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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 专项练习卷
1．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝ cm.
2．已知 ，则 的值为 .
3．已知△ABC∽△DEF，AB=3DE，△ABC的周长是12，则△DEF的周长为 ．
4．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
5．如图，D，E分别为AB的三等分点，DF // EG // B，若BC=12，则DF= ，EG= ．
6．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知小B、C三点在同一直线上，且AB=2m，BC=8m，他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m。
7．如果 ，那么= ．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是 .
9．如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 的值为 ．
10．已知点P是线段的黄金分割点，，那么 ．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝8，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为 ．
12．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则 ．
14．如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点） ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
16．20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
17．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
18．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是 ．
19．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于点F，已知FG=4，则线段AE=
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于点O，若 ＝ ，则S△DEO∶S△BOC= .
21．已知 ，则 的值为 ．
22．如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 ．
23．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为
．
24．如图，已知，，，则= ．
25．根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高160厘米，下肢长95厘米，持上述观点，她所选的高跟鞋的最佳高度约为 （精确到0.1cm）．
26．如图， 为等边三角形，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，连接 ， ，若 ，则 ．（结果用含 的代数式表示）
27．如图，△ABC中，G为重心，DF∥BC，则 = .
28．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．
29．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为 ．
30．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木.问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 米.
31．如图 31-1， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ， ， 现以原点 为位似中心， 在第一象限内作与 的位似比为 2： 1 的位似图形 ， 则顶点 的坐标是 .
32．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
33．如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，…．若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，则△A1007B1007A1008的面积是 ．
34．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为 米.
35．已知 中，点D在边AC上，AB=12，AC=8，AD=6，点E在边AB上，若 和 相似，则AE的长是 ．
36．点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则 ．
37．如图，原点 是 和 的位似中心，点 与点 是对应点， 的面积是 ，则 的面积是 ．
38．已知，且a-b+c=10，则a+b-c的值为
39．图1是遮雨棚，一边搭在墙面上，由支架固定．其侧面结构示意图如图2所示．墙BE垂直于地面，棚面的顶端D固定在上，是支架，在墙上有一照明灯E，该遮雨棚外端点G在灯光和阳光照射下产生的影子分别落在地面A，B处．经测量得到，，，，H为DG和BA延长线的交点，，则 ．
40．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 的面积与 的面积比为 ．
41．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，．连接，设的中点为，在点从这个时刻走到．这个时刻的过程中，点所走过的路径长是 ．
42．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P，Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ，以PQ为边作正方形PQMN，使得点M，C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为ts．
（1）PQ PA（填“＞”“＜“或“＝”）．
（2）如图2，当点M落在边BC上时，t＝ s．
43．如图，在△ABC中，AB=AC=m，D为BC的中点，BD=n，E，F分别在AB，AC上，若∠EDF=90°－∠A，则△AEF的周长是 .（用含m，n的代数式表示）
44．如图，已知直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y= （x>0）交于C、D两点，且∠AOC=∠ADO，则k的值为 。
45．如图，半径为 且坐标原点为圆心的圆交 轴、 轴于点 、 、 、 ，过圆上的一动点 （不与 重合）作 ，且 在 右侧）
⑴连结 ，当 时，则点 的横坐标是 ．
⑵连结 ，设线段 的长为 ，则 的取值范围是 ．
46．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t= 秒时，△PCQ的面积等于8cm2．
47．如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，且AB=AE，CBA=∠D+BAD过点E作EG⊥AB，垂足为G.延长BC和AE交于点F，若BF：ED=2：1，EG=2，三角形ABF的面积为7，则AD= .
48．在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
49．如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB=∠DCE=90°。连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至CD∥BE时，若DA=4.5，DG=2，则BF的值是
50．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为 .
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【填空题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 专项练习卷
1．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝ cm.
【答案】（ ﹣1）
【解析】【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2× ＝（ ﹣1）cm.
故答案为：（ ﹣1）cm.
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入运算即可.
2．已知 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解： ，
，
.
故答案为： .
【分析】将已知条件变形可将b用含a的代数式表示出来，再把b代入所求代数式计算即可求解.
