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圆的基本性质（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·温州期中）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=35°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
2．（2024九上·瑞安期中）如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A．4 B．5.5 C． D．
3．（2024九上·惠东期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点．则经画图操作可知：的外接的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·广州期末）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
5．（2024九上·香洲期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．在圆上或圆外
6．（2024·沅江模拟）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
7．（2024九上·江津期末）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·安吉期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等两个圆心角所对的两条弧相等
9．（2025九上·嘉兴月考）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为 ．
12．（2024九上·杭州期中）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
13．（2024九上·杭州期中）正六边形每个内角的度数是 ．
14．（2024九上·东城期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为 ．
15．（2024九上·罗庄期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ．
16．（2023九上·滨江期中）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南开期中）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧的中点．
（1）试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
（2）延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若PC为，求BC长．
18．（2024九上·武汉期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，求．
19．（2024九上·石家庄期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
20．（2024九上·黔东南期末） 如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，连接，若，求的长．
21．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
22．（2023九上·监利期中）如图，是的直径，弦与相交于点为劣弧的中点，若，
（1）求的半径；
（2）求弦的长．
23．（2023九上·吉林期中） 如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
24．（2024九上·从江月考）如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.
（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少 说明你的理由.
（2）若DA=DF=6，求阴影部分的面积(结果保留π).
25．（2025九上·嘉兴月考）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
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圆的基本性质（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·温州期中）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=35°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ AB是半圆O的直径，∠BAC=35°，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=180°-90°-35°=55°，
∴∠D=180°-55°=125°.
故答案为：D.
【分析】本题考查圆周角定理，根据AB是直径即可知道∠ACB为90°，即可求出∠B的度数，再根据圆内四边形对角互补即可得到∠D的度数.
2．（2024九上·瑞安期中）如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是（ ）
A．4 B．5.5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，设的半径为r，
∵，
∴，，
∵点C是弧BE的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得，
即的半径为．
故答案为：C．
【分析】先根据垂径定理得到，然后根据点C是弧的中点得出，进而得到，即可得到，然后运用勾股定理即可解题．
3．（2024九上·惠东期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点．则经画图操作可知：的外接的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示，EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：A
【分析】先三角形的外心结合题意得到△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，再根据作图-垂直平分线结合题意得到EF与MN的交点O'即为所求的△ABC的外心，从而读出点的坐标即可求解。
4．（2024九上·广州期末）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长是．
故答案为：B
【分析】连接，先根据题意结合正多边形的性质得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
5．（2024九上·香洲期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点（ ）
A．在圆内 B．在圆上
C．在圆外 D．在圆上或圆外
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P到圆心O的距离为，
∴点P在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d6．（2024·沅江模拟）如果一个扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍，那么这个扇形的面积将扩大为原来的倍数是（ ）
A．18 B．12 C．6 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为，
则：，
圆心角扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的3倍后，面积变为：，
∴这个扇形的面积将扩大为原来的18倍；
故答案为：A．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
7．（2024九上·江津期末）如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心下方，若的直径为，水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
∵的直径为，
∴，
在中，，
∴，
即水的最大深度为.
故答案为：C.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，根据垂径定理可得BD=AD=12cm，由直径可得OB=OC=13cm，利用勾股定理可得OD，然后根据CD=OC-OD进行计算.
8．（2024九上·安吉期中）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误；
故答案为：A.
【分析】根据三角形外接圆的定义，确定圆的条件，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，对四个选项逐一判断即可.
