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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 专项练习卷
1．如图，在△ABC 中， ∠CAB = 20°， ∠ABC = 30°， 将△ABC 绕点A 逆时针旋转50°，得到△AB'C'，连结BB'，则 .
2．已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
3．将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转角最小是 .
4．如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转90 到 的位置，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，于 交于点 ，若 ， ，则 的长为 .
5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 （结果保留π）．
6．如图，菱形OABC的边长为2，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧 的长度为 .
7．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 .
8．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AB⊥CD 于点 E.若∠ODE=36°，则∠COD= ，BC 的度数为 ，AD 的度数为
9．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD= 度．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，则∠C= °
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长 ．
12．如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝ .
13．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为 ．
14．如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
15．中，，，以为边在外作正方形，、交于点O，则线段的最大值为 ．
16．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
17．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于90°的角度）
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE= °
19．如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.其中AD=4，AE=5，则BF= .
20．如图，正三角形ABC内接于⊙O，其边长为2 ，则⊙O面积为 ．
21．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，其两边分别与、相交于两点，则以下结论：
①恒成立；②的周长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）．
22．如图所示，已知⊙ 的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙ 上到弦 所在直线的距离为2的点有 个.
23．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
24．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 2 （填“＞，＜或＝”）
25．如图，点A，B，C是⊙的上点，，，若⊙的半径为5，则的长是 ．
26．如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，其中太阳光线是竖直插在球面上的木杆，的延长线都经过圆心O.已知B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则的度数约为 .
27．已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离为 .
28．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=
29．如图， 是 的一条弦，点 是 上的一动点，且 .另一条弦 经过 、 中点 ， .若 的半径为4，则 的最大值为 .
30．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
31．已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是 ．
32．如图，△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，E是BC延长线上一点，AD=AC．为使△ADB≌△ACE，可补充的一个条件是 (图中不另添加字母)
33．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 ．
34．如图，在扇形 中， 平分 交狐 于点D.点E为半径 上一动点若 ，则阴影部分周长的最小值为 .
35．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
36．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△ADE处，使得点C恰好在线段DE上，若∠ACB=75°，则旋转角为 度。
37．一个扇形的半径为5，圆心角是，该扇形的弧长是 ．
38．如图，是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ．
39．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ．
40．在每个图形下面的横线上填上从甲到乙的变换关系．
； ．
41．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
42．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
43．[知识背景]：三角形是数学中常见的基本图形，它的三个角之和为180°．等腰三角形是一种特殊的三角形，如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形，相等的两边所对的角也相等．
如图1，在三角形ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C．同样，如果∠B=∠C，则AB=AC，即这个三角形也是等腰三角形．
[知识应用]：如图2，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜60°)度(即∠ECB=α度)，得到对应的三角形DEC，CE交AB于点H，连接BE，若三角形BEH为等腰三角形，则α= °．
44．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=4，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积是 ．
45．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
46．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4 ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .
47．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm.
48．如图、在正六边形 中，连接线 ， ， ， ， ， 与 交于点M， 与 交于点为N， 与 交于点O，分别延长 ， 于点G，设 .有以下结论：① ；② ；③ 的重心、内心及外心均是点M；④四边形 绕点O逆时针旋转 与四边形 重合.则所有正确结论的序号是 .
49．如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ．
50．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，连接对角线AC，BD，AE⊥BD于点E，若AB=AC=6，AD=3，则BD·CD的值为 .
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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 专项练习卷
1．如图，在△ABC 中， ∠CAB = 20°， ∠ABC = 30°， 将△ABC 绕点A 逆时针旋转50°，得到△AB'C'，连结BB'，则 .
【答案】95°
【解析】【解答】解：∵ 将△ABC 绕点A 逆时针旋转 50°，得到△AB'C'，
∴∠BAB'=50°，AB=AB'，∠AB'C'=∠ABC=30°，
∴ ∠AB'B=∠ABB'= ，
∠AB'B+∠AB'C'=65°+30°=95°.
故答案为：95° .
【分析】利用图形旋转的性质及角度的和差计算即可解决.
