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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 专项练习卷
1．计算： ．
2．如图，在中，，，，则的值是 ．
3．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为 ．（参考数据：，，）
4．如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分BC的长度为 ．（答案精确到0.1m，已知
5．如图，在 ABCD 中， 以点 A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于点E，连接CE.若 则图中阴影部分的面积是 .
6．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是 ．
7．小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度 ．
8．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米.
9．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离约为 米结果精确到1米，，，．
10．如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是 ．
11．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD的高度是 米．
13．如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．
14．化简的结果是
15．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为 ，那么 ．
16．如图 ，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cosB 的值为 .
17．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为 米
18．若某人沿坡度ⅰ=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 m．
19．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ．
20．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE＝ ，那么CE：BF＝ ．
21． 是 的弦， ，垂足为M，连接 ．若 中有一个角是30°， ，则弦 的长为 ．
22．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是 米（结果保留根号）．
23．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为 ．
24．太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 的坡度 （ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，则王老师上升的铅直高度 为 米．
25．在△ABC中，AB＝2 ，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是 .
26．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
27．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（精确到1海里，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）．
28．四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
29．用计算器计算：sin35°≈ （结果保留两个有效数字）．
30．计算： ．
31．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是 ．
32．如图， ，点 在射线 上，且 ，则点 到射线 的距离是 ．
33．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．
34．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2。若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 。
35．如图是一斜坡的横截面，某人沿着坡度为 的斜坡从点A向上走了5米到点B处，则此时人离水平面的垂直高度为 ．
36．如图，中，，，垂直平分，，则 .
37．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是 ．
38．比较大小：2sin60°+tan45° 4cos60° (用“>”或“=”或“<”连接).
39．如图，边长为2的菱形 的顶点 ， 分别在直角 的边 ， 上滑动.若 ，则线段 的最大值为 .
40．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝5，cosC＝ .则AB边的长为 .
41．在2012年6月3号国际田联钻石联赛美国尤金站比赛中，百米跨栏飞人刘翔以12.87s的成绩打破世界记录并轻松夺冠．A、B两镜头同时拍下了刘翔冲刺时的画面（如图），从镜头B观测到刘翔的仰角为60°，从镜头A观测到刘翔的仰角为30°，若冲刺时的身高大约为1.88m，请计算A、B两镜头之间的距离为 ．（结果保留两位小数， ≈1.414， ≈1.732）
42．如图，已知正方形边长为2，E为边上一点，将以点A为中心按顺时针方向旋转得到，连接，分别交，于点M，N.若，则 .
43．如图是直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，为的中点，与相交于点，则点到直线的距离等于 ．
44．在矩形ABCD中，AB=5，BC=，点P是BC上的动点，连接AP，以AP为边作等边三角形APE，连接DE，则点P在运动的过程中，线段DE的最小值为
45．如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则 的最小值是 ．
46．如图，正方形的边长为10，绕点C顺时针旋转至，旋转角为，连接并延长，交的平分线于点F，连接．当，的值为 ．
47．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）.
48．如图，在四边形ABCD中，，，，，矩形BEFG的顶点E、F、G分别在边BC、CD、AB上，连接GE，则的最小值为 .
49．如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是 ．
50．如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，点N为BC边上一点，连接AN，交BD于点L，点R为CD边上一点，连接AR、LR，若tan∠BLN=2，∠ARL=45°，AR=10 ，CR=10，则AL= 。
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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 专项练习卷
1．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
实数混合运算，先计算乘方即零指数幂，再计算特殊角的三角函数值，最后再作差即可．
2．如图，在中，，，，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，最后利用正弦的定义可得。
3．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为 ．（参考数据：，，）
【答案】2.05
【解析】【解答】解：∵AB=AC=2.5m，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=AC sin55°=2.5×0.82≈2.05（m），
故答案为2.05．
【分析】利用解直角三角形的方法列出算式AD=AC sin55°求解即可。
4．如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成。小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分BC的长度为 ．（答案精确到0.1m，已知
【答案】0.4m
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴BG =sin∠BAG·AB
= sin 60°·AB
≈0.866×1.5
=1.299(m).
