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一元一次方程 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为20cm，这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知下列方程：①；②x+y；③x＝0； ④x2+4x；⑤﹣3；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥
3．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，设甲出发x秒可追上乙，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（ ）
A．10 B． C． D．10或
6．已知等式 ，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
8．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，那么不是“巧数”的两位数的个数是（ ）.
A．82 B．84 C．86 D．88
9．如果方程2x＝2和方程的解相同，那么a的值为（ ）
A．1 B．5 C．0 D．﹣5
10．在平面直角坐标系中有，，三点，且点，点，点，若的立方根是，的算术平方根为，是比小的最大整数，则下列结论：
①；
②的平方根为；
③；
④c是关于的方程的解；
⑤若线段，且，则点的坐标为或．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包.求这个网聊群共有多少个人.设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为 .
12．鸡兔同笼，数头有8只，数脚有26只，笼中有 只鸡， 只兔.
13．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了1.5小时．已知水流的速度是4km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为 ．
14．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为
15．已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=3，则a的值为 ．
16． 将①和②两张正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM=ND.若AD=17，m--n=9，则正方形①的边长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
18．已知当a=1，b=1时，关于x的方程 与3m-2x=7-x的解互为相反数，求m的值.
19．防控新冠肺炎疫情期问，某药店在市场抗病毒药品紧缺的情况下，将某药品提价后，使价格翻一番(即为原价的2倍)，物价部门查处后，其价格降到比原价高10%，已知该商品原价为m元．求该药品降价的百分比是多少？
20．已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
21．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其中记载了这样一个数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问：人数、羊价各几何？题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．合伙人数、羊价分别是多少？
（1）设人数为，其他未知量能用含的代数式表示吗？请完成下表．
有关量 每人出5钱 每人出7钱
人数
出钱总数
羊价
（2）根据等量关系，你能列出怎样的方程？请你求出合伙人数、羊价分别是多少？
22．两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下：
小王：设方框里的数为．可得：
小红：设方框里的数为．可得：
请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字．
23．如图，小明设计了一个计算程序，输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n.如：输入x=1，得到，.
（1）若输入x=-2，则m= ，n= ；
（2）若得到m=14，求输入的x值及相应n的值；
（3）若得到的m值比n值大1，求输入的x值.
24．求使方程 恰好有两个解的所有实数c 的范围.
25．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b-3）2=0．
（1）则a= ，b= ；并将这两个数在数轴上所对应的点A，B表示出来；
（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离和为11，若点C的数轴上所对应的数为x，求x的值；
（3）若点A，点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2单位/秒，点B运动的速度为1单位/秒，若|AB|=4，求运动时间t的值．
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一元一次方程 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．现有一个长方形的周长为20cm，这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为xcm可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设长方形的宽为xcm ，
∵长方形的周长为20cm，
∴长方形的长为cm，
根据题意可列方程为：-2=x+3，
故答案为：C．
【分析】根据题意用含x的代数式表示出长方形的长，再根据“ 长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形”列出方程即可.
2．已知下列方程：①；②x+y；③x＝0； ④x2+4x；⑤﹣3；⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1．其中是一元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①③ C．①③⑥ D．⑤⑥
【答案】B
【解析】【解答】解：①是一元一次方程；
②x+y不是方程；
③x＝0 是一元一次方程
④x2+4x不是方程；
⑤﹣3不是一元一次方程；
⑥x（1﹣2x）＝3x﹣1，不是一元一次方程
故①③是一元一次方程，
故答案为：B
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 根据一元一次方程的定义对每个方程一一判断即可。
3．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，设甲出发x秒可追上乙，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意得：7x 5x＝8．
故答案为：A．
【分析】根据甲每秒跑7m，乙每秒跑5m，甲让乙先跑8m，列方程求解即可。
4．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先将方程两边同时平分，再解方程即可求解。
5．王博在做课外习题时遇到如图所示一道题，其中是被污损而看不清的一个数，他翻看答案后得知该题的计算结果为15，则表示的数是（ ）
A．10 B． C． D．10或
【答案】D
【解析】【解答】解：设遮挡的部分表示的数是x，根据题意得：，
整理得：，
即或，
解得：或，
故答案为：D．
【分析】设遮挡的部分表示的数是x，根据题意列出方程，再求解即可.