2．已知一个扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，则这个扇形的面积是 cm2.
【答案】2π
【解析】【解答】∵扇形的半径长是4cm，圆心角为45°，
∴扇形的面积为： .
故答案为：2π.
【分析】根据扇形面积公式，代入数值进行计算即可.
3．将如图所示的图形绕其中心旋转后仍与原图形完全重合，则旋转角最小是 .
【答案】120°
【解析】【解答】解：如图，将图形绕中心旋转后与原图形完全重合，
∴旋转角最小是120°，
故答案为：120°．
【分析】观察图形可知，该图形是由一个圆内接等边三角形以及其他相关的图形组成的，则旋转中心是内接等边三角形的中心，由此可求出最小的旋转角即为内接等边三角形的中心角，据此即可求解.
4．如图，点 在正方形 的边 上，将 绕点 顺时针旋转90 到 的位置，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为点 ，于 交于点 ，若 ， ，则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可知 ≌ ，
∴DE=AF，CE=AF，
∵DG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴DG垂直平分EF，
∴EG=FG，
设BE=x，则CE=5-x=AF，FG=EG=8-x，
∵∠B=90°，
∴BE2+BG2=EG2即
解得
故答案为： .
【分析】如图所示，连接EG，根据旋转的性质得出DE=AF，CE=AF，利用线段垂直平分线的性质得出EG=FG，设BE=x，则CE=5-x=AF，FG=EG=8-x，利用勾股定理可得BE2+BG2=EG2，即得，解出x的值即可.
5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 （结果保留π）．
【答案】2π
【解析】【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，
∵S扇形BAD= =4π，
S半圆BA= π 22=2π，
∴S阴影部分=4π﹣2π=2π．
故答案为2π．
【分析】根据题意有S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，然后根据扇形的面积公式：S= 和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．此题考查了扇形的面积公式：S= ，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S= lR，l为扇形的弧长，R为半径．
6．如图，菱形OABC的边长为2，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧 的长度为 .
【答案】 π
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝BC＝AB＝OA＝2，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴劣弧 的长为 ＝ π.
故答案为 π.
【分析】连接OB，根据菱形性质求出OB＝OC＝BC，求出△BOC是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出即可.
7．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 .
【答案】
【解析】【解答】解：图中阴影部分的面积=π×22﹣
=2π﹣π
=π．
答：图中阴影部分的面积等于π．
故答案为：π．
【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．
8．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AB⊥CD 于点 E.若∠ODE=36°，则∠COD= ，BC 的度数为 ，AD 的度数为
【答案】108°；54°；126°
【解析】【解答】解：∵ OC=OD，AB⊥CD，
∴∠BOC=∠BOD=90°-∠ODE=90°-36°=54°，
∴∠COD=108°，∠AOD=180°-∠BOD=180°-54°=126°，
∴的度数为54°，的度数为126°，
故答案为：108°；54°；126° .
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到∠BOC=∠BOD=54°，然后根据邻补角求出∠AOD的度数，再根据弧、弦、圆心角的关系解答即可.
9．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠C=1：2，则∠BOD= 度．
【答案】120
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°；
又∠A：∠C=1：2，得∠A=60°．
∴∠BOD=2∠A=120°．
故答案为：120．
【分析】根据圆内接四边形的性质，可得∠A+∠C=180°，联立∠A、∠C的比例关系式，可求得∠A的度数，进而可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOD的度数．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，则∠C= °
【答案】118
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣62°=118°．
故答案为118．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质计算．
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则 的长 ．
【答案】π
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则 的长= =π．
故答案为：π．
【分析】要求弧AC的长，因此连接OA、OC，知道圆的半径，只需求出圆心角∠AOC的度数，再根据弧长公式即可求解。
12．如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝ .
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵∠BFC＝20°，
∴∠BAC＝2∠BFC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝70°.
又EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°.
【分析】根据圆周角定理可得∠BAC＝2∠BFC＝40°，利用等腰三角形的性质可求出∠ABC＝∠ACB＝70°，根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，从而可得∠A＝∠ABD＝40°，由∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD即可求出结论.
