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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 专项练习卷
1．如图，在中，，点E在边上，且，过点E作交边于点D，的平分线交线段于点F，求的长．
2．如图，A、B两城市相距80km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
3．如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山两侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长.（ 取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7.）
4．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为 m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
5．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
6．如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”， 它建于 1996 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物， 该记录一直保持到 2017年， 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．
某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后， 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图， 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层， 每层高约 米， 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 ， 塔底 B 处的俯角为 .
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：， ， ．
根据上述测量方案及数据， 请你完成求解过程．
7．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
8．如图①所示为某校篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心到地面的距离，现测得如下数据(如图②)：A为篮筐中心，CD垂直于地面EF，CD=255cm，BC=90cm，AB平行于地面EF，∠ABC=145°.请你利用学过的知识帮他们求出该距离.(结果精确到1cm.参考数据：tan 35°≈0.70)
9．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离.（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
10． 如图，某班数学兴趣小组用无人机在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量得知操控者和教学楼的水平距离为米，则教学楼高度为多少米？结果精确到米，
11．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）
12．如图1是一台置于水平桌面上的笔记本电脑，忽略其厚度，将结构简化成图2，其外部结构由显示屏OA、键盘和触摸板OB两大部分组成，OA＝OB＝30cm．
（1）打开电脑时，若∠AOB＝120°，求点A到桌面的距离；
（2）若D为OA的中点，测得电脑使用者的眼睛所在位置P到D点距离PD＝36cm，且∠PDO＝90°，求O，P两点之间的距离．（参考数据：，结果保留一位小数）
13．计算：（ ）﹣1+tan60°+|﹣ |﹣ ．
14．如图，两座建筑物的水平距离 为 .从 点测得 点的仰角 为53° ，从 点测得 点的俯角 为37° ，求两座建筑物的高度(参考数据：
15．如图，河堤横断面为梯形，上底为 ，堤高为 ，斜坡 的坡比为 ，斜坡 的坡角为 .求：河堤横截面的面积.
16．如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
17．如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）
18．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从 上的一点B取 ， 米， .那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据： ， ， ）
19．用计算器计算：sin12°30′+cos82°17′5″+tan17°48′．（结果保留四个有效数字）
20．某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）
21．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
22．由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
23．如图，四边形ABCD是矩形，点在DC上，点在AB的延长线上，，连接BD，EF.
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若AD=EC=2DE，求的值．
24．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
25．将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B=60°，∠D=45°，AD=AC= ，求DF的长.
26．如图，射线OA放置在由小正方形组成的网络中，现请你分别在图①、图②中添画（工具只能用直尺）射线OB，使tan∠AOB的值分别为1、 ．
27． 五一假期，不少人选择乘坐飞机出游妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机已知点位于点东北方向且米点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．
（1）求两个入口的距离；结果保留根号
（2）妈妈和小明到达航站楼时间为上午：，登机时间为：妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为米分，在商店处逗留分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？参考数据：，
28．如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，．
（1）当时，求竖杆最下端B到地面的距离；
（2）点P从点A滑动至的中点的过程中，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到）
29．某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．
（1）_________；
（2）求点C到的距离；
（3）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
30．如图，小明一家自驾到古镇 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行驶12 千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达古镇 ，小明发现古镇 恰好在 地的正北方向，求 两地的距离.（结果保留根号）
31．如图，教学楼AB与旗杆CD的距离BC=12m，O在AB上，且OB= 1.5m，在某次数学活动课中，甲小组在A测得旗杆顶部D的俯角为30°，同时乙小组从0处测得旗杆顶部D的仰角为38.7°，求教学楼AB的高度（精确到0.1m），（参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7≈0.78，tan38.7°=0.80，=1.73）
32．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.(结果精确到1m)(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
33．为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．
34．如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米 （结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
35．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）
36． 明明在家用新买的台灯做作业时，将台灯垂直放置于桌面，发现台灯可以抽象成如图所示的几何图形，于是使用工具量出了如下数据：到桌面的距离为，，请你求出台灯上的点到桌面的距离结果精确到，参考数据：，，，，，
37． 达坂城风力发电站位于乌鲁木齐市区与达坂城区之间的公路旁，风区风能资源十分丰富，光热条件优异，由上百座巨大的发电风车组成，是中国最大的风能基地，有中国“风谷”之称．如图，某校学生测量其中一座风车的轮载高度（风轮旋转中心到基地平面的垂直距离），先在点C处用测角仪测得其风车顶端A的仰角为，再由点C走米到点E处，测得风车顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米，求该座风车的轮载高度．（参考数据：，．，结果保留整数）
38．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，从点E看向点C，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．.
39．如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732．结果精确到0.1米）
40．图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄AB平行于地面且离地面的高度h约为1.05m，踏板CD与地面DE的夹角∠CDE为10°，支架（线段AC）的长为0.8m，∠ACD为82°.求跑步机踏板CD的长度（精确到0.1m）.
（参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，sin72°＝cos18°≈0.95，tan72°≈3.1）
41．如图，是等边三角形，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转120°至，连接，分别交、于点F、G.
（1）若，，求的面积；
（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当周长最小时，请直接写出的值.
