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圆的基本性质（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·襄阳期中）将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·西塘期中）如图，若是的直径，是的弦，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·滨江期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
4．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
5．（2024九上·浙江期末）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2024九上·北京市期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转α角至，使得点恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·石家庄期中）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
8．（2024九上·江津期末）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2024九上·惠东期末）如图，一根排水管的截面是一个半为5的圆，管内水面宽，则水CD为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
10．（2024·南昌模拟）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·衡东模拟）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是 ．
12．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
13．（2025九上·婺城期末）如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为 ．
14．（2024九上·宁波期中）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
15．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
16．（2024九上·四会期末）如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，与交于点若，，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·融水期中）如图，将绕点A逆时针旋转45°得到，，，．
（1）求的度数；
（2）连接，求的长．
18．（2024九上·遵义期末）如图，是的直径，点是上一点，，过点作于点，的延长线交于点．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求的长．
19．（2023九上·越城月考）如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求圆的半径长．
20．（2025九上·绍兴月考）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．
（1）点 的坐标为 ．
（2）判断点 与 的位置关系．
21．（2025九上·长沙月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
22．（2025九上·温州月考）如图，的外接圆，半径为6，连接OB，OC，OA，
（1）过点O作OD⊥BC，交BC与点D，若OD=3，求BC的长；
（2）若，求阴影部分的面积.
23．（2024九上·杭州期中）如图，是的直径， 弦于点，是上任意一点， 连结，，．
（1）找出图中与相等的角（不添加其它线） ，并说明理由；
（2）若点是的中点， 且， 求的度数．
24．（2024九上·滨海期中）如图，在半径为的中，弦的长为．
（1）求的度数；
（2）求点到的距离．
25．（2024九上·上城期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题：
（1）求线段的长；
（2）求的半径及圆心的坐标．
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圆的基本性质（A卷·基础知识达标卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·襄阳期中）将如图所示的图案绕它的旋转中心旋转一定角度后能与自身完全重合，则至少应将它旋转的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵此图案是中心对称图形，且平均分成四个相同的部分，
∴至少将它绕中心旋转，才能与自身重合．
故答案为：B．
【分析】观察图形，可得出可得出该图案是旋转对称图形，且旋转角为。
2．（2024九上·西塘期中）如图，若是的直径，是的弦，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
3．（2024九上·滨江期末）如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】C
【解析】【解答】解：正多边形的外接圆为，
点为正边形的中心．，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据圆周角定理可得中心角，再根据中心角解题即可．
4．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得3＞，
∴点P位于外，
故答案为：A
【分析】根据点与圆的位置关系结合题意比较即可求解。
5．（2024九上·浙江期末）如图，在矩形中，，，若以点为圆心，4为半径作，则下列各点在外的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵以点为圆心，4为半径作，如图所示，连接，
∴，
∴点在外，
故答案为：D ．
【分析】根据勾股定理求的长，再根据“，点在圆内；，点在圆上；，点在圆外”解题即可．
6．（2024九上·北京市期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转α角至，使得点恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵，
，
根据旋转的性质得：，
∴是等边三角形，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据，结合三角形内角和定理得，根据旋转的性质可得，则是等边三角形，即可求出答案．
7．（2024九上·石家庄期中）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
又，，
，
，
，
，
．
故选：D
【分析】根据圆周角定理可得，根据角之间的关系可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
8．（2024九上·江津期末）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，，
的长度为．
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得，再根据弧长公式并结合“”可得，加以计算即可求出的长度。
9．（2024九上·惠东期末）如图，一根排水管的截面是一个半为5的圆，管内水面宽，则水CD为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意知，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】连接，先根据题意得到，进而根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出OC，从而根据CD=OD-DC即可求解。
10．（2024·南昌模拟）如图，△ABC内接于⊙O，DE，FG是⊙O的弦，AB＝DE，FG＝AC．下列结论：①DE+FG＝BC；②+＝；③∠DOE+∠FOG＝∠BOC；④∠DEO+∠FGO＝∠BAC．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB+AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，
∴DE+FG＞BC．
∴①错误；
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴，．
∴，
∴．
∴②正确；
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，如图，
∵AB＝DE，FG＝AC，
∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB+∠AOC＝∠DOE+∠FOG．
即∠DOE+∠FOG＝∠BOC．
∴③正确；
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°﹣∠AOB．
同理可得：
∠OAC＝90°﹣∠AOC，
∠DEO＝90°﹣∠DOE，
∠FGO＝90°﹣∠FOG．
∴∠OAB+∠OAC＝180°﹣（∠AOB+∠AOC）＝180°﹣∠BOC，
∠DEO+∠FGO＝180°﹣（∠DOE+∠FOG）．
由③知：∠DOE+∠FOG＝∠BOC，
∴∠OAB+∠OAC＝∠DEO+∠FGO．
即：∠DEO+∠FGO＝∠BAC．
∴④正确；
∴正确的序号为：②③④.
