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线段垂直平分线
定义： 于一条线段，并且 这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
判定：到线段两端的距离相等的点在该线段的
1.已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，则的长为 ；
(2)若，，则的长为 ；
(3)若的周长为，，求的长．
2.如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，的周长
3.如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，
求的周长
4.如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，求的长．
5.如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，求的周长．
如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，
，的长．
7.如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，的长．
8.如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，的长．
9．如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，求的长 ．
10如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．
若的周长是，求的长．
.如图，在中，，且垂直平分，交于点，交于点，．
(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．
.如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
13..如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，求的长．
14 .如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，
，，求的长．
.如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，求的长．
16.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；(2)已知，求的度数
．
线段垂直平分线
定义： 于一条线段，并且 这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ，
1.已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，则的长为 ；
(2)若，，则的长为 ；
(3)若的周长为，，求的长．
【详解】（1）解：垂直平分，，，．
（2）解：垂直平分，，
，，，．
（3）解：的周长为，，，
垂直平分，，．
2.如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，的周长
【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E，
∴，∵，，
∴的周长为；
如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，
求的周长
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，∴，∴
∵的周长为，即，∴，
∵的周长为，且，∴．
4.如图，在中，，分别是，的垂直平分线，，分别交边于点D、E且的周长为，求的长．
【详解】解：∵，分别是，的垂直平分线，∴，，
∵的周长为，∴，∴，即，
5.如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，求的周长．
【详解】解：∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，
∵的周长为5，∴，
∴的周长，
如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，
，的长．
【详解】解：垂直平分，，
的周长，
，．
7.如图，在中，垂直平分，垂直平分，若，，的长．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，，，
∴，，，∴，
8.如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，的长．
【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上，∴，
∵，∴
∵四边形的周长为20，∴，即，解得，
11．如图，垂直平分，垂直平分，若的长为7，求的长 ．
【详解】解：如图：连接，∵垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，∴．
如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．
若的周长是，求的长．
【详解】解： 交于点，交于点，交于点，交于点，
，， 的周长是， ，
．
9.如图，在中，，且垂直平分，交于点，交于点，．
(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．
【详解】（1）证明：连接．垂直平分，，
，，∴垂直平分，，；
（2）的周长为21cm，，，，
，，，．
10.如图有三家公司A、、，现要建一个健身中心到三家公司的距离相等，请利用尺规作图法找出健身中心的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【详解】解：如图，分别作线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求．
13..如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，求的长．
【详解】解：是的垂直平分线，，同理可得：，
的周长为9，，，，
，
14 .如图，已知的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E，F，
，，求的长．
【详解】解：连接，，
∵是的平分线，，，
∴，，， ∴，∴，
∵是的垂直平分线， ∴， ∴，
∴， ∴，
∵，， ∴．
.如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，求的长．
【详解】解：连接，并延长 交 延长线于 ，
因为，所以，又是中点，即，且，∴
则 ，点 在 垂直平分线上，故 ，由 ， 是 中点，
得 ，所以 ．
16.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；(2)已知，求的度数
．
【详解】（1）证明：如图所示：连接，，，
∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴，点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：，，
，，，
， 设，，
，，，，
，，
，
， ∴，
，
，
．角平分线的性质、判定
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个 的角的射线叫做这个角的平分线
性质：角平分线上的点到角两边的 相等．
判定：到角两边的距离相等的点在这个 上．
1．如图，中，，平分，，求点D到的距离
2．如图，在中，，是角平分线，于点E，，，
求的面积
3．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，求的面积．
4．如图，是的角平分线，于点E，，，，的长
5．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，求点到三边、和的距离
6. 如图，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，
点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由．
7.如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且
与有何数量关系请说明理由．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
9．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．(1)求的值；(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积
10．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，求的度数．
．
1．如图，中，，平分，，求点D到的距离
答案：2
2．如图，在中，，是角平分线，于点E，，，
求的面积
解：∵是角平分线，，，∴，∴，
3．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，求的面积．
解：作于点H，如图所示：
是的角平分线，，，，
，
4.．如图，是的角平分线，于点E，，，，的长
5．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，求点到三边、和的距离
【详解】解：连接，，，如图：
，
∴，
即，解得：，即，
即点到三边、和的距离分别等于，，，
6 如图，在中，，的角平分线交于点．若过点作，垂足为，
点在上，且，请你判断，，之间的数量关系，并说明理由．
，理由如下：
∵的角平分线交于点，，∴
∵，，∴，∴
∵，，∴∴∴．
7.如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且
与有何数量关系请说明理由．
解：． 理由：如图，过点作于点，于点．
平分，．
，，．
在和中，，．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠CBD+∠CDB=90°，∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，∴∠ABD+∠CMD=90°，∴∠CDB=∠CMD，∴CM=CD，△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，∴，即，解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，∴CM=3，
9．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
(1)求的值；(2)求证：平分；
(3)若，，，且，求的面积．
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）证明：过E作于M，于N，
∵平分，，∴，
∵，∴平分，∴，∴，
∵，，∴平分；
（3）解：∵的面积的面积的面积，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴的面积 ．
10．如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，求的度数．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∵平分，，∴，，
∴，
∵平分，∴，，∴，
∴，∵，，∴，
∵，，∴点在在的角平分线上，即平分，
∴，∴，
即的度数为．
