浙教版（2024）九年级下册 1.2 锐角三角函数的计算 题型专练（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版（2024）九年级下册 1.2 锐角三角函数的计算 题型专练（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 575.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-12 13:47:38 | ||
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文档简介
浙教版（2024）九年级下册 1.2 锐角三角函数的计算 题型专练
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
【举一反三1】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【举一反三3】利用计算器求锐角的三角函数值：
sin40°≈ ，cos15°≈ ，tan52.6°≈ ，tan30°20'30''≈ ．
【举一反三4】用计算器求得tan65°≈ （精确到0.01）．
【举一反三5】用计算器求三角函数值：（精确到0.0001）
（1）sin10°；
（2）cos50°18'；
（3）tan13°12'；
（4）sin14°36'．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndF x2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【举一反三1】用科学计算器计算，下面结果不正确的是（ ）
A.175＝1419857 B.＝4.358898944 C.sin35°＝0.573576436 D.若tanα＝，则α＝25°56′50″
【举一反三2】用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（ ）
A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16°
【举一反三3】用计算器计算：sin15°+cos61°+tan76°＝ ．（精准到0.0001）
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）sin23°5'+cos66°55'；
（2）cos14°28'﹣tan42°57'；
（3）tan52°39'﹣sin61°42'；
（4）sin27.8°﹣cos65°37'+tan49°56″．
【题型3】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】计算器的按键顺序是，实际上它是求一个角的正弦值，则这个角的度数为（ ）
A.75°38′25″ B.25°38′57″ C.38°25′75″ D.57°25′38″
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【举一反三2】若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【举一反三3】如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度）
【举一反三4】根据条件求锐角：
（1）sinA＝0.753，求∠A；
（2）cosB＝0.0832，求∠B；
（3）tanC＝45.8．求∠C．
【举一反三5】根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
【题型4】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.28
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AC＝4，则斜边上的高线长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝6，则线段BC的长为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝105°，AC＝20，求线段AB的长．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F．
（1）求tan∠EAD的值；
（2）求的值．
【题型5】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【举一反三1】图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（ ）
A.asin10°﹣bcos50° B.acos10°﹣bsin50° C.asin10°﹣bsin50° D.acos10°﹣bcos50°
【举一反三2】如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝37°．当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为 cm．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【举一反三3】如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为 ．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【举一反三4】如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA＝20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求点A到OF的距离AD的长；
（2）求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【举一反三5】嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB为主动杆，AB为辅助杆，OA是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE（DE表示地平线），现测得整个连杆的长度OA＝4.5m，桩的高度OE＝1m．连结点B是OA的三等分点（OB＞AB），在升起过程中，辅助杆A′B′始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角∠BOB′＝80°．
（1）求OB的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
【题型6】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【题型7】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（ ）
A.∠AOB＞∠COD B.∠AOB＝∠COD C.∠AOB＜∠COD D.无法确定
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【举一反三2】比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
【举一反三3】试比较sin10°，cos30°，sin50°，cos70°的大小．
【举一反三4】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【题型8】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】已知α为锐角，且2sinα＞，则α的取值范围是（ ）
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜45° C.30°＜α＜90° D.45°＜α＜60°
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°，设sinA＝m，当∠A是最小的内角时，m的取值范围是（ ）
A.0＜m＜ B.0＜m＜ C.0＜m＜ D.0＜m＜
【举一反三2】若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4
【举一反三3】若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
【举一反三4】已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
浙教版（2024）九年级下册 1.2 锐角三角函数的计算 题型专练（参考答案）
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
【答案】B
【解析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