3．已知△ABC∽△DEF，AB=3DE，△ABC的周长是12，则△DEF的周长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∵AB=3DE，
∴△ABC与△DEF的周长之比为3：1，
∵△ABC的周长是12，
∴△DEF的周长为4．
故答案为：4．
【分析】利用相似三角形的性质求解即可。
4．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：过点F作FG⊥CD，垂足为点G，延长FG交AB的延长线于点H，
∴AH=CG=EF=1.4米，AC=GH=20米，CE=FG=10米，
∵FH⊥CD，
∴∠DGF=∠BHF=90°，
∵CD=7米，
∴DG=CD-CG=5.6（米），
∵∠DFG=∠BFH，
∴，
∴，
∴，
∴BH=16.8，
∴AB=BH+AH=18.2（米），
即塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2.
【分析】根据题意先求出DG的值，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
5．如图，D，E分别为AB的三等分点，DF // EG // B，若BC=12，则DF= ，EG= ．
【答案】4；8
【解析】【解答】∵DF // EG // BC，
∴△ADF∽△AEG∽△ABC，
∴DF：BC=AD：AB，EG：BC=AE：AB，
∵D，E分别为AB的三等分点，BC=12，
∴DF：12=1：3，EG：12=2：3，
∴DF=4，EG=8，
故答案为：4，8
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ADF∽△AEG∽△ABC，从而可得比例式结合已知条件求解。
6．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知小B、C三点在同一直线上，且AB=2m，BC=8m，他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m。
【答案】6.4
【解析】【解答】解： ∵∠EAB=∠DCB，∠EBA=∠DBC，
∴△EAB∽△DCB，
∴，
∴，
∴CD=6.4m.
故答案为：6.4.
【分析】先证出△EAB∽△DCB，得出，把数值代入进行计算，即可求出CD的长.
7．如果 ，那么= ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴2y=3（x﹣y），
整理，得3x=5y，
∴=．
故答案为．
【分析】先由已知条件可得2y=3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得的值．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似，你添加的条件是 .
【答案】答案不唯一，如∠ADE＝∠C
【解析】【解答】解：由图可知△ABC与△AED有一对公共角∠A，则再增加一对角相等即可.
∵∠ADE＝∠C，∠A=∠A
∴△AED∽△ABC
故增加∠ADE＝∠C.
故答案为：∠ADE＝∠C.
【分析】图形中隐含公共角∠A=∠A，由此可添加其它两组角中的任意一组角相等，可证得两三角形相似；或利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
9．如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝EB，
∵EF∥BC，
∴ ＝ ＝1，
∴ ＝ ，
∵△ABC的两条中线AD和CE相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴EG＝ CG，DG＝ AG，
∵EF∥BC，
∴ ＝ ＝ ，即DG＝2FG，
∵AF＝FD，
AF＝3FG，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ＝ ＝1，再求出DG＝2FG，最后计算求解即可。
10．已知点P是线段的黄金分割点，，那么 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设的长为，由黄金分割点可知
∴
去分母得：
解得（舍去）或
经检验是方程的解
∴的长为cm
故答案为：．
【分析】设的长为，由黄金分割点可知，再将数据代入计算即可。
11．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝8，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，OE⊥AC
∴∠ADC=∠AOE=90°，AB=CD
AO=AC
在Rt△AOD中，AB=4，AD=8
∴AC=BD=
∵∠EAO=∠DAO，∠ADC=∠AOE
∴△AEO∽△ACO
∴
8AE=4×2
解之：AE=5
故答案为：5
【分析】根据矩形的性质得出∠ADC=∠AOE=90°，AB=CD，求出AO的长，再根据勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACO，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可。
12．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 ．
【答案】2+
【解析】【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，
∵D'C=4，
∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，
∵DE∥AC，
∴ = ，即 = ，
解得BC=2+ （负值已舍去），
即BC的长为2+ ．
故答案为：2+ ．
【分析】利用旋转的性质，可得出BE=BE'=5，BD=BD'，再根据平行线分线段成比例，得出对应相等成比例，然后代入计算可求出BC的长。
13．如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=2，
∴∠D=∠ECH，
又∵CD=CH=2， DF=CE.
∴△CDF≌△HCE(SAS)，
∴CF=EH.
∴AE+CF=AE十EH，
当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，此时CD//AB，
∴△CEH∽△BAH.
∴，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，由“SAS”可证△CDF≌△HCE，可得CF=EH，则AE+CF=AE+EH，即当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，通过证明△CEH∽△BAH，即可求解.
