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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 专项练习卷
1．如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度
2．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
3．如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度．
4．如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为．找出图中所有的平行线及所有的相似三角形，相似三角形的相似比是多少？并说明理由．
5．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1). 试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的 。
6．如图，若 ， 和 相交于点 ，和 相交于点 ， ， ， ，求 ．
7．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD=12m，CF=1.8m，DH=3.8m．请你求出松树的高．
8．如图，在中，，于点D，，，求的面积.
9．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC= ，AD=1，求DB的长．
10．以图中的格点为顶点，画一个与已知△ABC相似的三角形（相似比不为1）．
11．如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．
12．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的C点，沿着直线 后退到点F，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A的像，量得 米， 米.已知 、 均与地面 垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即 米），请你求出松树 的高.
13．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结EB．延长DA至点F，使EF=EB．以线段AF为边作正方形AFGH，则H就是AB的黄金分割点．你能说出这种方法的道理吗？
14．如图1，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（）在地面上留下2米长的影子（），窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米.
（1）求窗户的高度（的长）；
（2）如图2，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长.
15．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，点D，E分别在BC，AB上，求线段DE的长.
16．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
17．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．
18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为点N，且BN的延长线交AC于点D．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）如果BC=20，BD=15，求AB的长度．
19．已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△A'B'C'的最长边长为6cm．求△A'B'C'的最短边的长．
20．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD=20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。当DQ=10米时，求△APQ的面积．
21．如图，在△ABC中，D为边AB上的点，连结CD，且．
（1）求证：．
（2）若，，求AB的长．
22．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，F 为 DE 的中点，连接AF，BE 相交于点 H.求 的值.
23．如图在平面直角坐标系中，直线与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长．
24．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
25．如图， ，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．
26．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？
27．试判断如图所示的两个矩形是否相似．
28．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线.请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长.
29．如图，已知AD＝4cm，BC：AC＝3：2，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC，求AB的长和∠BAD的度数．
30．如图，小静晚上从路灯A走向电线杆B．当她走到点P时，她影子的顶点刚好在路灯A与电线杆B的中点O处；当她再向前走12m到达点Q时，她影子的顶点刚好在电线杆B的底部．已知小静的身高为1.60m，路灯高为4.8m，求路灯A与电线杆B之间的距离．
31．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
32．如下图，点A、B、C、D在同一条直线上，且，线段．
（1）求线段的长；
（2）若点M是线段的中点，求线段的长．
33．如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E.与相似吗？为什么？
34．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
35．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 为BC 的中点，E为AC 的中点，F 是AE 上一点，BE，DF 交于点G，且∠EGF=45°.
（1）求证：BD·BC=BG·BE；
（2）求 的值.
36．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．
37．如图，已知四边形 是矩形，点E在 的延长线上， ．连 与 相交于点F， ，若 ，求 的值．
38．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是DC上的点，且DF=3FC，试说明：△ABE∽△ECF．
39．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
40．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、．
（1）求的面积；
（2）延长交于点，当时，求的长；
（3）连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标．
41．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
42．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为 ；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出＝ ▲ ；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长
43．一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2．甲、乙两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大（加工损耗不计）．
44．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
45．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式．当点M运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大？求出最大面积．
（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
46．（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示）
47．如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，．
（1）求的值；
（2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长；
（3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
48．如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ， ， ， ．求 的长度．
49．
（1）如图甲所示，在中，，与AB，AC分别交于D，E两点，过点作交BC于点.请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 ，的面积 ，的面积 .
（2）在第(1)题中，若与BC间的距离为，请证明：.
（3）如图乙所示， DEFG的四个顶点在的三边上，若，，的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求的面积.
50．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得 的值为 ▲ ．
解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求 的值：
应用：若CD=2，AC=6，则BP= ▲ ．
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【解答题强化训练·50道必刷题】
浙教版数学九年级上册第4章 相似三角形 专项练习卷
1．如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度
【答案】解：∵CB∥AH， ED∥AH
∴△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA
∴ ，
即
解得 ， 经检验是原方程的解。
答：旗杆AH的高度为24m。
【解析】【分析】根据平行可证
△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA，利用相似三角形的性质可得 ， ，从而可得
，代入相应数据先求出BH的长，从而求出AH的长.