在Rt△CDG中，
∴CG=sin∠CDG·CD
= sin37°·CD
≈0.6×1.5
=0.9(m).
∴BC=BG-CG
=1.299-0.9
=0.399
≈0.4(m).
故答案为： 0.4m.
【分析】利用直角三角形的边角间关系分别在Rt△ABC中和Rt△CDG中求出BG、CG，再利用线段的和差关系得结论.
5．如图，在 ABCD 中， 以点 A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于点E，连接CE.若 则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：过点 D 作DF⊥AB 于点 F.
∵AD= AB，∠BAD=45°，AB=3
∴AD= ×3 =2 ，
∴DF=
∵AE=AD=2 ，
EB= AB-AE=
答案：
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，求出AD的长可得扇形ADE的面积，再由平行四边形的面积减去扇形ADE和BCE的面积即得阴影部分的面积.
6．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】作BD⊥AC于点D，
∵BC=2，AC= ，点A到BC的距离为3，AB=，
∴，即，
解得：，
∴AD= ，
.
故答案是：.
【分析】作BD⊥AC于点D，先利用勾股定理求出AB和AC的长，再利用等面积法可得BD的长，利用勾股定理求出AD的长，最后利用正切的定义。
7．小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度 ．
【答案】5：12
【解析】【解答】解：如图，根据题意知：AB=13米，BC=5米，
∴AC=12（米），
∴该自动扶梯的坡度，
∴该自动扶梯的坡度为5：12，
故答案为：5：12．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用坡度的计算方法可得该自动扶梯的坡度。
8．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米.
【答案】
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∵i=，AC=12米，
∴BC=6米，
根据勾股定理得：AB=米，
故答案为：
【分析】根据题意先求出BC=6米，再利用勾股定理计算求解即可。
9．如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离约为 米结果精确到1米，，，．
【答案】275
【解析】【解答】解：由题意可知EF∥AB，
∴∠ECA=∠A=29.5°，∠B=∠BCF=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴CD=DB=100，
∴，
∴
∴AB=AD+BD=100+175=275.
故答案为：275
【分析】利用已知可得EF∥AB，利用平行线的性质可证得∠ECA=∠A=29.5°，∠B=∠BCF=45°，利用等腰直角三角形的性质可求出DB的长，在Rt△ACD中，利用解直角三角形求出AD的长，然后根据AB=AD+BD，代入计算求出AB的长.
10．如图， 正方形的边长是，菱形的边长是，则菱形的对角线的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，，与相交于点，
∵四边形是菱形，
∴，且平分，
∵四边形是正方形，
∴，且平分，
∴和共线，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形的边长为，
∴，
∴，
∵菱形的边长为，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】连接，，，与相交于点，首先证明出和共线，然后求出，然后利用勾股定理求出，进而利用菱形的性质求解即可．
11．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m．（精确到1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】17
【解析】【解答】解：如图，设AB的延长线与PQ的延长线交于H，
由题意的AH=30m，PQ=26.6m，∠APH=37°，∠BQH=45°，∠BHQ=90°.
在Rt△APH中，PH==40m，
∴QH=PH-PQ=40-26.6=13.4m，
在Rt△BQH中，∠BQH=45°，
∴BH=QH=13.4m，
∴AB=AH-BH=30-13.4=16.6≈17m.
∴ 教学楼AB的高度约为17m.
【分析】设AB的延长线与PQ的延长线交于H，利用解直角三角形先求出PH，从而求出QH，BH，再利用AB=AH-BH即可求解.
