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直线与圆的位置关系 单元综合诊断自查卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，PA=8，则⊙O的半径OA长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
4．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度刻恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（ ）
A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm
5．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP=4，PA=2，则∠AOB的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且BC⊥OA，过BC的延长线上一点D作⊙O的切线DE，切点为E，连接AB，BE，若∠BDE=52°，则∠ABE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．64°
9．如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
10．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④当P为 中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP.其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知的直径AB为8，点M是外一点，若MB是的切线，B为切点，且，Q为上一动点，则MQ的最小值为 .
12．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m= ，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是 ．
13．已知PA，PB是⊙O切线，点C为圆上不同于A，B的一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为 ．
14．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，过 作 的垂线，与 的延长线交于 ，若 的半径为 ，则 的长为 .
15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．
18．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
（1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若的半径长为，，求的长．
19．如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
20．在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G.
（1）若求的度数；
（2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M，
①证明：
②若求⊙O的直径.
21．如图，CE，CB是半圆O的切线，切点分别为D，B，AB为半圆O的直径．CE与BA的延长线交于点E，连结OC，OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC．
（2）若DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，从a，b，c三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案：
①方案中你选用的已知数是 ▲
②写出求解过程(结果用字母表示)．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC相交于点F，且AC切于点E.
（1）求证：.
（2）若∠A=30°，AB=6，求CF的长.
23． 如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
24．如图，是的外接圆，AB是的直径，分别过A，C两点作的切线，交于点，连接OP，交AC于点.
（1）求证：；
（2）若，求PA的长.
25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
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直线与圆的位置关系 单元综合诊断自查卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，PA、PC是⊙O的两条切线，点A、C为切点，点B为⊙O上任意一点，连接AB、BC，若∠B=52°，则∠P的度数为（ ）．
A．68° B．104° C．70° D．76°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵PA、PB 是⊙O的两条切线，点A、C为切点，
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∴∠P=360°-90°-90°-104°=76°.
故答案为：D.
【分析】连接OA，OC，根据切线的性质得出∠PAO=∠PCO=90°，根据圆周角定理得出∠AOC=2∠B=104°，再根据四边形内角和为360°即可得出∠P=76°.
2．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】A
【解析】【解答】解： ∵直线与相交
∴圆心到直线的距离小于的半径5.
故答案为：A.
【分析】根据定义判断即可，的半径为r，圆心O到直线的距离为d，若直线与相离，则d>r；若直线与相切，则d=r；若直线与相交，则d3．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，∠APB=60°，PA=8，则⊙O的半径OA长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OA、OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠OAP=90°，∠APO= ∠APB=30°
Rt△OAP中，
∵tan∠APO= ，
∴OA=PA tan30°=8× = ，
故选D．
【分析】连接OA、OP，根据切线长定理即可求得∠OPA= ∠APB，在Rt△OAP中利用三角函数即可求解．
4．把宽为2cm 的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度刻恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm ），则该圆的半径是（ ）
A．3 cm B．3.25 cm C．2 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE= AB= ×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r= =3.25cm．
故选B．
【分析】连接OA交BC于点E，根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．
5．如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE，故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，
∴∠BOD=2∠OAD=50°，故选项D正确；
如图：
过点D作DF⊥AB于点F
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可得OD⊥DE，根据等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，根据角平分线的概念得∠OAD=∠EAD，则∠EAD=∠ODA，推出OD∥AE，据此判断A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，由圆周角定理得∠BOD=2∠OAD=50°，据此判断D；根据角平分线的性质可得DE=DF，据此判断C.
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP=4，PA=2，则∠AOB的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO．
又∵OP=4，PA=2，
∴∠APO=30°．
∴∠APB=60°，∠AOB=120°．
故选C．
【分析】根据切线的性质得到直角△AOP，再根据锐角三角函数求得∠APO的度数；根据切线长定理求得∠APB的度数．
根据四边形的内角和定理即可求解．
7．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA sin60°＝2× ＝ ，
∴S阴影＝S△OAB S扇形OMN＝ ×2× ＝ .
故答案为：C.
【分析】设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，解直角三角形OAG可求得OG的值，再根据阴影部分图形的构成S阴影＝S△OAB S扇形OMN可求解.
