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相似三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·锦江期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
2．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，于点，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024九上·长岭期末）和相似，且相似比为，那么和的面积比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2025九上·温州期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·成都期中）如图，在中，为上一点，，则下列不能表示和相似比的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·宁波月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm
A． B． C．6 D．8
8．（2024九上·深圳期中）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
10．（2023九上·成都月考）如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·温州开学考）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 cm．
12．（2024九上·宝安月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
13．（2024九上·长春期末）如图，已知点、分别是、边上的点，且∽，相似比为：，交于点，则： ．
14．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
15．（2024九上·成都期中）如图，在中，，是的一条角平分线，E为中点，连接，若，，则＝ ．
16．（2023九上·宝安期中）如图， 在 Rt 中， ， 棱长为 1 的立方体表面展开图有两条边分别在 上， 有两个顶点在斜边 上， 则 的面积为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·贵阳期末）如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
18．（2024九上·山丹期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
19．（2024九上·浙江期末）如图，小区门口道闸的栅栏DE长度不变，立柱OB垂直于地面，DE绕点B旋转得到AC，若OB=0.5m，AB=1.5m，BC=4.5m.
（1）求栅栏最右端C离地面的最大高度，
（2）若想使栅栏最右端C离地面的高度达到3.8m，请你给出一种改造的方案.
20．（2024九上·西湖期末）如图，在正五边形中，连结交于点F
（1）求的度数．
（2）已知，求的长．
21．（2023九上·亳州月考）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
22．（2023九上·赵县月考）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由．
（1），，，，，；
（2），，，．
23．（2023九上·崇明期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．
（1）求证：．
（2）求证：．
24．（2024九上·渠县期末）如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
25．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
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相似三角形（B卷·综合能力提升卷）
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·锦江期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（ ）
A．的面积为 B．的周长为
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
AB，
所以，，
所以且相似比为2：1，
因为，
所以，故A选项错误，不符合题意；
因为，
所以，故B选项正确，符合题意；
因为，
所以故C、D选项错误，不符合题意；
故选：B.
【分析】分别求出AB=、、，再依据相似三角形的性质进行判断即可.
2．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，于点，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】解：
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
解得.
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出，由同角的余角相等得∠ACD=∠BAD，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形对应边成比例，即可求出的长．
3．（2024九上·长岭期末）和相似，且相似比为，那么和的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵和相似，且相似比为，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可.
4．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
5．（2025九上·温州期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是，
图形的周长是，
故选：C．
【分析】
位似图形的周长比等于位似比．
6．（2024九上·成都期中）如图，在中，为上一点，，则下列不能表示和相似比的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴相似比有：，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ACD∽△ABC，由相似三角形的对应边成的比相等可得比例式，结合各选项即可判断求解．
7．（2024九上·宁波月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE=15cm，CD=8cm，AB//CD，
∴OF⊥AB，
∴OF=10cm，
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△ABO≌△CDO，
∴
∴
解得
∴蜡烛火焰的高度是，
故答案为：B.
【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE=15cm，CD=8cm，OF=10cm，AB//CD，然后利用平行线的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D从而可得△ABO≌△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
8．（2024九上·深圳期中）如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设BC与ED交点为H，如图所示：
∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2=16，AC2=9，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=×3×4=6，
∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴△ABC∽△CDH，且AD即为△ABC平移的距离，
∴===，
解得：CD=，
∴AD=3-，
∴平移的距离为3-，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理求得△ABC是直角三角形，然后求得△ABC的面积，由平移可得相似三角形，由相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
9．（2024九上·蓬溪期末）如图，正方形中，平分，交于点E，将绕点B顺时针旋转得到，延长交于点G，连接交于点H．
下列结论①；②；③；④
正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将绕点B顺时针旋转得到，
∴，
∴，
故①正确；
∵正方形中，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴（SAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④正确，
故答案为：A
【分析】先根据旋转的性质得到，进而根据三角形全等的性质即可判断①；先根据正方形的性质得到，，，进而根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的性质得到，再结合题意进行角的运算即可判断②；结合题意运用角平分线的性质得到，，进而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明（SAS）得到，从而即可判断③；根据三角形全等的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明即可得到，再结合题意代入化简即可判定④.
10．（2023九上·成都月考）如图，矩形ABCD中，，，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A． B．5cm C． D．8cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB=OD，
在△BOF和△DOE中，
∴△BOF≌△DOE（AAS），
∴OE=OF，
∵∠OBF=∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴，
∵，
∴BO=BD=5，
∴FO=5×=，
∴，
故答案为：C.
