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解直角三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
3．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点B到的距离为海里
C．海里
D．点B在点C的南偏东的方向上
4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a·sinB B．a=b·cosB C．a=b·tanB D．b=a·tanB
5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 ，使点B落在点 的位置，连接B ，过点D作DE⊥ ，交 的延长线于点E，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值为( )
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（≈1.7）（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
9．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10． 已知等边三角形ABC的边长为3，其外部有一点D，满足∠BDC＝2∠BAC，设BD＝x，CD＝y，在点D运动过程中，x＋y的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．6
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，那么篮板下沿E点与地面的距离为 。（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）
12．如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是 ．
13．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶A离地面EF的高度为 m．（结果精确到，参考数据：，，）
14．如图：在⊙O中 ， 则⊙O的周长是 .
15．如图，四边形ABCD为平行四边形，，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 .
16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接，则长的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）
18．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长.（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
19．（1）计算：；
（2）二次函数，当时，；当时，．求和的值．
20．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
21．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据： ≈1.414， ≈1.732）
22．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
23．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
24．在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形．
例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点，
（1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 （填序号）
①，②，③
（2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围；
（3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围．
25． 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形保留作图痕迹
（1）如图，在中， ；
（2）如图，在边上取一点，使得；
（3）如图，在边上找一点，使得：．
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解直角三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，小明在数学兴趣小组探究活动中要测量河的宽度，他和同学在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点P和点B，使．利用工具测得米，，根据测量数据可计算得到小河宽度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用解直角三角形的方法可得。
2．松华坝水库地处昆明北郊，是昆明市的重要水源，被称为“昆明头上的一碗水”，水库周边遍布森林与湿地，呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷．如图，大坝某段横截面迎水坡的坡度（），若坝高，则坡面的水平宽度长度约为（ ）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵大坝某段横截面迎水坡的坡度，
∴AC=60m，
由勾股定理得m，
故答案为：C
【分析】先根据解直角三角形得到AC的长，再根据勾股定理即可求解。
3．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点B到的距离为海里
C．海里
D．点B在点C的南偏东的方向上
【答案】C
【解析】【解答】解：过B作于点D，如图所示：
由题意得，故A选项错；
∵，
∴在中，，
所以海里， 故B选项错；
由图1可知，，所以D选项错；
∵，
∴海里，所以C选项符合题意；
故答案为：C．
【分析】过B作于点D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在中，利用求出BD的长，据此判断A、B；利用平行线的性质可得∠1=25°，据此判断③；利用三角形内角和求出∠BAC的度数，利用求出BC的长，即可判断D.
4．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a·sinB B．a=b·cosB C．a=b·tanB D．b=a·tanB
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数的定义判断即可.
5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 ，使点B落在点 的位置，连接B ，过点D作DE⊥ ，交 的延长线于点E，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设 交于点 ，
由题意：
是等边三角形
四边形 为正方形
∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥
又
设
则
解得：
故答案为：A
【分析】设 交于点 ，证明 是等边三角形，可得，利用正方形的性质求出∠CBF=30°，利用三角形内角和可求出，设 ，利用解直角三角形求出DF、FC 、BF，从而求出BE，B'E，利用建立方程，求出x值即可求出结论.
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠ABD=∠ABC，
根据勾股定理求得AB=10，
∴，
故答案为：D.
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值.
