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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 专项练习卷
1．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数：
（2）若CD=，AB=8，求AC的长．
2．一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形？每个内角是多少度？
3．如图，绕点旋转得到，点的对应点为点．分别延长OB，OD至点E，F，且，连结AF，FC，CE，EA.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形.
（2）若OE=CE，，求四边形AFCE的周长.
4．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为.求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
5．同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
6．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，求BD的长？
8．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
9．如图是大型输气管的截面图（圆形），某次数学实践活动中，数学课题学习小组为了计算大型输气管的直径，在圆形弧上取了A，B两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量BC=米，∠ABC=36.87°，请根据这些数据计算出大型输气管的直径（精确到0.1米）．（sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
10．在平面直角坐标系中，有三点A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），若以点A为圆心、OA长为半径作圆，试判断点P、Q与⊙A的位置关系．
11．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径．
12．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．问：AC与BD相等吗？为什么？
13．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．
（1）若，，则________；
（2）若．求的度数．
14．如图，在等边 中， 是边 上的一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ，连接 ．若 ，求 的周长．
15．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点是，连接，当时，求旋转角的度数．
16．如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合，求的度数．
17．如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB=6cm，求所得两半圆的长度之和．
18．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
19．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读.为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
（4）请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议.
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为 cm2．求扇形的弧长．
21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8，AE=2．
（1）求⊙O的半径：
（2）求O到弦BC的距离．
22． 如图，正六边形ABCDEF内接于.
（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求的度数；
（2）已知的面积为.
①求的度数；
②求的半径.
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离.
24． 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.
（1）求证：∠AOB=2∠BOC；
（2）若AB=4，BC= ，求⊙O的半径.
25．如图，绕点旋转后能与重合．
（1），，求的长；
（2）延长交于点，，求的度数．
26．在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ．
（2）如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
27．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
28．如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 恰好得到 ， 其中 ， 是对应点，若 ，求 的度数．
29． 如图，在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，垂足为点E，，求的度数．
30．鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用．如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁罗克斯三角形的周长就等于分米．你认为正确吗？请说明你的理由．
31．已知：正方形绕点顺时针旋转至正方形，连接.
(1)如图，求证：；
(2)如图，延长交于，延长交于，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
32．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣1，4），将△AOB绕点O顺时针旋转90°
（1）画出旋转后的△A′OB′；
（2）写出点B关于原点O的对称点的坐标；
（3）求出点B到点B′所经过的路径长；
（4）用直尺和圆规作出△A′OB′的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）．
33．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
34．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
35．如图3－5－24，⊙O直径AB为5 cm，弦AC为3 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.
36．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
37．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝62°，则∠DEB= 度；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
38．作图：（不写作法，但保留作图痕迹）．
在平面直角坐标系中有△AOB，运用所学知识，请你设计出一把风扇形状的图案，且是中心对称图形．
39．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC上的一点，且OE⊥AC交弦AC于点D．若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．
40．已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
（1）如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
（2）如图2，若，求四边形的面积．
41．如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
42．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；
（3）如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．
43．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，．
（1）在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
44．如图，点O在直线AB上，射线OC，OE在与OA重合的位置同时开始绕点O顺时针旋转，OC的旋转速度为每秒2°，OE的旋转速度为每秒6°，当OE与OB重合时停止旋转，在OC的右侧作射线OD使得，设旋转时间为t秒．解答下列问题：
（1）当秒时，则 ， ；
（2）当的平分线OM与射线OE所组成的时，求旋转时间t，
（3）是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
45．如图1，已知在中，斜边，直角边．
（1）如图1，现将沿翻折到位置，延长到点D，使得．求出的值；
（2）如图2，在（1）的条件下，再将沿平移得到，平移距离为m，当点在的内部时，求出m的范围；
（3）如图3，在（1）的条件下再将绕点B顺时针旋转度（），直线分别与直线，直线相交于点P，Q，当为等腰三角形时，求它的腰长．
46．如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．
（1）求证：AE=DB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
47．如图所示，在中，直径，弦，直线AD，BC相交于点.
（1）如图甲所示，的度数为 .
（2）如图乙所示，AB与CD交于点，请补全图形并求的度数.
（3）如图丙所示，直径AB与弦CD不相交，求的度数.
48．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG=CG 且EG⊥CG.
（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系 请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段 EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系 请写出你的猜想，并加以证明.
49．已知直线与轴交于点，与轴交于点.
（1）求的值；
（2）把绕原点顺时针旋转90°后，点落在轴的处，点落在轴的处.
①求直线的函数表达式；
②设直线与直线交于点，长方形的顶点都在的边上，其中点，在线段上，点在线段上，点在线段上.若长方形的两条邻边的比为，求长方形的周长.
