第四章相似三角形检测卷（培优卷·含答案）浙教版2025—2026学年九年级数学上册

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第四章相似三角形检测卷（培优卷）浙教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.下列各组图形相似的是（　　）
A． B. C. ． D．
2.下列各组线段成比例的是（ ）
A.2cm , 5cm , 6cm , 8cm B.1cm , 2cm , 3cm , 4cm
C.3cm , 6cm , 7cm , 9cm D.3cm , 6cm , 9cm , 18cm
3.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（　　）倍.
A.2　　 B.4　 　 C.2　 　 D.64
4.下列说法中，正确的有（　　）
①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.A下列各选项不能判断△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠C=∠D=90°，∠B=32°，∠E=58°
B．∠C=∠D=90°，AB=15，BC=9，EF=5，DF=4
C．∠C=∠D=90°，AC=15，BC=9，DE=5，DF=3
D．∠C=∠D=90°，AC=15，BC=9，EF=5，DF=3
6．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是三角形的重心，，，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
8．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，下列说法中，错误的是（　　）
A． B．、、三点在同一条直线上
C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，，则的长为 ．
10．如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则 ．
11．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为 ．
12．如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
14．如图1，在菱形中，于点为的中点，延长交的延长线于点，已知．点分别在线段上（不与端点重合），且满足．
(1)求证：．
(2)如图2，连接．
①当与的一边垂直时，求的值．
②当点落在的延长线上时，记与的交点为，求的值．
15．如图，在菱形中，，是对角线上的点，，连结，并延长交于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)已知，求菱形的面积．
16．如图1，在中，．将绕点顺时针旋转得到，交于点，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，当时，求的长度；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，求证：．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，．
(1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出．
(2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形；
(3)与的周长比是___________；面积比是___________．
18．如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
(3)如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值．
参考答案
一、选择题
1—8：DDCBDACD
二、填空题
9．
10．
11．
12．2
三、解答题
13．【解】（1）证明：，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形
在与中．
，
（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．
与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
14．【解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①设，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴
当时，
∵，
∴，
又∵、相交，
∴的情况不存在；
综上所述，的长为或；
②过点Q作于N，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的值为．
15．【解】（1）证明：如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，
由（1）可得，
又∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故，
∵，
即，
∴，
故．
（3）解：过点作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故．
设，则，
在中，，
在中，，
故，
解得；
∴，
故菱形的面积为．
16．【解】（1）证明：连接，
由旋转的性质知，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，，
∴，
由旋转的性质知，，，
由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
，
，即，
解得，故的长度为；
（3）F是线段的中点．理由如下，
连接，延长和交于点G，如图，
由（1）知，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
17．【解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，即为所求作：
（3）解：∵与的位似比为，
∴与的周长比是，面积比是．
故答案为：；．
18．【解】（1）解：∵，
，
∵和的平分线交于点，
，
，
．
（2）解：∵平分平分，
∴设，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
．
（3）解：如图，连接，连接交于点，
，
，
垂直平分，
，
，
在中，
，
，
由（2）得，当平分平分时，有，
，
作，连接，
在中，，
在中，，
，
，
，
即，
，
，
∴ y的最大值是 4 ．
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