9．（2025九上·嘉兴月考）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接，，设交于点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，，
∴是的中位线，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
又∵半径为3，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，，设交于点，根据圆心角、弧、弦之间的关系得，根据等腰三角形”三线合一“性质得出，，由此证得是的中位线，从而得，然后证明，得出由此根据半径的长求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长．
10．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由于是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求最小值即可
作点关于对称的对称点，连接与直线交于点，则
， ，此时为最小值
连接，
平分，，
，
在中，，
，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：A．
【分析】根据轴对称的性质，确定当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为的长与的长度和，分别进行计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·北京市期中）如图，，为的三等分点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
连接，则根据题意得，
设与交于点，
C，D为的三等分点，，
，
∴，
四边形是菱形，
和互相平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设与交于点，连接、、、，则，即得四边形是菱形，进而得，，根据勾股定理得，再根据
计算可得答案．
12．（2024九上·杭州期中）半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：扇形的面积，
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积计算公式并结合已知条件计算即可求解．
13．（2024九上·杭州期中）正六边形每个内角的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为：，
正六边形的每个内角的度数为：
，
故答案为：．
【分析】根据多边形的内角和公式可求出正六边形的内角和，然后根据正六边形的各角都相等可求解．
14．（2024九上·东城期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为 ．
【答案】20°
【解析】【解答】解：将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
所以∠BAD=140°，且AD=AB，
因为点B，C，D恰好在同一直线上，所以△BAD是顶角为140°的等腰三角形，可得∠B=∠BDA，
所以∠B= (180° ∠BAD)=20°，
故答案为：20°
【分析】根据图形旋转的性质，得到∠BAD=140°，且AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
15．（2024九上·罗庄期中）如图，扇形中，，点C为的中点，交弧于点E，以点O为圆心，的长为半径作弧交于点D．若，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接、，
，且点C为的中点，
是的垂直平分线，，
，，
又，
，
是等边三角形，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接、，根据垂直平分线判定定理可得是的垂直平分线，，则，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据勾股定理可得CE，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
16．（2023九上·滨江期中）如图，是半径为4的的弦，且，将沿着弦折叠，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接.则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C’，连结EF、AC’，BC’
根据折叠的性质可知
∵，
∴
∴AD=AC
∵E为DC的中点，
∴AEDC，
∴
故点E在以AB为直径的弧上运动
当E、O、F三点共线时，EO的值最小为EF-OF，
∴EF=AB=，OF=，
∴OE的最小值为，
故答案为：．
【分析】连结AD、AC，过点O作AB的垂线交AB于点F，过点C作AB对称点C'，连结EF、AC'，BC'，根据折叠的性质及圆内接四边形的性质得出，从而判断出等腰三角形ACD，利用等腰三角形的三线合一得出，推出点E的轨迹，再由轨迹判断EO最小值，利用勾股定理即可解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南开期中）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧的中点．
（1）试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
（2）延长OA至P，使得AP=OA，连接PC，若PC为，求BC长．
【答案】解：（1）四边形OACB是菱形．
理由：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是劣弧的中点，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△AOC与△BOC都是等边三角形，
∴AC=OA=OC=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．
（2）∵AP=OA，AC=OA，
∴AP=AC，
∴∠P=∠ACP=∠OAC=30°，
∴∠OCP=90°，
设圆O的半径为x，则OC=x，OP=2x
∴，
∴x=3
∵四边形OACB是菱形．
∴BC=3
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，根据等边三角形判定定理可得△AOC与△BOC都是等边三角形，则AC=OA=OC=OB=BC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AP=AC，根据三角形外角性质及等边对等角可得∠P=∠ACP=∠OAC=30°，则∠OCP=90°，设圆O的半径为x，则OC=x，OP=2x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=3，再根据菱形性质即可求出答案.
18．（2024九上·武汉期中）如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，连接，，．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，，求．
【答案】（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据点D是的中点，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，求出，最后根据圆内接四边形的性质求出结果即可解答；
（2）连接并延长交于点E，连接，交于点F，证明垂直平分，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后根据等腰三角形性质求出结果即可解答．
（1）解：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：连接并延长交于点E，连接，，交于点F，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴，
设，
在和中，
，
∴，
解得：
在中，，
∴．
19．（2024九上·石家庄期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为．
（1）求桥拱的半径；
（2）此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】（1）解：如图半径，，设桥拱的半径是，
，
，
拱高为，
，
，
，
，
桥拱的半径是；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
不需要采取紧急措施．
【解析】【分析】（1）设桥拱的半径是，根据垂径定理可得，根据边之间的关系可得ON，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）连接，根据垂径定理可得DM=6，再根据勾股定理可得OM，再根据边之间的关系可得CM，再比较大小即可求出答案.