6．已知等式 ，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a 5＝2b；
B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a＋1＝2b＋6；
D、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得 ；
C、当c＝0时，3ac＝2bc＋5不成立，故C错．
【分析】利用等式的性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；②：等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，对每个式子进行变形即可找出答案．
7．某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：设赚钱的衣服的进价为x元，
依题意，得：600﹣x＝25%x，
解得：x＝480，
故①符合题意；
设赔钱的衣服的进价为y元，
600﹣y＝﹣25%y，
解得：y＝800，
故②符合题意；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，
∴这两件衣服售出后商店亏了80元，
故③符合题意，④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】①设赚钱的衣服的进价为x元，根据售价-进价=利润列出方程，求出x值即可判断；②设赔钱的衣服的进价为y元，根据售价-进价=亏损金额，列出方程，求出x值即可判断；利用①②的结论求出两件衣服的盈亏，即可判断③④.
8．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，那么不是“巧数”的两位数的个数是（ ）.
A．82 B．84 C．86 D．88
【答案】C
【解析】【解答】解：设两位数的十位数字为，个位数字为（为的整数，为的整数 ），则两位数为，
由“巧数”定义得，
化简： → → ，
取（因 ）：
，，数为；
，，数为；
，，数为；
，，数为，
共个“巧数”，
两位数总个数：，
不是“巧数”的个数：.
故答案为：C.
【分析】设出两位数的十位、个位数字，根据“巧数”定义列方程，化简后结合数字取值范围找出所有“巧数”，用两位数总数减去“巧数”个数得结果.
9．如果方程2x＝2和方程的解相同，那么a的值为（ ）
A．1 B．5 C．0 D．﹣5
【答案】D
【解析】【解答】解：2x=2，所以x=1，
把x=1代入方程 中，得： ，解得：a=-5。
故答案为：D。
【分析】首先解方程2x=2，得x=1，再根据 方程2x＝2和方程的解相同， 可得 ，解得a=-5，即可得出答案。
10．在平面直角坐标系中有，，三点，且点，点，点，若的立方根是，的算术平方根为，是比小的最大整数，则下列结论：
①；
②的平方根为；
③；
④c是关于的方程的解；
⑤若线段，且，则点的坐标为或．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵3a+2的立方根是2，3a-b-1的算术平方根为3，是比小的最大整数，
∴3a+2=8，3a-b-1=9，c=1，
∴a=2，b=-4，
①a=2c，正确；
②，4的平方根为±2，故错误；
③OA=2，OB=4，
∴OB=2OB，故错误；
根据a=2、b=-4可得方程为2x-4=0，则x=2，故④错误；
∵CE∥AO，CE=AO，
∴E（2，1）或（-2，1），即为（a，c）或（，c），故⑤正确.
综上可得：①⑤正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得3a+2=8，3a-b-1=9，c=1，求出a、b的值，据此判断①；③；求出的值，结合平方根的概念即可判断②；根据a、b的值可得ax+b=0即为2x-4=0，求出方程的解，据此判断④；由CE∥AO，CE=AO可得E（2，1）或（-2，1），据此判断⑤.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在某个网聊群中，若每人给其他成员都发一个电子红包，则该群共发了90个红包.求这个网聊群共有多少个人.设这个网聊群共有x个人，根据题意可列出方程为 .
【答案】x(x-1)=90
【解析】【解答】解： 设这个网聊群共有x个人，
根据题意得：x(x-1)=90.
故答案为：x(x-1)=90.
【分析】设这个网聊群共有x个人，则每人给其他成员（x-1）个红包，则共有x（x-1）个红包，根据红包的总个数列方程即可.
12．鸡兔同笼，数头有8只，数脚有26只，笼中有 只鸡， 只兔.