【举一反三1】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题求正弦值0.8129对应的锐角，需要计算器的2ndf键．
求多少度的正弦值是0.8192，需要先按2ndf键，接着按sin键，再输入数值．
故选：D．
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【答案】B
【解析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
【举一反三3】利用计算器求锐角的三角函数值：
sin40°≈ ，cos15°≈ ，tan52.6°≈ ，tan30°20'30''≈ ．
【答案】0.6428，0.9659，1.3079，0.5853．
【解析】利用计算器依次输入即可得到结果
sin40°≈0.6428；os15°≈0.9659；an52.6°≈1.3079；0°20′30″＝30.34°，tan30°20′30″≈0.5853．
故答案为：0.6428，0.9659，1.3079，0.5853．
【举一反三4】用计算器求得tan65°≈ （精确到0.01）．
【答案】2.14．
【解析】根据计算器即可求出答案．
tan65°≈2.14，
故答案为：2.14．
【举一反三5】用计算器求三角函数值：（精确到0.0001）
（1）sin10°；
（2）cos50°18'；
（3）tan13°12'；
（4）sin14°36'．
【答案】解：（1）sin10°≈0.1736；
（2）cos50°18'＝cos50.3°≈0.6388；
（3）tan13°12'＝tan13.2°≈0.2345；
（4）sin14°36'＝sin14.6°≈0.2521．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndF x2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【答案】A
【解析】根据计算器的功能按键解析解答．
∵按DEC键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号，
∴选项A符合题意；
∵计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是2ndf，
∴选项B不符合题意；
∵按2ndF x2键的作用是求数的倒数，
∴选项C不符合题意；
∵要将最终答案存储起来，可按键M+键，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】用科学计算器计算，下面结果不正确的是（ ）
A.175＝1419857 B.＝4.358898944 C.sin35°＝0.573576436 D.若tanα＝，则α＝25°56′50″
【答案】D
【解析】本题要求熟练应用计算器．
利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″．
故选：D．
【举一反三2】用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（ ）
A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16°
【答案】C
【解析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可．
∵tan26°≈0.488，
cos27°≈0.891，
sin28°≈0.469．
故sin28°＜tan26°＜cos27°．
故选：C．
【举一反三3】用计算器计算：sin15°+cos61°+tan76°＝ ．（精准到0.0001）
【答案】4.7544．
【解析】运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值．
sin15°+cos61°+tan76°
≈0.25882+0.48481+4.01078
＝4.75441
≈4.7544．
故答案为：4.7544．
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）sin23°5'+cos66°55'；
（2）cos14°28'﹣tan42°57'；
（3）tan52°39'﹣sin61°42'；
（4）sin27.8°﹣cos65°37'+tan49°56″．
【答案】解：（1）原式＝sin23°5′+sin23°5′
＝2sin23°5′
≈2×0.39207
≈0.7841；
（2）原式≈0.96829﹣0.93089
≈0.0374；
（3）原式≈1.3103﹣0.8805＝0.4298；
（4）原式≈0.135722﹣0.41284+1.18894
＝0.01842﹣0.41284+1.18894
＝0.79452．
【题型3】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】计算器的按键顺序是，实际上它是求一个角的正弦值，则这个角的度数为（ ）
A.75°38′25″ B.25°38′57″ C.38°25′75″ D.57°25′38″
【答案】A
【解析】根据计算器计算三角函数值的方法即可得出答案．
根据题意可知这个角的度数为75°38′25″．
故选：A．
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【答案】A
【解析】sin﹣10.9816＝78.9918表示计算已知正弦值的对应角度．
sinA＝0.9816，
按键顺序：2ndf，sin，9，8，1，6，＝，
显示结果应为：sin﹣10.9816＝78.99184039．
故选：A．
【举一反三2】若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【答案】C
【解析】根据计算器的使用方法计算出度数以后再进行比较即可．
利用计算器进行计算，
即sinα＝0.848，则α≈58°；
cosβ＝0.454，则β≈63°；
tanγ＝1.804，则γ≈61°．
故α＜γ＜β．
故选：C．
【举一反三3】如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度）
【答案】65.6
【解析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题．
∵3sinα＝+1，
∴sinα＝，
解得，∠α≈65.5°，
故答案为：65.5°．
【举一反三4】根据条件求锐角：
（1）sinA＝0.753，求∠A；
（2）cosB＝0.0832，求∠B；
（3）tanC＝45.8．求∠C．
【答案】解：（1）∵sinA＝0.753，
∴∠A＝48.851°．
（2）∵cosB＝0.0832，
∴∠B＝85.227°；
（3）∵tanC＝45.8
∴∠C＝88.749°．
【举一反三5】根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
【答案】解：（1）∵sinα＝0.6，
∴α≈36°52′12″；
（2）∵sinα＝0.6507，
∴α≈40°35′40″；
（3）∵cosα＝0.13，
∴α≈82°31'49″；
（4）∵cosα＝0.2659，
∴α≈74°34′46″；
（5）∵tanα＝11.82，
∴α≈85°9'51“
（6）∵tanα≈0.3705，
∴α≈20°19′47″．
【题型4】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.28
【答案】C
【解析】根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知EC和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
∵，
∴cosB＝．
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，
∴BE：AB＝（BC﹣EC）：BC＝3：5，
∴BC＝10，
则菱形的周长＝10×4＝40．
故选：C．
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【答案】A
【解析】根据正弦的定义计算即可．
在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝600m，
∵sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝600sinα（m），
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AC＝4，则斜边上的高线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过C点作CD⊥AB于D，在直角三角形ACD中，运用正弦三角函数的定义即可求出斜边AB上的高线CD的长．
过C点作CD⊥AB于D．
由题意可得，在直角三角形ACD中，，
∴．
故选：A．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝6，则线段BC的长为 ．