12．如图，甲楼AB的高度为20米，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，则乙楼CD的高度是 米．
【答案】（20+20 ）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
根据题意，∠CAE=45°，∠DAE=30°．
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形ABDE为矩形．
∴DE=AB=20．
在Rt△ADE中，tan∠DAE，∴AE=
在Rt△ACE中，由∠CAE=45°，
得CE=AE= ．
∴CD=CE+DE=20+
【分析】将实际问题转化为数学问题，在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE的长，再在Rt△ACE中，根据等腰直角三角形的性质，可求出结果。
13．如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，
∵C（7，h），
∴OF=7，CH=h.
∵∠CEF=180°-∠AEC=60°，CF=h，
∴EF=h，CE==h，∠BAC=120°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=120°，
∴∠CAE=∠ABD.
∵AB=CA，
∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AD=CE=h，AE=BD.
∵A（3，0），
∴OD=OA-AD=3-h.
∵∠BDO=180°-∠ADB=60°，
∴BD==6-h，
∴AE=BD=6-h.
∵OA+AE+EF=OF，
∴3+6-h+h=7，
解得h=.
故答案为：.
【分析】在x轴上取点D、E，使∠ADB=∠AEC=120°，过C作CF⊥x轴于点F，根据点C的坐标可得OF=7，CH=h，由三角函数的概念可得EF、CE，利用AAS证明△CAE≌△ABD，得到AD=CE=h，AE=BD，则OD=OA-AD=3-h，由三角函数的概念可得BD，即为AE，然后根据OA+AE+EF=OF就可求出h的值.
14．化简的结果是
【答案】cos4°﹣sin4°
【解析】【解答】解：∵==|cos4°﹣sin4°|，cos4°＞sin4°，
∴=cos4°﹣sin4°．
故答案为：cos4°﹣sin4°．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式可得要求的式子==|cos4°﹣sin4°|，然后由cos4°＞sin4°，根据绝对值的意义即可化简．
15．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为 ，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 如图所示：
由题意，得： ，
设竖直直角边为 ，水平直角边为 ，
则斜边 ，
则 ．
故答案为 ．
【分析】设竖直直角边为 x ，水平直角边为 2x ，由勾股定理求出血便，进而求的的值。
16．如图 ，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cosB 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：取格点D，连接AD和BD，
则B，C，D三点共线，且BD=DA，
∴∠B=45°，
∴ cosB=cos45°=，
故答案为： .
【分析】根据题意得到∠B=45°，根据特殊角的三角函数值解答即可.
17．如图所示，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为150米，则这栋楼的高度为 米
【答案】
【解析】【解答】解：如图：
在Rt中，，AD=150m，
，
在Rt中，，AD=150m，
，
，
这栋楼的高度为米.
故答案为：.
【分析】根据俯角仰角的定义在图中标出，再根据题意和三角函数得到BD、CD的长，即可求出BD的长，得到结果.
18．若某人沿坡度ⅰ=3：4的坡度前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高 m．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵坡度ⅰ=3：4，
∴此人行进的垂直距离：水平距离=3：4．
∵此人行进的垂直距离：坡长（此人沿坡行进的距离）=3：5．
∵坡长为10m，
∴此人行进的垂直距离为6m．
∴他所在的位置比原来的位置升高6m．
【分析】利用垂直距离：水平宽度得到垂直距离与斜坡的比，把相应的数值代入计算即可．
19．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝ AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，可得，，因此，再利用余弦的定义求解即可。
20．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的点，EF⊥BE，交边CD于点F，联结CE、BF，如果tan∠ABE＝ ，那么CE：BF＝ ．
【答案】4：5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEF+∠BCF＝180°，
∴B，C，F，E四点共圆，
∴∠EBF＝∠ECF，∵∠BEF＝∠D＝90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∴tan∠ABE＝tan∠DEF＝ ＝ ，
设DF＝3k，DE＝4k，
∴EF＝5k，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为：4：5．
【分析】由∠BEF+∠BCF＝180°，可知，B，C，F，E四点共圆，根据圆周角定理，得，∠EBF＝∠ECF，结合∠BEF＝∠D＝90°，可知，△BEF∽△CDE，即 ＝ ，由∠DEF＝∠ABE，可知，tan∠ABE＝tan∠DEF＝ ＝ ，可得， ＝ ＝ .
