浙教版（2024）九年级上册 4.6 相似多边形 题型专练（含解析）

浙教版（2024）九年级上册 4.6 相似多边形 题型专练
【题型1】相似多边形定义
【典型例题】两个多边形相似的条件是（　　）
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等或对应边成比例
D.对应角相等且对应边成比例
【举一反三1】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（　　）
A.菱形的各角扩大为原来的2倍
B.菱形的边长扩大为原来的2倍
C.菱形的对角线扩大为原来的2倍
D.菱形的面积扩大为原来的4倍
【举一反三2】当两个多边形的对应边 　　，对应角 　　时，这两个多边形相似．
【举一反三3】如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反例．
【举一反三4】如图所示的两个矩形是否相似？请说明理由．
【题型2】相似多边形的周长之比等于相似比
【典型例题】若两个相似多边形周长的比为1：5，则它们的相似比为（　　）
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
【举一反三1】两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（　　）
A.16cm B.32cm C.48cm D.52cm
【举一反三2】两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么周长较大的六边形周长为 　　cm．
【举一反三3】如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长．
【举一反三4】如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【题型3】相似多边形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形ABCD∽矩形BEFG．设矩形ABCD与矩形AHIE的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　）
A.4m B.2m+3n C.m+3n D.3m+n
【举一反三1】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A.16cm2 B.54cm2 C.32cm2 D.48cm2
【举一反三2】如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（　　）
A.4：1 B.3：1 C.2：1 D.3：2
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为 　　．
【举一反三4】四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝4，A′B′＝5，若四边形ABCD的面积为12，求四边形A′B′C′D′的面积．
【举一反三5】两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则这两个五边形面积各是多少cm2？
【题型4】相似多边形实际应用
【典型例题】如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A. B. C.2 D.
【举一反三1】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【举一反三2】1：1000000的地图上，常州市的面积大约为43.75cm2，则常州市的实际面积大约为　　平方公里．
【举一反三3】学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
浙教版（2024）九年级上册 4.6 相似多边形 题型专练（参考答案）
【题型1】相似多边形定义
【典型例题】两个多边形相似的条件是（　　）
A.对应角相等
B.对应边成比例
C.对应角相等或对应边成比例
D.对应角相等且对应边成比例
【答案】D
【解析】∵对应角相等且对应边成比例的多边形相似，∴D符合定义.
故选：D．
【举一反三1】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是（　　）
A.菱形的各角扩大为原来的2倍
B.菱形的边长扩大为原来的2倍
C.菱形的对角线扩大为原来的2倍
D.菱形的面积扩大为原来的4倍
【答案】A
【解析】A、菱形放在2倍的放大镜下它们的边长发生变化，各角度数不变；
B、放大前后的多边形按照比例放大与缩小，因此它们是相似多边形，放大后的倍数就是相似比，故菱形的边长扩大为原来的2倍，正确；
C、菱形的对角线扩大为原来的2倍，正确；
D、面积之比等于相似比的平方，菱形的面积扩大为原来的4倍，正确．
故选：A.
【举一反三2】当两个多边形的对应边 　　，对应角 　　时，这两个多边形相似．
【答案】成比例；相等
【解析】当两个多边形的对应边成比例，对应角相等时，这两个多边形相似.
【举一反三3】如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反例．
【答案】解：两个多边形仅有角分别相等，它们不一定相似，
例如：两矩形不一定相似；
仅有边成比例，两多边形不一定相似，
例如：两菱形不一定相似．
【举一反三4】如图所示的两个矩形是否相似？请说明理由．
【答案】解：两个矩形不相似．
由图形可知，内部矩形的长为：20﹣5×2＝10，宽为12﹣4×2＝4，
，，
则两个矩形对应边的比不相等，∴两个矩形不相似．
【题型2】相似多边形的周长之比等于相似比
【典型例题】若两个相似多边形周长的比为1：5，则它们的相似比为（　　）
A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.1：
【答案】B
【解析】∵相似多边形的周长的比是1：5，∴相似比是1：5．
故选：B．
【举一反三1】两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（　　）
A.16cm B.32cm C.48cm D.52cm
【答案】C
【解析】设较大多边形与较小多边形的周长分别是m，n，则，因而nm，
根据周长之和是80cm，得到mm＝80，解得m＝48cm．
故选：C．
【举一反三2】两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么周长较大的六边形周长为 　　cm．
【答案】60
【解析】设周长较大的六边形周长为x cm，则周长较小的六边形周长为（x﹣24）cm，
由题意得：，解得：x＝60，经检验：x＝60是原方程的根，
∴周长较大的六边形周长为60cm.