50．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时
针旋转后，得到△P'AB，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数．
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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第3章 圆的基本性质 专项练习卷
1．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，点D在⊙O上且平分．
（1）连接AD，求∠BAD的度数：
（2）若CD=，AB=8，求AC的长．
【答案】（1）解：∵BC是直径
∴∠BAC=∠BDC=90°
∵点D在⊙O上且平分
∴
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°；
（2）解：∵
∴ BD=CD=
∵∠BDC= 90°
∴BC= 10
∵AB=8
∴AC=6.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角得∠BAC=∠BDC=90°，再通过等弧所对的圆周角相等得到∠BAD=∠CAD=45°；
（2）利用等弧所对的弦相等可得是等腰直角三角形，从而利用勾股定理求得BC的长度，再通过勾股定理计算出AC的长度.
2．一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形？每个内角是多少度？
【答案】解：设多边形的每个外角的度数为，则其内角为：，
，
解得：，
即这个多边形是：，
，
∴这个正多边形是正八边形，每个内角是135度．
【解析】【分析】设多边形的每个外角的度数为，则其内角为，根据题意列出方程，求出n的值，可得多边形的边数和每个内角的度数。
3．如图，绕点旋转得到，点的对应点为点．分别延长OB，OD至点E，F，且，连结AF，FC，CE，EA.
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形.
（2）若OE=CE，，求四边形AFCE的周长.
【答案】（1）解：绕点旋转得到，
四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：作于点，如图所示：
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴，OA=OC，AE=CF，AF=EC，
EH⊥OC，
EH⊥OC，
即
四边形AFCE的周长为．
【解析】【分析】（1）由旋转得到OA=OC，OB=OD，再结合BE=DF，可得OE=OB，即可得到结论.
（2）利用平行四边形的性质得，OA=OC，AE=CF，AF=EC，利用“三线合一”的性质得OH=HC，因此可得AH=EH=3OH，利用勾股定理求出OH的长，继而可得AE的长.
4．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示．
（1）△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称，画出对称轴m．
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2．此时点A2的坐标为.求出点A1旋转到点A2的路径长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）如图所示：直线m即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2的坐标为：（1，4），
点A1旋转到点A2的路径长为：．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质结合网格得出对称轴m；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用弧长公式求出点A1旋转到点A2的路径长．
5．同圆或等圆中，圆心角互余的两个扇形叫做互余共轭扇形．如图⊙O内接八边形中，已知AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2．
（1）扇形DOE与扇形EOF是否互余共轭扇形？请推理说明
（2）求⊙O的半径
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
∵AB=BC=CD=DE=2，EF=FG=GH=HA=2，
∴∠DOE=×360°=（ ﹣1） 90°；∠EOF=×360°=（2﹣） 90°
∴∠DOE+∠EOF=（﹣1） 90°+（2﹣） 90°=90°，
∴扇形DOE与扇形EOF为互余共轭扇形．
（2）解：
如图所示，FM⊥DE的延长线于M，
由（1）知∠DOF=∠DOE+∠EOF=（180°﹣2∠DEO）+（180°﹣2FEO）=360°﹣2∠DEF=90°
∴∠DEF=135°；
∴∠FEM=45°，
∴△EMF是等腰直角三角形
∴ME=MF=EF=×2=2；DM=DE+ME=2+2=4，
在Rt△DMF中：
∵OD=OF；∠DOF=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴OD=OF=DF=×2=；即⊙O的半径为；
（3）解：
如图所示，分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，
∴S△DOE=DE OP=×2×3=3；
S△EOF=×EF OQ=×2×2=4，
S扇形EOF=πOD2=π，
∴S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4=[π﹣（4+3）]×4=10π﹣28．
【解析】【分析】（1）求出∠DOE和∠EOF的度数，相加为90°即可；
（2）FM⊥DE的延长线于M，判断出△DOF是等腰直角三角形，求出OD的长，即为半径；
（3）分别作OP⊥DE于P；OQ⊥EF于Q，根据S阴影=[S扇形EOF﹣（S△DOE+S△EOF）]×4，即可解答．
6．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长．
【答案】解：设半径OA的长为r mm，
则OA＝OC＝OB＝r mm，
∵弓形高CD＝14mm，
∴OD＝（r﹣14）mm，
∵OC⊥AB，AB＝80mm，
∴AD＝AB＝40mm，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2，
即r2﹣（r﹣14）2＝402，
解得：r＝．
答：半径OA的长为mm．
【解析】【分析】设半径OA的长为r mm，可得则OA＝OC＝OB＝r mm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝AB ，根据勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解.
7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB＝3，BC＝4，求BD的长？
【答案】解：连接BE，如图，
∵△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，
∴∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=BC=4，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，AE= =5，
∴BD=5.