2．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
3．如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到平面镜的水平距离，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度．
【答案】解：由题意和图可知：，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为1.2m．
【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用.观察图形可得：，根据相似三角形的判定定理：两组对应角相等的三角形相似，可证明，根据相似三角形的性质可得：，代入数据可求出AG的长度．
4．如图，四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比为．找出图中所有的平行线及所有的相似三角形，相似三角形的相似比是多少？并说明理由．
【答案】解：∵EF∥BC，GF∥DC，
∴△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC；
∵ 四边形AEFG与四边形ABCD是位似图形，位似比=AG：AD=AE：AB，
∴相似比都为：.
【解析】【分析】根据位似图形的定义可得EF∥BC，GF∥DC，然后由平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC；再根据相似三角形的性质可得相似三角形的相似比为.
5．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1). 试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的 。
【答案】解：如图所示：
四边形A′B′C′D′即为所求．
【解析】【分析】连接AO、BO、CO和DO并延长，根据位似比为1：2即可得出位似图形四点的坐标的位置，进行描点即可。
6．如图，若 ， 和 相交于点 ，和 相交于点 ， ， ， ，求 ．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得
【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
7．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD=12m，CF=1.8m，DH=3.8m．请你求出松树的高．
【答案】解：根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH，∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，设AB=x，BC=y∴ ，解得 ．经检验 是此方程组的解。答；这棵古松的高约为10.2米
【解析】【分析】这是一道实际问题，首先要将实际问题转化为数学问题。根据反射定律可以得到∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠GDH，题中隐含了AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，由此可证得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，根据相似三角形的性质建立方程组，求出方程组的解即可。
8．如图，在中，，于点D，，，求的面积.
【答案】解：∵，∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴.
∴的面积为
【解析】【分析】先导角证明出，根据相似性质得出，进而代入数据求得，根据三角形的面积公式，即可求解．
9．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC= ，AD=1，求DB的长．
【答案】解：∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴ ，
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2
【解析】【分析】根据已知条件易证得△ABC∽△ACD ，由相似三角形的性质可得比例式，将已知的线段代入即可求解。
10．以图中的格点为顶点，画一个与已知△ABC相似的三角形（相似比不为1）．
【答案】解：△A′B′C′就是所求的三角形．
【解析】【分析】可让相似比为1：，把原各边长都乘以后画出各边即可．
11．如图，小明为了测量大树AB的高度，在离B点21米的N处放了一个平面镜，小明沿BN方向后退1.4米到D点，此时从镜子中恰好看到树顶的A点，已知小明的眼睛（点C）到地面的高度CD是1.6米，求大树AB的高度．
【答案】解：∵AB⊥DB，DC⊥DB，
∴∠CDN=∠ABN=90°，
∵∠CND=∠ANB，
∴△CDN∽△ABN．
∴ ，
即 ，
∴AB=1.6×21÷1.4=24（米），
答：大树AB的高度为24米
【解析】【分析】先求出 ∠CDN=∠ABN=90° ，再证明 △CDN∽△ABN ，即可得
，最后计算求解即可。
12．小明想用镜子测量校园内一棵松树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的C点，沿着直线 后退到点F，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A的像，量得 米， 米.已知 、 均与地面 垂直，小明的眼睛距离地面1.5米（即 米），请你求出松树 的高.
【答案】解：由题意知 ， ，
∴
∴ ，
∵ 米， 米， 米，
∴
∴ （米）.
答：松树 的高为7.5米.
【解析】【分析】由题意知∠ECF=∠ACB，∠CFE=∠CBA=90°，证明△CFE∽△CBA，然后利用相似三角形的性质进行求解.
13．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结EB．延长DA至点F，使EF=EB．以线段AF为边作正方形AFGH，则H就是AB的黄金分割点．你能说出这种方法的道理吗？
【答案】解：设AE=x，
则AB=2x，
EF=EB=，
所以.
即H就是AB的黄金分割点．
【解析】【分析】设AE=x，则得AB=2x，根据题意和勾股定理求出BE的长用含x的式子表示，然后求出AH：AB的值，再根据黄金分割点的定义来进行判断即可解答．
14．如图1，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（）在地面上留下2米长的影子（），窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米.