【分析】先利用“AAS”证出△BOF≌△DOE，可得OE=OF，再证出△BOF∽△BAD，可得，再求出FO的长，最后求出即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·温州开学考）已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则 cm．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∵a=2，b=8，
∴，
解得：c=4或c=-4（舍去），
故答案为：4.
【分析】根据比例中项的定义得，从而解出c=4或c=-4（舍去），即可求解.
12．（2024九上·宝安月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意做出示意图，
则，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出，可得，即，再求出CD的长即可.
13．（2024九上·长春期末）如图，已知点、分别是、边上的点，且∽，相似比为：，交于点，则： ．
【答案】：
【解析】【解答】解：如图所示
的相似比为1：3
即AF：AG=1：3
故答案为： 1：3
【分析】根据相似三角形的性质和判定定理，可判定所求线段所在的两个三角形相似，再根据相似比的定义，求得两线段的值比就是相似比。
14．（2024九上·长春期末）如图，在平面直角坐标中，与是位似图形，且它们的顶点都在格点上，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接位似图形的对应点AD和BE，交与点O
点O即为该位似图形的位似中心
点O的坐标为（2，2）
故答案为： （2，2）
【分析】根据位似中心的定义，位似图形对应点连线的交点就是位似中心，根据平面直角坐标系的格点图读出位似中心点的坐标。
15．（2024九上·成都期中）如图，在中，，是的一条角平分线，E为中点，连接，若，，则＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，作于点F，则，
，E为的中点，，
，
，，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，，
，
．
解得，（不符合题意，舍去），
∴．
故答案为：．
【分析】连接，作于点F，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，又等边对等角可得，由角平分线的定义及已知得，由直角三角形量锐角互余、等量代换及三角形的内角和定理得出，由同角角的余角相等得∠CEF=∠EAF，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△CEF∽△EAF，由相似三角形对应边成比例得，在Rt△CEF中，利用勾股定理建立方程得出； 由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△BDA，由相似三角形对应边成本建立方程求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案．
16．（2023九上·宝安期中）如图， 在 Rt 中， ， 棱长为 1 的立方体表面展开图有两条边分别在 上， 有两个顶点在斜边 上， 则 的面积为 .
【答案】16
【解析】【解答】解：如图：
由图可知：HF=DE=2，DE∥HF，CD=EG=3
∴∠DEB=∠HFE
∵∠BDE=∠EHF=90°
∴△BDE≌△EHF(ASA)
∴BD=EH=1
∴BC=BD＋CD=4
∵△BDE∽△BCA
∴
∴
∴AC=8
∵
故答案为：16.
【分析】先证明△BDE≌△EHF(ASA)，得出BD=EH=1，BC=BD＋CD=4，再证明△BDE∽△BCA，再根据对应边成比例得出：，代入数值，计算出AC，再根据三角形的面积公式计算出 的面积 即可 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·贵阳期末）如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，MB＝MC．
（1）求证：△AMB∽△ABC；
（2）若AM＝3，MB＝6，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵MB＝MC，
∴∠MBC＝∠MCB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠MBC＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠MCB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMB∽△ABC；
（2）解：∵AM＝3，MB＝6＝MC，
∴AC＝9，
∵△AMB∽△ABC，
∴，
∴AB2＝27，
∴AB＝3（负值舍去），
∴AB的长为3．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出 ∠MBC＝∠MCB， 再根据角平分线求出 ∠MBC＝∠ABM， 最后利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 AC＝9， 再根据相似三角形的性质求出 ， 最后计算求解即可。
18．（2024九上·山丹期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
【答案】（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
【解析】【解答】（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，，利用两角对应相等，两个三角形相似即可得到，，即可得出与相似的三角形有，，，；
（2）根据相似三角形性质得到，即可求解出与之间的函数关系式，根据点在边（点不与点重合，可与点重合）即可得到的取值范围，从而求得的取值范围．
（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
在矩形中，，
，
又，，
，
即，
在直角中，
，
点在边（点不与点重合，可与点重合），
，
，
综上所述，与之间的函数关系式为，．
19．（2024九上·浙江期末）如图，小区门口道闸的栅栏DE长度不变，立柱OB垂直于地面，DE绕点B旋转得到AC，若OB=0.5m，AB=1.5m，BC=4.5m.