42．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
43．将线段绕点逆时针旋转两次，分别得到线段和线段，连接，，过点作交射线于点．
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若，，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，请探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，若，，，请延长射线与射线交于点，当时，求的长度．
44．如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
45．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与 轴交于点C（0，-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在 轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
47．已知点P的坐标为，点Q在x轴上（不与P重合），以为边，作菱形，使点M落在反比例函数的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为，求出图中点M的坐标；
（2）点时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形，并求点的坐标；
（3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围．
48．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
49．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
（1）当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
50．在日常生活中我们经常会使用到订书机(装订机)，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC=AB=12cm，BD=5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC=37°时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°时，如图2．求这个过程中点E滑动的距离．(结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级下册第1章 解直角三角形 专项练习卷
1．如图，在中，，点E在边上，且，过点E作交边于点D，的平分线交线段于点F，求的长．
【答案】解：∵
在中，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义先求出 ， 证明 ，根据相似三角形的性质可得， 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，则，。
2．如图，A、B两城市相距80km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据： ≈1.732， ≈1.414）
【答案】解：作PM⊥AB，
由题意得：AE∥PM∥BF，
∴∠APM=30°，∠BPM=45°，
∴PM= = AM，BM=PM，
设BM=PM=x，则AM= x，
∴
∴x=120﹣40 ≈50.72＞50，
∴这条高速公路不会穿越保护区
【解析】【分析】过点P作PM⊥AB，M是垂足．AM与BM就都可以根据三角函数用PPM表示出来．根据AB的长，得到一个关于PM的方程，解出PM的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．
3．如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山两侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长.（ 取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7.）
【答案】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，
由题意得：AC=50×8=400（m），
在Rt△ACM中，
∵∠A=30°，
∴CM= AC=200（m），AM=AC cos∠A=400× =200 （m），
在Rt△BCM中，
∵∠CBM=70°，
∴∠BCM=20°，
∵tan20°= ，
∴BM=200tan20°，
∴AB=AM-BM=200 -200tan20°=200( -tan20°)=200(1.7-0.4)=260（m），
因此A，B两地的距离AB长为260m.
【解析】【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M， 利用已知条件求出AC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CM的长，利用解直角三角形求出AM的长；在Rt△BCM中，利用解直角三角形求出MB的长；然后根据AB=AM-BM，代入计算可求解.
4．解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至AC′的位置时，AC′的长为 m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
【答案】（Ⅰ）∵点C是AB的中点，
∴A'C'= AB=23.5m．
（Ⅱ）解：设PQ=x，
在Rt△PMQ中，tan∠PMQ= =1.4，
∴MQ= ，
在Rt△PNQ中，tan∠PNQ= =3.3，
∴NQ= ，
∵MN=MQ﹣NQ=40，即 ﹣ =40，
解得：x≈97
【解析】【分析】（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．
5．某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．
【答案】解：如图所示，作于点，
则由题意，四边形为矩形，
∵在中，，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
由题意，，，，，
∴为等腰直角三角形，，
设，则，
在中，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴的长为米．
【解析】【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论．
6．如图是位于奉贤南桥镇解放东路 866 号的 “奉贤电视发射塔”， 它建于 1996 年，在长达二十几年的时间里它一直是奉贤区最高建筑物， 该记录一直保持到 2017年， 历了25 年风雨的电视塔铎刻了一代奉贤人的记忆．
某数学活动小组在学习了 “解直角三角形的应用” 后， 开展了测量“奉贤电视发射塔的高度”的实践活动．
测量方案：如图， 在电视塔附近的高楼楼顶 C 处测量塔顶 A 处的仰角和塔底 B 处的俯角．
数据收集：这幢高楼共 12 层， 每层高约 米， 在高楼楼项 C 处测得塔顶 A 处的仰角为 ， 塔底 B 处的俯角为 .
问题解决：求奉贤电视发射塔 的高度（结果精确到 1 米）．
参考数据：， ， ．
根据上述测量方案及数据， 请你完成求解过程．
【答案】解：由题意CD=12×2.8=33.6(米)
作CE⊥AB于E，如图所示
则∠CEA=∠CEB=90°
∵CD⊥BD，AB⊥BD
∴∠CDB=∠DBE=∠CEB=90°
∴四边形CDBE是矩形
∴BE=CD=33.6米
∵∠ECB=22°，∠ACE=58°
在Rt△BCE中，（米）
在Rt△ACE中，(米)
∴AB=AE+BE=134.4+33.6= 168(米)
即电视发射塔的高度为168米.