【解析】【分析】连接EB，根据旋转的性质得出∠BCE=60°，CB=CE，BD=AE，根据等边三角形的判定定理得出△BCE为等边三角形，得出BE=BC=4，∠CBE=60°，从而得出∠ABE=90°，再根据勾股定理求出AE的长，即可求出BD的长.
8．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求：
（1）BC、AD的长；
（2）图中两阴影部分面积的和．
【答案】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=4，
∴BC==2，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD
∴=，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=2；
（2）连接OC，OD，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=∠2∠ABC=60°，
∵OA=OB，
∴S△AOC=S△ABC=××AC×BC=××2×2=，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S△AOD=×AO×OD=×22=2，
∴S阴影=S扇形COD﹣S△AOC﹣S△AOD=﹣﹣2=π﹣﹣2．
【解析】【分析】（1）根据直径得出∠ACB=∠ADB=90°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S扇形COD，即可求出答案．
9．如图是大型输气管的截面图（圆形），某次数学实践活动中，数学课题学习小组为了计算大型输气管的直径，在圆形弧上取了A，B两点并连接AB，在劣弧AB上取中点C连接CB，经测量BC=米，∠ABC=36.87°，请根据这些数据计算出大型输气管的直径（精确到0.1米）．（sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
【答案】解：设圆心为O，连接BO、CO交AB于D，
∵C是弧AB的中点，CO是半径，
∴AD=BD，CO⊥AB．（1分）
在Rt△BCD中BC=米，∠ABC=36.87°，
∴CD=BCsin∠ABC=sin36.87°=，
BD=BCcos∠ABC=cos36.87°=1，
在Rt△BOD中，设圆的半径为x，
DO2+BD2=BO2，
（x﹣）2+12=x2，
x=，
2x=≈2.1（米）．
答：大型输气管的直径约为2.1米．
【解析】【分析】连接BO、CO，根据垂径定理和三角函数求出CD的长，再根据勾股定理求出圆的半径即可得出结论．
10．在平面直角坐标系中，有三点A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），若以点A为圆心、OA长为半径作圆，试判断点P、Q与⊙A的位置关系．
【答案】解：∵A（﹣1，﹣1），P（0，﹣1），Q（﹣2，0），
∴OA==，AP=1，AQ==，
即AP＜OA．AQ=OA，
∴点P在⊙A内，点Q在⊙A上．
【解析】【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA=，AP=1，AQ=，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P、Q与⊙A的位置关系．
11．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上的一点距离水面的最大距离），求该圆的半径．
【答案】解：∵OD⊥AB，
∴米，
设圆的半径为r米，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴32+（r-1）2＝r2，
∴9+r2-2r+1＝r2，
解得r＝5，
∴该圆的半径为5米．
【解析】【分析】如图，作 OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解。
12．如图，OA=OB，AB交⊙O于点C，D．问：AC与BD相等吗？为什么？
【答案】解：相等，理由：如图，作OE⊥AB，
∴CE=DE，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD.
【解析】【分析】作OE⊥AB，根据垂径定理及等腰三角形的性质可得CE=DE，AE=BE，从而得出AE-CE=BE-DE，继而得解.
13．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接．
（1）若，，则________；
（2）若．求的度数．
【答案】（1）5
（2）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用旋转的性质及全等三角形的性质可得；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用旋转的性质及全等三角形的性质可得，，最后利用三角形的内角和求出∠BAF的度数即可.
（1）解：在中，，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
故答案为：
（2）在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴．
14．如图，在等边 中， 是边 上的一点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ，连接 ．若 ，求 的周长．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=7，
∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=7，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=6，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=13．
【解析】【分析】由△ABC是等边三角形，AC=AB=BC=7，由△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，由∠EBD=60°，BE=BD，得出△BDE是等边三角形，得出DE=BD=6，即可得出△AED的周长。
15．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点是，连接，当时，求旋转角的度数．
【答案】解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
，，
，
，
，
，
，
旋转角的度数是．
【解析】【分析】本题考查旋转的性质和平行线的性质，由旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，∠CAE为旋转角，即∠CAE=α，由△ABC≌△ADE可得AC=AE，由等腰三角形的性质等边对等角可知：∠ACE=∠AEC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由CE∥AB可知：∠ACE=∠BAC=65°，由三角形内角和等于180°可知：在△ACE中，∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°代入可得∠CAE=50°，即∠α=50°，即可得出答案.