21． 是 的弦， ，垂足为M，连接 ．若 中有一个角是30°， ，则弦 的长为 ．
【答案】12或4
【解析】【解答】解：∵OM⊥AB，
∴AM=BM，
若∠OAM=30°，
则tan∠OAM= ，
∴AM=6，
∴AB=2AM=12；
若∠AOM=30°，
则tan∠AOM= ，
∴AM=2，
∴AB=2AM=4.
故答案为：12或4.
【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.
22．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是 米（结果保留根号）．
【答案】200（ +1）
【解析】【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD=90°﹣45°=45°，∠ACD=90°﹣30°=60°，
∵CD⊥AB，CD=200m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD=200m，
在Rt△ACD中，CD=200m，∠ACD=60°，
∴AD=CD tan60°=200× =200 m，
∴AB=AD+BD=200 +200=200（ +1）m．
故答案为：200（ +1）．
【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．
23．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴
∴
故答案为：
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
24．太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 的坡度 （ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 ，则王老师上升的铅直高度 为 米．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 的坡度 ，
．
∴ ，
∵ 米，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【分析】根据坡度比，列出比例式求解即可。
25．在△ABC中，AB＝2 ，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是 .
【答案】2 ＜a＜4
【解析】【解答】解：过点B做BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，
，即： ，
在Rt△BCD中，
，即：
，
∴ ，即： ，
∴ ，
由题意可知：当 时，满足条件的△ABC有两个，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由已知条件 ，根据直角三角形中三角函数的定义表示出 ，然后根据∠C的度数可以得出满足题意的△ABC有两个的∠A的度数的范围，根据∠A的度数的取值范围求出 的取值范围，进而求出a的取值范围.
26．小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了 cm。
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，
∴AC=10m=1000cm，，
设BC=x，则AB=2x，
∴BC2+AB2=AC2
∴x2+4x2=10002
解之：，
∴他升高了cm.
故答案为：
【分析】利用坡比的定义，可知，设BC=x，则AB=2x，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
27．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为 海里（精确到1海里，参考数据 ≈1.414， ≈1.732）．
【答案】38
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝AD，
在Rt△CBD中，BD＝AB﹣AD＝60﹣CD，
∴tan30°＝ ，
即 ＝ ，
解得CD≈38（海里）．
答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．
故答案为38．
【分析】根据题意可得，AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），∠ACD＝45°，∠BCD＝30°，如图，作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出CD的长，即为轮船在航行中离小岛最近的距离。
28．四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90 °，tan∠ABD= ，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD= ．
【答案】17
【解析】【解答】解：作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，
∵tan∠ABD= ，
∴ = ，
设AH=3x，则BH=4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，
解得，x=4，
则AH=12，BH=16，
在Rt△AHD中，HD= =5，
∴BD=BH+HD=21，
∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°，
∴∠ABD=∠CBH，
∴ = ，又BC=10，
∴BG=6，CG=8，
∴DG=BD﹣BG=15，
∴CD= =17，
故答案为：17．
【分析】作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，根据正切函数的定义，由tan∠ABD=设AH=3x，则BH=4x，根据勾股定理列出方程，求解得出x的值，进而得到AH，BH的长，在Rt△AHD中根据勾股定理算出HD的长，根据线段的和差得出BD的长，根据同角的余角相等得出∠ABD=∠CBH，根据等角的同名三角函数值相等得出，从而得出BG，CG，DG，根据勾股定理即可算出CD .
29．用计算器计算：sin35°≈ （结果保留两个有效数字）．
【答案】0.57
【解析】【解答】解：sin35°≈0.5736≈0.57．
故答案为：0.57．
【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
30．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】 =
故答案为 .
【分析】根据特殊角的三角函数值计算出 ，再与 相乘即可.