14．如图，请在方格图中画出一个与△ABC相似且相似比不为1的三角形（它的顶点必须在方格图的交叉点） ．
【答案】如答图
【解析】【解答】解：如图所示：
△A1B1C1就是所求的相似三角形．
【分析】利用勾股定理计算出三角形的三边长，再让它的各边都乘以，得到新三角形的三边长，从网格中画出即可．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，
∴△BCD∽△CAD，
∴ ，
∴CD2＝AD BD＝6×2＝12，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD，根据两角分别相等可证△BCD∽△CAD，可得 ，据此即可求出结论.
16．20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
【答案】( -1)
【解析】【解答】解：依题意，BE=
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的定义，即可求解．
17．已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且，
∴，
故答案为：.
【分析】用黄金分割的定义“把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是（√5-1）：2”计算即可求解．
18．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【解析】【解答】解：∵∠G=∠C=∠FAD=90°，
∴∠CAD=∠AFG．
∵AD=FA，
∴△ACD≌△FGA，
∴AC=FG，故①正确；
∵FG=AC=BC，FG∥BC，∠C=90°，
∴四边形CBFG为矩形，
∴S△FAB= FB·FG= S四边形CBFG，
故②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，
故③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC∶FE=AD∶FQ，
∴AD·FE=AD2=FQ·AC，
故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】根据∠G=∠C=∠FAD=90°，可知K型全等，证得△ACD≌△FGA ，所以AC=FG；FG =BC，FG∥BC，可得四边形BFGC是平行四边形，再加∠C=90°，可得四边形BFGC是矩形；根据△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ABF；由AD2=FQ·AC，可知是证△ACD∽△FEQ，再根据四边形ADEF是正方形就可证得．
19．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于点F，已知FG=4，则线段AE=
【答案】24
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，G为CD的中点，
∴AB=CD=2DG，AB∥CD，DG=CG
∴△ABF∽△DFG，∠ADG=∠GCE=90°，
∴即
解之：AF=8；
∴AG=AF+FG=8+4=12；
在△ADG和△ECG中
，
∴△ADG≌△ECG（ASA），
∴AG=GE，
∴AE=2AG=2×12=24.
故答案为：24.
【分析】利用正方形的性质可证得AB=CD=2DG，AB∥CD，DG=CG，可证得△ABF∽△DFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出AF，AG的长；再利用ASA证明△ADG≌△ECG，利用全等三角形的性质可得到AG=GE，由此可求出AE的长.
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于点O，若 ＝ ，则S△DEO∶S△BOC= .
【答案】1：9
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ODE∽△OCB，
∵
∴S△DEO∶S△BOC=1：9
故答案为：1∶9.
【分析】易证△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质以及已知条件可得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
21．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由等比性质，得 ，
故答案为： ．
【分析】根据等比性质进行解答即可.
22．如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为 ．
【答案】8m
【解析】【解答】解：根据题意可得：
∴∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m，
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴△EDC∽△FDC，
∴，
∴，
∴DC2=4×16=64，
∴DC=8，
故答案为：8m.
【分析】先证出△EDC∽△FDC，可得，再将数据代入可得DC2=4×16=64，最后求出DC的长即可.
23．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为
．
【答案】8
【解析】【解答】连接 ，如图，
点 为△ABC角平分线交点，
平分 ，
，
由平移得：
同理可德
的周长为
阴影部分的周长为
故答案为：
【分析】连接 ，如图，因为点 为△ABC角平分线交点，得出 平分 ，由平行的性质和等角对等边可得出，同理可得出，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长。
24．如图，已知，，，则= ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，即，
解得，，
，即，
解得，；
故答案为6．
【分析】由可证，可得即得，根据即可求解.
