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专题6.8 余角和补角
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.求一个角的余角 2
考点2.求一个角的补角 3
考点3.与余角、补角有关的综合计算 4
考点4.同（等）角的余角相等的应用 5
考点5.同（等）角的补角相等的应用 6
考点6.邻补角的定义理解 7
考点7.利用邻补角互补求角度 8
考点8.方位角中的角度计算 9
考点9.几何图形中的余角与补角性质综合问题 11
模块3：培优训练 14
1.余角、补角
（1）余角：如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余。
即∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角。也可以说一个角是另一个角的余角。
（2）补角：如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角，简称互补。
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角。也可以说一个角是另一个角的补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）。
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的。所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南。二要确定其旋转方向是向东还是向西。三要确定旋转角度的大小。
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。
考点1.求一个角的余角
例．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段练习）一个角是，则它的余角的度数是 ．
变式1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如果，那么它的余角是（ ）
A．44° B．134° C．90° D．180°
变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）．
A．B．C．D．
考点2.求一个角的补角
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）若一个角是，则这个角的补角是（ ）
A． B． C．
变式1．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（ ）
A． B． C． D．或
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点3.与余角、补角有关的综合计算
例1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）对于互补的下列说法中：①，则，，互补；②若是的补角，则是的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ．
考点4.同（等）角的余角相等的应用
例1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若与互余，与互余，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果，，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
变式2．（24-25七年级上·浙江·期末）若，，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．
变式3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点5.同（等）角的补角相等的应用
例1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）因为，，所以与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）（1）若，，则 ，依据是 ；
（2）若，，则 ，依据是 ；
（3）两个三角板如图放置，若，则 ，依据是 ．
变式2．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ．
考点6.邻补角的定义理解
例1．（24-25·黑龙江·七年级校考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
变式1．（24-25·河北·七年级校考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25·福建·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
考点7.利用邻补角互补求角度
例1．（24-25七年级上·江西·校考期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
变式1．（24-25·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
考点8.方位角中的角度计算
例1．（24-25秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
变式2．（24-25上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
考点9.几何图形中的余角与补角性质综合问题
例1．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由；
(3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化；
(4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由．
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则 ．
(3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ．
变式2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．
【操作探究】(1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，___，___；
(2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线；
(3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．4对 C．3对 D．5对
4．（24-25七年级上·山东·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．一个角的补角一定比这个角大 B．一个角的补角一定是钝角
C．一个直角的补角是直角 D．一个锐角和一个钝角一定互为补角
5．（2025·河北·一模）如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
6．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．与互余 C． D．与互补
7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（ ）
①若，则的余角数为；
②若，则的补角度数为；
③若与互余，与互补，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．
12．（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ．
13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则的补角的度数为 ．
14．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ．
15．（24-25七年级下·浙江·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ．
16．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，和都是直角．
（1）如果，则 ；
（2）找出图中一组相等的锐角为： ；
（3）选择，若变小，将 ．
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．