故答案为：D.
【分析】由三角形的三边关系可得AB+AC＞BC，由已知条件可知AB＝DE，FG＝AC，则DE+FG＞BC，据此判断①；根据弦、弧的关系可判断②；连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，由圆周角定理可得∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG，两式相加可判断③；根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OAB＝∠OBA＝90°﹣∠AOB，∠OAC＝90°﹣∠AOC，∠DEO＝90°﹣∠DOE，∠FGO＝90°﹣∠FOG，则∠OAB+∠OAC＝180°﹣∠BOC，∠DEO+∠FGO＝180°﹣(∠DOE+∠FOG)，由③知∠DOE+∠FOG＝∠BOC，进而判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025·衡东模拟）如图，是的直径，是的两条弦，且，则所对的圆周角的度数是 ．
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴的度数为，
∵，
∴，
即：，
∴的度数为，
∴所对的圆周角的度数是；
故答案为：90°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及直径所对的弧是半圆得到的度数为，再根据等量加等量和相等可推出，得到的度数为，最后根据弧所对的圆周角度数等于弧的度数得一半即可得出结果．
12．（2025九上·鹿城期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接BD，由圆周角定理知得到的度数．
13．（2025九上·婺城期末）如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：连接、，
∵的锐角顶点A在上，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：3．
【分析】由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可知，连接OE、OD后，等腰三角形OED的顶角，则三角形ODE是等边三角形，即半径等于弦DE。
14．（2024九上·宁波期中）如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，将扇形补到扇形的位置，
， 四边形是菱形，
，
过D 作于点H，
，
，
∵扇形的圆心角为60°，，
．
故答案为：.
【分析】连接，将扇形旋转到扇形的位置，然后过D 作于点H，求出△BCD的面积，再根据解题即可．
15．（2024九上·花都期末）如图，是的直径，弦平分圆周角，则下列结论：
①②是等腰直角三角形③④
正确的有 ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=BC，连接DF
∵AB是的直径
∴∠ACB=90°
∵弦CD平分圆周角∠ACB
∴∠ACD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°
∴∠ABD=∠BAD
∴AD=BD
∵AB是的直径
∴∠ADB=90°
∴△ABD是等腰直角三角形，①②正确
∵四边形ADBC是的内接四边形
∴∠FAD=∠DBC
在△FAD和△CBD中
∴△FAD≌△CBD（SAS）
∴FD=CD，∠ADF=∠BDC
∵∠ADC+∠BDC=90°
∴∠ADC+∠ADF=90°
∴∠FDC=90°
∴△CDF是等腰直角三角形
∴
∴
，③错误，④正确
故答案为：①②④
【分析】延长CA到点F，使AF=BC，连接DF，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ACD=∠BCD=45°，则∠ABD=∠ACD=45°，∠BAD=∠BCD=45°，即∠ABD=∠BAD，根据等角对等边可得AD=BD，再根据等腰直角三角形判定定理可得△ABD是等腰直角三角形，则①②正确，根据圆内接四边形性质可得∠FAD=∠DBC，再根据全等三角形判定定理可得△FAD≌△CBD（SAS），则FD=CD，∠ADF=∠BDC，再根据等腰直角三角形判定定理可得△CDF是等腰直角三角形，则，再根据，结合三角形面积即可求出答案.
16．（2024九上·四会期末）如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，与交于点若，，则 ．
【答案】65°
【解析】【解答】解：由旋转得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】先根据旋转的性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，从而结合题意进行角的运算求出∠AGE的度数，进而即可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·融水期中）如图，将绕点A逆时针旋转45°得到，，，．
（1）求的度数；
（2）连接，求的长．
【答案】（1）解：将绕点A逆时针旋转45°得到，
∴，
∵，
∴
（2）解：连接，根据旋转的性质得出，
由（1）得出是直角三角形，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据旋转的性质得出，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：将绕点A逆时针旋转45°得到，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，根据旋转的性质得出，
由（1）得出是直角三角形，
∴，
即．
18．（2024九上·遵义期末）如图，是的直径，点是上一点，，过点作于点，的延长线交于点．
（1）求的度数；
（2）若的半径为，求的长．
【答案】（1）解：连接AC，如图所示：
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BEC=30°，
∴∠CAB=∠BEC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°.