（1）求窗户的高度（的长）；
（2）如图2，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长.
【答案】（1）解：由题意得，，∴.
∵，∴，即，解得.
答：窗户的高度为1.5米；
（2）解：由（1）知，∴. ∵，，∴.
∵，∴，即，解得，∴.
答：的长为0.9米.
【解析】【分析】（1）先求出OA=1.6，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出OD的值，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后求BE的长即可。
15．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，点D，E分别在BC，AB上，求线段DE的长.
【答案】解：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，
又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴ ，
在Rt△ABC与Rt△DBE中，
∴Rt△ABC∽Rt△DBE，
∴
解得DE＝ .
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，再根据DE是BC的垂直平分线可得出BD的长及∠BDE＝90°，进而可得出Rt△BDE∽Rt△BAC，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出DE的长.
16．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴．
设正方形零件的边长为，则，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴这个正方形零件的边长是．
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解题关键．
根据正方形的性质：对边平行可知：BC∥EF，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形是相似三角形可知：，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例可得：，代入数据可得：，解得：x=48，即这个正方形零件的边长是，由此可得出答案．
17．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）若AE：EB=1：2，求DE：EF的比值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠EBF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）∵AE：EB=1：2，
∴AB：EB=3：2，
∵AD=AB，
∴AD：EB=3：2，
∵△ADE∽△BEF，
∴DE：EF=AD：EB=3：2．
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得∠DAE=∠EBF=90°，再根据角之间的关系可得∠ADE=∠BEF，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AD：EB=3：2，再根据相似三角形性质即可求出答案.
18．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是斜边BC的中点，BN⊥AM，垂足为点N，且BN的延长线交AC于点D．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）如果BC=20，BD=15，求AB的长度．
【答案】解：（1）∵M是斜边BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠MAC=∠C，
∵∠MAC+∠BAN=90°，∠ABD+∠BAN=90°，
∴∠MAC=∠ABD，
∴∠C=∠ABD，
∵∠BAC=∠DAB=90°，
∴△ABC∽△ADB；
（2）∵△ABC∽△ADB，
∴===，
设AC=4x，AB=3x，
可得：（4x）2+（3x）2=202，
解得：x=±4（负值舍去），
∴AB=3x=12．
【解析】【分析】（1）根据线段中点可得AM=CM，由等边对等角可得∠MAC=∠C，再根据角之间的关系可得∠C=∠ABD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）由相似三角形性质可得==，设AC=4x，AB=3x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△A'B'C'的最长边长为6cm．求△A'B'C'的最短边的长．
【答案】解： 设△A'B'C'的最短边的长xcm，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴6：x=18：6，
解得x=2cm.
【解析】【分析】根据相似三角形的对应边成比例，对应角相等进行解答即可.
20．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB＝30米，AD=20米，现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C。当DQ=10米时，求△APQ的面积．
【答案】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30米，
∵矩形ABCD，
∴CD＝AB，
∵DC∥AP，
∴
∴
∴AP＝90，
∴S△APQ＝ AQ AP＝1350（米）2；
【解析】【分析】利用矩形的性质求出 CD＝AB， 再根据平行线分线段成比例求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
21．如图，在△ABC中，D为边AB上的点，连结CD，且．
（1）求证：．
（2）若，，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即AB的长为9．
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，对应边成比例得 ， 代入AC、AD的值，即可求解.
22．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，F 为 DE 的中点，连接AF，BE 相交于点 H.求 的值.
【答案】解：连接AD，则AD⊥DC，AD=DC，∵DE⊥AC，∴DE=EC=AE.
∵F 是 DE 的中点， 又·
又∵∠AEF=∠BAE=90°，∴△AEF∽△BAE，∴.
【解析】【分析】连接AD，即可得到DE=EC=AE，然后根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到△AEF∽△BAE，然后根据对应边成比例解答即可.