18．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；）(1)若，则的度数为_____；
(2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示）
19．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由；
(2)写出的补角和余角；(3)如果，平分，求度数．
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角．(1)与互余吗？(2)和有什么关系，为什么？(3)的补角是___________．
21．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题：
(1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）；②当时，求的度数；
(2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程）
22．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分．
(1)若，则是______；(2)若，求的度数；(3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
23．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知O为直线上的一点，．
(1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．
①若，则射线的方向是_________；
②与的关系为_________；③与的关系为_________．
(2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；
(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
24．（24-25七年级上·广东汕头·期末）已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题：
(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度．
(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数．
(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？
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专题6.8 余角和补角
1、掌握互为余角和互为补角的概念及性质；
2、会用余角、补角性质进行有关计算；
3、掌握方位角的相关概念及计算。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.求一个角的余角 2
考点2.求一个角的补角 3
考点3.与余角、补角有关的综合计算 4
考点4.同（等）角的余角相等的应用 5
考点5.同（等）角的补角相等的应用 6
考点6.邻补角的定义理解 7
考点7.利用邻补角互补求角度 8
考点8.方位角中的角度计算 9
考点9.几何图形中的余角与补角性质综合问题 11
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1.余角、补角
（1）余角：如果两个锐角的和为直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余。
即∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角。也可以说一个角是另一个角的余角。
（2）补角：如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角，简称互补。
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角。也可以说一个角是另一个角的补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
注意：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补角）。
②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
2.方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的。所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南。二要确定其旋转方向是向东还是向西。三要确定旋转角度的大小。
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛。
考点1.求一个角的余角
例．（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段练习）一个角是，则它的余角的度数是 ．
【答案】
【详解】解：∵一个角是，∴这个角的余角度数为，故答案为：．
变式1．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）如果，那么它的余角是（ ）
A．44° B．134° C．90° D．180°
【答案】A
【详解】解：∵，∴的余角 ．故选：A．
变式2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，即的余角是，故选：．
变式3．（2025七年级上·浙江·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意；
B、由图可得，与互补，该选项不合题意；
C、由图可得，该选项不合题意；
D、由图可得，与互余，该选项符合题意；故选：D．
考点2.求一个角的补角
例1．（25-26七年级上·浙江·期中）若一个角是，则这个角的补角是（ ）
A． B． C．
【答案】B
【详解】解：一个角与它的补角的和为补角
（借位换算）补角．故选：B．
变式1．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图是我国古代民间艺术“木偶戏”示意图，当手握两线的夹角为时，木偶人的两条胳膊在同一条直线上，则此时的补角为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：，的补角为：．故选：C．
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果两个角互为补角，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角的度数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：设一个角的度数为x，则另一个角的度数为，
根据题意得：，解得，
∴，∴这两个角的度数是，．故选：B．
变式3．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与互补，∴，故选：D．
考点3.与余角、补角有关的综合计算
例1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设这个角为，
由题意可得：，，，．故选B．
变式1．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵与互补，∴，即，
∵，∴，
∵与互为余角，∴，∴．故选：C．
变式2．（24-25七年级上·浙江·课后作业）对于互补的下列说法中：①，则，，互补；②若是的补角，则是的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①互补的角指的是两个角的数量关系，不是三个角，所以①错误；
②若是的补角，则是的补角，所以②正确；
③设这个锐角为，则它的余角为，它的补角为，
所以，所以③正确；
④设一个角为，则它的补角是，故④错误．综上所述，其中正确的是2个．故选：B．
变式3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，点N、C、D为直线上方三点，，，，则的补角的度数是 ．
【答案】121
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴的补角的度数，故答案为：121．
考点4.同（等）角的余角相等的应用