13．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= （180°﹣∠BOC）=30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB cos∠OBC=4× =2 ，
∴BC=4 ．
故答案为：4 ．
【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．
14．如图， ， 是 的半径，点 在 上，连接 ， ，若 ，则 度．
【答案】60
【解析】【解答】∵∠AOB=120°，
∴∠ACB=120°× =60°，
故答案是：60．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
15．中，，，以为边在外作正方形，、交于点O，则线段的最大值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：以点O为中心，将顺时针旋转得到，
∵根据旋转性质可得，为等腰直角三角形，由勾股定理得，，
，A，C，F三点共线时，取得最大值，
此时，
∵，
解得，即线段的最大值为.
故答案为：．
【分析】以点O为中心，将顺时针旋转得到，根据旋转性质可得，为等腰直角三角形，结合勾股定理可得，，根据三角形三边关系可得，A，C，F三点共线时，取得最大值，进而求出线段的最大值 ．
16．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
【答案】20
【解析】【解答】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，
，
设半径为米，则米，
∵跨度为24米，，
∴米，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴这个弧形石拱桥设计的半径为米，
故答案为：．
【分析】找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，根据垂径定理求出AD长，然后利用勾股定理解题即可．
17．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为 ．（只考虑小于90°的角度）
【答案】70°
【解析】【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．
故答案为：70°；
【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE= °
【答案】69°
【解析】【解答】解：∠BAD=，∠DCE为圆内接四边形ABCD的外角，
故∠DCE=69°
故答案为：69°.
【分析】由圆周角与圆心角的关系得∠BAD的度数，再由圆内角四边形外角的性质即可得∠DCE的度数.
19．如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.其中AD=4，AE=5，则BF= .
【答案】3
【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=4，
∵△ADE旋转到△ABF的位置，即AD旋转到AB，
∴AF=AE=5，∠ABF=∠D=90°，
∴BF= =3，
故答案为：3.
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=4，利用旋转的性质可得AF=AE=5，∠ABF=∠D=90°，利用勾股定理求出BF即可.
20．如图，正三角形ABC内接于⊙O，其边长为2 ，则⊙O面积为 ．
【答案】4π
【解析】【解答】解：连接OC，作OH⊥AC于H，
则CH=HA= AC= ，
∵△ABC是正三角形，
∴∠OCH=30°，
∴OC= =2，
∴⊙O面积为：4π．
故答案为：4π．
【分析】连接OC，作OH⊥AC于H，根据垂径定理得CH=HA= ，根据正三角形中心的意义得出∠OCH=30°，由余弦定义得出OC的长度，进而得出圆的面积。
21．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，其两边分别与、相交于两点，则以下结论：
①恒成立；②的周长不变；③的值不变；④四边形的面积不变，其中正确的为 （请填写正确结论前面的序号）．
【答案】①③④
【解析】【解答】解：如图所示，作于，作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∴，
∴定值，故④正确，
∵，
∴为定值，故③正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
∵的长度是变化的，
∴的长度是变化的，故②错误，
故答案为：①③④．
【分析】作于，作于，根据角之间的关系可得，再根据角平分线的定义可得，由全等三角形判定定理可得，，则，，；①正确，根据三角形面积可得，则定值，④正确；根据边之间的关系可得为定值，③正确；根据旋转性质可得是顶角不变的等腰三角形，则的长度是变化的，②错误，即可求出答案.
22．如图所示，已知⊙ 的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙ 上到弦 所在直线的距离为2的点有 个.
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点．
故答案为：3．
【分析】过O作OD⊥AB于E，交⊙O于D，由条件可知DE=OD-OE=5-3=2，故点D满足要求，同时因OE=3＞2，故在OD上截取OH=1， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，则点G、F也满足要求，据此即可判断。
23．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝ ．
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置 ，
∴AD=AB，∠ADF=∠B=65°，
∴∠ABD=∠ADB=65°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，
∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°
故答案为：90°.
【分析】由旋转的性质得：AD=AB，∠ADF=∠B=65°，根据等边对等角得：∠ABD=∠ADB=65°，再根据三角形内角和定理，求∠BAD，进而求出∠DAF，便可求出∠AFD.