【解析】【分析】作CE⊥AB于E，根据题意得出四边形CDBE是矩形，BE=CD=33.6米，∠ECB=22°，∠ACE=58°，在Rt△BCE中，根据锐角三角函数得出BD的长，在Rt△ACE中，再根据锐角三角函数得出AE的长，进而可得出AB的值。
7．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，
在Rt△CDB中，tan∠DCB= ，
解得：DB=200，
在Rt△CDA中，tan∠DCA= ，
解得：DA=200 ，
∴AB=DA﹣DB=200 ﹣200≈146米，
轿车速度 ，
答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度
【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD，在Rt△ACD中，由AD=CD tan∠ACD可得出AD的长，再根据AB=AD-BD求出AB的长，故可得出此时的车速，再与限制速度相比较即可。
8．如图①所示为某校篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心到地面的距离，现测得如下数据(如图②)：A为篮筐中心，CD垂直于地面EF，CD=255cm，BC=90cm，AB平行于地面EF，∠ABC=145°.请你利用学过的知识帮他们求出该距离.(结果精确到1cm.参考数据：tan 35°≈0.70)
【答案】解：作AO⊥EF，CN⊥AO，BM⊥CN，如图，
∴ AO=AN+NO，
∵ NO=CD，AN=BM，
∴ AO=BM+CD，
∵ AB∥EF，AO⊥EF，
∴ ∠A=90°，
∵ CN⊥AO，
∴ AB∥CN，
∵ ∠ABC=145°，
∴ ∠BCM=35°，
在Rt△BCM中，BM=BC·sin∠BCM=90sin35°≈90×0.57=51.3，
∴ AO=BM+CD=255+51.3≈306cm.
【解析】【分析】作AO⊥EF，CN⊥AO，BM⊥CN，平行线的判定与性质可得∠CBM=35°，再解直角三角形可求得BM，而AO=AN+CD，即可求得.
9．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离.（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）
【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠ADE＝∠BDE＝45°，
∴AE＝BE＝DE，
设DE＝x海里，则BE＝x海里，
∵BC＝ ，
∴CE＝x+20，
在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，
，
∴ ，
∴x＝ ≈22.73，
∴AB＝2x＝2×22.73≈45.5，
答：A、B之间的距离为45.5海里.
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x海里，在Rt△CDE中，表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=20海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度.
10． 如图，某班数学兴趣小组用无人机在操场上开展活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为又经过人工测量得知操控者和教学楼的水平距离为米，则教学楼高度为多少米？结果精确到米，
【答案】解：过点作于点，作于点，
由题可得：
，，，，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
米．
答：教学楼高度为米．
【解析】【分析】过点作于点，作于点，先利用解直角三角形的方法求出，再求出BE的长，可得，利用等腰直角三角形的方法可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
11．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据≈1.4，≈1.7）
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：
在Rt△ACD中，∵∠C=60°，
∴tanC= =，
∴CD=AD，
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，
∴tan∠B= =1，
∴AD=BD，
∵BC=BD+CD=30米，
∴AD+AD=30米，
解得：AD=15（3﹣）≈19．
答：河的宽度约为19米．
【解析】【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD= AD，AD=BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．
12．如图1是一台置于水平桌面上的笔记本电脑，忽略其厚度，将结构简化成图2，其外部结构由显示屏OA、键盘和触摸板OB两大部分组成，OA＝OB＝30cm．
（1）打开电脑时，若∠AOB＝120°，求点A到桌面的距离；
（2）若D为OA的中点，测得电脑使用者的眼睛所在位置P到D点距离PD＝36cm，且∠PDO＝90°，求O，P两点之间的距离．（参考数据：，结果保留一位小数）
【答案】（1）解：过点A作AE⊥直线OB，垂足为E，
∵OA＝30cm，∠AOB＝120°，
∴∠AOE＝60°，AE＝OA sin60°＝3026.0（cm），
即点A到桌面的距离约为26.0cm．
（2）解：连接OP．
∵OA＝30cm，D为OA的中点，
∴OD＝15cm，
∵PD＝36cm，∠PDO＝90°，
∴在Rt△OPD中，OP39（cm）．
答：O，P两点之间的距离为39cm．
【解析】【分析】（1） 过点A作AE⊥直线OB，垂足为E， 在Rt△AOE中，根据特殊角的三角函数即可求出结果；
(2 )在Rt△POD中，利用勾股定理即可求出结果.
13．计算：（ ）﹣1+tan60°+|﹣ |﹣ ．
【答案】解：原式=2+ + ﹣
=2+2 ﹣ ．
【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及结合特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简求出答案．
14．如图，两座建筑物的水平距离 为 .从 点测得 点的仰角 为53° ，从 点测得 点的俯角 为37° ，求两座建筑物的高度(参考数据：
【答案】解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，tan53°= = ，∴AB=80（m）．在Rt△ADE中，tan37°= = ，∴AE=45（m），∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于于E，根据矩形的性质得出则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出，从而得出AB的长，在Rt△ADE中，根据正切函数的定义得出，从而得出AE的长，根据BE=CD=AB﹣AE得出答案。
15．如图，河堤横断面为梯形，上底为 ，堤高为 ，斜坡 的坡比为 ，斜坡 的坡角为 .求：河堤横截面的面积.
【答案】解：如图： 米， 米， .
，
米.
， ，
四边形 为矩形.
米.
，
米.
米.
河堤横截面的面积=
【解析】【分析】在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE、EF、BF的长，从而求出AB的长，利用梯形的面积公式即可求出结论.