31．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是1∶2，则AB的长是 ．
【答案】5 米
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1∶2，BC＝5，
∴，
解得：AC=10，
∴.
故答案为：米.
【分析】利用坡比的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长. 此题考查解直角三角形的应用，准确求出AC的长是解题关键.
32．如图， ，点 在射线 上，且 ，则点 到射线 的距离是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥AN于点C．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，AB=2，
∴BC= AB=1
故答案为：1．
【分析】过点B作BC⊥AN于点C，然后在直角三角形中，根据直角三角形中30°角的直角边等于斜边的一半进行求解．
33．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，
可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AD=10，
在Rt△ABD中，BD= = =8，
∵∠ADB与∠ACB所对同弧，
∴∠D=∠C，
∴cosC=cosD= = = ，
故答案为： ．
【分析】首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD= 求出即可．
34．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2。若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 。
【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，
∵菱形ABCD，
∴AD∥BC，
∴AG⊥AD
∴∠AGH=∠GAD=∠GHE=90°，
∴四边形AGHE是矩形，
∴AE=GH=2，AG=EH，
∵ 若直线l经过点E，将该菱形的面积平分
∴EF经过菱形对角线的交点，
∵四边形BFEA和四边形CDEF关于EF对称，
∴AE=CF=2，
在Rt△ABG中，∠B=60°
BG=AB=3，AG=EH=ABsin∠B=6sin60°=
∴HC=BC-BG-GH=6-3-2=1，
∴FH=FC-HC=2-1=1
在Rt△EFH中
.
故答案为：.
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，利用已知易证四边形AGHE是矩形，利用矩形的性质可证得AE=GH=2，AG=EH；再根据菱形的对称性可得到四边形BFEA和四边形CDEF关于EF对称，从而可求出CF的长，利用解直角三角形求出BG，AG的长，据此可求出HC，FH的长；然后利用勾股定理求出EF的长。
35．如图是一斜坡的横截面，某人沿着坡度为 的斜坡从点A向上走了5米到点B处，则此时人离水平面的垂直高度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过 作 于
，
设 则
由
（负根舍去），
所以此时人离水平面的垂直高度为
故答案为：
【分析】先求出再利用勾股定理计算求解即可。
36．如图，中，，，垂直平分，，则 .
【答案】6
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵垂直平分，
∴
∴，即，
解得
∴，
故答案为：6.
【分析】由tanB==3，设，则，由勾股定理可得AB=x，利用线段垂直平分线的性质可得，根据建立关于x方程并解之即可.
37．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴坡角=30°．
【分析】根据坡度可得，再利用特殊角的三角形函数值可得坡角=30°。
38．比较大小：2sin60°+tan45° 4cos60° (用“>”或“=”或“<”连接).
【答案】＞
【解析】【解答】解：∵2sin60° +tan45° = = ，4cos60°= ，
∴2sin60° +tan45° ＞4cos60°，
故答案为：＞.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得2sin60° +tan45° 和4cos60 °，根据估计实数的大小可得结果.
39．如图，边长为2的菱形 的顶点 ， 分别在直角 的边 ， 上滑动.若 ，则线段 的最大值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图：延长AD，过点C作CF⊥AD延长线于点F，连接OC交AD于E，
当E为AD的中点，O、E、C三点共线时，OC=OE+EC最大，
∵菱形ABCD，AD=2，∠MON=90°
∴OE=AE=DE= AD=1，
∵
∴∠DAB=60°，∠FDC=60°，∠FCD=30°
∴FD= CD=1，CF= ，
∴EF=DE+FD=2
由勾股定理得：CE=
∴线段OC长的最大值是：OC=OE+EC= .
故填 .
【分析】延长AD，过点C作CF⊥AD延长线于点F，连接OC交AD于E，当E为AD的中点，O、E、C三点共线时，OC=OE+EC最大，利用菱形的性质可求出OE，DE的长；利用已知条件可证得∠DAB=60°，∠FDC=60°，∠FCD=30°，由此可求出FD，CF，EF的长；再利用勾股定理求出CE的长；即可求出线段OC长的最大值.