23．如图在平面直角坐标系中，直线与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长．
【答案】解：过O作于C，如图，
∵为弦，
∴，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当时，，解得，
∴，
∴当时，，
∴，
在中，由勾股定理，
∵，，
∴，
∴，即，
∴
【解析】【分析】过O作于C，根据垂径定理得到，则，，再根据勾股定理得到，进而根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可求解。
24．如图，△ABC中，DE//BC， DF//AC， AE=4， EC=2， BC=8．求 BF 和 CF 的长．
【答案】解： ， AE=4， EC=2， BC=8，
，
，
，
，
，
=8-= ．
【解析】【分析】利用平行线分线段成比例的性质列出比例式求解即可。
25．如图， ，且△ABC与△ADE周长差为4，求△ABC与△ADE的周长．
【答案】解：∵ ，∴ ，即 ＝ .
又C△ABC－C△ADE＝4，∴C△ABC＝24，C△ADE＝20
【解析】【分析】利用等比的性质，可得出两三角形的周长比为6：5，再由C△ABC－C△ADE＝4，解方程组，就可求出两三角形的周长。
26．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？
【答案】解：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ ，
∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，
∴AC=10，
∴ ，
∴CD=7.5．
答：楼高CD是7.5m．
【解析】【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
27．试判断如图所示的两个矩形是否相似．
【答案】解：这两个矩形的角是直角，因而对应角一定相等，
小矩形的长是40﹣10﹣10=20，宽是20﹣5﹣5=10，
因为=，即两个矩形的对应边的比相等，
因而这两个矩形相似．
【解析】【分析】如果两个矩形的对应角相等，且对应边的比相等，那么这两个矩形相似，依此判断即可．
28．《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度，立两根高3米的标杆和，两杆之间的距离米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线.请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度及的长.
【答案】解：由题意，得：，.
∴.
∴.
∴.
同理，，
∴.
又∵米，
∴.
∵米，米，米，
∴.
∴.
∴，
解得：.
∴，
解得：.
答：该建筑物的高度为60米，长为95米.
【解析】【分析】由题意得AH⊥HG，CB⊥HG，则BC∥HA，由平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△AHF∽△CBF，△EDG∽△AHG，然后根据相似三角形的性质进行求解.
29．如图，已知AD＝4cm，BC：AC＝3：2，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC，求AB的长和∠BAD的度数．
【答案】解：∵△ABC∽△DAC，
∴ ，
∵BC：AC＝3：2；AD＝4cm，
∴ ，
∴AB＝6cm；
∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°．
【解析】【分析】根据相似三角形的性质找出对应边，再根据已知边的长求出边AB的长，根据相似三角形对应角相等求出∠BAD的大小。
30．如图，小静晚上从路灯A走向电线杆B．当她走到点P时，她影子的顶点刚好在路灯A与电线杆B的中点O处；当她再向前走12m到达点Q时，她影子的顶点刚好在电线杆B的底部．已知小静的身高为1.60m，路灯高为4.8m，求路灯A与电线杆B之间的距离．
【答案】解：设所求的距离为，则.由，得.
【解析】【分析】 根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似得出比例式然后设未知数代入求解即可．
31．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2 ，BC=2 ，DE= ，DF= ，EF=2，
∵ = ， = = ， = = ，
∴ = = ，
∴△ABC∽△DEF
【解析】【分析】先根据勾股定理计算△ABC和△DEF的各边长，再根据“三边对应成比例，两个三角形相似”，判定△ABC和△DEF是否相似。
32．如下图，点A、B、C、D在同一条直线上，且，线段．
（1）求线段的长；
（2）若点M是线段的中点，求线段的长．
【答案】（1）解：因为，，
所以．
所以；
（2）解：因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为是的中点，
所以，
因为，
所以．
【解析】【分析】（1）根据线段之间的比例代入计算即可求出答案.
（2）根据线段之间的比例分别求出AB的长，再根据线段之间的关系即可求出答案.
33．如图，是的内接三角形，点D是的中点，弦交于点E.与相似吗？为什么？
【答案】解：相似，理由如下：∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】【分析】根据中点的概念结合圆周角定理可得∠ECD=∠DBC，然后根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明.
34．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上.若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这个矩形的长、宽各是多少？
【答案】解：∵PQMN是矩形，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
设边PN为xmm，则PQ为2xmm，
即
∵AD是高，
∴PN∥AD，
∴△PBN∽△ABD，
∴
即 ，
∵AP+BP＝AB，
∴ ＝1，
解得x＝ ，2x＝ .
即长为 mm，宽为 mm.
答：矩形的长为 mm，宽是 mm.