16．如图：007渔船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若007渔船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在东北方向上．问：007渔船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？
【答案】如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，设CD长为x，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=
∴AD=
在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，
∴AB=AD-BD=
设渔政船从B航行到D需要t小时，则
∴
∴解得：t=
答：渔政007船再按原航向航行 小时后，离渔船C的距离最近．
【解析】【分析】
作CD⊥AB，则007渔船到达D处时离渔船C最近。设007渔船到达点D的时间为t小时，CD长为x，则BD=x。先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数表示出AD，继而表示出AB；然后根据速度不变列出方程，解方程求出t值即可。
17．如图，在坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆AB，为固定电线杆在地面C处和坡面D处各装一根等长的引拉线BC和BD，过点D作地面MN的垂线DH，H为垂足，已知点C、A、H在一直线上，若测得AC=7米，AD=12米，坡角为30°，试求电线杆AB的高度；（精确到0.1米）
【答案】解：作BE⊥AD于点E，设AB=x米，在直角△ABE中，∠BAE=90°-∠DAH=90°-30°=60°，则AE=AB cos∠BAE=xcos60°=x（米），BE=AB sin∠BAE=xsin60°=x（米）．则DE=AD-AE=12-x，在直角△BED中，BD2=BE2+DE2=（x）2+（12-x）2=144+x2-12x，在直角△ABC中，BC2=AC2+AB2=72+x2=49+x2．∵BC=BD，∴144+x2-12x=49+x2．解得x=≈7.9答：电线杆AB的高度约是7.9米．
【解析】【分析】作BE⊥AD于点E，设AB=x米，在直角△ABE中，根据三角函数，利用x表示出AE和BE的长，则在直角△BED中，利用勾股定理表示出BD的长，在直角△ABC中利用勾股定理表示出BC，根据BC=BD即可列方程求解．
18．襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从 上的一点B取 ， 米， .那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据： ， ， ）
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 （米），
答：点E与点D间的距离是358.4米.
【解析】【分析】由 ，根据三角形外角的性质可得 ，故 为直角三角形，根据 的余弦值即可求解.
19．用计算器计算：sin12°30′+cos82°17′5″+tan17°48′．（结果保留四个有效数字）
【答案】解：sin12°30′+cos82°17′5″+tan17°48′
=0.21463+0.13425+0.32106
=0.66994
≈0.6700．
【解析】【分析】根据计算器的使用方法，可得答案．
20．某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）
【答案】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA＝45°，AB＝3m，
∴DA＝3m，
在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，
∴tan60°＝ ，
∴CA＝ m，
∴BC＝CA﹣BA＝ ，
答：路况显示牌BC的长度为
【解析】【分析】先求出 tan60°＝ ， 再计算求解即可。
21．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两个小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行，有无触礁的危险？
【答案】解：如图，作PD⊥AB交AB延长线于D点，
∵∠PBC=30°，
∴∠PAB=15°，
∴∠APB=∠PBC-∠PAB=15°，
∴PB=AB=20×2=40 （海里），
在Rt△BPD中，
∴PD= PB=20（海里），
∵20＞18，
∴不会触礁．
【解析】【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点，依据直角三角形的性质求得PD的长，即可得出结论．
22．由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离 的长.
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：由题知： ， ， .
在 中， ， ， （海里）.
在 中， ， ， （海里）.
答：还需要航行的距离 的长为20.4海里.
【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用解直角三角形在Rt△ACD和Rt△BCD中，先求出CD的长，再求出BD的长，即可解答。
23．如图，四边形ABCD是矩形，点在DC上，点在AB的延长线上，，连接BD，EF.
（1）求证：四边形BFED是平行四边形；
（2）若AD=EC=2DE，求的值．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，，即．
又
四边形BFED是平行四边形；
（2）解：四边形BFED是平行四边形，
在中，，
，
．
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出DC∥AB，即DE∥BF，结合，即可得出 四边形BFED是平行四边形；
（2）首先得出∠ABD=∠F，然后根据勾股定理求得BD=，AD=2DE，在中， 根据正弦的定义，即可得出
sinF=。
24．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【答案】解：如图，根据题意OA=OA′=80cm，∠AOA′=35°，作A′B⊥AO于B，∴OB=OA′ cos35°=80×0.82≈65.6，∴AB=OA﹣OB=80﹣65.6=14cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．
【解析】【分析】作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=OA﹣OB求得即可．
25．将一副直角三角尺如图放置，A，E，C在一条直线上，边AB与DE交于点F，已知∠B=60°，∠D=45°，AD=AC= ，求DF的长.
【答案】解：∵AD=，AE=DE，∠AED=90°，
∴AE=DE== ，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=×=，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴AE：AC=EF：BC，
∴：=EF：，
∴EF=1，
∴DF=DE-EF=-1.
【解析】【分析】因为△ACD和△ABC都是特殊三角形，先根据已知线段求出各边的长，再由同垂直一条直线的两条直线平行可得DE∥BC，于是由平行线分线段成比例的性质求得EF的长，则DF的长可求.