40．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝5，cosC＝ .则AB边的长为 .
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC于H.
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝5，cosC＝ ，
∴ ，
∴CH＝3，
∴AH＝ ，
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AH＝8.
故答案为：8.
【分析】如图，作AH⊥BC于H.解直角三角形求出AH，再根据AB＝2AH即可求出结果.
41．在2012年6月3号国际田联钻石联赛美国尤金站比赛中，百米跨栏飞人刘翔以12.87s的成绩打破世界记录并轻松夺冠．A、B两镜头同时拍下了刘翔冲刺时的画面（如图），从镜头B观测到刘翔的仰角为60°，从镜头A观测到刘翔的仰角为30°，若冲刺时的身高大约为1.88m，请计算A、B两镜头之间的距离为 ．（结果保留两位小数， ≈1.414， ≈1.732）
【答案】2.17m
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=90°．
∵∠PBC=60°，
∴tan∠PBC= = ．
∵PC=1.88，
∴BC= ．
设AB=x，则AC=（x+ ），
∴tan∠PAC= ．
∵∠PAC=30°，
∴ = ，
变形为： x+1.88=3×1.88，
解得x≈2.17．
故答案为：2.17m．
【分析】如图作PC⊥AB于C，可知PC=1.88米，由三角函数值可以求出BC的值，设AB=x，则由三角函数值可以求出x的值，而得出答案．
42．如图，已知正方形边长为2，E为边上一点，将以点A为中心按顺时针方向旋转得到，连接，分别交，于点M，N.若，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，则，
四边形ABCD是正方形，且正方形ABCD的边长为2，
，，
，
，
，
设，则，
，，
由旋转得，，
，，
点B、C、F在同一条直线上，
，，
∽，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
，，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AC于点G，利用垂直的定义可证得∠AGE=∠CGE=90°，利用正方形的性质可得到∠ABC=∠D=90°，∠DAC=∠DCA=∠GCE=∠GEC=45°，利用等角对等边可证得CG=EG；设DE=3x，可表示出AN，CE，NB的长；利用旋转的性质可表示出BF，CF的长；再证△FBN∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE，CE的长，利用解直角三角形求出EG的长；然后利用勾股定理求出AE的长，利用锐角三角函数的定义求出sin∠EAM的值.
43．如图是直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，为的中点，与相交于点，则点到直线的距离等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解∶分别过、作，于、，连接，
∵直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵为的中点，是半圆的半径，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【分析】求Q到直径AB的距离，可过点Q向AB作垂线段QN构造，由于的正弦值已知，可过点C作AB的垂线段CM构造和，显然有和，因为直径已知，解可求出长，再借助相似的性质即可。
44．在矩形ABCD中，AB=5，BC=，点P是BC上的动点，连接AP，以AP为边作等边三角形APE，连接DE，则点P在运动的过程中，线段DE的最小值为
【答案】
【解析】【解答】解：以AB为边作等边三角形ABF，连接FE，过点D作DH⊥FE的延长线于点H，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵△APE和△ABF为等边三角形，
∴，，PA=AE，
∴，
∴△BAP≌△FAE，
∴，
∵，
∴∠AGE=90°-30°=60°，
∵AB=AF=5，
∴，
∴点E在射线FH上运动，
∵AD=BC =，
∴DG=AD-AG=，
∵DH⊥FE，∠AGE=∠HGD=60°，
∴，
又∵垂线段最短，
∴点E与点H重合时，DE有最小值，且最小值为
故答案为：.
【分析】以AB为边作等边三角形ABF，连接FE，过点D作DH⊥FE的延长线于点H，利用等边三角形的性质和矩形的性质证明△BAP≌△FAE，从而推出∠FAG=30°，从而推出点E在射线FH上运动，根据垂线段最短和解直角三角形，即可求出DE最小值.