（1）求栅栏最右端C离地面的最大高度，
（2）若想使栅栏最右端C离地面的高度达到3.8m，请你给出一种改造的方案.
【答案】（1）解：如图，作AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N.
∵当点A与地面接触时，栏杆最右端C离地面最高，
∴AM=OB=0.5m.
∵△ABM∽△CBN，且AB=1.5m，BC=4.5m，
，即
，∴CN=1.5m，
∴栏杆最右端C离地面的最大高度是1.5+0.5=2(m).
（2）解：方案：设把立柱OB升高x(m)，则OB=(0.5+x)m.当点A与地面接触时，栏杆最右端C离地面最高，此时AM=OB=0.5+x，CN=3.8-0.5-x=3.3-x.
∵△ABM∽△CBN，且AB=1.5，BC=4.5，
，即，∴x=0.45.
答：可以把立柱OB升高0.45m.(注：答案不唯一)
【解析】【分析】（1）作AM⊥DE于点M，CN⊥DE于点N，则可得到△ABM∽△CBN，即可得到解题即可.
（2）把立柱OB升高x(m)，然后根据（1）中的相似求出x值即可解题.
20．（2024九上·西湖期末）如图，在正五边形中，连结交于点F
（1）求的度数．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）解：∵五边形是正五边形，
，，
∴，
同理可求，
∴
（2）解：∵，∴，
同理可证，
∴四边形是菱形，
，
同理，
∴，
∵，
，
，即，
设，则，
，即，
解得（舍去负值），
的长是
【解析】【分析】（1）根据正五边形得到，，然后根据等边对等角求出，然后利用三角形的内角和求出的度数；
（2）先根据两角相等证明得到，设，则，列方程即可解题．
（1）解：∵五边形是正五边形，
，，
∴，
同理可求，
∴．
（2）解：∵，
∴，
同理可证，
∴四边形是菱形，
，
同理，
∴，
∵，
，
，即，
设，则，
，即，
解得（舍去负值），
的长是．
21．（2023九上·亳州月考）如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：证明：，，，，
，又，；
（2），，，又，
，
，，即的面积为.
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用条件得出结论是关键。（1）由 ，得，，则，结合可证；（2） 由相似三角形的性质，可得，结合，可得， 根据其性质得，可得的面积.
22．（2023九上·赵县月考）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由．
（1），，，，，；
（2），，，．
【答案】（1）解：，理由如下：
，，，，．
（2）解：，理由如下：
，，，
，，，，
．
【解析】【分析】（1）分别求出对应边的比，利用三边成比例的两个三角形相似即可求解；
（2）利用三角形内角和求出∠C的度数，再利用相似三角形的判定条件即可求解.
23．（2023九上·崇明期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．
（1）求证：．
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
又∵，
∴∽，
∴，即．
（2）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴∽，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的性质、相似三角形的判定，（1）根据，，可证得：∽，根据对应线段成比例，即可证明结论；
（2）根据题意可证得 ≌ ，得到，再运用同角的余角相等得到，证明 ，根据对应线段成比例，即可证明结论；
24．（2024九上·渠县期末）如图，在边长为6的正方形中，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点是线段的三等分点时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：，
，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
四边形中，，
A、H、E、D共圆，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：当点是线段的三等分点时，的长为或3.
【解析】【解答】解：(3)如图，连接，
，，
，，
，
，
，
设，则，，
正方形的边长为6，点是线段的三等分点，
①当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
②当时，则，
在中，，即，
解得：，
，
当点是线段的三等分点时，的长为或3。
【分析】（1）先证，进而可得是等腰直角三角形，再根据直角三角形中斜边上的中线对应斜边的一半得到，进而可证得；
（2）先证为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，再由∠AHE+ ∠ADE
=180° 得到A、H、E、D共圆， 进而证得，再根据相似三角形的性质即可得证；
（3）连接，由，得到GE=GF，设，则，GE=DE+x
，分两种情况讨论，①当时，②当时，在中，利用勾股定理建立方程求解即可.
25．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质和角平分线的概念，可证得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，利用SAS可证得△DAP≌△DCP，然后利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可知△APE∽△FPA，利用相似三角形的对应边成比例可推出∴PA2＝PE PF；由（1）可知△DAP≌△DCP可证得PA＝PC，由此可得到PC2＝PE PF，代入计算可求出CP的长.
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