26．如图，射线OA放置在由小正方形组成的网络中，现请你分别在图①、图②中添画（工具只能用直尺）射线OB，使tan∠AOB的值分别为1、 ．
【答案】解：如图①所示：
∴射线OB是所求作的图形；
如图②所示：
∴射线OB是所求作的图形
【解析】【分析】根据tan∠AOB的值分别为1、 构造直角三角形进而得出答案．
27． 五一假期，不少人选择乘坐飞机出游妈妈和小明从航站楼入口点处前往登机口点处登机已知点位于点东北方向且米点的正东方向有另一入口点，商店位于点的正北方向，同时位于点的南偏东，米．
（1）求两个入口的距离；结果保留根号
（2）妈妈和小明到达航站楼时间为上午：，登机时间为：妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去商店处逛逛，他们沿路线行走，步行速度为米分，在商店处逗留分钟，请计算说明妈妈和小明是否能准时登机？参考数据：，
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意可知，，，米，米，，
在中，米，，
米，米，
在中，米，，
米，
米，
（2）解：米，
从的总路程为：
米，
所用总时间为：分，
，
妈妈和小明能准时登机．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出AN和DN的值，再求出 米，最后计算求解即可；
（2）先求出CD的值，再求出分， 最后判断求解即可。
28．如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干上一可转动点，点P是中间竖杆上的一动点，当点P沿滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，与重合于竖干，经测量，．
（1）当时，求竖杆最下端B到地面的距离；
（2）点P从点A滑动至的中点的过程中，变化的度数是多少？（参考数据：≈1.73，结果精确到）
【答案】（1）解：如图①，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
。
（2）解：如图②，当点位于点时，三点共线，即．
由题意，得．
当点滑动至的中点时，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即变化了。
【解析】【分析】（1）如图①，过点作于点，根据和，可得，进而可得，最后再根据余弦函数的定义：，，代入数据，求出，，，进而可得，代入数据即可求解。
（2）如图②，当点位于点时，三点共线，根据图形所示，即可求出的值；当点滑动至的中点时，，代入数据，求出PB的值，易得为等边三角形，进而可得，即可求解。
（1）解：如图①，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图②，当点位于点时，三点共线，即．
由题意，得．
当点滑动至的中点时，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
即变化了．
29．某班的同学想测量教学楼的高度，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡比，从C点向前进30米后，又在D处测得教学楼顶端A的仰角为．
（1）_________；
（2）求点C到的距离；
（3）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，．
故答案为：．
【分析】（1）利用仰角的定义直接求解即可；（2）延长交延长线于点，设米，则米，利用BC的长求出k的值，再求出CF的长即可；
（3）先利用线段的和差求出DF的长，再利用解直角三角形的方法求出AF的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
（1）解：由题意得，．
故答案为：．
（2）解：如图，延长交延长线于点，则，
在中，，
，
设米，则米，
（米），
又米，
，
解得：，
（米），
点C到的距离为米．
（3）解：由（2）得，米，米，
米，
在中，，
（米），
（米）．
教学楼的高度约为米．
30．如图，小明一家自驾到古镇 游玩，到达 地后，导航显示车辆应沿北偏西 方向行驶12 千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达古镇 ，小明发现古镇 恰好在 地的正北方向，求 两地的距离.（结果保留根号）
【答案】解：过点B作BH⊥AC于点H
∴∠BHC=∠AHB=90°
根据题意得：∠CBH=45°，∠BAH=60°，AB=12
∴BH=ABsin60°=
∴
故答案为：
【解析】【分析】过点B作BH⊥AC于点H，再利用解直角三角形求出BH，再求出BC即可。
31．如图，教学楼AB与旗杆CD的距离BC=12m，O在AB上，且OB= 1.5m，在某次数学活动课中，甲小组在A测得旗杆顶部D的俯角为30°，同时乙小组从0处测得旗杆顶部D的仰角为38.7°，求教学楼AB的高度（精确到0.1m），（参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7≈0.78，tan38.7°=0.80，=1.73）
【答案】解：如图， 过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵四边形BCDE为矩形，∴DE=BC=12m，
在Rt△AED中，tan30°=，AE=DE tan30°=12×=4=6.92（m）
在Rt△OED中，tan38.7°=，OE=DE tan38.7°=12×0.8=9.6（m）
∴AB= AE+EO+OB=6.92+9.6+1.5≈18.0（m）
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出AE=DE tan30°=12×=4=6.92，OE=DE tan38.7°=12×0.8=9.6，再利用线段的和差可得AB= AE+EO+OB=6.92+9.6+1.5≈18.0。
32．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.(结果精确到1m)(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
【答案】解：设CE的长为xm，
在Rt△CBE中，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CE＝BE＝xm，
∴AE＝AB+BE＝40+x(m)
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴tan30°＝
即 ，
解得，x＝20 +20≈20×1.732+20＝54.64(m)
∴CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56(m)
答：该建筑物的高度约为56m.
【解析】【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40＋x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD.
33．为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．
【答案】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：
则∠PMA＝90°，
设PM的长为x米，
在Rt PAM中，∠PAM＝45°，
∴AM＝PM＝x米，
∴BM＝x﹣100（米），
在Rt PBM中，
∵tan∠PBM ，
∴tan60° ，
解得：x＝50（3 ），
在Rt QAM中，
∵tan∠QAM ，
∴QM＝AM tan∠QAM＝50（3 ）×tan30°＝50（ ）（米），
∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）
答：信号塔PQ的高度约为100米．
【解析】【分析】延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，设PM的长为x米，利用锐角三角函数即可求出x，再利用锐角三角函数即可求出QM，从而求出结论．
34．如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米 （结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米，
在Rt△BDE中，tan∠EDB= ，
即 ，解得，x≈6.06，
∵sin∠EDB= ，
即0.8= ，解得，ED≈10．
即钢线ED的长度约为10米.