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= =4，
∴cosB= = ，
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据余弦的定义计算即可．
8．周末，小明和小华来滨湖新区渡江纪念馆游玩，看到高雄挺拔的“胜利之塔”，萌发了用所学知识测量塔高的想法，如图，他俩在塔AB前的平地上选择一点C，树立测角仪CE，测出看塔顶的仰角约为30°，从C点向塔底B走70米到达D点，测出看塔顶的仰角约为45°，已知测角仪器高为1米，则塔AB的高大约为（≈1.7）（ ）
A．141米 B．101米 C．91米 D．96米
【答案】D
【解析】【解答】解：设AG=x米．
在Rt△AGF中，∵∠AGF=90°，∠AFG=45°，
∴FG=AG=x米，
同理在Rt△AEG中，∵∠AGE=90°，∠AEG=30°，
∴EG=AG=x米．
∵EF=EG﹣FG，
∴x﹣x=70，
解可得：x=35（+1）≈94.5；
故AB=AG+BG≈94.5+1≈96．
答：塔AB的高大约为96米．
故选D．
【分析】首先设AG=x米．本题涉及到两个直角三角形△AGF、△AGE，应利用其公共边AG构造等量关系，借助EF=CD=EG﹣FG=70米，构造方程关系式，进而可求出答案．
9．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵sin2A+cos2A=1，即sin2A+（）2=1，
∴sin2A= ，
∴sinA=或﹣（舍去），
∴sinA=．
故选B．
【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．
10． 已知等边三角形ABC的边长为3，其外部有一点D，满足∠BDC＝2∠BAC，设BD＝x，CD＝y，在点D运动过程中，x＋y的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为点O，连接并延长AO交☉O于点E，连接CE、BE，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AC=AB=CB=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEC=∠ABC=60°，∠BEC=180°-∠BAC =120°，
∵∠BDC=2∠BAC=120°=∠BEC，
∴点E在☉O上运动。
∵AE是☉O的直径
∴∠ACE=90°，
∵
∴，
∴连接AD，在AD上截取FD=BD=x，连接BF，
∵∠EDB=∠ACB=60°，
∴△FBD是等边三角形，
∴BF=BD，∠FBD=60°，
∴∠ABF=∠CBD=60°-∠CBF
在△ABF和△CBD中，
∴△ABF≌△CBD(SAS)，
∴AF=CD=y，
∴x+y=BD+CD=FD+AF=AD，
∵AD是☉O的弦，AE是☉O的直径
∴AD≤AE，
∴.
∴x+y的最大值为，
故答案为：B.
【分析】作△ABC的外接圆，圆心为点O，连接并延长AO交☉O于点E，连接CE、BE，由等边三角形的性质得AC=AB=CB=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠AEC=∠ABC=60°，∠BEC=180°-∠BAC=120°，而∠BDC=2∠BAC=120°，可知点E在☉O上运动，出∠ACE=90°，得，求得，连接AD，在AD上截取FD=BD=x，连接BF，可证明△FBD是等边三角形，再证明△ABF≌△CBD，则AF=CD=y，所以x+y=AD，由AD≤AE，得，求得x+y的最大值为，于是得到问题的答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，一副篮架由配重、支架、篮板与篮筐组成，在立柱的C点观察篮板上沿D点的仰角为45°，在支架底端的A点观察篮板上沿D点的仰角为54°，点C与篮板下沿点E在同一水平线，若AB=1.91米，篮板高度DE为1.05米，那么篮板下沿E点与地面的距离为 。（结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.60，tan54°≈1.33）
【答案】2.9m
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB的延长线于点F，连接CE
在Rt△DCE中，∠DCE=45°，DE=1.05m
∴CE=DE=1.05m
∵∠CBF=∠F=∠CEF=90°
∴四边形CBFE是矩形；
∴BF=CE=1.05m
∵AB=1.91m
∴AF=AB+BF=1.91+1.05=2.96m
在Rt△ADF中，AF=2.96m，∠DAF=54°
∴DF=AF×tan54°
∴DF≈3.94m
∴EF=DF-DE=2.9m
故答案为：2.9m
【分析】过点D作DF⊥AB的延长线于点F，连接CE，根据等腰直角三角的性质，得出CE=DE=1.05m，判断出四边形CBFE是矩形，得出BF=CE=1.05m，进而求出AF，在Rt△ADF中，根据勾股定理求出DF，可以求出EF。
12．如图，平面直角坐标系中有一点，在以为圆心，为半径的圆上有一点，将点绕点旋转后恰好落在轴上，则点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图：
∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，
∴点P的纵坐标为4
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM
∵T(0，4)，M(0，3)，
∴OM=3，0T=4，
∴MT=1，
∴
∴
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P'也满足条件
综上所述，满足条件的点P的坐标为或
故答案为：或
【分析】根据旋转性质可得点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM，解直角三角形即可求出答案.
