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一元一次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·庄浪期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·昌平期末）若方程□是关于的一元一次方程，则“□”可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七上·安定期末）已知是方程的解，则m的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．（2024七上·光明期末）某项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若甲、乙共同做，则它们完成这项工程的时间是（ ）天．
A．20 B． C．12 D．8
5．（2024七上·龙岗期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．依题意 D．《诗经》中《风》有160篇
6．（2025七上·杭州期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序，若输出的数是253，则执行了程序后，输入的结果是（ ）
A．33 B．30 C．-16或 30 D．-18或35
7．（2024七上·六安期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝b
B．若a＝b；则a（x2+1）＝b（x2+1）
C．若，则a＝b
D．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1
8．（2024七上·防城期末）若关于x的方程与的解相同，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
9．（2024七上·重庆市期末）整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024七上·余杭期末）一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（ ）
A．190米 B．400米 C．380米 D．240米
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·哈尔滨月考）若关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，则a的值为 ．
12．（2024七上·官渡期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，图3中的值为 ．
13．（2023七上·张湾期末）若，则 ．
14．（2024七上·成都开学考）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ．
15．（2024七上·崆峒期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．则方程的解为 ．
16．（2024七上·阜康期末）如果规定符号，比如，那么方程的解 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·黄岩期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024七上·海淀期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
解方程：解：原方程可化为：． ……第①步方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步去括号，得：． ……第③步移项，得：． ……第④步合并同类项，得：． ……第⑤步系数化1，得：． ……第⑥形所以为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是_________________________________________________；
（2）第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
19．（2023七上·青秀月考）小明用长方形硬纸板做底面为正方形的长方体盒子，他用如图两种方法进行裁剪．
A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面，
现有35张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，其余用B方法裁剪．
（1）A方法裁剪出侧面的个数为 个；
B方法裁剪出侧面的个数为 个，底面共有 个；
（用含x的代数式表示，结果要求化简）
（2）若用（1）中裁剪出的侧面和底面做长方体盒子，恰好全部用完，求共做了多少个盒子？
20．（2023七上·萧山月考）已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解．
（1）求a的值．
（2）求多项式的值．
21．（2025七上·佛山月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个单位长度．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． 问：
（1）动点P从点A运动到点C需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当为何值时，P、Q两点在数轴是相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
22．（2025七上·嵊州月考）定义新运算： a⊙b=a×b-|b-a|
例如： 3⊙(-2)=3×(-2)-|-2-3|=-6-5=-11
求：
（1）(﹣5)⊙2；
（2） 解方程： x⊙(-3)=10
23．（2024七上·香洲期末）某车间每天能制作甲种零件500个，或者制作乙种零件250个，一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，问：
（1）甲、乙两种零件各需制作多少天？
（2）最多可以制作出多少成套产品？
24．（2024七上·惠东期中）已知多项式，．
（1）求；
（2）若的值与的值无关，求的值．
25．（2024七上·坡头期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分
第2档 超过240度但不超过400度的部分
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元.
（1）表中的值为________；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量.
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一元一次方程（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七上·庄浪期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故A正确；
B、中含有2个未知数，它不是一元一次方程，故B不正确；
C、方程中的最高次不为1次，它不是一元一次方程，故C不正确；
D、方程中分母中含有字母，它不是整式方程，不是一元一次方程，故D不正确.
故答案为：A．
【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断后作出选择．
2．（2024七上·昌平期末）若方程□是关于的一元一次方程，则“□”可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A中，由，是一元一次方程，故A符合题意；
B中，中，含有两个未知数，不是一元一次方程，故B不符合题意；
C中，中未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故C不符合题意；
D中，中，含有两个未知数，未知数的次数是2次，不是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，其中一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合一元一次方程的定义，逐项分析判断，即可求解.
3．（2024七上·安定期末）已知是方程的解，则m的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：把代入方程中，得
2×(-2)-1=-2+m
解得m=-3
故选：D．
【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，把代入方程中，得到关于m的一元一次方程2×(-2)-1=-2+m，求得方程的解，即可得到答案.
4．（2024七上·光明期末）某项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若甲、乙共同做，则它们完成这项工程的时间是（ ）天．
A．20 B． C．12 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：设甲、乙共同做完成这项工程的时间是x天，
根据题意有：，
解得：．
∴甲、乙共同做完成这项工程的时间是天．
故答案为：B．
【分析】设甲、乙共同做完成这项工程的时间是x天，根据工程量等于效率乘以时间，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得解．
5．（2024七上·龙岗期末）《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则下列说法正确的是（ ）
A．依题意 B．依题意
C．依题意 D．《诗经》中《风》有160篇
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，解得x=160，即 《风》有160篇 ，故选D.
故答案为：D.
【分析】根据题意， 《颂》 的总篇+《风》的总篇数的四分之三= 《风》 的总篇数，由此可列方程求解.