24．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么 2 （填“＞，＜或＝”）
【答案】＞
【解析】【解答】如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；
由垂径定理知：AE＝BE， ；
∴AE＝CD＝ AB；
在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；
∴ ＞ ，
即； ＞2
故答案为：＞.
【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知 ，因此只需比较 和 的大小即可；易知AE＝ AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此可判断出 和 的大小关系，即可得解.
25．如图，点A，B，C是⊙的上点，，，若⊙的半径为5，则的长是 ．
【答案】2π
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
故答案为：2π．
【分析】先求出∠A=36°，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可。
26．如图是古希腊数学家埃拉托斯特尼在夏至日这天测量地球子午线周长的示意图，其中太阳光线是竖直插在球面上的木杆，的延长线都经过圆心O.已知B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则的度数约为 .
【答案】7.2°
【解析】【解答】解：∵B，E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，
∴
解得：
故答案为：7.2°.
【分析】根据平行线的性质可得∠DCE=∠AOE，利用∠DCE的度数除以360°，然后乘以子午线周长可得劣弧BE的长度，据此计算.
27．已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离为 .
【答案】1或7
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OC.作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD.
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE= AB=4cm，CF= CD=3cm.
根据勾股定理，得
OE= =3cm；OF= =4cm，
① 当AB和CD在圆心的同侧时，如图1，则EF=OF﹣OE=1cm；
② 当AB和CD在圆心的两侧时，如图2，则EF=OE+OF=7cm；
则AB与CD间的距离为1cm或7cm.
故答案为1cm或7cm.
【分析】连接OA，OC.作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD；由垂径定理可得AE=AB=4cm，CF=CD；根据题意AB和CD的位置有两种情况：
①当AB和CD在圆心的同侧时，根据EF=OF﹣OE可求解；
②当AB和CD在圆心的两侧时，根据EF=OE+OF可求解。
28．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A=25°，则∠AFC=
【答案】75°
【解析】【解答】解：弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠D＝∠A＝25°，
∵弧DE=弧DE，
∴∠A＝∠EOD，
∴∠EOD＝2∠A=50°，
∴∠AFC＝∠D＋∠EOD＝25°＋50°=75°.
故答案为：75°.
【分析】利用平行线的性质可求出∠D的度数；再利用圆周角定理可求出∠EOD的度数；然后利用三角形外角的性质可求出∠AFC的度数.
29．如图， 是 的一条弦，点 是 上的一动点，且 .另一条弦 经过 、 中点 ， .若 的半径为4，则 的最大值为 .
【答案】6
【解析】【解答】解：连接OA、OB，如图所示：
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝OA＝OB＝4，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝ AB＝2，
要求GE＋FH的最大值，即求GE＋FH＋EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：4×2＝8，
∴GE＋FH的最大值为：8 2＝6.
故答案为：6.
【分析】连接OA、OB，由圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB＝60°，易得△AOB为等边三角形，由圆的半径可得AB＝OA＝OB＝4，由中位线的性质可得EF＝AB＝2，要求GE＋FH的最大值，即求GE＋FH＋EF（弦GH）的最大值，而弦GH是圆的直径时取得最大值，据此解答.
30．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【答案】-
【解析】【解答】令BC与圆O的交点为E，连接OE，
因为三角形ABC是等边三角形，且边长为4，D为AB的中点，
则∠BCD=∠ACB=30°，BD=AB=2，CD=
则OE=CD=，DE=CD=，CE=CD=3
因为OE=OC，所以∠DOE=2∠BCD=60°，
则S阴=S△ABC-2（S△OCE+S扇形ODE）=S△ABC-2（S△CDE+S扇形ODE）
=
==
故答案为.
【分析】阴影部分面积=S△ABC-S空白，将空白的部分用CD分成相等的两块，在把其中一块分成一个三角形和一个扇形，从而分别求得它们的面积，即可得到答案.