（1）解：如图半径，，
设桥拱的半径是，
，
，
拱高为，
，
，
，
，
桥拱的半径是；
（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：
如图，连接，
，
，
，
，
，
不需要采取紧急措施．
20．（2024九上·黔东南期末） 如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，，
，
；
（2）解：根据题意，如图所示：
是的直径，，
点为的中点，
点是的中点，
，
．
【解析】【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所证两角都在弦BC的同侧，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可以判定 ； （2）同样根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，得到E平分BC，由中位线定理得到，OE已知，则GC可求。
21．（2024九上·桐乡市期末）如图，在正方形中有一点P，连接、，旋转到的位置．
（1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）解：如图，∵正方形，旋转到的位置，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，
根据题意，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到：，即可得到：，，进而利用割补法即可求出阴影部分面积；
（2）连接，由题意得：，，进而求出CE的长度，最后根据勾股定理即可求解.
22．（2023九上·监利期中）如图，是的直径，弦与相交于点为劣弧的中点，若，
（1）求的半径；
（2）求弦的长．
【答案】（1）解：连，如图所示：
是的直径，为劣弧的中点，
，
设的半径为，
则，
在中，，
即，
解得，
即的半径为5；
（2）解：，
．
【解析】【分析】（1）设的半径为，则，利用勾股定理可得，即，在再求出r的值即可；
（2）先利用线段的和差求出DE的长，再利用勾股定理求出AD的长即可.
（1）解：连，
是的直径，为劣弧的中点，
，
设的半径为，
则，
在中，，
即，
解得，
即的半径为5；
（2）解：，
．
23．（2023九上·吉林期中） 如图，是的直径，是的中点，于，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：延长交于点，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）解：是的直径，
，
，，
，
在中，，
的半径为．
【解析】【分析】（1）延长交于点，利用弧与圆心角的关系可得，再利用等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得；
（2）利用勾股定理求出AB的长可得圆的直径，再求出圆的半径即可.
24．（2024九上·从江月考）如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.
（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少 说明你的理由.
（2）若DA=DF=6，求阴影部分的面积(结果保留π).
【答案】（1）解：如图所示，连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD=∠BAD.
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO.
∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.
∴OD的长是圆心O到EF的距离.
∵AB=90 cm，∴OD=AB=45 cm.
（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.
∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.
由(1)，得∠CAD=∠BAD，
∴∠F=∠CAD.
∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.
∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.
∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，
∴(2OD)2-OD2=(6)2，解得OD=6.
在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG==3，AD=2，
S△AOD=×6×3=9.
∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=+9=6π+9.
【解析】【分析】（1）连接OD，由D为的中点，可得∠CAD=∠BAD，进而可得∠CAD=∠ADO，根据平行线的判定可得OD∥AE，进而可证得OD的长是圆心O到EF的距离，再利用AB的长即可求解；
（2）过点O作OG⊥AD交AD于点G，由∠CAD=∠BAD，可得∠F=∠CAD，根据DA=DF得∠F=∠BAD，
故∠F=∠BAD=∠CAD=30°， 所以∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD，在Rt△ODF中，利用勾股定理解得OD=6，再利用S阴影=S扇形OBD+S△AOD 代入数值计算即可.
25．（2025九上·嘉兴月考）如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
【答案】（1）解：是直径，
，
，，
，
的半径为
（2）解：如图1，连接，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
（3）解：如图2，连接，，，，
∵的中点为，
∴，
∵，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
∵，
∴，
∵，，
，
，
，
的最大值为
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，，根据勾股定理逆定理得到，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，然后证明是等边三角形，得，即可求出的度数；
（3）连接，，，，根据等腰三角形“三线合一”性质得，从而得点的运动轨迹是以为直径的，证出，利用勾股定理得，然后根据，可得结论．
（1）解：如图1中，
是直径，
，
，，
，
∴
的半径为．
（2）解：如图中，连接，．
，，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图中，连接，．
，
，
点的运动轨迹以为直径的，
连接，，可知
是等边三角形，，
，
，
，
的最大值为．
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