16．如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
由旋转的性质可知：，，
∴．
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，，再用角的运算可得。
17．如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB=6cm，求所得两半圆的长度之和．
【答案】解：所得两半圆的长度之和= 2π AC+ 2π AB
=π （AC+BC）
=π 6
=3π（cm）．
答：所得两半圆的长度之和为3πcm．
【解析】【分析】利用圆的周长公式得到所得两半圆的长度之和= 2π AC+ 2π AB，然后整理后 π AB，再把AB=6cm代入计算即可．
18．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留）
【答案】解：由题意得，扇形的弧长为：．
扇形的面积为：．
【解析】【分析】本题是对弧长公式和扇形面积公式的考察，属于基础性题目，牢记公式代入即可算出答案。
19．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读.为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查.问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是多少度；
（4）请结合数据简要分析，给学校准备购进这一批图书提出建议.
【答案】（1）100
（2）
（3）36°
（4）学生最喜欢科普类的图书，最不喜欢其他类的图书，建议学校多购买科普类的图书，少买其他类的图书．
【解析】【解答】解：（1）20÷20%=100（人）
故答案为：100.
（2）100-10-20-40-5=25（人）
统计图如下：
（3）圆心角度数为：.
故答案为：36°.
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用样本容量计算出体育类的人数，求解可得到结论．
（3）根据圆心角计算即可．
（4）根据学生最喜欢和最不喜欢的图书类别，提出建议即可．
20．已知扇形的圆心角为120°，面积为 cm2．求扇形的弧长．
【答案】解：∵扇形的圆心角为120°，面积为 cm2，
∴ = ，
∴πR=5，
∴l= πR= ×5=
【解析】【分析】根据扇形面积公式S= 和弧长公式l= 进行计算．
21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8，AE=2．
（1）求⊙O的半径：
（2）求O到弦BC的距离．
【答案】（1）解：连接OB，设半径为r，则OE=r-2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8，
∴BE=DE=4，
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2=OB2，
∴(r-2)2+42=r2
∴r=5，即圆的半径为5；
（2）解：∵r=5，
∴AC=10，EC=8，BE=DE=4，
∴BC=
∵OF⊥BC，
∴S△BCO=BC·OF=OC·BE
∴×OF=5×4，
∴OF=
【解析】【分析】（1）连接OB，设半径为r，则，根据垂径定理得到BE=DE=4，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）在中，利用勾股定理求出BC的长度，根据三角形的面积公式得到：据此可求出OF的长.
22． 如图，正六边形ABCDEF内接于.
（1）若P是上的动点，连接BP，FP，求的度数；
（2）已知的面积为.
①求的度数；
②求的半径.
【答案】（1）解：∵正六边形ABCDEF内接于，∴，；
（2）解：①连接OF.
∵，，∴是等边三角形，∴；（3分）
②∵是等边三角形，∴.∵AD是直径，∴，
∴根据勾股定理可得.
根据题意可得，解得，（舍），即的半径为2.
【解析】【分析】（1）首先根据圆内接正六边形，求得∠BAF的度数，然后根据圆内接四边形对角互补得出∠BPF即可；
（2）①连接OF，根据圆内接正六边形的性质，可求得∠AOF=60°，然后根据等边三角形的判定，得出△AOF是等边三角形，即可得出∠DAF=60°；②由①可知 是等边三角形， 从而得出OA=AF，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得出△ADF是直角三角形，再根据勾股定理得出DF=，然后根据三角形面积计算公式可得 ， 通过计算即可得出OA=2，或OA=-2（舍去），即 即的半径为2.
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，求点E与点C之间的距离.
【答案】解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝
将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，
∴BC＝BE，∠CBE＝60°.
∴△BEC是等边三角形.
∴EC＝BE＝BC＝ .
【解析】【分析】 连接EC，在Rt△ACB中利用勾股定理求出BC=，根据旋转的性质可求出△BEC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出EC＝BE＝BC＝.
24． 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC.
（1）求证：∠AOB=2∠BOC；
（2）若AB=4，BC= ，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：圆周角定理可得，
∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，
∵∠ACB=2∠BAC，
∴ ∠AOB=2∠BOC
（2）如图，作OM⊥AB，连接AM，BM，
由垂径定理，得M为弧AB中点，且AN=2
又由（1）得，∠AOM=∠MOB=∠BOC，
∴弧AM=弧MB=弧BC，
∴AM=MB=BC=，
在Rt△ANM中，
，
设半径OA=OM=r，
在Rt△OAN中，
，
解得x=，
故圆O的半径为
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC，结合∠ACB=2∠BAC可证明结论；
（2）过点O作半径OM⊥AB于点N，可得AN=BN，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BM=BC=AM，即可求得BE=N，MB＝，利用勾股定理可求解MN=1，再利用勾股定理可求解圆的半径.
25．如图，绕点旋转后能与重合．
（1），，求的长；
（2）延长交于点，，求的度数．
【答案】（1）解：∵△ABC绕点A旋转后能与△ADE重合，
∴△ABC≌△ADE，
∴，
∴；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴，，
∵，，
∴．
【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等得，进而根据代入计算即可；
（2）由全等三角形的对应角相等得，，再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得，，从而可推出．
（1）解：由旋转的性质可得，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得，，
∵，，
∴．
26．在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ．
（2）如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】（1）
（2）解：过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分别为M、N，
∵AB=EF，
∴OM=ON，
∴CD=GH.