25．根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高160厘米，下肢长95厘米，持上述观点，她所选的高跟鞋的最佳高度约为 （精确到0.1cm）．
【答案】3.9
【解析】【解答】解：160×0.618=98.88．
98.88﹣95=3.88≈3.9．
故答案为：3.9．
【分析】先求得身高的0.618，然后与下肢长进行比较即可．
26．如图， 为等边三角形，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，连接 ， ，若 ，则 ．（结果用含 的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】如下图：作 于 ，
设 长度为单位“1”，则 ， ，
设 ，则 ，
∵ ，
，
在 中：
解得：
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
故为：
【分析】设FC=1，分别表示出出AF和AC，过点F作垂线，构造相似三角形，分别代入求解即可．
27．如图，△ABC中，G为重心，DF∥BC，则 = .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点G是重心
∴，点D为AC的中点
∴AC=2AD
∵DF∥BC
∴
设FG为x，则EG=2x，AG=2EG=2×2x=4x
∴AE=AG+EG=4x+2x=6x
∴
故答案为：
【分析】根据重心的定义，可知，点D为AC的中点，利用平行线分线段成比例定理，可证，设FG为x，则EG=2x，AG=4x，AE=6x，然后求出FG与AE的比值。
28．如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB= 米．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，
∴CD∥AB，
∴△CDE∽△ABE，
∴ = ，即 = ，
解得：AB=4，
故答案为：4．
【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有 = ，将相关数据代入计算可得．
29．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣2）或（1，2）
【解析】【解答】解：∵以原点位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，
∴点B的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
故答案为（﹣1，﹣2）或（1，2）．
【分析】利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标都乘以 或﹣ 即可得到点B的对应点的坐标．
30．《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门八十步有木，出西门二百四十五步见木.问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，已知每步约40厘米，则正方形的边长约为 米.
【答案】112
【解析】【解答】解：∵点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
∴，
∴AM=AN，
由题意可得，∠ANF=∠EMA=90°，
∠NAF+∠AFN=∠NAF+∠EAM=90°，
∴∠AFN=∠EAM，
∴Rt△AEM∽Rt△FAN，
∴，
∵AM=AN，
∴，
解得：AM=140，
∴AD=2AM=280（步），
∴（米）
故答案为：112.
【分析】根据正方形的性质和中点的定义得出AM=AN，再证明Rt△AEM∽Rt△FAN，根据成比例的性质列式求出AM，则可得出AD长，最后单位换算，即可得出结果.
31．如图 31-1， 在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ， ， 现以原点 为位似中心， 在第一象限内作与 的位似比为 2： 1 的位似图形 ， 则顶点 的坐标是 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 的位似比为 2： 1 的位似图形 且 原点 为位似中心， 点C（3，2），
∴点C'（3×2，2×2）即（6，4）.
故答案为：（6，4）.
【分析】利用已知条件： 的位似比为 2： 1 的位似图形 且 原点 为位似中心，由点C的坐标可得到点C'的坐标.
32．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，则△DEF的面积为 ．
【答案】49
【解析】【解答】解： ∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，
∴，△ABC∽△DEF，
∴，
∵S△ABC＝9，
∴.
故答案为：49.
【分析】根据位似的性质得，△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.
33．如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，…．若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，则△A1007B1007A1008的面积是 ．
【答案】34031
【解析】【解答】解：∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1、9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，
∴∠B1B2A2=∠B2B3A3，∠A2B1B2=∠A3B2B3，
∴△A2B1B2∽△A3B2B3，
∴ = = = = ，
∵A3B2∥A2B1，
∴△OA2B1∽△OA3B2，
∴ = = = ，
∴△OB1A2的面积为 ，△A1B1A2的面积为 ，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，…
∴△A1007B1007A1008的面积为 ×32=34031，
故答案为34031．
【分析】根据面积比等于相似比的平方，从而可推出相邻两个三角形的相似比为1：3，面积比为1：9，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个三角形的面积，再根据规律即可解决问题．
34．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时标杆旁边一棵杨树的影长为10.5米，则这棵杨树高为 米.
【答案】7.5
【解析】【解答】解：设这棵杨树高度为xm，
由题意得， ＝ ，
解得：x＝7.5，
经检验，x＝7.5是原方程的解，
即这棵杨树高为7.5m.
故答案为：7.5.
【分析】设这棵杨树高度为xm，利用同一时刻的物高与影长成比例列出方程。解方程即可求出这棵杨树的高（别忘记检验哦） .