【答案】3；5
【解析】【解答】假设全是兔，共有8×4=32只脚，这比已知26只脚多出了32-26=6只，因为1只兔比1只鸡多4-2=2只脚，所以鸡有：6÷2=3只，兔有8-5=3只.
【分析】利用假设法求解，假设全是兔，求出总脚数，然后用总脚数-已知的脚数=多出的脚数，由于1只兔比1只鸡多2只脚，利用多出的脚数÷2可得鸡的只数，然后用头的数量-鸡的只数=兔的只数，从而求出答案.
13．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时，从乙码头返回甲码头逆流而上，多用了1.5小时．已知水流的速度是4km/h，设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为 ．
【答案】3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4）
【解析】【解答】解：设船在静水中的平均速度为x km/h，可列方程为：3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4）；
故答案为：3（x+4）=（3+1.5）（x﹣4）
【分析】利用等量关系为：顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间．即：3×（静水速度+水流速度）=4.5×（静水速度﹣水流速度）求出即可．
14．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，若设从乙处调配x人去甲处，则可列方程为
【答案】37+x= 2(32-x)
【解析】【解答】解： 设从乙处调配x人去甲处 ，
∴37+x= 2(32-x)，
故答案为：37+x= 2(32-x).
【分析】根据题意，找出等量关系式“ 调人后使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍 ”即可列出方程.
15．已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=3，则a的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】【解答】解：把x=3代入方程得：6+a﹣5=0，
解得：a=﹣1，
故答案为：﹣1
【分析】把x=3代入方程计算即可求出a的值．
16． 将①和②两张正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中.图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且AM=ND.若AD=17，m--n=9，则正方形①的边长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∵AD=17，
∴图（1）中阴影部分的周长和m=2（17-a）+2（x-b）+2（17-b）+2（x-a）=4x+68-4a-4b.
∵AM=ND，
∴图（2）中阴影部分的周长和n=2（x+17-b）+2
∵m-n=9，
∴（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，
解得
∴正方形①的边长为 ，
故答案为：.
【分析】设AB=x，正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，再根据“m-n=9”列出方程（4x+68-4a-4b）-（4x+51-a-4b）=9，最后求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的解法，先移项，合并同类项，化x的系数化1，即可求解；
（2）根据一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，化x的系数化1，即可求解.
（1）解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
18．已知当a=1，b=1时，关于x的方程 与3m-2x=7-x的解互为相反数，求m的值.
【答案】解：将a=1，b=1代入方程 2m，
得
解得x=4m.
由3m-2x=7-x，得x=3m-7.
因为两方程的解互为相反数，
所以4m+3m-7=0，解得m=1
【解析】【分析】将a=1，b=1代入方程，解得x=4m，再由题意可得方程3m-2x=7-x的解为x=3m-7，再根据两方程的解互为相反数，即可求m的值.
19．防控新冠肺炎疫情期问，某药店在市场抗病毒药品紧缺的情况下，将某药品提价后，使价格翻一番(即为原价的2倍)，物价部门查处后，其价格降到比原价高10%，已知该商品原价为m元．求该药品降价的百分比是多少？
【答案】解：设该药品现在降价的幅度是x，
原价为m，提价后的价格为m(1+100%)=2m，
降价后的价格为m(1+10%)=1.1m，
根据题意列方程：2m(1-x)=1.1m，
两边同时除以m，
解得x=45%，
故该药品降价的百分比是45%.
【解析】【分析】原价为m，提价后的价格为m(1+100%)=2m，降价后的价格为m(1+10%)=1.1m，设该药品现在降价的幅度是x，等量关系为：提价后的价格×(1-x)=降价后的价格．
20．已知方程的解与关于x的方程的解相同，求k的值．
【答案】解：解方程得：，
把代入方程，得：，
，，，
【解析】【分析】先解方程 ，再把方程的解代入方程 ，根据一元一次方程的解法求出K的值。
21．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，其中记载了这样一个数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问：人数、羊价各几何？题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．合伙人数、羊价分别是多少？
（1）设人数为，其他未知量能用含的代数式表示吗？请完成下表．
有关量 每人出5钱 每人出7钱
人数
出钱总数
羊价
（2）根据等量关系，你能列出怎样的方程？请你求出合伙人数、羊价分别是多少？
【答案】（1）解：设人数为，其他未知量用含的代数式表示如下：
有关量 每人出5钱 每人出7钱
人数
出钱总数
羊价
（2）解：根据题意，得．
解这个方程，得．
则钱．
答：合伙人数有21人，羊价为150钱．
【解析】【分析】（1）根据题干中的信息直接求出出钱总数和羊价即可；
（2）利用羊的价格一样列出方程，再求解即可.