【解析】【分析】根据题意可得BC=BD，可 设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米，在Rt△BDE中 ， tan∠EDB = ，解出x的值，即得BE的长，利用 sin∠EDB，从而求出ED的长.
35．如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）
【答案】解：作于．
∵，米，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【解析】【分析】先求出 四边形是矩形， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
36． 明明在家用新买的台灯做作业时，将台灯垂直放置于桌面，发现台灯可以抽象成如图所示的几何图形，于是使用工具量出了如下数据：到桌面的距离为，，请你求出台灯上的点到桌面的距离结果精确到，参考数据：，，，，，
【答案】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
台灯上的点到桌面的距离，
台灯上的点到桌面的距离约为．
【解析】【分析】过点A作AG⊥FB，交FB的延长线于点G，然后在Rt△ABG中，求出BG的长，根据，即可解答．
37． 达坂城风力发电站位于乌鲁木齐市区与达坂城区之间的公路旁，风区风能资源十分丰富，光热条件优异，由上百座巨大的发电风车组成，是中国最大的风能基地，有中国“风谷”之称．如图，某校学生测量其中一座风车的轮载高度（风轮旋转中心到基地平面的垂直距离），先在点C处用测角仪测得其风车顶端A的仰角为，再由点C走米到点E处，测得风车顶端A的仰角为．已知B、E、C三点在一条直线上，测角仪的高度米，求该座风车的轮载高度．（参考数据：，．，结果保留整数）
【答案】解：过点F作于点G，则四边形、、均为矩形，
∴米，米，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵（米），
∴，即，
∴，
解得，（米），
∴米，
答：该座风车的轮载高度约为米．
【解析】【分析】过点F作于点G，则四边形、、均为矩形，根据矩形的性质可得米，米，在中，根据锐角三角函数的定义可得，在中，，即，可得，再根据米即可求出答案.
38．如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD＝600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED＝500米，从点E看向点C，测得仰角为53°，求隧道BC长．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．.
【答案】解：∵AD⊥BC，DE∥AC，
∴∠DAB=∠ADE=90°，
∵∠EDB=45°，
∴∠ADB=90°-45°=45°，
∵△BAD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=600米，
过点C作CM⊥DE于点M，如图所示：
∵DE∥AC，AD⊥BC，
∴四边形ADMC是矩形，
∴CM=AD=600米，AC=DM，
在Rt△CEM中，，
∴EM≈450(米)，
∴DM=DE+EM≈500+450=950(米)，
∴AC=DM=950米，
∴BC=AC-AB=950-600=350(米)，
∴隧道BC长为350米
【解析】【分析】易证△BAD是等腰直角三角形，得出AB=AD=600米，过点C作CM⊥DE于点M，易证四边形ADMC是矩形，得出EM=AD=600米，由锐角三角函数的定义求出EM =450米，即可得出结果.
39．如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732．结果精确到0.1米）
【答案】解：过点B作BE⊥CD与点E，
由题意可知∠DBE=45°，∠DAC=60°，CE=AB=16，设AC=x，则CD= x，BE=AC=x．∵DE=CD﹣CE= x﹣16．
∵∠BED=90°，∠DBE=45°，
∴BE=DE，
∴x= x﹣16，
∴x=8 +8，
CD= x=24+8 ≈37.9（米）．
答：商务楼CD的高度为37.9米
【解析】【分析】过点B作BE⊥CD与点E，设AC=x，在直角三角形ACD中，解直角三角形可将CD用含X的代数式表示，则DE=CD-AB，在直角三角形BED中，解直角三角形可求得x的值，则CD 的值即可求解。
40．图①②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机的手柄AB平行于地面且离地面的高度h约为1.05m，踏板CD与地面DE的夹角∠CDE为10°，支架（线段AC）的长为0.8m，∠ACD为82°.求跑步机踏板CD的长度（精确到0.1m）.
（参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，sin72°＝cos18°≈0.95，tan72°≈3.1）
【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G.
∵AB∥DE，∴FG⊥DE，∴∠CGE=90°
又∵∠CDE=10°，∴∠GCD=90°-10°=80°
又∵∠ACD=82°，∴∠ACF=180°-∠ACD-∠GCD
＝180°-80°﹣82°＝18°，
∴在Rt△ACF中，CF＝AC cos∠ACF＝0.8 cos18°≈0.76（m），
则CG＝h﹣CF＝1.05﹣0.76＝0.29（m）.
∴在Rt△CDG中，
CD＝ ＝ ≈ ≈1.7（m），
∴跑步机踏板CD的长度约为1.7m.
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G，易得∠GCD=80°，∠ACF=18°，根据∠ACF的余弦函数可得CF，根据CG＝h-CF求出CG，然后根据∠CDE的正弦函数就可求出CD.
41．如图，是等边三角形，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转120°至，连接，分别交、于点F、G.
（1）若，，求的面积；
（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当周长最小时，请直接写出的值.
【答案】（1）解：如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作.
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
根据旋转的性质可得，.
，
∵
∴点在同一直线上，
，
；
（2）解：.证明如下：
如图，将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，
∵，.
∴.