35．已知 中，点D在边AC上，AB=12，AC=8，AD=6，点E在边AB上，若 和 相似，则AE的长是 ．
【答案】9或4
【解析】【解答】解：∵△ADE和△ABC相似，
而∠BAC=∠DAE，
∴ ，即 ，解得AE=9；
当 ，即 ，解得AE=4，
综上所述，AE的长为9或4．
故答案为9或4．
【分析】利用相似三角形的性质得到 ，即 或 ，即 ，然后利用比例的性质求出AE即可．
36．点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AC，OB
又∵
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴∠BAC=180°-67.5°-67.5°=45°
又CO=DO
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∴∠COD=180°-67.5°-67.5°=45°
∴∠BCP=∠COD=45°
又∠CBP=∠OCD
，
∴
．
故答案为：
【分析】连接AC，OB，根据三角形的内角和得到∠BAC，∠DOC，再根据角之间的关系可得∠BCP=∠COD=45°，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
37．如图，原点 是 和 的位似中心，点 与点 是对应点， 的面积是 ，则 的面积是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C 是位似图形，点A（1，0），A′（-2，0），
∴△ABC与△A′B′C′ 位似比为1：2，
∴△ABC与△A′B′C′ 面积比为1：4，
∴△A′B′C′的面积为 4=6
故答案为：6
【分析】首先根据点A和点A′的关系求出两个三角形之间边长的位似比，则面积比等于边长位似比的平方，求出面积即可。
38．已知，且a-b+c=10，则a+b-c的值为
【答案】6
【解析】【解答】解：设 a = 4k ， b = 5k ， c = 6k ，其中 k 是比例常数.
根据题意，有a-b+c=10=4k-5k+6k，解得k=2.
∴a=8，b=10，c=12.
∴a+b-c=8+10-12=6.
故答案为：6.
【分析】设 ，根据比例的性质知a=4k，b=5k，c=6k，再代入a-b+c=10，得4k-5k+6k=10，解之得出k的值，进而可得a、b、c的值，据此可得答案．
39．图1是遮雨棚，一边搭在墙面上，由支架固定．其侧面结构示意图如图2所示．墙BE垂直于地面，棚面的顶端D固定在上，是支架，在墙上有一照明灯E，该遮雨棚外端点G在灯光和阳光照射下产生的影子分别落在地面A，B处．经测量得到，，，，H为DG和BA延长线的交点，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接．
，，
，
，
，
，
∵FD=FG=CF=，
∴DG=2×=，
，
，
，
，
，
，解得：EC=16，
在中
故答案为：．
【分析】连接，由直角三角形的判定易得∠DCG=90°，结合已知可得，根据平行线分线段成比例定理的推论"平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例"可得比例式，结合已知可得关于EC的方程，解方程求出EC的值，在中，用勾股定理即可求解．
40．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 的面积与 的面积比为 ．
【答案】1∶4
【解析】【解答】解： ，
，
∴ 的面积与 的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
41．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，．连接，设的中点为，在点从这个时刻走到．这个时刻的过程中，点所走过的路径长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图①，当时，过作轴于点，过点作轴的垂线交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
如图②，连接，，取的中点，过作轴于点，则，，
，的中点为，
，
点在线段的垂直平分线上，
设线段的垂直平分线交轴于点，则，，
在中，，
，
解得：，
当时，与原点重合，此时，得到，
此时点与的中点重合，
，
，
当时，，此时，
，，
，
，即此时点与原点重合，与重合，
当时，点在上运动，点所走过的路线为线段，且，
即点从这个时刻走到．这个时刻的过程中，点所走过的路径长是，
故答案为：．
【分析】如图①，当时，过作轴于点，过点作轴的垂线交的延长线于点，根据点P的坐标，可得，，由同角的余角相等得 ，从而由有两组角对应相等两个三角形相似得，根据相似三角形的对应边成比例求出，进而根据线段和差求出；连接，，取的中点， 过作轴于点，则，，，得到点在线段的垂直平分线上，从而发现当时，点在上运动，点所走过的路线为线段，求出长度即可．
42．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6．动点P，Q从点A同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿边AB向终点B匀速运动．点Q以每秒6个单位长度的速度沿边AC向终点C匀速运动，连接PQ，以PQ为边作正方形PQMN，使得点M，C始终在PQ的同侧．设点P运动的时间为ts．
（1）PQ PA（填“＞”“＜“或“＝”）．
（2）如图2，当点M落在边BC上时，t＝ s．
【答案】（1）=
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图， 过点Q作 于点H，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴ ，
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案是： ；
（2）如图，过点Q作 于点H，
由（1）知， ，
∴ ，
∵四边形QPNM是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
故答案是： ．
【分析】（1）利用相似三角形的性质与判定，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出，最后解方程即可。
43．如图，在△ABC中，AB=AC=m，D为BC的中点，BD=n，E，F分别在AB，AC上，若∠EDF=90°－∠A，则△AEF的周长是 .（用含m，n的代数式表示）
【答案】
【解析】【解答】解：连接AD，过点D作交于点G，过点D作交于点M，过点D作交于点N，如图所示，
AB=AC ， D为BC的中点，，，
，，，，，同理，
AB=AC ，，，
∠BDF 是中角的外角，，又，，
又，，，
，，而，，，
是角平分线，，，，同理，
△AEF的周长是.