8．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，且BC⊥OA，过BC的延长线上一点D作⊙O的切线DE，切点为E，连接AB，BE，若∠BDE=52°，则∠ABE的度数是（ ）
A．52° B．58° C．60° D．64°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图连接OE，设OA交BC于H．
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∴∠OED=90°，
∵BC⊥OA于H，
∴∠OHD=90°，
∴∠EOH=360°﹣∠OHD﹣∠D﹣∠OED=360°﹣90°﹣52°﹣90°=128°，
∴∠ABE= ∠AOE=64°，
故选D．
【分析】如图连接OE，设OA交BC于H．根据四边形内角和定理求出∠HOD，再根据∠ABE= ∠AOE即可解决问题．
9．如图，点为的内心，连接并延长，交的外接圆于点，点为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【解析】【解答】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
是的内心，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
故答案为：C.
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM，根据内心的概念可得∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，由外角的性质可得∠DIC=∠IAC+∠ICA，根据角的和差关系可得∠DCI=∠BCD+∠ICB，结合圆周角定理得∠DIC=∠DCI，推出DI=DC=DM，进而得到∠ICM=90°，利用勾股定理可得CM，进而推出IE为△ACM的中位线，据此求解.
10．如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O相切于点B.点P为 上一动点（A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是：①PB＝PD；② 的长为 π；③∠DBE＝45°；④当P为 中点时EC=EF；⑤∠DFB＝∠CBP.其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，
∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BAH=30°，
∵BD与半圆O相切于点B.
∴∠ABD=90°，
∴∠H=60°，
∵∠ACP=∠ABP，∠ACP=∠DCH，
∴∠PDB=∠H+∠DCH=∠ABP+60°，
∵∠PBD=90°-∠ABP，
若∠PDB=∠PBD，则∠ABP+60°=90°-∠ABP，
∴∠ABP=15°，
∴P点为 的中点，这与P为 上的一动点不完全吻合，
∴∠PDB不一定等于∠ABD，
∴PB不一定等于PD，
故①错误；
②∵M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BOC= ×180°＝60°，
∵直径AB=8，
∴OB=OC=4，
∴ 的长度= ，
故②正确；
③∵∠BOC=60°，OB=OC，
∴∠ABC=60°，OB=OC=BC，
∵BE⊥OC，
∴∠OBE=∠CBE=30°，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBE=60°，
故③错误；
④∵ M，C是半圆上的三等分点，
∴∠BPC=30°，∠COB=60°
∴△COB为等边三角形，
∴∠OBC=60°
又CF⊥OC，
∴∠CBF=30°，
又∠PCB=∠BCF，
∴△PCB∽△BCF，
∴∠CFB=∠CBP，
又P为 的中点，
∴∠PBC=45°，
∴∠CFE=45°，
又∠CEF=90°，
∴∠FCE=45°，
∴EF=EC，
故④ 正确；
⑤由④可得出，∠DFB＝∠CBP正确，
故⑤ 正确.
∴②④⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD=PB，得出P为 的中点，与实际不符，即可判定正误；②先求出∠BOC，再由弧长公式求得 的长度，进而判断正误；③由∠BOC=60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；④通过条件可证明△ BCF∽△ PCB，可得到∠ CFE=∠ FCE，便可判断正误；⑤通过④可得∠DFB＝∠CBP.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知的直径AB为8，点M是外一点，若MB是的切线，B为切点，且，Q为上一动点，则MQ的最小值为 .
【答案】1
【解析】【解答】解：连接OM，交⊙O于Q，此时MQ值最小，
∵BM是⊙O的切线，
∴OB⊥BM，
∵的直径AB=8，
∴OQ=OB=4，
∵BM=3，
由勾股定理，得OM=5，
∴MQ=OM-OQ=5-4=1，
故答案为：1.
【分析】连接OM，交⊙O于Q，此时MQ值最小，根据切线的性质得OB⊥BM，在Rt△OBM中，由勾股定理算出OM，进而根据MQ=OM-OQ即可算出答案.
12．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m= ，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m的取值范围是 ．
【答案】±2；－2【解析】【解答】解：∵⊙M的圆心坐标为（m，0），⊙M与y轴所在直线相切
∴d=r
∵⊙M的半径r=2
∴m=±2；
∵⊙M与y轴所在直线相交，
∴ 2故答案为：±2，－2【分析】根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径：又该圆可以在y轴的左侧，也可能在y轴的右侧，可求得m的值；若直线和圆相交，则圆心应介于相切的两个切点之间，求出m的取值范围。
13．已知PA，PB是⊙O切线，点C为圆上不同于A，B的一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】70°或110°
【解析】【解答】解：连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠APB-∠OAP-∠OBP=140°．
①若C点在优弧AB上，则∠ACB=∠AOB=70°；
②若C点在劣弧AB上，则∠ACB=180°-70°=110°，
故答案为：70°或110°．
【分析】连接OA、OB，在AB弧上任取一点C，连接AC、BC，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再利用圆内接四边形的性质求出∠AOB的度数，最后分两种情况求解即可。
14．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，过 作 的垂线，与 的延长线交于 ，若 的半径为 ，则 的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】如图所示，连结OD
∵PD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥PC，
∴OD∥BC，
∴△POD∽△PBC，
∴ ，
设PA为x，则PO=4+x，PB=4+4+x=8+x，
∴ ，
解得x=4.