【解析】【解答】解：(1)过点O作OE⊥AB，垂足为E，
则，，
连接 OA、OC，
在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2，
在Rt△COE中，OE2=OC2-CE2，
∴OA2-AE2=OC2-CE2，即132-122=72-CE2，
解得(负值舍去)，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)根据垂径定理和勾股定理即可求出答案；
(2)利用弦、弧、圆心角、弦心距之间的关系进行解答即可.
27．如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
【答案】（1）证明：是由旋转得到，
，，
，
，
平分．
（2）解：如图，由旋转可知：，，
，
，
∵在中，，
，
点在同一条直线上，
∴，即，
解得．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，， 利用等边对等角可得， 利用等量代换即可求解；
（2） 由旋转可知，， 结合垂直的定义可得 ， 再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得， 再根据三角形外角的性质可得 ，据此计算即可.
28．如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ，把 绕点 顺时针旋转 恰好得到 ， 其中 ， 是对应点，若 ，求 的度数．
【答案】解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD ∠CAD＝42°．
【解析】【分析】有旋转的性质可得出∠DAE＝60°，即可求解。
29． 如图，在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点D作，垂足为点E，，求的度数．
【答案】解：将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【解析】【分析】根据旋转的性质可得，进而得到∠D，再根据全等三角形的判定HL证出，进而得到∠B即可.
30．鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、硬币等方面有应用．如果一个等边三角形的边长是5分米，那么这个鲁罗克斯三角形的周长就等于分米．你认为正确吗？请说明你的理由．
【答案】解：不正确，理由如下：
如图；
∵等边的边长为5分米，
∴，，
∴该鲁洛克斯三角形的周长．
∴不正确．
【解析】【分析】鲁洛克斯三角形的周长等于圆心角为60°、半径为5的三段弧长得和，据此根据弧长公式“（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）”列式计算即可判断得出答案.
31．已知：正方形绕点顺时针旋转至正方形，连接.
(1)如图，求证：；
(2)如图，延长交于，延长交于，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写出的每一个角的大小都等于旋转角.
【答案】(1)证明：连接，
∵正方形旋转至正方形
∴，
∴
∴
在和中，
，
∴
∴
(2).∠DAG、∠BAE、∠FMC、∠CNF；
【解析】【解答】解：（2）由旋转的性质可得∠DAG、∠BAE都是旋转角，
在四边形AEMB中，∠BAE+∠EMB=180°，∠FMC+∠EMB=180°，可得∠FMC=∠BAE，
同理可得∠DAG=∠CNF，
【分析】（1）连接AF、AC，根据旋转性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据旋转性质即可求出答案.
32．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣1，4），将△AOB绕点O顺时针旋转90°
（1）画出旋转后的△A′OB′；
（2）写出点B关于原点O的对称点的坐标；
（3）求出点B到点B′所经过的路径长；
（4）用直尺和圆规作出△A′OB′的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）点B（﹣1，4）关于原点O的对称点的坐标为（1，﹣4）；
（3）∵OB==，∠BOB′=90°，
∴点B到点B′所经过的路径长为：=π；
（4）如图所示：
【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O顺时针旋转90°后的对应点A′、B′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标都是互为相反数即可求解；
（3）根据弧长公式即可得出结论；
（4）根据外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，知它是三角形三边的垂直平分线的交点，则作其两边的垂直平分线，以交点为圆心，交点到其中一个顶点的距离为半径的圆是三角形的外接圆．
33．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
34．用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．
【答案】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD=16cm，PE=4cm∴PA=8cm，BP=8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2=PA2+OP2即OA2=82+（OA﹣4）2解得：OA=10．答：这种铁球的直径为20cm．
【解析】【分析】连接OA、OE，设OE与AB交于点P，由由题意根据易证四边形ACDB是矩形；由垂径定理和已知条件可求得AP和BP的长，在Rt△OAP中，用勾股定理即可求OA的长。
35．如图3－5－24，⊙O直径AB为5 cm，弦AC为3 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长.
【答案】解：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=5，AC=3
∴BC=4
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∴AD=BD=
【解析】【分析】由圆周角定理可得∠ACB为90°，然后由勾股定理求出BC的长，再由CD平分∠ACB，可得AD=BD，于是由等腰直角三角形的性质求出AD和BD的长即可.