例1．（24-25七年级上·广西梧州·期末）若与互余，与互余，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：与互余，与互余，，，．故选：B．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）如果，，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【详解】解：，，，故选：C．
变式2．（24-25七年级上·浙江·期末）若，，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，故选：A．
变式3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴；故选A．
考点5.同（等）角的补角相等的应用
例1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）因为，，所以与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【详解】解：∵，，∴；故选A．
变式1．（24-25七年级上·浙江·课后作业）（1）若，，则 ，依据是 ；
（2）若，，则 ，依据是 ；
（3）两个三角板如图放置，若，则 ，依据是 ．
【答案】 同角的余角相等 同角的补角相等 等角的余角相等
【详解】解：（1）若，，则，依据是同角的余角相等；
（2）若，，则，依据是同角的补角相等；
（3）两个三角板如图放置，若，且，，则，依据是等角的余角相等；故答案为：，同角的余角相等；，同角的补角相等；，等角的余角相等．
变式2．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，若与互补，与互补，则 = ．用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是 ．
【答案】 同角的补角相等
【详解】解：若与互补，与互补，则，用一个定理表达你所得到的结论，这个定理是同角的补角相等．故答案为：，，同角的补角相等
考点6.邻补角的定义理解
例1．（24-25·黑龙江·七年级校考期末）如图，图中邻补角有几对（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】D
【详解】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对，故选：D．
变式1．（24-25·河北·七年级校考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，只有选项A中的与互为邻补角．故选：A．
变式2.（24-25·福建·七年级校考期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
【答案】C
【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角. 故选：C
考点7.利用邻补角互补求角度
例1．（24-25七年级上·江西·校考期末）如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，故答案为：．
变式1．（24-25·上海嘉定·七年级校考期末）如图，已知直线、相交于点O，平分，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵平分，，∴，
∴，故选：B．
变式2.（24-25·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线和交于点O，．，则的度数为 ．
【答案】/55度
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案为：．
考点8.方位角中的角度计算
例1．（24-25秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，，，
．故选：C．
变式1．（24-25·山西临汾·七年级统考期末）如图，甲从点出发向北偏东方向走至点，乙从点出发向南偏西方向走至，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，，故选：D．
变式2．（24-25上海杨浦·七年级校考期末）从世博地图可知，亚洲联合馆（A 点）在中国国家馆（O 点）的北偏东，太平洋联合馆（B点）在中国国家馆的北偏西，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得出图形：
所以，故选：B．
考点9.几何图形中的余角与补角性质综合问题
例1．（24-25七年级上·广东阳江·期末）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究．
(1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若恰好平分，请你猜想此时是否平分，并简述理由；
(2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，请猜想与是否相等，并简述理由；
(3)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若始终在的内部，设，试用含的式子表示的度数，并说明当的值逐渐增大时，的度数会发生怎样的变化；
(4)如图③，将两个同样的含角的直角三角板中锐角的顶点叠放在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由．
【答案】(1)平分，见解析 (2)，见解析
(3)，当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小
(4)或，见解析
【详解】（1）解：平分，理由如下：依题意得：，
∵平分，∴，
∴，∴，∴平分．
（2）解：，理由如下：依题意得：，
∴，，∴．
（3）解：依题意得：，
∵，∴，
∴，即：，
∴当的值逐渐增大时，的度数逐渐减小．
（4）解：或，理由如下：依题意得：，
①当在的内部时，如图：
，∴；
②当在的外部时，如图：
．
变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数；
(2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则 ．
(3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ．
【答案】(1)(2)(3)或或
【详解】（1）解：，，
恰好平分，，
；
（2）解：，，
，，故答案为：；
（3）解：分三种情况讨论：如图，当平分时，
，旋转的角度是；
如图，当平分时，
，旋转的角度是；
如图，当平分时，
，旋转的角度是；
综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或，故答案为：或或．
变式2．（25-26七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点O重合，射线和三角板均可以围绕点O旋转（旋转时始终在直线上方）．
【操作探究】(1)如图1，若，当三角板的直角边与重合时，___，___；
(2)在（1）的条件下，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度得到图2，若此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线；
(3)如图3，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果猜想旋转过程中与之间的数量关系．
【答案】(1)，(2)见解析(3)；猜想，理由见解析
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，∴，，故答案为：，；
（2）解：∵是的平分线，∴，
∵，∴，
∴，∴也是的平分线；
（3）解：∵，，∴，，
∵平分，∴，∴；猜想：，
∵平分，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意知：，即，
∵，∴，
∵，∴，即，解得：，
∵，，∴．故选：B．
2．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设这个角为，∵余角为，∴，
∴．∵，∴．故选C．
3．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，则图中互余的角共有（ ）
A．2对 B．4对 C．3对 D．5对
【答案】B
【详解】解：互余的角有：，，，，共有4对，故选：B．
4．（24-25七年级上·山东·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．一个角的补角一定比这个角大 B．一个角的补角一定是钝角