31．已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是 ．
【答案】32或8
【解析】【解答】解：如图①，过A作于D，则必过点O，连接，
在中，，
由勾股定理得：，则，
；
如图②，
同（1）可求得，则，
，
综上，的面积是32或8，
故答案为：32或8．
【分析】已知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边的垂线，则所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，需注意本题的分锐角和钝角三角形两种情况．
32．如图，△ABC内接于⊙O，D为劣弧上一点，E是BC延长线上一点，AD=AC．为使△ADB≌△ACE，可补充的一个条件是 (图中不另添加字母)
【答案】∠ABD=∠E，或∠DAB=∠CAE，或BD=CE
【解析】【解答】可添加∠ABD=∠E.理由如下：
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
而∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADB=∠ACE，
又∵AD=AC，∠ABD=∠E，
∴△ADB≌△ACE（AAS）
或可添加∠DAB=∠CAE.理由如下：
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
而∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADB=∠ACE，
又∵AD=AC，∠DAB=∠CAE，
∴△ADB≌△ACE（ASA）
或可添加BD=CE.理由如下：
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
而∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ADB=∠ACE，
又∵AD=AC，BD=CE，
∴△ADB≌△ACE（SAS）
【分析】由圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义可证∠ADB=∠ACE，结合添加的条件和已知条件用角角边或边角边可求解.
33．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】 cm
【解析】【解答】解：由图可知，OA=OB=
，
而AB=4，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠O=90°，
OB=
=2
；
则弧AB的长为=
=
π，
设底面半径为r，
则2πr=
π，
r=
（cm）．
这个圆锥的底面半径为
cm．
故答案为：
cm
【分析】利用弧长公式计算．
34．如图，在扇形 中， 平分 交狐 于点D.点E为半径 上一动点若 ，则阴影部分周长的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：
最短，则 最短，
如图，作扇形 关于 对称的扇形 连接 交 于E，
则
此时 点满足 最短，
平分
而 的长为：
最短为
故答案为：
【分析】如图，先作扇形 关于 对称的扇形 连接 交 于E，再分别求解 的长即可得到答案.
35．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC= 度．
【答案】35
【解析】【解答】解：如图，连接OA．
∵OC⊥AB，
∴ = ，
∴∠AOC=∠COB=70°，
∴∠ADC= AOC=35°，
故答案为35．
【分析】首先利用垂径定理证明， = ，推出∠AOC=∠COB=70°，可得∠ADC= AOC=35°．
36．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△ADE处，使得点C恰好在线段DE上，若∠ACB=75°，则旋转角为 度。
【答案】30
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度至△ADE处，使得点C恰好在线段DE上，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠ACB=∠E=75°，AE=AC
∴∠E=∠ACE=75°，
∴旋转角∠EAC=180°-∠E-∠ACE=180°-75°-75°=30°.
故答案为：30.
【分析】根据旋转前后的两个图形是全等形，可证得△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质及旋转的性质，可求出∠E和∠ACE的度数，然后利用三角形内角和定理可求出旋转角的度数。
37．一个扇形的半径为5，圆心角是，该扇形的弧长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：扇形的弧长为：．
故答案为：．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
38．如图，是以为直径的半圆上一点，连结，分别以为直径作半圆，其中分别是为直径作半圆弧的中点，弧，弧的中点分别是，若，，则的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接和，与和的交点分别记为点和点，
∵弧，弧的中点分别是，
∴垂直平分，垂直平分，
∴点和点分别是和的中点，
∴，，
∵分别是为直径作半圆弧的中点，
∴，，
∴四点共线，四点共线，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】连接和，与和的交点分别记为点和点，根据垂径定理及其推论得到四点共线，四点共线，再利用三角形中位线定理及线段的和差运算即可求解．
39．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为 ．
【答案】 +2 （cm2）
【解析】【解答】解：∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=60°，
在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OB=4cm，BC=2 cm，
则S扇形OAB= = （cm2），S△OBC= OC×BC=2 （cm2），
故S重叠=S扇形OAB+S△OBC= +2 （cm2）
故答案为： +2 （cm2）．
【分析】在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．
40．在每个图形下面的横线上填上从甲到乙的变换关系．
； ．
【答案】旋转；平移
【解析】【解答】解：第一个图形通过旋转得到，第二个图形通过平移得到，
故答案为：旋转，平移．
【分析】根据平移、旋转的定义，认真观察，紧扣图形特点解答．
41．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
【答案】55
【解析】【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
【分析】根据旋转的性质可得∠ACA’=35°，∠A =∠A’，由于∠A'DC=90°利用三角形的内角和可求出∠A’ =55°，从而求出∠A的度数.