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为的中位线，
，
；
∵，
∴；
（3）解：
【解析】【解答】解：（3）如图，将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P.
则，
，
∴要使周长取得最小值，即取得最小值，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
如图， 连接交于点O， 连接，连接，
∵为等边三角形，，
∴，
∴四边形 为菱形，
∵，且
∴四边形为矩形，
设的边长a，
，
设， 则
由(2)知，则，
∵，P为中点，
∴为的中位线，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
设G到的距离为，G到的距离为，
，
，
，
，
.
【分析】（1）将绕点C顺时针旋转，得到， 则点在上，过点作，进而结合等边三角形的判定与性质得到，再根据旋转的性质得到，，从而解直角三角形（边角关系）即可求解；
（2）将绕点C顺时针旋转，得到， 连接，先根据平行线的判定证明，进而根据菱形的判定与性质得到，再根据三角形中位线定理得到，再结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）将绕点C顺时针旋转得到， 连接，作点C关于的对称点 连接交于点P，进而结合题意得到要使周长取得最小值，即取得最小值，从而得到当三点共线时，取得最小值，连接交于点O， 连接，连接，再结合矩形的判定证明四边形为矩形，设的边长a，设G到的距离为，G到的距离为，根据相似三角形的判定与性质结合题意即可得到，进而根据，即可得到两个图形的面积，从而相比即可求解。
42．如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】解：设AB=x，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80
∴DB=x，AC=2x，BC= =x，
∵CD=BC﹣BD=80，
x﹣x=80，
∴x=40（+1）≈109.2米．
答：该大厦的高度是109.2米．
【解析】【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC﹣BD=80，进而可求出答案．
43．将线段绕点逆时针旋转两次，分别得到线段和线段，连接，，过点作交射线于点．
（1）如图，若，，求的度数；
（2）如图，若，，将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，请探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图，若，，，请延长射线与射线交于点，当时，求的长度．
【答案】（1）解法1：由旋转可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
解法2：
由旋转可知
∴B、C、D三点在以A为圆心，为半径的圆上，如图1，
∵，
∴弧所对的圆周角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解法2-1：如图，连接、，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴平行四边形为正方形，
∴，，
设，则，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
解法2：如图2-2，先证，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴平行四边形为正方形，
∴且，
∴，D、H、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）参考（1）（2），同理可证得，
∵，
∴，
当时，如图，，作于G，
∵，，
∴，，
∴，
∵
∴，，
∴
当时，如图，，作于G，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出，再求出，最后计算求解即可；
（2）利用矩形的判定方法求出四边形是矩形，再证明平行四边形为正方形，最后根据相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出，再分类讨论，利用勾股定理，锐角三角函数等计算求解即可。
44．如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或6
（3）
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用已知可求出∠B的度数，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，利用三角形的中位线定理可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DRA∽△ORT，利用相似三角形的性质及已知条件，分情况讨论：当点R是靠近点D的三等分点时，可推出BC=4AD；在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；当点R是靠近点O的三等分点时，可得到OT与AD的数量关系，同时可证得BC=AD，在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；综上所述，可得到符合题意的AD的长.
（3）过点A作，使，连接．利用解直角三角形求出AF的长，同时可表示出AC的长；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△CAF∽△DAO，利用相似三角形的性质可得到OD与CF的数量关系，即可得到OC的长；根据点和点在直线的同侧，可知AF＜CF，即可求出CF的取值范围，由此可得到OD的取值范围，
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，
∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
45．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【答案】（1）解：作PD∥QB，如图，
由题意得：∠PBQ=∠DPB=60°，
则在Rt△PQB中，，
即米；
（2）解：作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，
∴HQ=AM=a，AH=MQ，
∴PH=9－a，
∵，
∴，
∴AH=QM=，
由题意得：∠DPA=∠PAH=30°，
在Rt△PAH中，∵，
∴，解得：，
∴AM=2，BM=，
∴米．
∴电子眼区间测速路段AB的长为米．
【解析】【分析】（1）作PD∥QB，先根据平行线的性质得到∠PBQ=∠DPB=60°，再结合题意解直角三角形即可求解；
（2）作于点H，于点M，如图，则四边形AMQH是矩形，设，进而根据矩形的性质得到HQ=AM=a，AH=MQ，从而得到PH=9－a，再结合题意解直角三角形即可求解。
46．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与 轴交于点C（0，-3），顶点为D。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标。
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（4）M是抛物线上一点，点N在 轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵抛物线过点B（3，0）C（0，-3）
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y= -2x-3；
又∵ y=-2x-3= -4；
∴顶点D的坐标为：D（1，-4）。
（2）解：作AH⊥BC于点H
∵ -2x-3=0
解得： =-1， =3
∴A(-1，0)
又∵OB=OC，∠B0C=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB==2