（1）解：设人数为，其他未知量用含的代数式表示如下：
有关量 每人出5钱 每人出7钱
人数
出钱总数
羊价
（2）解：根据题意，得．
解这个方程，得．
则钱．
答：合伙人数有21人，羊价为150钱．
22．两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下：
小王：设方框里的数为．可得：
小红：设方框里的数为．可得：
请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字．
【答案】解：设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为，
故小王错误，小红正确，
，
解得，
即“”内的数字为．
【解析】【分析】竖式中的第一个因数“12□”代表的意思是120+x，积“□30”代表的是100x+30，列式即可。
23．如图，小明设计了一个计算程序，输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n.如：输入x=1，得到，.
（1）若输入x=-2，则m= ，n= ；
（2）若得到m=14，求输入的x值及相应n的值；
（3）若得到的m值比n值大1，求输入的x值.
【答案】（1）6；0.5
（2）解：若，则。
则.
（3）解：由题意可得，解得.
【解析】【解答】解：（1）若输入x=-2，则，。
故答案为：6、0.5.
【分析】（1）直接将x=-2代入相应的运算式计算即可；
（2）先根据m的运算式求出x，再代入n的运算式求n；
（3）根据m比n大1列出方程求解x.
24．求使方程 恰好有两个解的所有实数c 的范围.
【答案】解：①当x<1时，原方程可化为-x+1+x-2-2x+6=c，解得
由
∴c>3；
②当1≤x<2时，原方程可化为x-1+x-2-2x+6=c，解得c=3，有无数多解；
③当2≤x<3时，原方程可化为x-1-x+2-2x+6=c，解得
由 得1④当x≥3时，原方程可化为x-1-x+2+2x-6=c，
解得
由 得c≥1.
故当c>3时，原方程恰有两解
当1故答案为：c>3或1【解析】【分析】分类讨论：①当x<1时，②当1≤x<2时，③当2≤x<3时，④当x≥3时，再利用绝对值的性质将原式化简并利用一元一次方程的计算方法求出方程的解，再根据“方程恰好有两个解”列出不等式（组）求出c的取值范围即可.
25．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+4|+（b-3）2=0．
（1）则a= ，b= ；并将这两个数在数轴上所对应的点A，B表示出来；
（2）数轴上在B点右边有一点C到A、B两点的距离和为11，若点C的数轴上所对应的数为x，求x的值；
（3）若点A，点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2单位/秒，点B运动的速度为1单位/秒，若|AB|=4，求运动时间t的值．
【答案】（1）-4；3
（2）5
（3）11或3
【解析】【解答】解：
（1）∵|a+4|+（b-3）2=0 ，且 |a+4|和（b-3）2都不是负数，
∴|a+4|＝0，（b-3）2=0
∴a=-4，b=3
故答案为：-4，3
（2）∵C点在B点右侧，∴x>3>-4，
∴AC＝x-(-4)=x+4，BC=x-3
∴AC+BC＝x+4+x-3=2x+1
∵AC+BC＝11
∴2x+1=11
∴x=5
故答案为：5
（3）运动过程
｜AB｜=|-4+2t-(3+t)|=|t-7|=4
∴t=11或t=3
故答案为：11或3
【分析】
（1）绝对值和平方数都不是负数，它们的和为0，则它们分别为0，由此可列式求出a，b。
（2）C在B的右侧，可用两数差表示出AC和BC的长度，根据和为11列方程求出X。
（3）AB＝4时，存在两种情形，A在B左侧或A在B右侧，可用绝对值表示出AB，再解方程即可。
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