【答案】3+3．
【解析】过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，
∴AM＝，
同理可得，BM＝3．
在Rt△ACM中，
MC＝，
∴BC＝BM+MC＝3+3．
故答案为：3+3．
【举一反三4】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝105°，AC＝20，求线段AB的长．
【答案】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠B＝45°，CM⊥AB，
∴∠BCM＝45°，
又∵∠ACB＝105°，
∴∠ACM＝60°．
在Rt△ACM中，
cos∠ACM＝，sin∠ACM＝，
∴CM＝10，AM＝．
又∵∠B＝∠BCM，
∴BM＝CM＝10，
∴AB＝BM+AM＝10+．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F．
（1）求tan∠EAD的值；
（2）求的值．
【答案】解：（1）∵BD⊥AC，
∴cos∠BAC＝＝，
∵AB＝13，
∴AD＝5，
∴BD＝＝12，
∵E是BD中点，
∴DE＝BD＝6，
∵AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝3，
∴tan∠EAD＝＝；
（2）过D作DM∥AF，
∴FM：MC＝AD：DC＝5：3，BF：FM＝BE：ED，
∵BE＝ED，
∴BF＝FM，
令FM＝5x，MC＝3x，则BF＝5x，
∴FC＝FM+MC＝8x，
∴＝＝．
【题型5】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【答案】C
【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出AE即可．
如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则CD＝BE＝1.4米，DE＝BC＝25米，
在Rt△ADE中，DE＝25米，∠ADE＝α，
∴AE＝tanα DE＝25tanα（米），
∴AB＝AE+BE＝（1.4+25tanα）米，
故选：C．
【举一反三1】图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（ ）
A.asin10°﹣bcos50° B.acos10°﹣bsin50° C.asin10°﹣bsin50° D.acos10°﹣bcos50°
【答案】D
【解析】连接BC，连接AD并延长交BC于点E，根据已知易得：AD是BC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝50°，最后分别在Rt△BDE和Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
连接BC，连接AD并延长交BC于点E，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝50°，
在Rt△BDE中，BD＝b，
∴DE＝BD cos50°＝bcos50°，
在Rt△ABE中，AB＝a，
∴AE＝AB cos10°＝acos10°，
∴AD＝AE﹣DE＝acos10°﹣bcos50°，
∴点A，D之间的距离为acos10°﹣bcos50°，
故选：D．
【举一反三2】如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝37°．当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为 cm．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】82．
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据锐角三角函数即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图，
Rt△ACE中，AE＝AC×sin37°≈36cm，
Rt△BDF中，BF＝BD×sin37°≈36cm，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10＝82cm，
故答案为：82．
【举一反三3】如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为 ．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】8cm．
【解析】过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，利用垂直定义可得∠DFC＝90°，再根据题意可得：EB＝GF，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDF＝20°，从而可得∠EDF＝60°，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出GF的长，进而求出AB的长，即可解答．
过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，
∴∠DFC＝90°，
由题意得：EB＝GF，
∵∠C＝70°，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝20°，
∵∠CDE＝80°，
∴∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝60°，
在Rt△DCF中，CD＝122cm，
∴DF＝CD sin70°≈122×0.94＝114.68（cm），
在Rt△DEG中，DE＝60cm，
∴DG＝DE cos60°＝60×＝30（cm），
∴GF＝EB＝DF﹣DG＝114.68﹣30＝84.68（cm），
∵AE＝42cm，
∴AB＝EB﹣AE＝84.68﹣42＝42.68（cm），
∵初始高度为35cm，
∴42.68﹣35＝7.68≈8（cm），
∴座垫应调高的厘米数约为8cm，
故答案为：8cm．
【举一反三4】如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA＝20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求点A到OF的距离AD的长；
（2）求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】解：（1）根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm，AD⊥OF，
在Rt△OAD中，
AD＝AO sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm），
∴点A到OF的距离AD的长为12cm；
（2）在Rt△OAD中，
OD＝AO cos∠AOD＝20×sin37°≈16（cm），
∵OB＝7，
∴BD＝OD﹣OB＝9（cm），
在Rt△ABD中，AB＝＝＝15（cm），
∴窗钩AB的长度约等于15cm．
【举一反三5】嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB为主动杆，AB为辅助杆，OA是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE（DE表示地平线），现测得整个连杆的长度OA＝4.5m，桩的高度OE＝1m．连结点B是OA的三等分点（OB＞AB），在升起过程中，辅助杆A′B′始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角∠BOB′＝80°．
（1）求OB的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
【答案】解：（1）∵OA＝4.5m，且点B是OA的三等分点，OB＞AB，
∴（m）．
（2）过点B′作B′F⊥OA于F，如图：
依题意得：OB′＝OB＝3m，
在Rt△B′FO中，∠BOB′＝80°，∠B′FO＝90°，
∴，即，
解得：B′F≈2.94m，
∴连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度为：2.94+1＝3.94（m）．
【题型6】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三角形的面积公式S△COD＝CO ODsin∠COD，因为ab都是圆的半径1，所以sin∠COD的值越大，面积越大进行解答．
S△COD＝CO ODsin∠COD，
∵CO＝OD＝1，
∴S△COD＝sin∠COD，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠COB＝120°，
∴0°＜∠COD＜120°，
∴当∠COD＝90°时，sin∠COD最大，最大值是1，
∴△COD的面积S的最大值是．