（3）解：作DG⊥OB于点G
∵BG=2，DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，
∴△PBD为钝角三角形与△CAB不相似
∴点P在点B的左侧
∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP= 或BP=6
∴P（- ，0）或P（-3，0）
（4）解：存在；N的坐标为：(2+，0)； (2-，0) ； (-3，0)
【解析】【分析】（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3，再过点A做AH⊥BC，垂足为H，利用 tan∠ACB=，求出即可；（3）根据平行四边形对边平行且相等的性质得出M及N点坐标；检验即可得出答案。
47．已知点P的坐标为，点Q在x轴上（不与P重合），以为边，作菱形，使点M落在反比例函数的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为，求出图中点M的坐标；
（2）点时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形，并求点的坐标；
（3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围．
【答案】（1）解：如图，过点M作于T，设
，
是等边三角形，
，
，即，
解得：
（2）解：如图，过点作轴，交y轴点R，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由，解得或，
（3）如图，在x轴上分别取点，作，且轴，轴，
则，
，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
直线，直线，
如图，当过点P与x轴的夹角为的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足
条件的菱形只有3个，
设直线解析式为
，
，整理得：，
，
或
当时，，令，，
当时，，令，，
当或时，能做出菱形4个
【解析】【分析】（1）过点M作于T，设，表示PT和PM，然后根据勾股定理求出a的值解题；
（2）过点作轴，交y轴点R，此案求出点P、R的坐标，然后根据待定系数法求求出直线的解析式，联立两直线解析式求交点坐标即可解题；
（3）把问题转化为过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数图象的交点个数问题解答即可．
（1）解：如图，过点M作于T，设
，
是等边三角形，
，
，即，
解得：
；
（2）解：如图，过点作轴，交y轴点R，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
由，解得或，
；
（3）如图，在x轴上分别取点，作，且轴，轴，
则，
，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
直线，直线，
如图，当过点P与x轴的夹角为的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足
条件的菱形只有3个，
设直线解析式为
，
，整理得：，
，
或
当时，，令，，
当时，，令，，
当或时，能做出菱形4个
48．超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC=200米，B在A的北偏东75°方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：这辆汽车超速了，理由：过点D作DF⊥CB于点F，过点D作DE⊥AC于点E， 由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，设BF=x，则DF=CF= x，∵BC=200m，∴ x+x=200，解得：x=100（ ﹣1），故BF=100（ ﹣1）m，则BD=200（ ﹣1）m，DC= DF= × ×100（ ﹣1）=（300 ﹣100 ）m，故DE=（150 ﹣50 ）m，则AD= （150 ﹣50 ）=（300﹣100 ）m，故AB=AD+BD=300﹣100 +200（ ﹣1）=100（ +1）≈273（m），∴ ≈39（m/s），∵每小时120千米= ≈33.3（m/s），∵39＞33.3，∴这辆车已经超速．
【解析】【分析】由题意可得：∠ACD=30°，∠DCB=45°，∠CDB=75°，则∠DAE=45°，∠CDF=45°，∠FDB=30°，设BF=x，则DF=CF= x，BC=200m，求出x=100（ ﹣1），故BF=100（ ﹣1）m，则BD=200（ ﹣1）m，求出DC=（300 ﹣100 ）m，求出DE的值，从而求出AD的值，求出AB=AD+BD的值， 273 7 ≈39（m/s），39＞33.3，故这辆车已经超速．
49．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
（1）当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，如图所示：
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：作，设，如图所示，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，，
，
即，
整理得：，
解得：，舍去，
．
【解析】【分析】（1）连接，，由E为中点，可得，由菱形的性质可得EF∥CD，根据平行四边形的判定即证结论；
（2）作，设，证明∽，利用相似三角形的对应边成比例可得FG=2m，在中，，，可得，，在中，，，，利用勾股定理建立关于m方程并解之即可.
50．在日常生活中我们经常会使用到订书机(装订机)，如图，MN是订书机的底座，AB是订书机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知BC=AB=12cm，BD=5cm．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC=37°时，如图1，点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度．
（2）当压柄BC从(1)中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC=127°时，如图2．求这个过程中点E滑动的距离．(结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
【答案】（1）解：如图1，作DH⊥BE于H，如图所示：
在Rt△BDH中，∠DHB=90°，BD=5，∠ABC=37°，
∴=sin37°，=cos37°，
∴DH=5sin37°≈5×0.6=3(cm)，BH=5cos37°≈5×0.8=4(cm)．
∵AB=BC=12cm，AE=2cm，
∴EH=AB-AE-BH=12-2-4=6(cm)，
∴DE=(cm)．．
答：连接杆DE的长度为cm
（2）解：如图2，作DF⊥AB的延长线于点F，如图所示：
∵∠ABC=127°，
∴∠DBF=53°，∠BDF=37°，
在Rt△DBF中，=sin37°≈0.6，
∴BF≈3cm，
∴DF≈4cm．
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，
∴(EB+3)2+16=45，
∴EB=(-3)cm，
∴点E滑动的距离为12-(-3)-2=(13-)cm．
答：这个过程中点E滑动的距离为(13-)cm
【解析】【分析】（1）作DH⊥BE于H，先利用解直角三角形的方法求出DH=5sin37°≈5×0.6=3(cm)，BH=5cos37°≈5×0.8=4(cm)，再利用线段的和差求出EH的长，最后利用勾股定理求出DE的长即可；
（2）作DF⊥AB的延长线于点F，先利用解直角三角形的方法求出BF和DF的长，再利用勾股定理可得(EB+3)2+16=45，求出EB的长，最后利用线段的和差求出点E滑动的距离即可.
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