（2）解：由（1）可得∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=，
∵的半径为，
∴AB=10，
∴BC=5，
∵，且AB是的直径，
∴CD=2CF，
∵在Rt△BCF中，∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°，CF2=BC2-BF2，
∴BF==，CF=，
∴CD=.
【解析】【分析】（1）连接，构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是直角即可求得∠ABC的度数；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得，的长，再根据勾股定理求得CF，最后利用垂径定理即可得出结果.
（1）解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴
（2）解：∵的半径为，
∴，
在中，，
∴，
∵是的直径，
∴，
在中，
∴，
∴
∴，
∴
19．（2023九上·越城月考）如图所示，是圆的一条弦，，垂足为，交圆于点C、D．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求圆的半径长．
【答案】（1）解：∵，AO=BO，
.
（2）解：∵，OD为半径，，
，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为3．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得；
（2）根据垂径定理可得，然后在中利用勾股定理，即可求出OA长，也即半径．
（1）解：是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为3．
20．（2025九上·绍兴月考）如图，在平面直角坐标系中，，，， 经过，， 三点．
（1）点 的坐标为 ．
（2）判断点 与 的位置关系．
【答案】（1）
（2）解：点在内.
【解析】【解答】（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
与图可得点M坐标为：，
故答案为：（2，0）；
（2）解：，，，
，，
点在内．
【分析】（1）利用方格纸的特点，分别作AB、BC的垂直平分线，根据垂径定理，AB、BC垂直平分线的交点即为点M，结合图形直接写出点M的坐标即可；
（2）利用两点间的距离公式算出AM、MD的长，然后根据设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，据此判断即可得出答案.
（1）解：分别作的垂直平分线，交点即为点，
坐标为：，
（2）解：，，，
，，
点在内．
21．（2025九上·长沙月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接AO、CO，
在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OC2﹣CE2 ＝OA2﹣AE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2，
∵CD＝4，AB＝8，
∴CE＝2，AE＝4，
∴OA2﹣OC2＝42﹣22＝12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π OA2＝3π OC2，
即OA2＝3OC2②，
根据①②可得：OA2＝18，
∴．
【解析】【分析】（1）过点O作于E，根据垂径定理得AE=BE，CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即可求解；
（2）连接AO、CO，根据勾股定理求出OA2﹣OC2＝12，然后根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到OA2＝3OC2，即可求出OA长.
22．（2025九上·温州月考）如图，的外接圆，半径为6，连接OB，OC，OA，
（1）过点O作OD⊥BC，交BC与点D，若OD=3，求BC的长；
（2）若，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：由题可知：OD=3，OB=6
因为OD⊥BC
所以OB2=OD2+BD2
即BD=
所以BC=2BD=
（2）解：因为∠A=60°
所以∠BOC=120°
所以阴影部分的面积S==12π
【解析】【分析】 （1）利用垂径定理，结合圆的半径和圆心到弦的距离求弦长；
（2）阴影部分为扇形面积，需结合圆心角和已知角计算.
23．（2024九上·杭州期中）如图，是的直径， 弦于点，是上任意一点， 连结，，．
（1）找出图中与相等的角（不添加其它线） ，并说明理由；
（2）若点是的中点， 且， 求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（）根据垂径定理得，可得，进而由圆周角定理可得.
（2）连接，由圆周角定理可得等弧所对的圆周角相依次求出的度数，的度数，根据圆周角定理同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出的度数，再根据（）中的结论得到的度数即可.
（1）解：与相等的角是，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．（2024九上·滨海期中）如图，在半径为的中，弦的长为．
（1）求的度数；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）解：在，，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）解：过点 作于点，
在，于点，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，，
∴＝，
∴到的距离为．
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点 作于点，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：在，，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
（2）过点 作于点，
在，于点，
∴，
∵ ，
∴，
在中，，，
∴＝，
∴到的距离为．
25．（2024九上·上城期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题：
（1）求线段的长；
（2）求的半径及圆心的坐标．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，过点作于，于，
由（1）得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴是的直径，
∴经过点，
∴的半径为.
【解析】【分析】（1）先求出的长，然后利用勾股定理得线段的长；
（2）连接，过点作于，于，根据垂径定理得的长，从而得点的坐标，然后由直径所对的圆周角是直角可得是的直径，即可求得的半径．
（1）解：连接，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴圆心的坐标为；
∵，
∴是的直径，
∴的半径为．
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