S△ADC＝×2×5﹣×1×5＝．
5.（1）解：将代入，得，解得．∴
将代入，得，解得．∴；
（2）解：由（1）得出，
∵两个一次函数的图象相交于点．∴∴
解得把代入，解得∴点的坐标；
（3）解：对于，当时，，点的坐标为，
对于，当时，点的坐标为，
，，，
设点的坐标为，则，
，，解得或，
符合条件的点的坐标为或；
6.【解答】解：（1）设直线l2的解析式为y2＝kx+b，
∵直线l2过点A（2，2），C（0，6），
把点A（2，2），C（0，6）代入解析式得：，解得：，y＝﹣2x+6，
当y＝0时，﹣2x+6＝0，解得：x＝3，∴点B的坐标为：（3，0）；
（2）过点A作AD⊥OB，∵A（2，2）、B（3，0），∴AD＝2，OB＝3，∴；
（3）直线AB的解析式为：y2＝﹣2x+6，动点P在直线AB上运动，设点P的坐标为（m，﹣2m+6），
∵S△AOB＝3，
∴，
∵OB＝3，点P到x轴的距离为|﹣2m+6|，
∴，∴，∴或，∴或，
∴当时，点，
当时，点，
∴点P的坐标为或．
7.解：(1)把P(1，4)，Q(4，1)代入一次函数解析式，得解得y＝－x＋5.
(2)y＝－x＋5.令y＝0，得到x＝5，∴A(5，0)，∴S△POQ＝S△POA－S△AOQ＝×5×4－×5×1＝7.5.
(3)如图，作Q点关于x轴的对称点Q′，连接PQ′交x轴于点M，则MP＋MQ的值最小．
∵Q(4，1)，∴Q′(4，－1)．
设直线PQ′的解析式为y＝mx＋n.则解得
∴直线PQ′的解析式为y＝－x＋.当y＝0时，－x＋＝0，解得x＝，∴点M的坐标为(，0)，
MP＋MQ的最小值为＝.
8.【解答】解：如图，设直线l1，l2分别与y轴交于点C，D，过点C作CB⊥l2于点B，
∵直线l1，l2所对应的函数表达式分别为y1＝x+2、y2＝x﹣3，∴l1∥l2，∴CB⊥l1，即∠ACB＝90°，
对于y1＝x+2，当x＝0时，y1＝2，当y1＝0时，x＝﹣2，∴点C（0，2），A（﹣2，0），
∴OA＝OC＝2，∵∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝∠OAC＝45°，
∴∠BCD＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴，
对于y2＝x﹣3，当x＝0时，y2＝﹣3，∴点D（0，﹣3），∴OD＝3，∴CD＝5，∴，即，
即直线l1，l2的距离为，联立，解得：，∴点P的坐标为（2，4），
∴，
∴△APQ的面积为．
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