故选：D．
【举一反三1】对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值．了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题．
（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确；
（2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确；
（3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确；
（4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确，
共3个说法正确．
故选：C．
【举一反三2】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【答案】∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【解析】先利用正弦的定义得到sin∠BAC＝，由于AB为定值，则BC越大，梯子越陡，所以∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
∵∠ACB＝90°，
∴sin∠BAC＝，
∵AB为定值，
∴BC越大，梯子越陡，
即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
故答案为：∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】>
【解析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据∠BAC＝45°，∠EAD＜∠FAG＝45°，来作判断；
解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【答案】解：（1）∵CA⊥AO，
∴△FOA和△EOA均为直角三角形．
∴tan∠AOF＝，tan∠AOE＝．
∴tan∠AOF＞tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
故答案为：增大．
【题型7】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（ ）
A.∠AOB＞∠COD B.∠AOB＝∠COD C.∠AOB＜∠COD D.无法确定
【答案】C
【解析】根据网格构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出sin∠AOB和sin∠COD的值，再根据锐角三角函数值的增减性进行判断即可．
如图，连接AP，过点A作AN⊥OP于N，
∴OP＝＝，OD＝＝，
S△OPA＝S梯形OPFE﹣S△AOE﹣S△PAF
＝×（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1
＝3﹣1﹣
＝，
又∵S△OPA＝××AN，即××AN＝，
∴AN＝，
∴sin∠AOB＝＝＝0.6，
∵sin∠COD＝＝≈0.7，
∵0.6＜0.7，即sin∠AOB＜sin∠COD，
∴∠AOB＜∠COD，
故选：C．
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】A
【解析】首先根据图形可得：∠α＞∠β，然后根据各锐角函数的增减性，即可求得答案．
根据图形得：∠α＞∠β，
∴tanα＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ．
∴①②正确．
故选：A．
【举一反三2】比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＞．
【解析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可．
由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知，
∵80°＞50°，
∴sin80°＞sin50°，
故答案为：＞．
【举一反三3】试比较sin10°，cos30°，sin50°，cos70°的大小．
【答案】解：cos30°＝sin60°，cos70°＝sin20°，
∵sin10°＜sin20°＜sin50°＜sin60°，
∴sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30°；
【举一反三4】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【答案】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，
∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．
【题型8】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】已知α为锐角，且2sinα＞，则α的取值范围是（ ）
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜45° C.30°＜α＜90° D.45°＜α＜60°
【答案】A
【解析】根据特殊角的三角函数值求出sin60°＝，根据当α是锐角时，其正弦随角度的增大而增大即可求解．
∵α为锐角，
∴α＜90°，
又∵当α是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，且sin60°＝，
∴当2sinα＞时，sinα＞，
∴α＞60°，
∴60°＜α＜90°，
故选：A．
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°，设sinA＝m，当∠A是最小的内角时，m的取值范围是（ ）
A.0＜m＜ B.0＜m＜ C.0＜m＜ D.0＜m＜
【答案】B
【解析】利用特殊角的三角函数值，进而结合锐角三角函数关系增减性求出即可．
∵∠A是最小的内角，
∴∠A＜45°，
∵sin45°＜，
∴0＜m＜．
故选：B．
【举一反三2】若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4
【答案】B
【解析】由tan45°＝1，tan60°＝且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，从而得出答案．
∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，
∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，
则1＜a＜2，
故选：B．
【举一反三3】若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
【答案】60°≤α＜90°
【解析】首先根据二次根式有意义的条件求得cosα的取值范围，再根据锐角三角函数的特殊值以及其变化规律进行解析．
根据二次根式有意义的条件，得﹣cosα≥0，
即cosα≤．
∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是60°≤α＜90°．
故答案为：60°≤α＜90°
【举一反三4】已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
【答案】60°＜α＜90°
【解析】首先明确cos90°＝0，cos60°＝，再根据余弦函数随角增大而减小，进行解析．
∵cos90°＝0，cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴当0＜cosα＜0.5时，
则α的取值范围是60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
【答案】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，
∴∠A＜90°，
∵sinA＜，
∴0°＜∠A＜45°．
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
【举一反三1】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【举一反三3】利用计算器求锐角的三角函数值：
sin40°≈ ，cos15°≈ ，tan52.6°≈ ，tan30°20'30''≈ ．
【举一反三4】用计算器求得tan65°≈ （精确到0.01）．
【举一反三5】用计算器求三角函数值：（精确到0.0001）
（1）sin10°；
（2）cos50°18'；
（3）tan13°12'；
（4）sin14°36'．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndF x2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【举一反三1】用科学计算器计算，下面结果不正确的是（ ）