36．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB=4，OC=5，求AO的长．
【答案】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO．
∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°，
∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠ODC=60°．
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4．
∵△OCD为等边三角形，
∴OD=OC=5．
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=．
【解析】【分析】（1）根据旋转性质可得CD=CO，∠ACD=∠BCO，再根据角之间的关系可得∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°，再根据等边三角形判定定理可得△OCD为等边三角形，则∠ODC=60°，即可求出答案.
（2）由旋转的性质得：AD=OB=4，根据等边三角形性质可得OD=OC=5，再根据角之间的关系可得∠ADO=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
37．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝62°，则∠DEB= 度；
（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．
【答案】（1）31
（2）解：∵OD⊥AB，
∴AC=BC，
∵AC2=OA2-OC2，
∴AC2=102-62，
∴AC=8，
∴AB=2AC=16.
【解析】【解答】解：(1)∵OD⊥AB，
∴，
∴；
故答案为：31.
【分析】 (1)由垂径定理得，由圆周角定理推论可求∠DEB；
（2）由垂径定理得AC=BC，应用勾股定理即可计算.
38．作图：（不写作法，但保留作图痕迹）．
在平面直角坐标系中有△AOB，运用所学知识，请你设计出一把风扇形状的图案，且是中心对称图形．
【答案】解：如图所示：
【解析】【分析】分别找到A、B关于点O的对应点A′、B′，依次连接即为所求．
39．如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC上的一点，且OE⊥AC交弦AC于点D．若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．
【答案】解：设OD=x，则OA=2+x，
∵OD⊥AC，
∴AD= AC=4，
∠ADO=90°，
由勾股定理得：42+x2=（2+x）2，
解得：x=3，
∴OD的长为3cm．
【解析】【分析】设OD=x，则OA=2+x，根据勾股定理列方程可得结果．
40．已知，，，将绕点顺时针旋转至，连结．
（1）如图1，当点落在线段上时，
①填空：______；______．
②作交于点，求线段的长度；
（2）如图2，若，求四边形的面积．
【答案】（1）①4，30
②过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）过点作，过点作，
∵旋转，
∴，
∴均为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
【解析】【解答】解：①∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4，30；
【分析】（1）①先证明为等边三角形，即可得到，利用等边三角形的性质解题即可；
②过点作，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，然后根据三角形的面积求的长解题；
（2）过点作，过点作，可得均为等边三角形，进而可得，然后利用勾股定理求的长，再利用勾股定理求出的长，根据四边形的面积等于解题．
41．如图， 为的外接圆，是直径，，，点D是上的动点，且点、分别位于的两侧．
（1）求的半径；
（2）当时，求的度数；
（3）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值．
【答案】（1）解：是直径，
，
，，
，
的半径为
（2）解：如图1，连接，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
（3）解：如图2，连接，，，，
∵的中点为，
∴，
∵，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
∵，
∴，
∵，，
，
，
，
的最大值为
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，，根据勾股定理逆定理得到，从而根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，然后证明是等边三角形，得，即可求出的度数；
（3）连接，，，，根据等腰三角形“三线合一”性质得，从而得点的运动轨迹是以为直径的，证出，利用勾股定理得，然后根据，可得结论．
（1）解：如图1中，
是直径，
，
，，
，
∴
的半径为．
（2）解：如图中，连接，．
，，
，
，
∵
，
，
是等边三角形，
，
．
（3）解：如图中，连接，．
，
，
点的运动轨迹以为直径的，
连接，，可知
是等边三角形，，
，
，
，
的最大值为．
42．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；
（3）如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
【解析】【解答】解：（3）由对称的性质知，又，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，点H是的中点，
∴，
∴当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，
同理得是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意得到，，进而根据旋转的性质得到，，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据旋转的性质得到，，再证明得到，同理，进而结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）由对称的性质知，又，进而即可得到，从而当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，同理得是等腰直角三角形，进而得到，，再根据题意进行角的运算结合等腰三角形的性质得到，进而进行线段的运算即可求解。
43．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，．
（1）在点，，中，点 是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线的顶点坐标为，其关于原点对称的抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
【答案】（1）和，
（2）
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图：绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
【解析】【解答】解：（1）∵，，
轴，
如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2），，，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最小，即，解得：，
当在上时，m值最大，即，解得：，
∴；
故答案为：
【分析】
（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点O旋转后的对应点，进行判断即可解答；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论，解答即可；