【解析】【分析】根据矩形的性质得PQ∥BC，则可证明△APQ∽△ABC，设边PN为xmm，则PQ为2xmm， 根据相似三角形的性质列出比例式得出 ，由PN∥AD，证明△PBN∽△ABD，根据相似三角形的性质列出比例式得出 ，两式联立建立关于x的方程求解，即可解答.
35．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，D 为BC 的中点，E为AC 的中点，F 是AE 上一点，BE，DF 交于点G，且∠EGF=45°.
（1）求证：BD·BC=BG·BE；
（2）求 的值.
【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°.
∵∠C=∠EGF=∠BGD=45°，∠DBG=∠CBE，
∴△BGD△BCE，
∴，
∴BD·BC=BG·BE.
（2）解：设AE=m，
∵在Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，AB=AC，
∴AB=AC=2m，BC=，
∴BD=CD=，
∴在Rt△BAE中，BE=
由（1）得 BD·BC=BG·BE，
∴，
∴BG=
∴EG=BE-BG=.
∵∠FGE=∠C=45°，∠EFG=∠DFC，
∴△EFG△DFC，
【解析】【分析】（1）将BD·BC=BG·BE转化成比例式是，则只需要证明△BGD△BCE即可；
（2） 求 的值，可转化求两个相似三角形的相似比的值，即△EFG△DFC的相似比的值，得，所以只需要求出的值，那么要得到它们的数量关系或者设未知数，分别表示出它们的长，再求比值.根据等腰直角三角形的性质和中点的定义，不妨设AE=m，不难用m表示出BD、CD、BC、BE的长，并代入（1）中的BD·BC=BG·BE，求出BG，进而求出EG，那么根据即可解答.
36．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC， = ，OB=4，求AO和AB的长．
【答案】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴ = = ，
∴ = ，解得OA=6，
∴AB=OA+OB=4+6=10
【解析】【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．
37．如图，已知四边形 是矩形，点E在 的延长线上， ．连 与 相交于点F， ，若 ，求 的值．
【答案】解：∵四边形 是矩形，
∴AF∥BC，
∴ ，
∴
而AF=AB=a，BC=AD=AE=b
∴
∴
∵
∴
设 ，则有 ，
解得： 或 （舍去），
∴故 ．
【解析】【分析】根据矩形的性质证明 ，对应边成比例可得出，方程两边同时除以得出，解一元二次方程即可得出结果。
38．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是DC上的点，且DF=3FC，试说明：△ABE∽△ECF．
【答案】证明：∵E为BC中点，∴ =2，∵3FC=FD，∴FC= DC ∴ =2，∴ = ，又∠ABC=∠ECF=90°，∴△ABE∽△ECF
【解析】【分析】利用线段中点的定义，可得出AB与EC的比值为2，再由3FC=FD，去证明BE与FC的比值为2，就可得出AB、EC、BE、FC这四条线段成比例，再由∠ABC=∠ECF，可证得结论。
39．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2 或x=﹣2 （舍去），
即x的值为2
【解析】【分析】（1）根据等比的性质，可设a=3k，b=2k，c=6k，则3k+2×2k+6k=26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2=ab，然后代入计算即可求解．
40．如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、．
（1）求的面积；
（2）延长交于点，当时，求的长；
（3）连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标．
【答案】（1）解：的图象经过点，
，
轴，，
∴点的坐标为，
轴，点在函数图象上
∴点的坐标为，
∴
；
（2）解：如图，
，
，
，
点的纵坐标
由反比例函数，
点的横坐标，
设直线的解析式为，代入和得：
，
解得，
∴，
当时，，
∴；
（3）解：过点Q作MN⊥OA交x轴于点N，交y轴于点M，
∵Q是的中点，
∴点Q坐标为，且，
∴，
即，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
线段为较长直角边作，使与相似，
∴，
∴点P在上且点P为或的中点，
∴点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据点的坐标与图形性质可求出点C点D的坐标，从而得到CD的长，进而根据三角形面积计算公式即可求出三角形的面积；
（2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据点的坐标与图形性质易得点F的横坐标为，从而将x=代入直线AD的解析式算出对应的函数值，可得点F的坐标，最后根据两点间的距离公式可算出BF的长；
（3）过点Q作MN⊥OA交x轴于点N，交y轴于点M，根据中点坐标公式求出Q点坐标，根据等腰直角三角形性质易得OQ=QM=QN，OM=ON=2，从而得到点M、N得坐标，线段OQ为较长直角边作Rt△OPQ，使△OPQ与△ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得点P在MN上且点P为OM或ON的中点，利用中点坐标解题即可．
（1）解：的图象经过点
，
轴，，
∴点的坐标为，
轴，点在函数图象上
∴点的坐标为，
∴
，
（2），
，
，
点的纵坐标
由反比例函数，
点的横坐标，
设直线的解析式为，代入和得：
，解得，
∴，
当时，，
∴；
（3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，
∵Q是的中点，
∴点Q坐标为，且，
∴，
即，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
线段为较长直角边作，使与相似，
∴，
∴点P在上且点P为或的中点，
∴点的坐标为或．
41．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
【答案】（1）2；2
（2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，
∵两个矩形相似，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克.