【举一反三3】如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．
（1）求的值．
（2）若A1纸的周长为286厘米，求A2纸的周长．
【答案】解：（1）∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，它们都是相似的矩形，
∴A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得，
∴.
（2）∵A1纸的周长为286厘米，，
∴A2纸的周长＝286143．
【举一反三4】如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
【答案】解：（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，
根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解关于a的方程得：a1b，a2b（不符合题意，舍去），
∴原矩形的长和宽的比为.
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴，∴．
【题型3】相似多边形的面积之比等于相似比的平方
【典型例题】一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形ABCD∽矩形BEFG．设矩形ABCD与矩形AHIE的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　）
A.4m B.2m+3n C.m+3n D.3m+n
【答案】D
【解析】设BC＝a，CD＝b，AE＝c，IE＝d，则ab＝m，cd＝n，依题意得：BG＝a﹣d，BE＝c﹣b，
矩形ABCD～矩形BEFG，∴，∴，整理得ac+bd＝2ab，
这个大矩形的面积为：
（a+d）（b+c）
＝ab+cd+ac+bd
＝ab+cd+（ac+bd）
＝ab+cd+2ab
＝3ab+cd
＝3m+n．
故选：D．
【举一反三1】两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（　　）
A.16cm2 B.54cm2 C.32cm2 D.48cm2
【答案】C
【解析】∵两个相似多边形的周长比是3：4，∴两个相似多边形的相似比是3：4，
∴两个相似多边形的面积比是9：16，
∵较小多边形的面积为18cm2，∴较大多边形的面积为32cm2.
故选：C．
【举一反三2】如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（　　）
A.4：1 B.3：1 C.2：1 D.3：2
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，∴AB：DE＝2：1，
∴设AE＝x，DE＝a，∴DC＝AB＝2a，则，
整理得：x＝3a，则3，即AE：ED＝3：1.
故选：B．
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，连接EF，若矩形ABFE与矩形ABCD相似，AB＝4，则矩形ABCD的面积为 　　．
【答案】16
【解析】设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，∴，即，解得x＝2，
∴AD＝2x＝4，∴矩形ABCD的面积为AB AD＝4×416.
【举一反三4】四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝4，A′B′＝5，若四边形ABCD的面积为12，求四边形A′B′C′D′的面积．
【答案】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝4，A′B′＝5，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为，
∴，
即，
∴S四边形A′B′C′D′．
【举一反三5】两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是78cm2，则这两个五边形面积各是多少cm2？
【答案】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是xcm2，ycm2．
则（）2，因而xy．
根据面积之和是78cm2，得到y+y＝78，解得：y＝54，则x54＝24．
即较小五边形与较大五边形的面积分别是24cm2，54cm2．
【题型4】相似多边形实际应用
【典型例题】如图，一块矩形ABCD绸布的长AB＝a，宽AD＝1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（　　）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，
解得a或（舍弃），∴a.
故选：B．
【举一反三1】书画经装裱后更便于收藏．如图，画心ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A′B′C′D′，两矩形的对应边互相平行，且AB与A′B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A′D′的距离、BC与B'C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'时，整幅书画最美观此时，a的值为（　　）
A.4 B.6 C.12 D.24
【答案】C
【解析】由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A′B′＝（90+2a），A′D′＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D'，∴，∴，解得a＝12.
故选：C．
【举一反三2】1：1000000的地图上，常州市的面积大约为43.75cm2，则常州市的实际面积大约为　　平方公里．
【答案】4.375×103
【解析】地图与实际图形相似，相似比是1：1000000＝1：106，
则面积的比是1：1012，因而实际面积是43.75×1012＝4.375×1013平方厘米＝4.375×103平方公里．
【举一反三3】学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．
【答案】解：只有正方形才能做到，理由：
设矩形的一边为a，另一边为b，等宽的纸边宽c，
如果要两矩形相似，则a：b＝（a﹣2c）：（b﹣2c），解得a＝b，
∴只能是正方形了．