（3）根据顶点坐标，写出抛物线的顶点式，进而得到其关于原点对称的抛物线的解析式，将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时n有最大值，当抛物线过点时n有最小值，即可解答．
（1）解：∵，，
轴，
如图所示，点绕点O顺时旋转得到的对应点分别为：，
其中点，在线段上，
∴和是线段关于原点O的“伴随点”，
故答案为：和；
（2）解：，，，
在第一象限，
∵点是关于原点O的“伴随点”，
∴点在第二象限，
过点作轴于点，过点作轴于点，
则：，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
当在上时，m值最小，即，解得：，
当在上时，m值最大，即，解得：，
∴；
（3）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∴其关于原点对称的抛物线解析式为，
如图：绕点O逆时针旋转得到，其中，
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过时，n的值最大，
把代入得，
解得：，
n的最大值为，
当过时，n的值最小，
把代入得，
解得：，
n的最小值为．
44．如图，点O在直线AB上，射线OC，OE在与OA重合的位置同时开始绕点O顺时针旋转，OC的旋转速度为每秒2°，OE的旋转速度为每秒6°，当OE与OB重合时停止旋转，在OC的右侧作射线OD使得，设旋转时间为t秒．解答下列问题：
（1）当秒时，则 ， ；
（2）当的平分线OM与射线OE所组成的时，求旋转时间t，
（3）是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，由题意得，，
的平分线是OM，
，
当时，，
，
当时，，解得；
（3）解：如图，由题意得，，
当射线OD在OE与OB之间时，
，
，
要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
，，
当射线OE在OD与OB之间时，
，
，
要使的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
，，
，－4．
【解析】【解答】解：（1）∵的旋转速度为每秒，的旋转速度为每秒，当秒时，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）基本关系：旋转角度=旋转速度×旋转时间，先求旋转角的度数，再根据角的和差计算即可；
（2）分两情况讨论：∠AOM>∠AOE或∠AOM<∠AOE，列出关于t的方程求解即可；
（3）分两种情况讨论并分别：射线OD在OE与OB之间时或射线OE在OD与OB之间时， 分别列式求值即可．
45．如图1，已知在中，斜边，直角边．
（1）如图1，现将沿翻折到位置，延长到点D，使得．求出的值；
（2）如图2，在（1）的条件下，再将沿平移得到，平移距离为m，当点在的内部时，求出m的范围；
（3）如图3，在（1）的条件下再将绕点B顺时针旋转度（），直线分别与直线，直线相交于点P，Q，当为等腰三角形时，求它的腰长．
【答案】（1）解：在中，，由翻折可得，，，，
∴，，
∴
（2）解：当点在边上时，如图，
由平移得，，
∴，
∵，
∴
∴，
当点在边上时，如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点在的内部，
∴m的取值范围为
（3）解：如图，当时，∴，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，则，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
即，解得：，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，它的腰长为或
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出BE长，然后根据翻折求出，再根据勾股定理计算解题；
（2）分为点在边上和点在边上两种情况，利用平移的性质得到临界位置时平移距离解题即可；
（3）分为和两种情况画图，利用旋转的性质、利用等腰三角形的性质和勾股定理解题即可．
46．如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．
（1）求证：AE=DB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
【答案】（1）证明：∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴△ABC为等边三角形，过点E做EG∥AC交BC于点G，如图，∴△EBG为等边三角形，∴EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，∴∠EBD=∠EGC=120°，∵ED=EC∴∠D=∠ECD，在△BDE和△GCE中 ，
∴△BDE≌△GCE，
∴BD=GC，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴AB﹣BE=BC﹣BG，∴AE=CG，∴AE=DB.
（2）解：AE+BE=AB；BD+BE=AB；AE+AF=AB；BD+AF=AB．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理判断出△BDE≌△GCE，可得出AE=DB。
（2）利用线段的加减，可写成四对线段，使之和等于AB的长。
47．如图所示，在中，直径，弦，直线AD，BC相交于点.
（1）如图甲所示，的度数为 .
（2）如图乙所示，AB与CD交于点，请补全图形并求的度数.
（3）如图丙所示，直径AB与弦CD不相交，求的度数.
【答案】（1）
（2）解：连接OC、OD，
∵直径AB=4，CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠DAC=∠COD=30°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠E=90°-∠DAC=60°；
（3）解：如图，连接OC、OD、BD，
∵直径AB=4，CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠DBC=∠COD=30°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠E=90°-∠DBC=60°.
【解析】【解答】解：（1）如图，连接OC、OD、BD，
∵直径AB=4，CD=2，
∴OC=OD=CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠DBC=∠COD=30°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°=∠BDE，
∴∠E=90°-∠DBC=60°；
故答案为：60°；
【分析】（1）连接OC、OD、BD，由三边相等的三角形是等边三角形可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠DBC=∠COD=30°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°=∠BDE，最后根据直角三角形的两锐角互余可算出∠E的度数；
（2）连接OC、OD，由三边相等的三角形是等边三角形可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠DAC=∠COD=30°，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可算出∠E的度数；
（3）连接OC、OD、BD，由三边相等的三角形是等边三角形可得△OCD是等边三角形，由等边三角形的性质及同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠DBC=∠COD=30°，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可算出∠BED的度数，最后根据对顶角相等得出答案.