【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
故答案案为：2；2；
【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
（2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出；
（3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克.
42．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB＝AC，如图Ⅰ，进行了如下操作：
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图Ⅱ
第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
（1）填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为 ；
（2）①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
②当AB＝AC＝6，BC＝2时，连接DG，请直接写出＝ ▲ ；
（3）如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当∠CPM＝∠B时，求AM的长
【答案】（1）∠CAD＝∠GAD
（2）解：①AD∥BC，理由如下：
∵AB＝AC，
∴AB＝AC，且∠GAC＝∠B+∠C＝2∠C，
∵∠GAC＝∠CAD+∠GAD＝2∠CAD，
∴∠C＝∠DAC，
∴AD∥BC；
②3
（3）解：如图所示，延长CP交MA的延长线于点Q，
∵AM∥BC，
∴∠3＝∠4+∠5，
∵∠B＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠B，
∵∠CPM＝∠B，
∴∠CPM＝∠3，
又∵∠1＝∠2，∠2+∠3+∠M＝180°，∠1+∠CPM+∠5＝180°，
∴∠M＝∠5，
又∵AQ∥BC，
∴∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，
又∵P为AB的中点，
∴AP＝PB，
∴△PAQ≌△PBC（AAS），
∴AQ＝BC＝2，
又∵∠APC＝∠B+∠4＝∠APM+∠CPM，∠B＝∠CPM，
∴∠4＝∠APM，
又∵∠Q＝∠4，
∴∠APM＝∠Q，
又∵∠M＝∠5，
∴△APM∽△AQC，
，
∵AB＝2，AP＝3，AC＝6
，
答：AM的长为9．
【解析】【解答】解：（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠GAD，
故答案为：∠CAD＝∠GAD；
（2）②∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠B＝∠C＝∠GAC，
∵∠CAD＝∠GAD＝∠GAC，
∴∠GAD＝B＝∠C，
又∵AD＝GD，
∴∠GAD＝∠AGD，
∴∠GAD＝∠AGD＝B＝∠C，
∴△ADG∽△BAC，
即
故答案为：3．
【分析】（1）由作图步骤可得AD为∠GAC的角平分线，根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①根据等边对等角可得AB＝AC，再根据角之间的关系可得∠C＝∠DAC，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
②根据角之间的关系可得∠GAD＝B＝∠C，根据等边对等角可得∠GAD＝∠AGD，再根据相似三角形判定定理可得△ADG∽△BAC，则，即，代值计算即可求出答案.
（3）延长CP交MA的延长线于点Q，根据直线平行性质可得∠3＝∠4+∠5，根据角之间的关系可得∠M＝∠5，再根据直线平行性质可得∠Q＝∠PCB，∠PAQ＝∠B，再根据线段中点可得AP＝PB，根据全等三角形判定定理可得△PAQ≌△PBC（AAS），则AQ＝BC＝2，根据饺子回见的关系可得∠APM＝∠Q，再根据相似三角形判定定理可得△APM∽△AQC，则，代值计算即可求出答案.