6．（2025七上·杭州期中）小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序，若输出的数是253，则执行了程序后，输入的结果是（ ）
A．33 B．30 C．-16或 30 D．-18或35
【答案】B
【解析】【解答】解：设输入的结果是，
，
解得
∴输入的结果是，
故答案为：B.
【分析】设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解．
7．（2024七上·六安期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝b
B．若a＝b；则a（x2+1）＝b（x2+1）
C．若，则a＝b
D．若a＝b，则a﹣1＝b﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：A： 若ac＝bc，当c≠0时，则a＝b ，所以A错误；
B： 若a＝b，则a（x2+1）＝b（x2+1），所以B正确 ；
C： 若，则a＝b ，所以C正确；
D： 若a＝b，则a﹣1＝b﹣1 ，所以D正确。
故答案为：A。
【分析】根据不等式的性质，分别进行判断，即可得出答案。
8．（2024七上·防城期末）若关于x的方程与的解相同，则k的值是（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2x=8，
∴x=4.
∵关于x的方程2x=8与x+2=-k的解相同 ，
∴把x=4代入x+2=-k，得k=-6.
∴k的值是-6.
故答案为：C.
【分析】先把已知方程的解求出来，因为两个方程的解相同，所以再把它代入另外一个方程，求出k值即可.
9．（2024七上·重庆市期末）整理一批图书，由一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，再增加人和他们一起做小时，完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，具体先安排人工作，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设应先安排x人工作，
根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为，故可列式，
故选：B．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作+增加2人后8天的工作=全部工作．设全部工作是1，这部分共有x人，就可以列出方程．
10．（2024七上·余杭期末）一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（ ）
A．190米 B．400米 C．380米 D．240米
【答案】B
【解析】【解答】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：
=，
解得：x=400．
即：这列火车长为400米．
故选：B．
【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度： 米/秒，或者是米/秒，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·哈尔滨月考）若关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3=7的解相同，则a的值为 ．
【答案】－6
【解析】【解答】解：由 得 ，则 ，解得
【分析】先求出已知4x+3=7的解x=1，然后将x=1代入3x-7=2x+a中，可得关于a的一元一次方程，解出a值即可.
12．（2024七上·官渡期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，图3中的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
13．（2023七上·张湾期末）若，则 ．
【答案】1或
【解析】【解答】解：由，
或，
解得：或，
故答案为：1或．
【分析】本题主要考查绝对值方程的求解，根据绝对值的定义，得到或，结合一元一次方程的解法，即可得到答案.
14．（2024七上·成都开学考）定义运算：，其中a、b为任意两个数， k为常数．比如： ，若，则 ．
【答案】244
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
∴，
故答案为：244.
【分析】由新定义运算法则结合得到方程，解方程得到，再根据新定义运算法则计算即可．
15．（2024七上·崆峒期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示a，b两数中较小的数，例如．则方程的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
，
，
解得（，舍去）；
当时，，
，
，
解得．
综上，可得方程的解为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，根据表示a，b两数中较小的数 ，分和，两种情况讨论，分别求得方程的解，进而得到答案.
16．（2024七上·阜康期末）如果规定符号，比如，那么方程的解 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴方程为：，
移项：；
合并同类项：；
化系数为：
故答案为：.
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，根据一元一次方程的解法，先移项、合并同类项、化系数为，即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·黄岩期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴两边同时乘以15，得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的解法，按照”去括号，移项，合并同类项，系数化为1“的步骤进行求解；
（2）根据一元一次方程的解法，按照”去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1“的步骤进行求解.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
18．（2024七上·海淀期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
解方程：解：原方程可化为：． ……第①步方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步去括号，得：． ……第③步移项，得：． ……第④步合并同类项，得：． ……第⑤步系数化1，得：． ……第⑥形所以为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是_________________________________________________；
（2）第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
【答案】（1）等式基本性质2
（2）③；
【解析】【解答】（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.
（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
19．（2023七上·青秀月考）小明用长方形硬纸板做底面为正方形的长方体盒子，他用如图两种方法进行裁剪．
A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面，
现有35张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，其余用B方法裁剪．
（1）A方法裁剪出侧面的个数为 个；
B方法裁剪出侧面的个数为 个，底面共有 个；
（用含x的代数式表示，结果要求化简）
（2）若用（1）中裁剪出的侧面和底面做长方体盒子，恰好全部用完，求共做了多少个盒子？
【答案】（1）；；
（2）解：侧面共有个，底面共有个，
根据已知得：
得：，
∴
答：能做21个盒子．
【解析】【解答】解：（1）A方法裁剪出侧面的个数，
B方法裁剪出侧面的个数为，
裁剪出底面的个数为，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可得解；
（2）由题意侧面共有个，底面共有个， 可得 ，计算求解即可.