故答案为：.
【分析】连接AD，过点D作交于点G，过点D作交于点M，过点D作交于点N，结合等腰三角形性质证明，求出，同理，根据三角形内角和性质得到，结合三角形的外角性质推得，进而推得，根据相似三角形和中点性质得到得，进而推得，得到是角平分线，所以，同理，进而根据三角形的周长公式求 △AEF的周长.
44．如图，已知直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y= （x>0）交于C、D两点，且∠AOC=∠ADO，则k的值为 。
【答案】
【解析】【解答】解：
根据已知可得，OA=2，OB=4，根据勾股定理可得，AB=2
如图，过点C作CE⊥x轴于点E，作CG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，作DF⊥y轴于点F，连接GH，GD，CH
∵点C和点D为反比例函数图象上的点
∴S矩形FDHO=S矩形GCEO
∴S矩形FDHO=S矩形GOEC
∴S△DGH=S△GHC
∴点C，D到GH的距离相等
∴CD∥GH
∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形
∴BD=GH，GH=CA
即BD=AC
设AC=BD=m
∵∠AOC=∠ADO，∠CAO=∠DAO
∴△AOC∽△ADO
∴
∴AO2=AC×AD
∴22=m（2-m）
∴m=+1（舍去），m=-1
过点C作CE⊥x轴于点E
∴△ACE∽△ABO
∴
∴
∴AE=，CE=
∴OE=OA-AE=2-=
∴CE×OE=×=
【分析】如图，过点C作CE⊥x轴于点E，作CG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥x轴于点H，作DF⊥y轴于点F，连接GH，GD，CH，根据勾股定理计算得到AB的长度，根据平行四边形的判定和性质以及相似三角形的判定和对应边成比例，计算得到答案即可。
45．如图，半径为 且坐标原点为圆心的圆交 轴、 轴于点 、 、 、 ，过圆上的一动点 （不与 重合）作 ，且 在 右侧）
⑴连结 ，当 时，则点 的横坐标是 ．
⑵连结 ，设线段 的长为 ，则 的取值范围是 ．
【答案】± ；4 -4≤x≤4 +4
【解析】【解答】解：（1）如图，作PF⊥AC于点F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠CFP=∠CPA=90，
∵∠PCF=∠ACP，
∴△PCF∽△ACP，
∴P点的横坐标为 ．（2）如图，连结OP，OE，AB，BE，AE，
∵△AOB，△APE都为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠PAE=45°， ，
∴∠OAP=∠BAE，
∴△OAP∽△BAE，
，
∴BE= ，
∵BE-OB≤OE≤BE+OB，
故答案为
【分析】（1）作PF⊥AC于点F，证明△PCF∽△ACP，可求得CF长，在Rt△PFC中求得PF的长，进而得出点P的坐标；（2）连结OP，OE，AB，BE，AE，证明△OAP∽△BAE，可得BE= ，根据BE-OB≤OE≤BE+OB，即可得出OE的取值范围
46．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t= 秒时，△PCQ的面积等于8cm2．
【答案】2或4或
【解析】【解答】解：①设经过x秒，使△PCQ的面积等于8cm2，
点P在线段AC上，点Q在线段CB上（0＜x≤4），
依题意有 （6﹣x） 2x=8，
解得x1=2，x2=4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
②点P在线段AC上，点Q在线段BA上（4＜m＜6）如图1，
设经过m秒，使△PCQ的面积等于8cm2，
则BQ=2m﹣8，AQ=18﹣2m，
过Q作QH⊥AC于H，则QH∥BC，
∴ = ，
∴ = ，
∴QH= ，
∴依题意有 （6﹣m） =8，
解得：m= （不合题意）；
③点P在线段BC上，点Q在线段AB上（6＜x＜9），如图2，
设经过n秒，使△PCQ的面积等于8cm2，
则PC=n﹣6BQ=2n﹣8，
过Q作QD⊥BC于D，则QD∥AC，
∴ = ，
∴ = ，
∴QD= ，
∴依题意有 （n﹣6） =8，
解得：n= ，n= （不合题意）；
综上所述，当t=2或4或 秒时，△PCQ的面积等于8cm2．
故答案为：2或4或 ．
【分析】此题是双动点问题，要用到数学中的分类讨论的思想方法。分三种情况：①点P在线段AC上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AC上，点Q在线段BA上（4＜m＜6）；③点P在线段BC上，点Q在线段AB上（6＜x＜9），根据等量关系：△PCQ的面积=8，列出方程，求解即可。
47．如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，且AB=AE，CBA=∠D+BAD过点E作EG⊥AB，垂足为G.延长BC和AE交于点F，若BF：ED=2：1，EG=2，三角形ABF的面积为7，则AD= .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AI⊥BF于I，作AJ⊥CD于J，过E作EH⊥AD于H，