43．一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2．甲、乙两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大（加工损耗不计）．
【答案】解：由AB=1.5m，S△ABC=1.5m2，可得BC=2m， 由图①，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H． 由AB=1.5m，BC=2m， 得AC= （m）， 由AC·BH=AB·BC 可得：BH= =1.2（m）， 设甲设计的桌面的边长为xm， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴ ，即 ，解得 （m）， 由图②，若设乙设计的正方形桌面边长为ym， 由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA， ∴ ，即 ，解得 （m）， ∵ ， ， ∴x＜y ，即x2＜y2， ∴S正方形①＜S正方形②， ∴第二个正方形面积大．
【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出BC，如图①，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H，根据光杆司令求出AC，利用直角三角形的两个面积公式求斜边上的高BH，设甲设计的桌面的边长为xm，利用相似三角形的判定和性质，建立关于x的方程，求出x的值； 图②，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，易证Rt△CDE∽Rt△CBA，利用相似三角形的性质，建立关于y的方程，求出y的值，再比较x2和y2的大小，就可结论。
44．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．
（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】答：（1）AD=A′D．证明：如图1，∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∴BC=BC′，BA=BA′．∵∠A′BC′=∠ABC=60°，∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．∴∠BAA′=∠BC′C=60°．∵∠A′C′B=90°，∴∠DC′A′=30°．∵∠AC′D=∠BC′C=60°，∴∠ADC′=60°．∴∠DA′C′=30°．∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．∴AD=DC′，DC′=DA′．∴AD=A′D．（2）仍然成立：AD=A′D．证法一：利用相似．如图2﹣1．由旋转可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）∴∠1=∠3．设AB、CD交于点O，则∠AOD=∠BOC∴△BOC∽△DOA．∴∠2=∠4，=．连接BD，∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA．∴∠5=∠6．∵∠ACB=90°，∴∠2+∠5=90°．∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．∵BA=BA′，∠ADB=90°，∴AD=A′D．证法二：利用全等．如图2﹣2．过点A作AE∥A′C′，交CD的延长线于点E，则∠1=∠2，∠E=∠3．由旋转可得，AC=A′C′，BC=BC′，∴∠4=∠5．∵∠ACB=∠A′C′B=90°，∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6．∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．在△ADE与△A′DC′中，∴△ADE≌△A′DC′（ASA），∴AD=A′D．（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，如图3，则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．在Rt△ACB和Rt△AC′B中，．∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．∴∠ABC=∠ABC′=60°．∴当A、C′、A′三点在一条直线上时，旋转角α的度数为60°．
【解析】【分析】（1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
（2）解答中提供了两种方法，分别利用相似与全等，证明所得的结论．
（3）当A、C′、A′三点在一条直线上时，有∠AC′B=90°，易证Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），从而可以求出旋转角α的度数．
45．如图，正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式．当点M运动到什么位置时，梯形ABCN的面积最大？求出最大面积．
（3）当点M运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=∠C =90°，
∵AM⊥MN ，
∴∠AMN = 90°．
∴∠CMN＋∠AMB= 90°．
∵∠MAB＋∠AMB＝90°，
∴∠BAM=∠CMN .
∴ Rt △ABN∽ Rt △MCN.
（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，即
∴CN= .
∴y= (AB+CN) ·BC=(x-2)2+10．
当x=2时，y取最大值，最大值为10.
故当点M运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（3）∵∠B＝∠AMN= 90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN ，必须有，即.
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴.
∴.
∴BM=MC．
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN．
【解析】【分析】（1） 由正方形ABCD 可得 ∠B=∠C=90°，再根据AM和MN垂直，得到∠AMN为直角，然后利用两对角相等的三角形相似即可；
（2）由相似三角形的性质列比例式，可得到梯形ABCN的面积为y与x之间的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可确定梯形ABCN的最大面积；
（3）假定Rt△ABM∽Rt△AMN ，得到AB：AM=BM：MN，表示出BM，由（1）中结论表示CM，进而得到BM =CM.