42．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点，连接交OB于点，连接、
此时最小，即：
由题意得，
∴
的长=
∴阴影部分周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与的长度和，分别进行计算即可.
43．[知识背景]：三角形是数学中常见的基本图形，它的三个角之和为180°．等腰三角形是一种特殊的三角形，如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形，相等的两边所对的角也相等．
如图1，在三角形ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C．同样，如果∠B=∠C，则AB=AC，即这个三角形也是等腰三角形．
[知识应用]：如图2，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜60°)度(即∠ECB=α度)，得到对应的三角形DEC，CE交AB于点H，连接BE，若三角形BEH为等腰三角形，则α= °．
【答案】40或20
【解析】【解答】解：∵将三角形ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜x＜60°)度，∴CE=CB，∠ECB=α，∴∠CEB=∠CBE=90° ，
∵∠ABC=30°，
∴∠BHE=30°+α，∠EBH=60° ，
若BE=BH，则30°+α=90° ，∴α=40°，
若EH=BH，则90° 60° ，∴无解
若EH=BE，则30°+α=60° ，∴α=20°
综上所述：α=40或20．
【分析】由旋转的性质可得CE=CB，∠ECB=α，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠BHE=30°+α，∠EBH=60° ，分三种情况讨论，即可求解．
44．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=4，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：如图，过A作 ，交 的延长线于E，
，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，即 是等腰直角三角形，
四边形 的面积与 的面积相等，
，
四边形 的面积为8，
故答案为：8．
【分析】过A作 ，交 的延长线于E，判定 ，即可得出 是等腰直角三角形，四边形 的面积与 的面积相等，根据，即可得出结论。
45．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，连接PB，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴，
解得x=4或x=-4，
∴A(-4，0)，B(4，0)，
∴OA=OB，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
∴OQ=，当BP最小时，OQ最小，
设BC与圆较近的交点为D，
∵点，B(4，0)，
∴BC==5，
∵圆的半径为2，
∴BD=5-2=3，
∴OQ==，
根据圆的性质，当P位于BC与圆的第一个交点位置时，取得最小值，
∴OQ=，
故答案为：．
【分析】连接PB，由求出y=0时x值，即得A(-4，0)，B(4，0)，可得OA=OB，即得OQ是△ABP的中位线，可得OQ=，当BP最小时，OQ最小，设BC与圆较近的交点为D，当P与D重合时，BP最小，利用勾股定理求出BC=5，可求BD=BC-CD=3，即得OQ的最小值==.
46．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4 ，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 .
【答案】 ﹣2
【解析】【解答】连结AE，如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC= ，
∴AB=AC=4，
∵AD为直径，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴点E在以AB为直径的O上，
∵O的半径为2，
∴当点O、E. C共线时，CE最小，如图2
在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，
∴OC= ，
∴CE=OC OE=2 ﹣2，
即线段CE长度的最小值为2 ﹣2.
故答案为：2 ﹣2.
【分析】连结AE，如图1，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的 O上，于是当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=2 ，从而得到CE的最小值为2 ﹣2.
47．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为 cm.
【答案】
【解析】【解答】解：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1，线段O1O2，圆弧 O2O3 ，线段O3O4四部分构成.
其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD.
∵BC与AB延长线的夹角为60°，O1是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置，
∴此时⊙O1与AB和BC都相切.
则∠O1BE=∠O1BF=60度.
此时Rt△O1BE和Rt△O1BF全等，
在Rt△O1BE中，BE= cm.
∴OO1=AB-BE=（60- ）cm.