45．如图， 中， ， ， 于点 ， 是线段 上的一个动点，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍弃），
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ （等腰三角形两腰上的高相等）
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，根据tanA = 2，设 ， ，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求出AE、BE的长度，再根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM = BE，然后在Rt△BHD中，根据锐角三角函数定义求出DH =BD，从而得出CD+BD= CD+DH，最后利用CD+DH≥CM即可求值.
46．如图，正方形的边长为10，绕点C顺时针旋转至，旋转角为，连接并延长，交的平分线于点F，连接．当，的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：作于M，作于N，作于P，
在中，
设，则，即，解得：
∴
∵
∴
∴
∵CD=CE，CM⊥DE
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∵CM⊥FM
∴为等腰直角三角形
∴∠AFN=90°-∠CDM=45°
∴为等腰直角三角形
∴
故答案为：．
【分析】先根据求出DP，CP的值，再利用PE=CE-CP，求出PE的值，利用勾股定理，求出DE的长，又因为三角形CDE是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一，求出DM的长，再根据一线三垂直模型证明：，从而得出AN=，最后通过角的加减得出，推出为等腰直角三角形，得到.
47．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.（1）H是FK的中点；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）.
【答案】（1）（3）（4）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
又∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即H是FK的中点；故结论（1）正确；
（2）过点H作MN∥AB交BC于N，交AD于M，
由（1）得，则.
∵，
∴.
∵四边形ABCD是正方形，，
∴.
∴四边形ABNM是矩形.
∴，.
∵，
∴.
即.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
即.
解得.
则.
∵，.
∵，，
∴.
∴.
∴.
∴与不全等，故结论（2）错误；
（3）∵，
∴.
即.
解得.
由（2）得，.
∴；故结论（3）正确；
（4）由（1）得，H是FK的中点，
∴.
由勾股定理得.
∴；故结论（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）.
【分析】先证明△ABE≌△DAF，得∠AFD=∠BEA，从而推出∠AHF=90°，根据垂径定理得FH=KH，据此可判断（1）；过点H作MN∥AB交BC于点N，交AD于点M，由等面积法可求出AH，易得四边形ABNM是矩形，得MN=AB=4，AM=BN，推出MG=NE，然后证出△MAH∽△BEA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出MH，根据正切三角函数的定义可得，从而得出，，故△HGD与△HEC不全等，据此判断（2）；由相似三角形对应边成比例可求出AM，进而根据三角形的面积计算公式分别计算出△AHG与△DHC的面积，从而即可判断（3）；由勾股定理算出FH，进而根据DK=DF-2FH即可算出DK的长，从而即可判断（4）.
48．如图，在四边形ABCD中，，，，，矩形BEFG的顶点E、F、G分别在边BC、CD、AB上，连接GE，则的最小值为 .
【答案】15.68
【解析】【解答】解：作点B关于CD的对称点B'，作B'G⊥AB于G.
则B'C＝BC，B'F＝BF，∠BCF＝∠B'FC，
∵∠B＝90°，B'G⊥AB，∠BFC＝∠B'FC，
∴B'G∥BC，
∴∠BCF＝∠B'FC，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BF＝BC，
∴BC＝B'C＝B'F＝BF＝8，
过点D作GH的平行线，交BA的延长线于点M，过C作CN⊥MD于点N.
则∠M＝∠N＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADM＝∠DCN，
∵AD＝CD，
∴△AMD≌△DNC（AAS），
∴AM＝DN，MD＝CN，
∵CN＝BM＝AB+AM＝6+AM＝6+DN，
∴MN＝MD+DN＝CN+DN＝6+DN+DN，
∵MN＝BC＝8，
∴6+DN+DN＝8，
∴DN＝1，CN＝MB＝6+1＝7，
∴tan∠NCD，
∵EF∥CH，
∴∠EFC＝∠NCD，
∴tan∠EFC，
设EC＝x，EF＝7x，则BE＝8﹣x，
∵BE2+EF2＝BF2，
∴（8﹣x）2+（7x）2＝82，
解得x＝0.32 或 x＝0（舍去），
∴BE＝8﹣0.32＝7.68，
∴GF＝7.68，
∴B'G＝B'F+GF＝8+7.68＝15.68.