20．（2023七上·萧山月考）已知a－2(4－x)＝5a是关于x的方程，且与方程6－x＝有相同的解．
（1）求a的值．
（2）求多项式的值．
【答案】（1）解：6－x＝，
去分母得：12－2x＝x＋3，
移项合并得：－3x＝－9，
解得：x＝3，
把x＝3代入a－2(4－x)＝5a得：a－2＝5a，
解得：a＝．
（2）解：当a＝时，原式＝－2
【解析】【分析】(1)解方程 6－x＝得x=3，代入 a－2(4－x)＝5a ，计算求解即可；
（2）由（1）得a＝，代入多项式，计算求解即可.
21．（2025七上·佛山月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距29个单位长度．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． 问：
（1）动点P从点A运动到点C需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；
（3）求当为何值时，P、Q两点在数轴是相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】（1）解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为，段时间为，段时间为，段时间为，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为（秒），
答：动点P从点A运动至点C需要秒；
（2）解：由题可知，P、Q两点相遇在线段上于M处，设．则，
解得：，
∴M所对应的数为5；
（3）解：P、Q两点相遇需秒．
由图可知，当点Q在线段即即时，；
当点Q在线段上且与P相遇前，即时，由题意，得
，
解得，符合题意；
当点Q在线段上且与P相遇后，即时，显然当P与B重合时，，
此时．
综上可知：t的值为或．
【解析】【分析】（1）由动点P从点A运动至C分成三段，根据路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，分别求得，结合有理数的加法，即可求解；
（2），根据P、Q两点相遇在线段上于M处，结合根据相遇时P，Q的时间相等，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（3）分P、Q两点相遇前和相遇后，两种情况讨论，列出方程和算式，即可求解.
（1）解：由图可知：动点P从点A运动至C分成三段，分别为，
段时间为，段时间为，段时间为，
∴动点P从点A运动至C点需要时间为（秒），
答：动点P从点A运动至点C需要秒；
（2）解：由题可知，P、Q两点相遇在线段上于M处，设．
则，
解得：，
∴M所对应的数为5；
（3）P、Q两点相遇需秒．
由图可知，当点Q在线段即即时，；
当点Q在线段上且与P相遇前，即时，由题意，得
，
解得，符合题意；
当点Q在线段上且与P相遇后，即时，显然当P与B重合时，，
此时．
综上可知：t的值为或．
22．（2025七上·嵊州月考）定义新运算： a⊙b=a×b-|b-a|
例如： 3⊙(-2)=3×(-2)-|-2-3|=-6-5=-11
求：
（1）(﹣5)⊙2；
（2） 解方程： x⊙(-3)=10
【答案】（1）解：(-5)⊙2=(-5)×2-|2-(-5)|=-10-7=-17
（2）解：由x⊙(-3)=10：
x×(-3)-|-3-x|=10
即 - 3x-|x+3|= 10
分类讨论：
若x≥-3， 则|x+3|=x+3， 方程为： - 3x-(x+3)=10
解得：x=- <-3(舍去)
若x<-3，则 |x+3|=-x-3，方程为 - 3x-(-x-3)=10
解得：x=-3.5.
综上所述x=-3.5.
【解析】【分析】（1）利用新定义的运算法则解答即可；
（2）根据新定义列方程，然后分为x≥-3或x<-3两种情况，去绝对值求出x的值解答即可.
23．（2024七上·香洲期末）某车间每天能制作甲种零件500个，或者制作乙种零件250个，一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，问：
（1）甲、乙两种零件各需制作多少天？
（2）最多可以制作出多少成套产品？
【答案】（1）解：设甲零件需制作天，则乙零件需制作天，
根据题意得：
解得：
∴
答：甲零件需制作6天，则乙零件需制作24天．
（2）解：（套）
答：最多可以配出3000套产品．
【解析】【分析】（1）设甲零件需制作天，则乙零件需制作天，根据“一个甲种零件和两个乙种零件配成一套产品”列出方程，再求解即可；
（2）利用“某车间每天能制作甲种零件500个”列出算式求解即可.
24．（2024七上·惠东期中）已知多项式，．
（1）求；
（2）若的值与的值无关，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：，
∵的值与的值无关，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）将，代入，再利用整式的加减法的计算方法分析求解即可；
（2）利用“的值与的值无关 ”可得，再求出x的值即可.
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：，
∵的值与的值无关，
∴，
解得：．
25．（2024七上·坡头期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分
第2档 超过240度但不超过400度的部分
第3档 超过400度的部分
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元.
（1）表中的值为________；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量.
【答案】（1）
（2）解：设老李家9月份的用电量为x度，∵（元），，
∴．
依题意得：，
解得：．
答：老李家9月份的用电量为300度．
（3）解：∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度，∴老李家8月份用电量一定超过400度，
设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：，
解得：．
答：老李家8月份的用电量为800度．
【解析】【解答】解：（1）依题意得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）利用电费=电价×月用电量，得出关于a的一元一次方程，求得方程的解，得到答案；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，求得月用电量为240度时的电费，根据该值小于183，得出，再利用电费超过240度的部分，得出关于x的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，得出关于y的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
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