∵BF=BE= cm，
∴O1O2=BC-BF=（40- ）cm.
∵AB∥CD，BC与水平夹角为60°，
∴∠BCD=120°.
又∵∠O2CB=∠O3CD=90°，
∴∠O2CO3=60°.
则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧圆弧 O2O3
∴圆弧 O2O3 的长= ×2π×10= πcm.
∵四边形O3O4DC是矩形，
∴O3O4=CD=40cm.
综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是：
（60- ）+（40- ）+ π+40=（140- + π）cm。
【分析】如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象，可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1，线段O1O2，圆弧 O2O3 ，线段O3O4四部分构成.其中O1E⊥AB，O1F⊥BC，O2C⊥BC，O3C⊥CD，O4D⊥CD.根据切线长定理得出∠O1BE=∠O1BF=60度，进而利用三角形全等的判定方法得出Rt△O1BE和Rt△O1BF全等，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系，在Rt△O1BE中得出BE的长，进而根据OO1=AB-BE算出OO1，根据全等三角形的对应边相等及O1O2=BC-BF算出O1O2，根据周角的定义得出∠O2CO3=60°，则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧圆弧 O2O3 ，根据弧长公式即可算出圆弧 O2O3的长，最后即可由OO1+线段O1O2+圆弧 O2O3 +线段O3O4算出答案。
48．如图、在正六边形 中，连接线 ， ， ， ， ， 与 交于点M， 与 交于点为N， 与 交于点O，分别延长 ， 于点G，设 .有以下结论：① ；② ；③ 的重心、内心及外心均是点M；④四边形 绕点O逆时针旋转 与四边形 重合.则所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【解析】【解答】解：∵六边形 是正六边形，
∴ ，
，
∴在△DEF中， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 是矩形，
同理可证四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∴∠NAM=60°，
∴△NAM是等边三角形，
∴AM=MN，
∵AB=3，
∴ ，
∴ ，
∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，
∴∠G=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∵AC与BD交于点M，
∴由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得： 的重心、内心及外心均是点M，
连接OF，如图所示，
易得∠FOA=60°，
∴四边形 绕点O逆时针旋转 与四边形 重合，
∴综上所述：正确结论的序号是①②③；
故答案为①②③.
【分析】由正多边形的性质可得 ，
，易得四边形 是矩形，四边形 是矩形，四边形 是菱形，可得① ，即可得△NAM是等边三角形，可得 ② ，易得△ADG是等边三角形可得 ③ 的重心、内心及外心均是点M，连接OF，易得∠FOA=60°，可判断④.
49．如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP、OF，设OP交BM于点H.
由基本尺规作图知
∴
是的直径
∴
故答案为：．
【分析】
由基本尺规作图知AB垂直PF，则由垂径定理知AB平分弧PF，再连接OP、OF，则由圆心角、弧、弦的关系知，则由同位角相等两直线平行可得OP平行AM，由于AB是直径，则OH是三角形ABM的中位线，即AH等于AM的一半等于5，同时可得OP垂直BM，则可利用AAS证明，即有OG＝OH＝5，又BG＝1，则半径OB＝6．
50．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，连接对角线AC，BD，AE⊥BD于点E，若AB=AC=6，AD=3，则BD·CD的值为 .
【答案】27
【解析】【解答】解：如图，在BE上截取EF=DE，连接AF，
∵AE⊥BD，
∴AF=AD，
∴∠AFE=∠ADE=∠ACB，
又∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠AFD，
又∵∠ABC+∠ADC=∠AFD+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠ADC，
又∵∠ABC=∠ACD，
∴△BAF≌△CAD，
∴BF=CD，
∴BE=CD+DE，
∵AE⊥BD，
∴在 Rt△AEB中，
在 Rt△AED中，DE2=AD2-AE2，
∴BD·CD=(BE+
故答案为：27.
【分析】在BE上截取EF=DE，连接AF，即可得到AB=AC，进而得到∠AFB=∠ADC，然后根据AAS证明△BAF≌△CAD，即可得到BF=CD，然后根据勾股定理解题即可.
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