48．在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E，作EF⊥AB 交BD 于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG=CG 且EG⊥CG.
（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图②，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系 请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图③，则线段 EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系 请写出你的猜想，并加以证明.
【答案】（1）EG=CG 且EG⊥CG.
（2）EG=CG且EG⊥CG.证明如下：
证明：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形BEMC是矩形，
∴BE=CM，BC=EM，
∵BE=EF，
∴CM=EF，
∵DM=DC+CM，FM=ME+EF，
∴DM=FM，
∵∠FMD=90°，点G是DF的中点，
∴MG=FG，且MG⊥FG，∠FMG=45°，
∴∠CMG=45°，
在△EFG和△CMG中：
∵MG=FG，∠F=∠CMG=45°，EF=CM，
∴△EFG≌△CMG，
∴EG=CG，∠EGF=∠CGM，
∴∠EGC=∠EGM+∠CGM=∠EGF+∠EGM=90°。
即EG⊥CG.
【解析】【解答】解：(1)如图，延长CG至点M，使GM=CG，连接MF，
∵GF=GD，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴ △ MGF≌ △ CGD
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴DC∥MF∥AB，
∵EF∥AB，
∴E，F，M三点共线
∴∠MEC=90°，
∵MG=CG，
∴EG⊥CG，
∴EG=
∵BE=FE，MF=CD=BC，
∴ME=CE，
∴EG⊥CG.
即 EG=CG 且EG⊥CG.
【分析】（1）)如图，延长CG至点M，使GM=CG，连接MF，从而构成全等三角形 △ MGF≌ △ CGD，得出MF=CD，∠FMG=∠DCG，从而得出DC∥MF∥AB，从而得出E，F，M三点共线，进而得出三角形MEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得出结论；
（2）EG=CG且EG⊥CG.延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，首先得出四边形BEMC是矩形，得出CM=EF，进一步得出△DMF是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，得出MG=FG，且MG⊥FG，∠FMG=45°，进一步根据SAS证明△EFG≌△CMG，得出EG=CG，∠EGF=∠CGM，进一步可得出∠EGC=90°，即EG=CG且EG⊥CG.
49．已知直线与轴交于点，与轴交于点.
（1）求的值；
（2）把绕原点顺时针旋转90°后，点落在轴的处，点落在轴的处.
①求直线的函数表达式；
②设直线与直线交于点，长方形的顶点都在的边上，其中点，在线段上，点在线段上，点在线段上.若长方形的两条邻边的比为，求长方形的周长.
【答案】（1）解：把代入，
得，解得，
的值为.
（2）解：①由（1）知直线的函数表达式为.
令，得，.
把绕原点顺时针旋转90°后，点落在轴的处，点落在轴的处，
，
设直线的函数表达式为.
把，代入，
得解得
直线的函数表达式为.
②设，，则，，
，，.
四边形是长方形，
，即，
.
（Ⅰ）如图1，当，即时，
把代入，得，
解得，
，
，，
长方形的周长为.
（Ⅱ）如图2，当，即时，
把代入，得，
解得，，
，，
长方形的周长为.
综上所述，长方形的周长为12或9.
【解析】【分析】（1）把点A代入直线解析式即可求出a的值；
（2）①根据（1）中直线AB解析式求出B点坐标为（0，3），利用图形旋转得到A'（0，6）、B'（3，0），通过 设直线的函数表达式为 ，分别带入A'、B'两点坐标即可求出m、n的值和直线解析式；②分别设出P、Q两点坐标，然后表示出M、N两点坐标及PQ、PN、MQ的长度，利用长方形对边相等的性质，即PN=MQ，得到m、n的关系式m=-4n+6，根据所给条件“长方形PQMN两条邻边的比为1：2”，开始分类讨论：当PN：PQ=1：2时和当PQ：PN=1：2时，分别列出等式，把m=-4n+6代入替换掉n，求出n的值，继而求出m的值，最后求出长方形的长和宽，再算出周长。
50．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时
针旋转后，得到△P'AB，求点P与点P'之间的距离及∠APB的度数．
【答案】解：连接PP'
∵ΔPAC绕点A旋转得ΔP'AB
∴ΔPAC≌ΔP'AB
∴∠P'AP=∠BAC=60°，AP=AP'=5，PC=P'B=13
∴ΔAPP'是等边三角形，∴PP'=5
∵PP'2+BP2=BP'2
∴ΔBPP'是直角三角形，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+60°=150°
【解析】【分析】由旋转的性质可知，旋转前后的图形大小和形状是全等的，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可求得AP与AP'相等，旋转角度为60度，所以三角形APP'是等边三角形，求得PP'的长度，根据勾股定理的逆定理可以判定三角形BPP'是直角三角形，从而求得角APB的度数。
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