即GE+GF的最小值为15.68.
故答案为：15.68.
【分析】作点B关于CD的对称点B'，作B'G⊥AB于G，则B'C＝BC，B'F＝BF，∠BCF＝∠B'FC，推出BC＝B'C＝B'F＝BF＝8，过点D作GH的平行线，交BA的延长线于点M，过C作CN⊥MD于点N.证明△AMD≌△DNC（AAS），可得AM＝DN，MD＝CN，从而求出DN＝1，CN＝MB＝6+1＝7，则tan∠NCD，由EF∥CH可得∠EFC＝∠NCD，即得tan∠EFC，设EC＝x，EF＝7x，则BE＝8﹣x，由勾股定理知BE2+EF2＝BF2，据此建立方程求出x值，求出B'G＝B'F+GF，即为GE+GF的最小值.
49．如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】连接，过A作于M，在上截取，连接，根据菱形的性质，得到，即可得到，进而期初，得到是等边三角形，当F、G、K共线，且时，由菱形的性质得到，即可得到，根据解答即可．
50．如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，点N为BC边上一点，连接AN，交BD于点L，点R为CD边上一点，连接AR、LR，若tan∠BLN=2，∠ARL=45°，AR=10 ，CR=10，则AL= 。
【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，CL，过点A作AG⊥RL于点G，连接CG，AG
∵∠ARG=45°，∠AGR=90°，
∴∠AGR=∠RAG=45°
∴AG=RG，
AG=ARsin∠ARG=ARsin45°=
∴AG=RG=CR=10；
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AOD=∠AGL=90°，AO=CO
∴A、O、G、L四点共圆，
∴∠AGO=∠ALE=∠BLN
取AR，AG的中点F和点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，
∴KF是△ARG的中位线，
∴KF=RG=×10=5，FG=AG=5，FK∥RG，
∵AG⊥RG，
∴∠HFG=90°
∵点O是AC的中点，点K时AR的中点，
∴KO是△ARC的中位线，
∴KO=RC=×10=5=KF，
在Rt△HFG中，tan∠FGH=
解之：FH=10，
∴KH=OK=KF
∴△HFO是直角三角形，∠HOF=90°，
∴∠FOG=90°
tan∠FGO=
在Rt△FOG中，设FO=2x，则OG=x，FG=5
∴4x2+x2=25
解之：OG=x=，则FO=2x=，
∵点F是AG的中点，点O是AC的中点，
∴OF是△ACL的中位线，
∴∴CG=2OF=，OF∥CL
在Rt△CGO中
CO2=GO2+CG2
∴
在Rt△AOL中
tan∠ALD=，
解之：LO=
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，CL，过点A作AG⊥RL于点G，连接CG，AG，利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形，可证得AG=RG=CR=10，利用菱形的性质，可得到AC⊥BD，∠AOD=∠AGL=90°，AO=CO，由此可证得A、O、G、L四点共圆，利用圆周角定理可证得∠AGO=∠ALE=∠BLN；取AR，AG的中点F和点K，连接KF，KO，OG，FO，延长FK，GO，交于点H，易证KF是△ARG的中位线，KO是△ARC的中位线，可证得FK∥RG，同时可以求出KF，FG，KO，KF的长，在Rt△HFG中，利用解直角三角形求出FH的长，再利用三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，可证得△HFO是直角三角形，利用解直角三角形可得到FO与OG的比值，在Rt△FOG中，设FO=2x，则OG=x，FG=5 ，利用勾股定理求出OG，FO的长，再利用三角形中位线定理求出CG的长，在Rt△CGO中，利用解直角三角形求出LO的长，然后在Rt△ALO中，利用勾股定理求出AL的长。
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