∴∠AIB=∠AJE=90°，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠CEA=∠CBA，
∴∠AED=∠ABI，
∵AB=AE，
∴△ABI≌△AEJ（AAS），
∴AI=AJ，
∵S△ABF，S△AED，且BF=2ED，
∴S△ABF=2S△AED，
∵S△ABF=7，
∴S△AED
∵AE平分∠BAD，EG⊥AB，EH⊥AD，
∴EH=EG=2，
∴S△AED
【分析】首先作辅助线，证明出△DHE∽△FNB，得出FN=2DM，由三角形ABF的面积等于7，得出AE×DH=7，然后证明△AGE∽△AHD，即可求出AD的长.
48．在中，，，点D，E分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】过点B作，且，连接，交BC于点，过点A作，交的延长线于点H，如图所示：
则，
在等腰直角中，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值即为的长，此时点E与点重合，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴取得最小值时，的长度为．
故答案为：．
【分析】
由于BE等于AD，可过点B作BF垂直BC且BF等于AC，则可证，从而把转化到，显然当A、E、F三点共线时有最小值即线段AF的长，此时可过点A作BF的垂线段AH，构造直角三角形AHF再利用勾股定理即可求出AF．
49．如图，△CAB与△CDE均是等腰直角三角形，并且∠ACB=∠DCE=90°。连接BE，AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F，且AF⊥BE，将△CDE绕点C旋转直至CD∥BE时，若DA=4.5，DG=2，则BF的值是
【答案】
【解析】【解答】解：∵ CD∥BE，
∴∠CDG=∠AFB=90°，
∴∠AGC+∠DCG=90°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠AGC，∠ADC=∠cdg=90°，
∴△ADC∽△CDG，
∴，
∴CD2=DA·DG，
∵DA=4.5，DG=2，
∴CD=3，
∵ CD∥BE，∠DFE=90°，
∴∠FDC=90°，
∴∠CDF=∠DCE=∠AFE=90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形DCEF是正方形，
∴DF=CD=3，
∴GF=DF-DG=3-2=1，
∵ CD∥BE，
∴△BFG∽△CDG，
∴，
∴，
∴BF=.
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点.先证出△ADC∽△CDG，得出CD2=DA·DG，从而求出CD的长，再证出四边形DCEF是正方形，得出DF=CD=3，从而求出GF=DF-DG=3-2=1，证出△BFG∽△CDG，得出，即可求出BF的长.
50．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，在点D运动过程中，线段CF长的最小值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：连接CE，如图所示：
BC＝ ＝ ＝5，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，∠ACD＝∠AEG，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴ ＝ ，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG＝∠ECG，
∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，
∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴CF＝ DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，
当AD⊥BC时，△ABC的面积＝ AD BC＝ AB AC，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，即 ＝ ，
解得：DE＝4，
∴CF＝ ×4＝2，
故答案为：2.
【分析】连接CE，如图所示：首先根据勾股定理算出BC的长，再判断出△ABC∽△ADE，得出 ＝ ，判断出△AGE∽△DGC，得出 ＝ ，接着判断出△AGD∽△EGC，得出∠ADG＝∠ECG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF＝DE，再根据当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得DE的最小值，即可得出CF的最小值．
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