A.175＝1419857 B.＝4.358898944 C.sin35°＝0.573576436 D.若tanα＝，则α＝25°56′50″
【举一反三2】用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（ ）
A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16°
【举一反三3】用计算器计算：sin15°+cos61°+tan76°＝ ．（精准到0.0001）
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）sin23°5'+cos66°55'；
（2）cos14°28'﹣tan42°57'；
（3）tan52°39'﹣sin61°42'；
（4）sin27.8°﹣cos65°37'+tan49°56″．
【题型3】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】计算器的按键顺序是，实际上它是求一个角的正弦值，则这个角的度数为（ ）
A.75°38′25″ B.25°38′57″ C.38°25′75″ D.57°25′38″
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【举一反三2】若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【举一反三3】如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度）
【举一反三4】根据条件求锐角：
（1）sinA＝0.753，求∠A；
（2）cosB＝0.0832，求∠B；
（3）tanC＝45.8．求∠C．
【举一反三5】根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
【题型4】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.28
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AC＝4，则斜边上的高线长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝6，则线段BC的长为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝105°，AC＝20，求线段AB的长．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F．
（1）求tan∠EAD的值；
（2）求的值．
【题型5】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【举一反三1】图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（ ）
A.asin10°﹣bcos50° B.acos10°﹣bsin50° C.asin10°﹣bsin50° D.acos10°﹣bcos50°
【举一反三2】如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝37°．当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为 cm．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【举一反三3】如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为 ．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【举一反三4】如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA＝20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求点A到OF的距离AD的长；
（2）求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【举一反三5】嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB为主动杆，AB为辅助杆，OA是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE（DE表示地平线），现测得整个连杆的长度OA＝4.5m，桩的高度OE＝1m．连结点B是OA的三等分点（OB＞AB），在升起过程中，辅助杆A′B′始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角∠BOB′＝80°．
（1）求OB的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
【题型6】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【题型7】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（ ）
A.∠AOB＞∠COD B.∠AOB＝∠COD C.∠AOB＜∠COD D.无法确定
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【举一反三2】比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
【举一反三3】试比较sin10°，cos30°，sin50°，cos70°的大小．
【举一反三4】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【题型8】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】已知α为锐角，且2sinα＞，则α的取值范围是（ ）
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜45° C.30°＜α＜90° D.45°＜α＜60°
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°，设sinA＝m，当∠A是最小的内角时，m的取值范围是（ ）
A.0＜m＜ B.0＜m＜ C.0＜m＜ D.0＜m＜
【举一反三2】若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4
【举一反三3】若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
【举一反三4】已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
浙教版（2024）九年级下册 1.2 锐角三角函数的计算 题型专练（参考答案）
【题型1】用计算器求任何锐角的三角函数值
【典型例题】用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（ ）
A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
【答案】B
【解析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
【举一反三1】已知sinA＝0.8192，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】此题求正弦值0.8129对应的锐角，需要计算器的2ndf键．
求多少度的正弦值是0.8192，需要先按2ndf键，接着按sin键，再输入数值．
故选：D．
【举一反三2】某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A.2～3 B.3～4 C.4～5 D.5～6
【答案】B
【解析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
【举一反三3】利用计算器求锐角的三角函数值：
sin40°≈ ，cos15°≈ ，tan52.6°≈ ，tan30°20'30''≈ ．
【答案】0.6428，0.9659，1.3079，0.5853．
【解析】利用计算器依次输入即可得到结果
sin40°≈0.6428；os15°≈0.9659；an52.6°≈1.3079；0°20′30″＝30.34°，tan30°20′30″≈0.5853．
故答案为：0.6428，0.9659，1.3079，0.5853．
【举一反三4】用计算器求得tan65°≈ （精确到0.01）．
【答案】2.14．
【解析】根据计算器即可求出答案．
tan65°≈2.14，
故答案为：2.14．
【举一反三5】用计算器求三角函数值：（精确到0.0001）
（1）sin10°；
（2）cos50°18'；
（3）tan13°12'；