C．一个直角的补角是直角 D．一个锐角和一个钝角一定互为补角
【答案】C
【详解】解：的补角是，A错误；的补角是，B错误；
一个直角的补角是直角，C正确；，D错误．故选：C．
5．（2025·河北·一模）如图，现将一副三角板的直角顶点重合，按照图中方式摆放，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，故选：．
6．（25-26七年级上·浙江·课后作业）小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．与互余 C． D．与互补
【答案】C
【详解】解：A、∵，∴，
即，故选项A不符合题意；
B、∵，∴与互余，故选项B不符合题意；
C、当时，，故选项C符合题意；
D、∵，
∴与互补，故选项D不符合题意；故选：C．
7．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下列关于的结论中，正确的有（ ）
①若，则的余角数为；
②若，则的补角度数为；
③若与互余，与互补，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确；
②若，则的补角为，正确；
③若与互余，∴；
∵与互补，∴；∴，代入得：，
∴，正确．故选：B．
8．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据光的反射定律可知，，∴，
∵，∴，
∵，∴，即，
∵，∴．故选：B．
9．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵
∴，，
∴，，
∴，故A项错误；
，故B项错误；
，故C项错误；
，故D项正确；故选：D．
10．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①，，，故正确；
②由题意可得：，
，，即，
，，即射线经过刻度线160，故错误；
③如图：，，
，和互为余角，
射线经过刻度线90，，
和，和，和，和，和互为余角，即共有6对角互为余角，故正确；正确的有①③，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：∵，，∴，
∵是的三等分线，∴或，
∵，，∴当时，；
当时，；
综上，的度数为或．故答案为：或．
12．（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ．
【答案】/度
【详解】解：∵与互余，∴，
∵，∴，故答案为：．
13．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则的补角的度数为 ．
【答案】
【详解】解：因为，
所以补角为．故答案为：119°15′．
14．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴（同角的余角相等），
∵，∴．故答案为：．
15．（24-25七年级下·浙江·期末）如图所示，如果将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，若，那么 ．
【答案】20°
【详解】解：，，，
，．故答案为：．
16．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，和都是直角．
（1）如果，则 ；
（2）找出图中一组相等的锐角为： ；
（3）选择，若变小，将 ．
A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定
【答案】 A
【详解】解：（1）根据题意得，
∴，∴，故答案为：；
（2）∵，∴，
∴；故答案为：；
（3）∵，
∴，∴逐渐变小，逐渐变大．故答案为：A．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·浙江·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，，
∵平分，∴，∴；
（2）解：∵与互余，∴，
∵平分，∴，∴．
18．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；）(1)若，则的度数为_____；
(2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示）
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由题意得，，
，
．故答案为：．
（2）解：由题意得，，
，
．
19．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图．
(1)请写出与的数量关系，并说明理由；
(2)写出的补角和余角；(3)如果，平分，求度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)的补角是，的余角是(3)
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，∴，，∴；
（2）解：∵，，
∴，，∴，
∴的补角是，的余角是；
（3）解：由（2）知，∵，∴，
∵平分，∴．
20．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角．(1)与互余吗？(2)和有什么关系，为什么？(3)的补角是___________．
【答案】(1)互余(2)相等，理由见解析(3)
【详解】（1）解：和互余，理由如下：和互为余角，，
又，，三点在同一条直线上，，
，答：和互余；
（2）解：和相等，理由如下：和互为余角，，
又，，∴；
（3）解：由（2）可知：，又，，
∴的补角是．故答案为：．
21．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题：
(1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）；②当时，求的度数；
(2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程）
【答案】(1)①；②(2)，
【详解】（1）解：①∵，
∴，∴；
②，，
，由（1）知，
．
（2）解：当为任意锐角时，，
理由如下：，，
．
22．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分．
(1)若，则是______；(2)若，求的度数；(3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)50(2)的度数为(3)，理由见解析
【详解】（1）解：∵，，∴．
∵平分，∴．
∵、、共线，∴．故答案为：．
（2）解：设，则，∵平分，∴．
∵，∴．∴，
∴．答：的度数为．
（3）解：，理由如下：设，
∵平分，∴，
∴，∴．
∵，，∴，
∴，即．
23．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知O为直线上的一点，．
(1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向．
①若，则射线的方向是_________；
②与的关系为_________；③与的关系为_________．
(2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；
(3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）解：①∵，∴射线的方向是北偏东；
②∵由题意知，，∴；
③由题意知，，∴，
又，∴．即与的关系为互补．
故答案为：①北偏东；②相等；③互补；
（2）由题意知，，∴．
∵恰好平分，∴，
∴，∴．
（3），理由如下：
∵为的平分线，∴，∴．
∵，∴，∴．
24．（24-25七年级上·广东汕头·期末）已知正方形的每个角都等于，请解决下列问题：
(1)如图1所示，将两个正方形的一个顶点重合放置，若，则_______度．
(2)如图2所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若，，求的度数．
(3)如图3所示，将三个正方形的一个顶点重合放置，若平分，则平分吗？为什么？
【答案】(1)(2)(3)平分，理由见解析
【详解】（1）解：∵正方形的每个角都等于，
∴，，∴，
∵，∴。故答案为：；
（2）∵正方形的每个角都等于，∴，∵，，
∴。∴的度数为；
（3）平分，理由如下：
∵正方形的每个角都等于，∴，∴，
又∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴平分。
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