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相似三角形 单元全优冲刺测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线 ，直线 分别交 ， ， 于点A，B，C，直线 分别交 ， ， 于点D，E，F，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
4．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为（ ）
A．6m2 B．21m2 C．3m2 D．5m2
5．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知AB是半圆的直径，点C平分，点D平分，DB、CA交于点E，DB=2，则DE的长为（ ）
A．-1 B．4-4 C．3-2 D．6-4
8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y= 相交于点C，且BC：OC=1：2．则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
9．如图，添加一个条件使与相似，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点C作 于点R，再过点C作 分别交边 ， 于点P，Q．若 ， ，则 的长为（ ）
A．14 B．9 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC= .
12．如图，中AB=AC，D是其内部一点，，则 .
13．如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于 ．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
15．在 中， ，点 分别在边AB、AC上，连接 ，将 沿 翻折，使A落在 上的D处， ，则 ．
16．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若 ， ，则AG的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则__________°，__________；
（2）判断与是否相似．若相似，请说明理由．
19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形使它与原图的相似比为2：1.
（3） 的面积为 .
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD．
（2）当∠ABD=45°，AB=，CD=3时，求BF的长．
21． 如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，G，F分别在AD，CD及对角线BD上，且EF//AB，FG//BC，若DE：DA＝2：5，EF＝4，求线段CG的长．
23．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
24．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
25．如图，已知在边长为2的正方形中，对角线交于点O，的平分线交线段于点P，交延长线于点N，交于点M．
（1）求证：．
（2）求的长．
（3）和四边形CDMP的面积分别为和，求的值．
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相似三角形 单元全优冲刺测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线 ，直线 分别交 ， ， 于点A，B，C，直线 分别交 ， ， 于点D，E，F，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为： ，
所以： ，
所以： .
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比列式，可得到DE与DF的比值。
2．，若，，则与的相似比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即相似比为；
故答案为：A
【分析】根据相似三角形相似比性质即可求出答案.
3．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
②位似图形一定有位似中心，故②正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．
正确的选项为：②③．
故选：A．
【分析】利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
4．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为（ ）
A．6m2 B．21m2 C．3m2 D．5m2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵△AED的面积是4m2，
∴，，
∴S△ACB=25，
∴四边形DEBC的面积为：25﹣4=21．
故答案为：21．
故选B．
【分析】DE∥BC可以得出△ADE∽△ACB，可以得出，：由，可以得到．进而可以求出△ABC的面积．从而得出四边形DEBC的面积．
5．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B，交BC于点D，根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°，进而得出AD⊥BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于 两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可。
6．如图，点 是 的角平分线 的中点， 点 分别在 边上，线段 过点 ， 且 ，下列结论中， 错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C不符合题意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A不符合题意；D符合题意；
∴，故B不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据中点先求出，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
7．如图，已知AB是半圆的直径，点C平分，点D平分，DB、CA交于点E，DB=2，则DE的长为（ ）
A．-1 B．4-4 C．3-2 D．6-4
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AD、CD，过点A作AF∥CD，交BD于点F，
∵ AB是半圆的直径，点C平分，点D平分 ，
∴∠B=∠DAC=22.5°，∠CDB=45°，∠ADB=90°，
∵CD∥AF，
∴∠AFD=∠CDB=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
设AD=DF=a，则AF=，
∵∠FAB=∠DFA-∠B=45°-22.5°=22.5°，
∴∠B=∠FAB，
∴AF=BF，
∴BD=DF+BF=a+=2，
∴a=，
即AD=，
∵∠B=∠DAC，∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴，即，
解得DE=.
故答案为：.
【分析】连接AD、CD，过点A作AF∥CD，交BD于点F，易得∠B=∠DAC=22.5°，∠CDB=45°，∠ADB=90°，由二直线平行，内错角相等得∠AFD=∠CDB=45°，则△ADF是等腰直角三角形，设AD=DF=a，则AF=，由三角形外角性质得∠FAB=∠DFA-∠B=22.5°，则∠B=∠FAB，由等角对等边得AF=BF，由BD=DF+BF建立方程可求出a的值，从而得到AD的长，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△BDA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE的长.