（4）sin14°36'．
【答案】解：（1）sin10°≈0.1736；
（2）cos50°18'＝cos50.3°≈0.6388；
（3）tan13°12'＝tan13.2°≈0.2345；
（4）sin14°36'＝sin14.6°≈0.2521．
【题型2】应用计算器求解
【典型例题】利用如图所示的计算器进行计算，下列说法正确的是（ ）
A.按DEL键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号
B.在计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是sin
C.按2ndF x2键可求出一个数的倒数的平方
D.要将最终答案存储起来，可按键＝键
【答案】A
【解析】根据计算器的功能按键解析解答．
∵按DEC键可清除显示器中闪烁光标前的数值和符号，
∴选项A符合题意；
∵计算sinA＝0.45中A的度数时，第一个按的键是2ndf，
∴选项B不符合题意；
∵按2ndF x2键的作用是求数的倒数，
∴选项C不符合题意；
∵要将最终答案存储起来，可按键M+键，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】用科学计算器计算，下面结果不正确的是（ ）
A.175＝1419857 B.＝4.358898944 C.sin35°＝0.573576436 D.若tanα＝，则α＝25°56′50″
【答案】D
【解析】本题要求熟练应用计算器．
利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″．
故选：D．
【举一反三2】用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（ ）
A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16°
【答案】C
【解析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可．
∵tan26°≈0.488，
cos27°≈0.891，
sin28°≈0.469．
故sin28°＜tan26°＜cos27°．
故选：C．
【举一反三3】用计算器计算：sin15°+cos61°+tan76°＝ ．（精准到0.0001）
【答案】4.7544．
【解析】运用计算器即可计算出题中各式中的三角函数值．
sin15°+cos61°+tan76°
≈0.25882+0.48481+4.01078
＝4.75441
≈4.7544．
故答案为：4.7544．
【举一反三4】用计算器求下列各式的值：
（1）sin23°5'+cos66°55'；
（2）cos14°28'﹣tan42°57'；
（3）tan52°39'﹣sin61°42'；
（4）sin27.8°﹣cos65°37'+tan49°56″．
【答案】解：（1）原式＝sin23°5′+sin23°5′
＝2sin23°5′
≈2×0.39207
≈0.7841；
（2）原式≈0.96829﹣0.93089
≈0.0374；
（3）原式≈1.3103﹣0.8805＝0.4298；
（4）原式≈0.135722﹣0.41284+1.18894
＝0.01842﹣0.41284+1.18894
＝0.79452．
【题型3】已知任何锐角三角函数值求角度
【典型例题】计算器的按键顺序是，实际上它是求一个角的正弦值，则这个角的度数为（ ）
A.75°38′25″ B.25°38′57″ C.38°25′75″ D.57°25′38″
【答案】A
【解析】根据计算器计算三角函数值的方法即可得出答案．
根据题意可知这个角的度数为75°38′25″．
故选：A．
【举一反三1】计算器显示结果为sin﹣10.9816＝78.9918的意思正确的是（ ）
A.计算已知正弦值的对应角度 B.计算已知余弦值的对应角度 C.计算一个角的正弦值 D.计算一个角的余弦值
【答案】A
【解析】sin﹣10.9816＝78.9918表示计算已知正弦值的对应角度．
sinA＝0.9816，
按键顺序：2ndf，sin，9，8，1，6，＝，
显示结果应为：sin﹣10.9816＝78.99184039．
故选：A．
【举一反三2】若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【答案】C
【解析】根据计算器的使用方法计算出度数以后再进行比较即可．
利用计算器进行计算，
即sinα＝0.848，则α≈58°；
cosβ＝0.454，则β≈63°；
tanγ＝1.804，则γ≈61°．
故α＜γ＜β．
故选：C．
【举一反三3】如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度）
【答案】65.6
【解析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题．
∵3sinα＝+1，
∴sinα＝，
解得，∠α≈65.5°，
故答案为：65.5°．
【举一反三4】根据条件求锐角：
（1）sinA＝0.753，求∠A；
（2）cosB＝0.0832，求∠B；
（3）tanC＝45.8．求∠C．
【答案】解：（1）∵sinA＝0.753，
∴∠A＝48.851°．
（2）∵cosB＝0.0832，
∴∠B＝85.227°；
（3）∵tanC＝45.8
∴∠C＝88.749°．
【举一反三5】根据下列三角比的值，用计算器求相应的锐角α：
（1）sinα＝0.6；
（2）sinα＝0.6507；
（3）cosα＝0.13；
（4）cosα＝0.2659；
（5）tanα＝11.82；
（6）tanα＝0.3705．
【答案】解：（1）∵sinα＝0.6，
∴α≈36°52′12″；
（2）∵sinα＝0.6507，
∴α≈40°35′40″；
（3）∵cosα＝0.13，
∴α≈82°31'49″；
（4）∵cosα＝0.2659，
∴α≈74°34′46″；
（5）∵tanα＝11.82，
∴α≈85°9'51“
（6）∵tanα≈0.3705，
∴α≈20°19′47″．
【题型4】应用锐角三角函数解决几何图形问题
【典型例题】如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，，则菱形的周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.28
【答案】C
【解析】根据菱形的性质和同角三角函数的关系，可知EC和菱形边长的关系，从而求出菱形的周长．
∵，
∴cosB＝．
∵在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝4，
∴BE：AB＝（BC﹣EC）：BC＝3：5，
∴BC＝10，
则菱形的周长＝10×4＝40．
故选：C．
【举一反三1】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝600m，则这名滑雪运动员下滑的垂直高度AC为（ ）
A.600sinαm B.600cosαm C.600tanαm D.600m
【答案】A
【解析】根据正弦的定义计算即可．
在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝600m，
∵sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝600sinα（m），
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AC＝4，则斜边上的高线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过C点作CD⊥AB于D，在直角三角形ACD中，运用正弦三角函数的定义即可求出斜边AB上的高线CD的长．
过C点作CD⊥AB于D．
由题意可得，在直角三角形ACD中，，
∴．
故选：A．
【举一反三3】如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝6，则线段BC的长为 ．
【答案】3+3．
【解析】过点A作BC的垂线，构造直角三角形即可解决问题．
过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，
∴AM＝，
同理可得，BM＝3．
在Rt△ACM中，
MC＝，
∴BC＝BM+MC＝3+3．
故答案为：3+3．
【举一反三4】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，∠C＝105°，AC＝20，求线段AB的长．
【答案】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，
∵∠B＝45°，CM⊥AB，
∴∠BCM＝45°，
又∵∠ACB＝105°，
∴∠ACM＝60°．
在Rt△ACM中，
cos∠ACM＝，sin∠ACM＝，
∴CM＝10，AM＝．
又∵∠B＝∠BCM，
∴BM＝CM＝10，
∴AB＝BM+AM＝10+．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F．