13．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶A离地面EF的高度为 m．（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】7.6
【解析】【解答】解：如图，过点A作垂直，垂足为点，
在中，，
则房顶A离地面EF的高度为：
故答案为：7.6
【分析】过点A作垂直，垂足为点，利用解直角三角形的方法求出，再计算即可。
14．如图：在⊙O中 ， 则⊙O的周长是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由圆周角定理可知， ∠BAC=∠BDC，
∵∠ACB=∠BDC=60°，∴∠BAC=∠ACB=60°
∴三角形ABC是等边三角形，
连接OA，过O点作OE⊥AC，垂足为E，
，
∴OA=
∴⊙O的周长 .
故答案为： .
【分析】过O点作OE⊥AC，垂足为E，根据圆周角的性质先求得△ABC为等边三角形，然后由垂径定理求出AE，在Rt△AEO中，利用三角函数求出半径OA，则 ⊙O的周长可求.
15．如图，四边形ABCD为平行四边形，，延长DH，BF，交AF，CH于点E，G，若，直线EG经过CD中点，则AD的长度为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接EG并延长，分别交AB于点N，交CD于点M，
直线EG经过CD中点，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，，
，，
，，，
，，
，，
，，，
，
，
四边形ANMD是平行四边形，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，解得，
，
.
故答案为：.
【分析】由平行四边形的性质可得，进而通过ASA判定得到，再通过AAS判定得到，进而证得四边形ANMD是平行四边形，即可得到，设，利用全等三角形的性质表示出EF、FG，然后利用锐角三角函数列出方程，解得x的值，进而通过勾股定理计算出AD的长度.
16．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，点是的中点，连接，则长的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：取的中点F，连接，则
∵矩形中，，，点是的中点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵Q是中点，F是中点，
∴，
∴点Q在上，
当时，最短，如图所示，
∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：
，
∴，
∴=，
∴，
即长的最小值为，
【分析】取的中点F，连接，则，根据矩形性质可得，，，，则，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据线段中点可得，则点Q在上，当时，最短，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理可得DF，再根据正弦定义可得，即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）
【答案】【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH cot30°=（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．
【解析】【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
18．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长.（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【答案】解：∵BN∥ED，
∴∠NBD=∠BDE=37°，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴BE=DE tan∠BDE≈18.75（cm），
如图，过C作AE的垂线，垂足为F，
∵∠FCA=∠CAM=45°，
∴AF=FC=25cm，
∵CD∥AE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
∵AE=AB+EB=35.75（cm），
∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），
答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm
【解析】【分析】利用平行线的性质求出∠BDE的度数，再利用垂直的定义可证△BDE是直角三角形，然后利用解直角三角形求出BE的长；过C作AE的垂线，垂足为F，利用等腰直角三角形的性质，可求出FC的长，然后利用矩形的性质可证得CD=EF，从而可求出CD的长。
19．（1）计算：；
（2）二次函数，当时，；当时，．求和的值．
【答案】解：（1）
；
（2）把，；，分别代入得
，
解得，
∴b的值为，c的值为0
【解析】【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入式子，然后合并同类二次根式即可；
（2）把两组对应值分别代入中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
20．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9 ）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.
答：楼房AB的高为（39+9 ）米.
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，利用坡度的定义可求出∠ECF的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，同时可求出CF的长及HE的长；然后在Rt△AHE中，根据AH=HE，可求出AH的长，根据AB=AH+BH，可求出AB的长.
21．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据： ≈1.414， ≈1.732）
【答案】解：由题意可知：
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，
∴BC=PC=60．
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
tan30°= ，
∴AC=PC tan30°=tan30°×60=60× =20 （米）．
∴AB=AC+BC=60+20 ≈60+20×1.732=94.64≈94.6（米）．
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米．
【解析】【分析】由已知可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PC=60m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．
22．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行.如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚.小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度.（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ）
【答案】解：作DF⊥AB于F，
设AB＝xm，
∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，
∴四边形FBED为矩形，
∴FB＝DE＝10，DF＝BE，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝x﹣10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB＝ ，
∴BC＝ ，
由题意得，BE﹣BC＝CE，即x﹣10﹣ x＝4，
解得，x＝56，
答：钟楼AB的高度约为56m.