46．（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；
（3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）由（1）同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）同理可证，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）同理可证，根据相似三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）同理可证，根据相似三角形性质可得，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
47．如图，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，连接，．
（1）求的值；
（2）在绕点旋转过程中，当点落在对角线上时，求的长；
（3）连接，试探究能否构成以为直角边的，若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）能，或
【解析】【解答】（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
【分析】（1）根据勾股定理可得AC，再根据旋转性质可得，，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在上时，根据边之间的关系可得，，，CE=2，再根据勾股定理可得FC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在延长线时，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理科二CF，根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：，是以为直角边的三角形，设，，根据旋转性质可得，，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，过点作于点，交于点，则，根据相似三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得AK，根据边之间的关系可得KH，根据线段中点可得CK，再根据勾股定理可得KH，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；，是以为直角边的三角形，根据题意可得，，，，根据直线平行判定定理可得，过点作与点，则，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，即可求出答案.
（1）解：四边形是矩形，，，
，
，
将绕点顺时针方向旋转，与能够重合在一起，
，，，
∴，
，
；
（2）解：分以下两种情况：
①当点在上时，如图
，，，
，
在中，，
由（1）可得，，
；
②当点在延长线时，如图所示
，
在中，，
，
，即，
；
综上所述，的长为或；
（3）解：能，或，理由如下：
分以下两种情况：
第一种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
由（1）可得，，，
设，，
旋转，
，，，
是等腰三角形，
过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
在中，，点是中点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（负值舍去），
；
第二种情况，如图所示，，是以为直角边的三角形，
与重合，
，，，，
，是等腰三角形，
，
过点作与点，
，，
四边形是矩形，
，
．
48．如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ， ， ， ．求 的长度．
【答案】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵
∴
∵ ，
，
∴
在 和 中，
∴
∴ ，即
解得
即 的长度为 ．
【解析】【分析】根据矩形的性质求出DC的长以及∠ADC=∠C=90°，根据勾股定理求出DE的长，由垂直的定义即可得到∠AFD=∠C，根据同角的余角相等即可得到∠EDC=∠DAF，进而证明得到△EDC∽△DAF，由相似三角形的性质求出DF的长度即可。
49．
（1）如图甲所示，在中，，与AB，AC分别交于D，E两点，过点作交BC于点.请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 ，的面积 ，的面积 .
（2）在第(1)题中，若与BC间的距离为，请证明：.
（3）如图乙所示， DEFG的四个顶点在的三边上，若，，的面积分别为2，5，3，试利用(2)中的结论求的面积.
【答案】（1）6；9；1
（2）证明：，
四边形DBFE为平行四边形，，
，
.
，
，
.
而；
（3）解：过点作交BC于点，则四边形DBHG为平行四边形，
.
四边形DEFG为平行四边形，
，
，
的面积为.
由(2)得的面积为，
的面积为.
【解析】【解答】解：（1），
∵EF∥AB，
∴，相似比，，
∴，，
∴，
∵DE∥BC，
∴，相似比，
∴，
∴，
∴.
故答案为：6；9；1；
【分析】（1）相似三角形面积比等于相似比的平方，题目给出S1的底和高，可以直接求出其面积；再根据相似比，得出面积比，从而得出△ABC面积为16，同理得出S2=1，因此四边形DBFE面积；
（2）由（1）把2、6、3换成a、b、h，，，，则；
（3）题目告知类似于（2），则需添辅助线构造成（2）中的图形，过点G作GH∥AB交BC于点G，此时，只需求出三角形GHF的面积即可利用（2）中结论.
50．在△ABC中，∠ACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得 的值为 ▲ ．
解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2．求 的值：
应用：若CD=2，AC=6，则BP= ▲ ．
【答案】解：发现：如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，即可得到 = = ．解决问题：如图2中，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．∵E是AC中点，∴AE=CE．∵AF∥DB，∴∠F=∠1．在△AEF和△CEB中， ，∴△AEF≌△CEB，∴EF=BE，AF=BC=2k．∵AF∥DB，∴△AFP∽△DBP，∴ = = = = ．应用：当CD=2时，BC=4，AC=6，∴EC= AC=3，EB= =5，∴EF=BE=5，BF=10．∵ = （已证），∴ = ，∴BP= BF= ×10=6．
【解析】【分析】发现：根据AAS可得△AEF≌△CEB，进而得出AF=BC。由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可以求出.
解决问题：根据ASA可得△AEF≌△CEB，则有EF=BE、AF=BC=2k，再证明△AFP∽△DBP，由相似三角形的性质求出.
应用：当CD=2时，可以求出EB、EF、BF的值，根据求出，即可得BP的值.
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