8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y= 相交于点C，且BC：OC=1：2．则k的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】【解答】过C作CD⊥x轴于D，由于BA⊥x轴，所以△DOC∽△AOB，根据题干信息，BC：OC=1：2，则OC：OB=2：3，所以，则S△DOC=S△AOB=× =，由于该双曲线在第二象限，且C在该双曲线上，设C（x，y），则×（-x）y=，即xy=-3=k；
故答案为：B。
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据位似比求出S△DOC，结合反比例函数系数k的几何意义进行分析。
9．如图，添加一个条件使与相似，则错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由图得：，
∴当或或或或或时，，
选项B、C、D正确；
A选项中，的夹角与的夹角不一定相等，
这两个三角形不一定相似．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
10．如图，在 中， ，以其三边为边向外作正方形，过点C作 于点R，再过点C作 分别交边 ， 于点P，Q．若 ， ，则 的长为（ ）
A．14 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴ ，
∵PQ＝9，
∴PC＝3，CQ＝6，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，
设AC＝a，则BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC为平行四边形，
∴AB＝CQ＝6，
∵ ，
∴ ，
∴ （舍负）
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵JR＝AF＝AB＝6，
∴CR＝CJ＋JR＝ ，
故选择：C．
【分析】如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，证明△ECP∽△HCQ，推出 ，由PQ＝9，可得出PC＝3，CQ＝6，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，则BC＝2a，证明四边形ABQC为平行四边形，推出AB＝CQ＝6，根据 ，构建方程求出a即可解决问题。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC= .
【答案】16：21
【解析】【解答】解：∵DE∥AC
∴△BDE∽△BAC
∴，；
∵△AEC与三角形ABC共高
∴
∴S△BDE：S△AEC =（）：（）
==
故答案为：16：21.
【分析】根据三角形相似的判定和性质，可得三角形对应的边和高之比相等；根据三角形的面积公式，即可求出面积之比.
12．如图，中AB=AC，D是其内部一点，，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E
在△ABD和△CAF中
∴△ABD≌△CAF(SAS)
∴
∴∠AED=∠ADE
∴△AFD∽△ADE
∴
∴，解得：
∴
∴
设
则
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】在CD上截取CF=AD=1，连接AF，延长BD交AF于点E，根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAF(SAS)，则，再根据相似三角形判定定理可得△AFD∽△ADE，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得EF，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得a值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于 ．
【答案】4 ﹣4
【解析】【解答】解：如图，设直线l与AB、CD分别交于点E、D，
则由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，
∴ ，
∵l∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
设AE＝AD＝x，
则 ，
∴x＝ ，
∴BE＝CD＝2﹣ ，
∴BC＝2 ﹣2（2﹣ ）＝4 ﹣4．
【分析】设直线l与AB、CD分别交于点E、D，由“完美分割线”的定义可知，S△AED＝S四边形BCDE，设AE＝AD＝x，证△AED∽△ABC，可求x的值，进一步可求出BC的长．
14．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上，以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【答案】（4，2）或（﹣4，﹣2）
【解析】【解答】解：位似图形如图所示，B1（4，2），B2（﹣4，﹣2），
故答案为（4，2）或（﹣4，2）．
【分析】画出位似图形，注意有两种情形，根据图形即可写出B1、B2的坐标．
15．在 中， ，点 分别在边AB、AC上，连接 ，将 沿 翻折，使A落在 上的D处， ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
在Rt△ABC中，AC= = ，
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°．
∴∠FDC=∠B．
∴AB∥FD．
∴∠AEF=∠EFD．
由折叠的性质可知：∠AEF=∠DEF，AE=DE．
∴∠EFD=∠DEF．
∴ED=DF．
∴AE=DF．
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴AF∥ED．
∴△BDE∽△BAC．
∴ ，即 ．
解得：x= ．
∴DE= ．
故答案为： ．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理即可得到AC的值，继而证明得到AB∥FD，根据折叠的性质求出AE=DF，继而得到四边形AEDF为平行四边形，即可得到△BDE∽△BAC，由相似三角形的性质求出答案即可。
16．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E，F在BC上，点G是射线DC与射线AF的交点，若 ， ，则AG的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，分别在AD和AB上截取DH=DG，BQ=BE=1，
∵矩形ABCD，AB=2，
∴AQ=1，AE==，
易得△GDH和△EBQ均为等腰直角三角形，
∴∠DHG=∠BQE=45°，QE=，HG=HD=DG，
∴∠HAG+∠HGA=∠QAE+∠QEA=45°，
又∵∠EAF=45°，
∴∠QAE+∠HAG=45°，
∴∠HAG=∠QEA，∠HGA=∠QAE，
∴△HAG∽△QEA，
∴AQ：HG=AE：AG，
设HD=DG=x，则HG=x，AH=8-x，
∴AG=x，
在Rt△ADG中，AG2=AD2+DG2，
∴10x2=64+x2，
∴x=-（舍去）或x=，
∴AG=.
故答案为：.
