4.2-4.3 相似三角形及其判定 教案

4.2-4.3相似三角形及其判定复习
教案
教学目标
（1）知识技能：进一步巩固相似三角形判定的知识，利用三角形相似证明角相等、线段成比例、表示线段的长及线段之间的函数关系式，
（2）解决问题：在运动的过程中，利用相似三角形的判定及线段成比例解决是否存在相似三角形的问题，能用相似所得的二次函数解决线段长度、三角形面积的最值问题等。
（3）数学思考：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。在解决问题的过程中，运用了函数、方程、数学结合、分类讨论、转化、从特殊到一般、建模等重要的数学思想方法。
（4）情感态度：学会与同学交流合作，培养团队精神，变他有为己有，培养把自己的想法与观点陈述给其他同学的语言表述能力。体验学习几何过程中成功的快乐，增强学习几何的信心与热情
教学重点：相似三角形判定的应用及利用三角形相似证明角相等、线段成比例、表示线段的长。
教学难点：把实际问题转化成相似三角形的数学模型及利用分类讨论思想确定三角形的存在性。
教学过程设计
一、基本图形、建构框架
1、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为BC边上的一点，连结AE，过E点做EF⊥AE交边CD于点F，
（1）图中有相似三角形吗？
生：△ABE∽△ECF，理由如下：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°
∴∠BAE+∠AEB=90°∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°
∴∠FEC=∠AEB，∴△ABE∽△ECF
师：谁来总结下这位同学在解决问题过程中用到的知识点呢？
生：正方形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似。（师板书：相似三角形的判定定理：1、两个角对应相等的两个三角形相似）
师：在证明相似的问题中，这是一个基本的图形：K字型（或者三垂直）
（2）若E为BC的中点，连结AF，你能求出图中哪些线段的长？
生：图中的所有线段都能求；
生：∵E为BC的中点，BC=AB=4，∴BE=CE=2,，
∴AE=，∵△ABE∽△ECF，∴，
∴，CF=1，∴EF=，DF=3，∴AF=5，
师：利用相似三角形的对应边成比例，已知三边可以求出第四边，在直角三角形中，勾股定理是求线段长度的基本方法。
师：根据刚才所求的线段找，找找看：①此时，图中共有几对相似三角形呢？
生：有3对，△ABE∽△AEF∽△ECF
师：求证：△ABE∽△AEF
生：AB=4，BE=2，AE=,EF=,
AF=5,
∴
∴△ABE∽△AEF
(师板书：三边对应成比例的两个三角形相似)
生：还有别的方法证明△ABE∽△AEF，理由如下：∵∠ABE=∠AEF=90°,
,∴△ABE∽△AEF
(师板书：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)
二、变式拓展、迁移应用
师：若去掉条件：AB=4，你还能证明上述结论吗？
生：可以设AB=a，则，BE=CE=，AE=
,∵△ABE∽△ECF,
∴
CF=
，∴EF=，DF=，∴AF=，同样这些边还是成比例的。
用上述的方法还是能够证明的。
师：这位同学的转化思想、用字母表示数的想法非常好。这样就可以把这个问题转化成有长度的问题，在类比下刚才的结论，这些边的表示方法也是比较容易的。除了用字母来表示AB，求出其他边之外，是否还有别的证明的方法呢？
生：可以，∵△ABE∽△ECF，∴，∵BE=CE，∴，∴
∵∠ABE=∠AEF=90°∴△ABE∽△AEF
师：这位同学通过两个三角形相似得到对应边成比例，在通过等量代换、对调比例式的内项等变式技巧，得到证明两个直角三角形相似的条件：已知一角，再加对应边成比例即可。这种思路也是我们再解决较难的相似三角形证明题的常用方法：
相似三角形→比例式→变换比例式→相似三角形(板书)
师：在此基础上，②求证：AE2=AB·AF
生：因为这是乘积式，可以先转化成比例式：∵AE2=AB·AF，∴
这样就能够找到证明这个比例式需要找哪一对相似三角形：△ABE∽△AEF，即可
总结：
一、判定相似三角形的方法：
1、两个角对应相等的两个三角形相似
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、三边对应成比例的两个三角形相似
二、相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
三、相似三角形的判定和性质应该结合起来应用。
师：去掉E为BC的中点这个条件，这几个三角形还相似吗？
生：△ABE∽△ECF还成立，其他的不成立了。BE≠CE，则比例式不能进行转化了。
三、学科综合、拓展创新
师:（3）设BE的长为x
cm，CF的长为y
cm，
①求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围？
②
y是否有最大值？如果有，求出最大值
教师分析：通过什么将x，y联系起来呢？
生：通过相似三角形对应边成比例，过程如下：
∵△ABE∽△ECF，∴，∵BC=AB=4，CF=y，∴CE=，
∴，∴，
师：y是否会有最大值呢？
生：∵y是关于x的二次函数，∴y有最大值，当，
师：求最值问题，通常利用二次函数的增减性来做。而相似三角形的对应边成比例可以由比例式转化为乘积式，就可以构造二次函数了。
四、动静结合、发散思维
师：（4）在面积最大的条件下，动点P从A点出发向点D运动，动点Q从点F
出发向A点运动，运动速度均为1cm/s.当点P运动到点D时，点Q随之停止，
设运动时间为t，△APQ的面积为S.