（1）求tan∠EAD的值；
（2）求的值．
【答案】解：（1）∵BD⊥AC，
∴cos∠BAC＝＝，
∵AB＝13，
∴AD＝5，
∴BD＝＝12，
∵E是BD中点，
∴DE＝BD＝6，
∵AC＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝3，
∴tan∠EAD＝＝；
（2）过D作DM∥AF，
∴FM：MC＝AD：DC＝5：3，BF：FM＝BE：ED，
∵BE＝ED，
∴BF＝FM，
令FM＝5x，MC＝3x，则BF＝5x，
∴FC＝FM+MC＝8x，
∴＝＝．
【题型5】应用锐角三角函数解决实际问题
【典型例题】如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C处架起测角仪，测角仪的高CD＝1.4米，从点D测得教学大楼顶端A的仰角为α，测角仪底部C到大楼底部B的距离是25米，那么教学大楼AB的高是（ ）
A.1.4+25sinα B.1.4+25cosα C.1.4+25tanα D.1.4+25cotα
【答案】C
【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出AE即可．
如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则CD＝BE＝1.4米，DE＝BC＝25米，
在Rt△ADE中，DE＝25米，∠ADE＝α，
∴AE＝tanα DE＝25tanα（米），
∴AB＝AE+BE＝（1.4+25tanα）米，
故选：C．
【举一反三1】图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若AB＝AC＝a，BD＝CD＝b，∠BAC＝20°，∠BDC＝100°，则点A，D之间的距离为（ ）
A.asin10°﹣bcos50° B.acos10°﹣bsin50° C.asin10°﹣bsin50° D.acos10°﹣bcos50°
【答案】D
【解析】连接BC，连接AD并延长交BC于点E，根据已知易得：AD是BC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝50°，最后分别在Rt△BDE和Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出DE和AE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
连接BC，连接AD并延长交BC于点E，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝10°，∠BDE＝∠CDE＝∠BDC＝50°，
在Rt△BDE中，BD＝b，
∴DE＝BD cos50°＝bcos50°，
在Rt△ABE中，AB＝a，
∴AE＝AB cos10°＝acos10°，
∴AD＝AE﹣DE＝acos10°﹣bcos50°，
∴点A，D之间的距离为acos10°﹣bcos50°，
故选：D．
【举一反三2】如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝37°．当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为 cm．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】82．
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据锐角三角函数即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图，
Rt△ACE中，AE＝AC×sin37°≈36cm，
Rt△BDF中，BF＝BD×sin37°≈36cm，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为36+36+10＝82cm，
故答案为：82．
【举一反三3】如图，图1是一辆电动车，图2为其示意图，点A为座垫，AB⊥BC，AB高度可调节，其初始高度为35cm，CD为车前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根据该款车提供信息表明，当骑行者手臂DE与车前柱DC夹角为80°时，骑行者最舒适，若某人手臂长60cm，肩膀到座垫的高度AE＝42cm．若要想骑行最舒适，则座垫应调高的厘米数为 ．（结果按四舍五入法精确到1cm，参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】8cm．
【解析】过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，利用垂直定义可得∠DFC＝90°，再根据题意可得：EB＝GF，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDF＝20°，从而可得∠EDF＝60°，再在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，最后在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出GF的长，进而求出AB的长，即可解答．
过点D作DF⊥CB，垂足为F，过点E作EG⊥DF，垂足为G，过点A作AH⊥DF，垂足为H，
∴∠DFC＝90°，
由题意得：EB＝GF，
∵∠C＝70°，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝20°，
∵∠CDE＝80°，
∴∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝60°，
在Rt△DCF中，CD＝122cm，
∴DF＝CD sin70°≈122×0.94＝114.68（cm），
在Rt△DEG中，DE＝60cm，
∴DG＝DE cos60°＝60×＝30（cm），
∴GF＝EB＝DF﹣DG＝114.68﹣30＝84.68（cm），
∵AE＝42cm，
∴AB＝EB﹣AE＝84.68﹣42＝42.68（cm），
∵初始高度为35cm，
∴42.68﹣35＝7.68≈8（cm），
∴座垫应调高的厘米数约为8cm，
故答案为：8cm．
【举一反三4】如图，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且OA＝20cm，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽OF上移动，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．
（1）求点A到OF的距离AD的长；
（2）求窗钩AB的长度（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】解：（1）根据题意，可知∠AOB＝37°，OA＝20cm，OB＝7cm，AD⊥OF，
在Rt△OAD中，
AD＝AO sin∠AOD＝20×sin37°≈12（cm），
∴点A到OF的距离AD的长为12cm；
（2）在Rt△OAD中，
OD＝AO cos∠AOD＝20×sin37°≈16（cm），
∵OB＝7，
∴BD＝OD﹣OB＝9（cm），
在Rt△ABD中，AB＝＝＝15（cm），
∴窗钩AB的长度约等于15cm．
【举一反三5】嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，OB为主动杆，AB为辅助杆，OA是指连杆处在水平静止状态时，此时O，B，A在同一直线上，OA∥DE（DE表示地平线），现测得整个连杆的长度OA＝4.5m，桩的高度OE＝1m．连结点B是OA的三等分点（OB＞AB），在升起过程中，辅助杆A′B′始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角∠BOB′＝80°．
（1）求OB的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度．（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67）
【答案】解：（1）∵OA＝4.5m，且点B是OA的三等分点，OB＞AB，
∴（m）．
（2）过点B′作B′F⊥OA于F，如图：
依题意得：OB′＝OB＝3m，
在Rt△B′FO中，∠BOB′＝80°，∠B′FO＝90°，
∴，即，
解得：B′F≈2.94m，
∴连杆在完全升起后辅助杆A′B′距离地面的高度为：2.94+1＝3.94（m）．
【题型6】锐角三角函数的增减性及其应用
【典型例题】如图，是半径为1的半圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则△COD的面积S的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三角形的面积公式S△COD＝CO ODsin∠COD，因为ab都是圆的半径1，所以sin∠COD的值越大，面积越大进行解答．