【分析】分别在AD和AB上截取DH=DG，BQ=BE=1，由矩形性质及勾股定理求得AQ=1，AE=，
易得△GDH和△EBQ为等腰直角三角形，可得∠DHG=∠BQE=45°，QE=，HG=HD=DG，
从而得到∠HAG+∠HGA=∠QAE+∠QEA=45°，再结合∠QAE+∠HAG=45°，进而得∠HAG=∠QEA，∠HGA=∠QAE，即证得△HAG∽△QEA，设HD=DG=x，则HG=x，AH=8-x，再利用相似三角对应边成比例得到AG=x，再在Rt△ADG中，AG2=AD2+DG2，即10x2=64+x2，解得x，进而可求得AG的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？
【答案】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．
【解析】【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
（1）则__________°，__________；
（2）判断与是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】（1），．
（2）解：判断：，
解法一：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
由图可得是的斜边，，
，
又∵，，
，
，
．
解法二：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
又，，
，
，
，都是正方形的对角线，
，
，
．
【解析】【答案】解：如图，令的正方形顶点分别为，，，，
由题意得为边长为1的小正方形的对角线，
，
，
由图可知，是的斜边，，
．
故答案为：135；.
【分析】（1）结合图形，可得出；根据勾股定理可得出．
（2）方法一：结合网格，可分别得出两个三角形三边的长度，进而根据三角形三边对应成比例，即可得出两三角形相似；
方法二：结合网格，可分别得出AB，BC和DE和EF，进而得出，再结合，即可得出．
（1）解：如图，令的正方形顶点分别为，，，，
由题意得为边长为1的小正方形的对角线，
，
，
由图可知，是的斜边，，
．
（2）解：判断：，
解法一：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
由图可得是的斜边，，
，
又∵，，
，
，
．
解法二：
证明：为边长为2的小正方形的对角线，为边长为1的小正方形的对角线，
，，
又，，
，
，
，都是正方形的对角线，
，
，
．
19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在第三象限内，以点O为位似中心作出△ABC的位似图形使它与原图的相似比为2：1.
（3） 的面积为 .
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）10
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：10
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据位似图形定义作图即可.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD．
（2）当∠ABD=45°，AB=，CD=3时，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）解：∵∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，AD= BD，得AD=4．
由(1)，△ACD∽△BFD，
∴=1，
∴BF=AC．
在Rt△ACD中，由勾股定理求得AC=5，
∴BF=5．
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，利用余角的性质可证得∠DBF=∠DAC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用已知易证△ABD是等腰直角三角形，可求出AD的长，再利用相似三角形的对应边成比例，可推出BF=AC，然后利用勾股定理求出AC的长，即可得到BF的长.
21． 如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为．
【解析】【分析】（1）直接根据相似三角形的判定定理即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到， 代入数据计算即可求解.
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，G，F分别在AD，CD及对角线BD上，且EF//AB，FG//BC，若DE：DA＝2：5，EF＝4，求线段CG的长．
【答案】解：∵EF//AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴ ，
∵EF＝4，
∴AB＝10，
∵EF//AB，FG//BC，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF=DG＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，
∴CG＝CD-DG＝6．
【解析】【分析】根据平行得出△DEF∽△DAB，求出AB的长，再根据四边形DEFG是平行四边形，得出DG的长，进而求出CG的长。
23．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
24．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）
【答案】解：（1）所作图形如图所示：
（2）OA==，AC==4，
∵△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；
∴A′C′=AC=2，
==，
∴OC′=OC=，OA′=OA=，
∴AA′=OA﹣OA′=，CC′=OC﹣OC′=，
∴四边形AA'C'C的周长=AC+CC′+A′C′+AA′
=4++2+
=6++．
【解析】【分析】（1）连结OA，分别取OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，则△A′B′C′为所求；
（2）先利用勾股定理计算出OA═，AC=4，再利用位似的性质得到A′C′=AC=2，= =，则OC′=OC=，OA′=OA=，所以AA′=，CC′=，然后计算四边形AA′C′C的周长．
25．如图，已知在边长为2的正方形中，对角线交于点O，的平分线交线段于点P，交延长线于点N，交于点M．
（1）求证：．
（2）求的长．
（3）和四边形CDMP的面积分别为和，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
平分，
（2）解：∵四边形是正方形，
，则，
即
解得，，
（3）解：
∴，
设的高分别为，
，
【解析】【分析】(1)根据四边形ABCD是正方形，得出∠ACB=∠BAC=45°，∠ACN=135°，再根据AP平分∠BAC，得出∠CAN=22.5°，用三角形内角和定理算出∠N=22.5°，即可证明；
(2)根据AD=CD=2，算出AC，ND，证明△NCP∽△NDA，根据相似三角形性质算出CP即可求解；
(3)证明△AMB∽△NMD，设△AMB，△NMD的高分别为h1，h2，根据相似三角形性质得出，结合h1+h2=2，算出h1，h2，再算出S1和S2即可求解.
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