①求S关于t的函数解析式；
教师分析：动点问题要注意点运动的起点、方向、速度，
要讲动点问题转化为静态的图形来解决。
1、求三角形的面积还缺少什么条件？
2、可以将哪条边作为底边，用什么知识来求出高呢？
生1：因为CF=1时，DF=3，AF=5，以AP为三角形的底边，
过Q点作QH⊥AD于H，∴∠AHQ=∠ADF=90°，
∵∠HAQ=∠DAF，∴△AHQ∽△ADF，∴
∵，，∴，
∴
生2：过P点作PG⊥AF于G，∴∠AGP=∠ADF=90°，
∵∠GAP=∠DAF，∴△AGP∽△ADF，∴
∵，，∴，
∴
师：两位同学都是通过相似三角形的对应边成比例，把高用含有t的代数式表示，然后根据面积公式，得到S关于t的函数关系式，利用两个角对应相等的两个三角形相似或者相似三角形判定的预备定理，得到如何添加辅助线，这种方法值得我们去学习。
师：P，Q在移动过程中，有哪些在发生着改变
生：△APQ的形状，面积大小，还有∠APQ，∠AQP的大小，PQ，AP，AQ的长
师：②当t为何值时，△APQ和△ADF相似；
生：因为这两个三角形已经有一个公共角相等了，所以只需再有一个角相等，或者公共角的两条边对应成比例即可证明它们是相似的。
生：①∠APQ=∠ADF=90°时，∵∠PAQ=∠DAF，
∴△APQ∽△ADF
∴，
，
②∠AQP=∠ADF=90°时，∵∠PAQ=∠DAF，
∴△APQ∽△ADF
∴，
，
∵，∴或时，△APQ和△ADF相似
师：这位同学的思路非常活跃，观察两个三角形的各个角，得到再添加一个角这样两个三角形就会相似，而在P，Q的运动过程中，确实存在着直角，因此可以分类讨论，得到两个三角形相似，因为相似三角形对应边成比例，而这些边都已知，或者可以用含有t的代数式表示，由此构造方程求解。（让我们为他鼓掌）
知识点：相似三角形的判定和性质，数学思想：分类讨论，数形结合，方程，转化
师：③当t为何值时，△APQ为等腰三角形。（基于学情，第3问可以不用给出）
（这个问题应该说是非常有难度和思维深度的问题，在历年的中考题中都有所涉及，学生在刚接触相似三角形的判定解决这类问题或许有点难度，但是在感受此题的过程中，能进一步的开拓学生的思维，感受用相似三角形以及等腰三角形的三线合一解决此类问题的优越性，感受数学的思维美丽）
教师分析：我们说在P，Q的运动过程中，AP，AQ，PQ三条边的长度在发生变化，那是否存在这样的位置，使得其中的两条边相等呢？应该要分成几类呢？
生：应该要分成三类：AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ
师：那如何利用边相等，所得到的等腰三角形来解决问题呢？我们再学习特殊四边形的问题中已经有所涉及，那时是用什么方法来解决的呢？
生：等腰三角形的三线合一，勾股定理，方程思想来解决这一类问题的。
师：那现在，你可以尝试着用这些方法来解决问题吗？请同学们先画出成为等腰三角形是，P，Q两点的位置情况，画出每一种位置情况。
生：如图所示：
AP=PQ
AP=AQ
AQ=PQ
生：①当AQ=AP时，t的值很容易确定：，
②当AP=PQ时，AP=t，只需把PQ用t表示即可，也可
以运用勾股定理表PQ2示，已知,
∵△AHQ∽△ADF，∴，，
，，
∴=
∴=，解得，，（舍去）
生：我有另外一种方法可以快速的解出t的值来
②当AP=PQ时，过点过P点作PG⊥AF于G，
∴∠AGP=∠ADF=90°，AG=GQ=
∵∠GAP=∠DAF，∴△AGP∽△ADF，∴
∵，，∴，∴，
师：同学来比较一下这两种方法，觉得哪种更方便些呢？应该是第二种方法。但是勾股定理，方程思想解决问题，也是一种非常有效的方法。你们能否借鉴这两种方法，来解决第三种情况时t的值呢？
生：可以，③当AQ=PQ时，过点过Q点作QH⊥AD于H，
∴∠AHQ=∠ADF=90°，AH=HP=
∵∠HAQ=∠DAF，∴△AHQ∽△ADF，∴
∵，，∴，
∴，
、或时，△APQ为等腰三角形。
五、总结思考，反思提升
问题：通过这节课的学习，你谈谈在数学学习中你有什么收获吗？
设计意图：
1、让学生总结回顾本节内容的知识点
2、了解解决问题所涉及的数学思想方法
3、在总结的过程中加深对解决这一类问题的的了解，培养分析问题、解决问题的能力。
3．板书设计：简明扼要，突出重点，有一定逻辑联系。
课题：4.2-4.3相似三角形及其判定定义：
引题：
变式题型判定定理：数学思想方法：
4．作业设计：简约、有效，具有针对性，并说明设计意图。
课后检测卷：18道题
涉及知识：相似三角形的判定的练习及三角形存在性问题