S△COD＝CO ODsin∠COD，
∵CO＝OD＝1，
∴S△COD＝sin∠COD，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠COB＝120°，
∴0°＜∠COD＜120°，
∴当∠COD＝90°时，sin∠COD最大，最大值是1，
∴△COD的面积S的最大值是．
故选：D．
【举一反三1】对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值．了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题．
（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确；
（2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确；
（3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确；
（4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确，
共3个说法正确．
故选：C．
【举一反三2】学过三角函数之后，小明同学明白了梯子的倾斜程度和∠BAC的三角函数值有关．根据如图，请你用∠BAC的正弦（或余弦，或余弦）的大小来描述梯子的倾斜程度： ．
【答案】∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【解析】先利用正弦的定义得到sin∠BAC＝，由于AB为定值，则BC越大，梯子越陡，所以∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
∵∠ACB＝90°，
∴sin∠BAC＝，
∵AB为定值，
∴BC越大，梯子越陡，
即∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
故答案为：∠BAC的正弦值越大，梯子越陡．
【举一反三3】如图所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】>
【解析】解法一：取点G、F，构建等腰直角三角形，由正切的值可作判断，或直接根据∠BAC＝45°，∠EAD＜∠FAG＝45°，来作判断；
解法二：作辅助线，构建三角形及高线NP，先利用面积法求高线PN＝，再分别求∠BAC、∠DAE的正弦，根据正弦值随着角度的增大而增大，作判断．
解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
【举一反三4】已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE．
（1）求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而 ．
【答案】解：（1）∵CA⊥AO，
∴△FOA和△EOA均为直角三角形．
∴tan∠AOF＝，tan∠AOE＝．
∴tan∠AOF＞tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
故答案为：增大．
【题型7】应用锐角三角函数的增减性比大小
【典型例题】如图所示，是由小正方形构成的4×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点O，A，P，C，D均在格点上，则∠AOB和∠COD的大小关系为（ ）
A.∠AOB＞∠COD B.∠AOB＝∠COD C.∠AOB＜∠COD D.无法确定
【答案】C
【解析】根据网格构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出sin∠AOB和sin∠COD的值，再根据锐角三角函数值的增减性进行判断即可．
如图，连接AP，过点A作AN⊥OP于N，
∴OP＝＝，OD＝＝，
S△OPA＝S梯形OPFE﹣S△AOE﹣S△PAF
＝×（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1
＝3﹣1﹣
＝，
又∵S△OPA＝××AN，即××AN＝，
∴AN＝，
∴sin∠AOB＝＝＝0.6，
∵sin∠COD＝＝≈0.7，
∵0.6＜0.7，即sin∠AOB＜sin∠COD，
∴∠AOB＜∠COD，
故选：C．
【举一反三1】如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】A
【解析】首先根据图形可得：∠α＞∠β，然后根据各锐角函数的增减性，即可求得答案．
根据图形得：∠α＞∠β，
∴tanα＞tanβ，sinα＞sinβ，cosα＜cosβ．
∴①②正确．
故选：A．
【举一反三2】比较大小：sin80° sin50°（填“＞”或“＜”）．
【答案】＞．
【解析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可．
由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知，
∵80°＞50°，
∴sin80°＞sin50°，
故答案为：＞．
【举一反三3】试比较sin10°，cos30°，sin50°，cos70°的大小．
【答案】解：cos30°＝sin60°，cos70°＝sin20°，
∵sin10°＜sin20°＜sin50°＜sin60°，
∴sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30°；
【举一反三4】用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
【答案】解：∵75°＞60°＞30°＞15°，
∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．
【题型8】应用锐角三角函数的增减性求取值范围
【典型例题】已知α为锐角，且2sinα＞，则α的取值范围是（ ）
A.60°＜α＜90° B.30°＜α＜45° C.30°＜α＜90° D.45°＜α＜60°
【答案】A
【解析】根据特殊角的三角函数值求出sin60°＝，根据当α是锐角时，其正弦随角度的增大而增大即可求解．
∵α为锐角，
∴α＜90°，
又∵当α是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，且sin60°＝，
∴当2sinα＞时，sinα＞，
∴α＞60°，
∴60°＜α＜90°，
故选：A．
【举一反三1】已知在△ABC中，∠C＝90°，设sinA＝m，当∠A是最小的内角时，m的取值范围是（ ）
A.0＜m＜ B.0＜m＜ C.0＜m＜ D.0＜m＜
【答案】B
【解析】利用特殊角的三角函数值，进而结合锐角三角函数关系增减性求出即可．
∵∠A是最小的内角，
∴∠A＜45°，
∵sin45°＜，
∴0＜m＜．
故选：B．
【举一反三2】若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（ ）
A.0＜a＜1 B.1＜a＜2 C.2＜a＜3 D.3＜a＜4
【答案】B
【解析】由tan45°＝1，tan60°＝且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，知tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，从而得出答案．
∵tan45°＝1，tan60°＝，且锐角范围内tanα随∠α的增大而增大，
∴tan45°＜tan55°＜tan60°，即1＜a＜，
则1＜a＜2，
故选：B．
【举一反三3】若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
【答案】60°≤α＜90°
【解析】首先根据二次根式有意义的条件求得cosα的取值范围，再根据锐角三角函数的特殊值以及其变化规律进行解析．
根据二次根式有意义的条件，得﹣cosα≥0，
即cosα≤．
∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是60°≤α＜90°．
故答案为：60°≤α＜90°
【举一反三4】已知α为锐角，且0＜cosα＜0.5，则α的取值范围是 ．
【答案】60°＜α＜90°
【解析】首先明确cos90°＝0，cos60°＝，再根据余弦函数随角增大而减小，进行解析．
∵cos90°＝0，cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴当0＜cosα＜0.5时，
则α的取值范围是60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．
【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA＜，求∠A的取值范围．
【答案】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，
∴∠A＜90°，
∵sinA＜，
∴0°＜∠A＜45°．