【解析】【分析】作DF⊥AB于F，设AB＝xm，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形FBED为矩形，由矩形的性质可得FB＝DE，DF＝BE，于是AF＝10﹣x，由等腰直角三角形的性质可得DF＝AF＝x﹣10，在Rt△ABC中，由锐角三角函数可得tan∠ACB＝，于是可将BC用含x的代数式表示出来，由线段的构成BE﹣BC＝CE可得关于x的方程，解方程可求解.
23．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）
【答案】【解答】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，
∴BC=4×2=8m．
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∴=，
∵DG=EF=2m，
∴GH=1m，
∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，
设HS=xm，则BS=2xm，
∴x2+（2x）2=52，
∴x=m，
∴DS=+=2m≈4.5m．
【解析】【分析】（1）根据坡度定义直接解答即可；
（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据=，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．
24．在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的联络图形．
例如，如图中的正方形即为线段的联络图形．已知点，
（1）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，则可能是下列选项中的 （填序号）
①，②，③
（2）若点的坐标为，直线是线段的联络图形，求的取值范围；
（3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的联络图形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）②③
（2）解：设直线与轴和轴的交点分别为点和点，
在直线中，当时，，当时，，
，，
，，
在中，，
，
①若点在点左侧，连接，如图，
，
，
在中，，
，，
，
故，
直线是线段的联络图形，
，
即，
；
②若点在点右侧，在上取一点，使，如图，
由①知，
，
，
直线是线段的联络图形，
，
即，
，
综上，的取值范围为或；
（3）
【解析】【解答】解：（1）如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于，
，，
，，
，
在中，，
即若直线是线段的联络图形，最小取值为，
如图，将线段绕中点顺时针旋转，
此时点刚好落到直线上的点，
即若直线是线段的联络图形，最大取值为，
，
故答案为：②③；
（3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限，
当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，
，，
，
；
当点在轴上时，如图，
绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
即此时，
点在第一象限，
的取值范围为
故答案为：，
【分析】
（1）当绕点旋转时有最小值，求出此时，当绕中点旋转时，有最大值为，根据的取值判断即可；
（2）求出直线与轴和轴的交点和，连接，由勾股定理得出，且，要使直线是线段的联络图形，则，即可求出的取值范围；
（3）当点在轴和轴上时分别求出的临界值，即可得出的取值范围．
（1）解：如图，将线段绕点逆时针旋转，使点落到直线上的点，过点作于，
，，
，，
，
在中，，
即若直线是线段的联络图形，最小取值为，
如图，将线段绕中点顺时针旋转，
此时点刚好落到直线上的点，
即若直线是线段的联络图形，最大取值为，
，
故答案为：②③；
（2）设直线与轴和轴的交点分别为点和点，
在直线中，当时，，当时，，
，，
，，
在中，，
，
①若点在点左侧，连接，如图，
，
，
在中，，
，，
，
故，
直线是线段的联络图形，
，
即，
；
②若点在点右侧，在上取一点，使，如图，
由①知，
，
，
直线是线段的联络图形，
，
即，
，
综上，的取值范围为或；
（3）由题知，点在以为圆心半径为2的圆上，且在第一象限，
当点在轴上时，绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，
，，
，
；
当点在轴上时，如图，
绕点旋转顺时针旋转得到，交于点，延长交轴于，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
即此时，
点在第一象限，
的取值范围为．
25． 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形保留作图痕迹
（1）如图，在中， ；
（2）如图，在边上取一点，使得；
（3）如图，在边上找一点，使得：．
【答案】（1）1
（2）解：由可知，，，
如图，取的中点，连接，
则，
则点即为所求．
（3）解：如图，取格点，，使，，，连接交于点，
则∽，
，
，，
：，
则点即为所求．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
故答案为： 1
【分析】(1)根据图示易知三角形三边长，易证得三角形ABC是直角三角形，正切值可以根据定义直接求得；（2）在上一问的基础上，正切值为原来的一半，则对边减半、邻边不变，问题转化为找AC中点，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可找到D点；（3）根据题意，等底的三角形面积的比就是高的比，高的比也是AC边分成两个线段的比，因此所求的E点是使CE：AE=1：3的E点，根据格点和可由平行判定相似的定理，可画出8形状的相似比是1：3的两相似三角形，交点即为E点。
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