故答案为：4.
【分析】根据题意连结OD，由切线的性质可得OD⊥PC，从而可得△POD∽△PBC，可得 ，设PA为x，求出即可.
15．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，⊙O是ABC的内切圆，则这个圆的半径是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，AC=5，
∴BC= = =12，
设内切圆半径为r，则有 BC AC= （AB+BC+AC） r，
∴r= =2．
故答案为2
【分析】根据三角形面积公式S△ABC= BC AC= （AB+BC+AC） r计算即可．
16．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为 .
【答案】4或
【解析】【解答】解：①当DE=DC时，△CDE是等腰三角形，此时DE=DC=AB=4.
②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形.
此时CD、CE是⊙O的切线，连接OC交DE于F.
∵CD=CE，OD=OE，
∴OC垂直平分线段DE，
∴DF=EF= ，
∴ .
③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形.
作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′.
在Rt△EFO中， ，
∴ ，
∴ ，
，
综上所述，DE的长为4或 或 或 .
故答案为：4或 或 或 .
【分析】因为三角形DEC是等腰三角形，所以根据等腰三角形的性质可分三种情况讨论求解：
①当DE=DC时，结合题意得DE=DC=AB可求解；
②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形，连接OC交DE于F.由切线长定理易证OC垂直平分线段DE，由两个角相等的两个三角形相似可得△ODF∽△OCD，可得比例式求得DF=EF的长，再根据DE=2DF可求解；
③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形，作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′，在Rt△EFO中，用勾股定理可求得EF的值；则由图得HE=HF-EF，HE =HF+FE =HF+EF，于是在Rt△DHE 中，用勾股定理可求得DE 的值；综合三种情况可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．
【答案】（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
则弧BC=弧BE，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2=OD OP，即（3x）2=x （3x+9），
解之得x= ，
∴⊙O的半径r= ，
在Rt△OCP中， PC= = =9 ，
tan∠P= = .
【解析】【分析】（1）此题方法不唯一，主要是运用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，题中给出的是证明弧BC和弧BE所对的圆心角相等，则所对的弧相等，则由垂径定理可证得；
2）证明相切，需证明半径OC⊥CP，即证明∠PCO=90°；而由（1）可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，而由半径OE=OC，根据等边对等角，可得∠OCD=∠E，则可证得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°；
3）要求⊙O的半径，可考虑运用勾股定理的方法和相似三角形的方法，题中给出的是运用相似三角形的判定和性质解答，由BD=2OD，可得边BD，半径与OD的关系，则证明Rt△OCD∽Rt△OPC，可得边 OC2=OD OP，代入相关数据，求出半径OC和OD；在Rt△OCP中，tan∠P= ，OC已求，则PO=OB+PB，则可求出PC，代入即可解出.
18．如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
（1）与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）若的半径长为，，求的长．
【答案】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
；
，
，
与相切．
（2）解：连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
【解析】【分析】（1）由已知可证得OD⊥DE，OD为圆的半径，根据切线的判定得DE与⊙O相切.
（2）连接OD， OF，先证明四边形ODEF为矩形，从而得到EF的长，再利用勾股定理求得AO的长，从而可求得AC的长，从而得解.
19．如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）证明：连接，如图
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接，，交于点M，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又由（1）知，，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据切线的判定证明。连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可；
（2）根据扇形的面积公式、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质求解。连接、，证明为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，采用割补法得：阴影部分的面积=扇形的面积，求出扇形的面积即可．
20．在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G.
（1）若求的度数；
（2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M，
①证明：
②若求⊙O的直径.
【答案】（1）解：是直径，BG是的切线，
（2）①证明：∵
∴∠AOC=2∠BOD=2∠AOM，
∴∠COM=∠AOM，
又∵OA=OC，
∴DM⊥AC；
②连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠ADB=∠ABF.
又∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABD∽△AFB.
由①知， ∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD.
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得到即可得到然后根据角的和差解答即可；
（2）①得到∠COM=∠AOM，然后根据等腰三角形的三线合一得到结论即可；
②连接BD，根据两角对应相等得到△ABD∽△AFB.即可得到对应边成比例再根据①得到AD=CD，代入计算解答即可.
21．如图，CE，CB是半圆O的切线，切点分别为D，B，AB为半圆O的直径．CE与BA的延长线交于点E，连结OC，OD．
（1）求证：△OBC≌△ODC．
（2）若DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，从a，b，c三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案：
①方案中你选用的已知数是 ▲
②写出求解过程(结果用字母表示)．
【答案】（1）解：证明：∵CD，CB是半圆O的切线，
∴∠ODC=∠OBC=90°．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC(HL)．
（2）解：①方案中选用的已知数是a，b(答案不唯一)．
②在Rt△ODE中，由勾股定理，得a2+r2=(b+r)2，
∴a2=b2+2br，
∴r=.
【解析】【分析】（1）利用切线的性质可得∠ODC=∠OBC=90°，再利用“HL”证出 △OBC≌△ODC即可；
（2）①根据题意进行选择即可（答案不唯一）；
②利用勾股定理可得a2+r2=(b+r)2，再求出r=即可.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆与BC相交于点F，且AC切于点E.
（1）求证：.
（2）若∠A=30°，AB=6，求CF的长.
【答案】（1）证明：
∵BD为直径，
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°，
∴AC//DF.
∵ AC切于点E ，
∴OE⊥AC，
∴DF⊥EO.
∴.
（2）设AD=x，连结DE，BE，
∵AB=6，
∴BD=6-x，
∴OD=OE=.
∴AO=AD+OD=.
∵∠A=30°，
∴OE=AO=.
∴=，解得x=2.
∴OD=.
∵∠A=30°，DF//AC，
∴∠GDO=30°，
∵DF⊥EO，
∴OG=1.
∵∠DFB=90°，
∴∠GFC=90°，
∵OE⊥AC，
∴∠GEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形EGFC是矩形.
∴CF=EG=OE-OG=1.
【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，说明∠DFB=90°，结合∠ACB=90°，可说明AC//DF，再结合切线，可说明OE⊥AC，再根据平行线的性质，可说明DF⊥EO，从而有结论成立；
（2）设AD=x，在Rt△AOE中结合30度角用x表示出OE，由OE为半径，又可用x表示出OE，列关于x的方程求解，求得x，从而可求得OE，结合30度角求出OG，再证明四边形EGFC为矩形，从而可得CF=EG，利用EG=OE-OG求解.
23． 如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵边所在的直线是的切线，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分
（2）解：连接，
∵经过圆心并与圆相交点，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
解得：，
∴的半径为
【解析】【分析】(1)连接OB，根据切线的性质可得OB⊥AB，进而可证得OB//CE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠BCE=∠OCB即可证得结论；
(2)连接BD，先利用圆周角定理和勾股定理求得BC=5，再证明△BCE∽△DCB得到，进而求得CD即可求解.
24．如图，是的外接圆，AB是的直径，分别过A，C两点作的切线，交于点，连接OP，交AC于点.
（1）求证：；
（2）若，求PA的长.
【答案】（1）证明：∵AB是的直径，
.
是的切线，
.
（2）解：∵AP，CP是的切线，
易证
是AC中点，是AB的中点，是的中位线..
即
即
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理及推论可得∠CAB+∠B=∠ACB=90°，根据切线长定理和切线性质可得PA=PC，∠PAB=90°，根据等腰三角形性质和角的和差即可得到结论；
（2）根据切线长定理证得OD⊥AC，AD=CD，OD//BC.证明OD为中位线可求得OD长，求得∠APO=∠DAO，利用正切值的定义得，于是可求得AD长，进而求出AO长.最后证明△PAO∽△ADO，利用相似三角形的性质即可求得PA的长.
25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2，AE=3，
∴AD=2 ，
∴DF=2 ．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用OD=AO，得到
∠1=∠ADO， 进而得到OD平行AC，结合垂直关系和切线的判定，即可得出答案。
（2）根据等腰三角形的三线重合可知CD=BD，结合条件又知BD=BF，从而有∠3=∠F=30° ，进而得到 ∠2=∠1=30°，故DF=AD，AD=2ED，在Rt△AED中利用30°的性质计算边长AD，即可得出答案。
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