《5.2认识函数（1）》教学设计
课标要求 抽象能力：通过分析实际问题中的两个变量之间的关系，理解函数的概念，发展从具体情境中抽象出数学关系的能力。 模型观念：建立函数模型，初步理解函数是描述变量之间依赖关系的数学工具，为后续学习函数性质与应用奠定基础。 应用意识：结合生活实例，体会函数的实际意义，增强数学应用的意识和能力。
教学内容分析 前置：学生已掌握常量与变量的概念，能识别变化过程中的“变”与“不变”。 核心内容：函数的概念、函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）、函数值的求法。 后续：进一步学习函数的图像、性质、一次函数、反比例函数等内容，构建函数知识体系。
学习者分析 本课是八年级上册第五章第二节《认识函数（1）》，学生在上一节已掌握常量与变量的概念，具备从具体情境中提取数量关系的能力。但对“两个变量之间的依赖关系”理解不深，需通过丰富实例引导其从“一一对应”的角度理解函数本质。 认知起点：能识别变量，理解变量之间可能存在某种数量关系。 能力发展需求：从具体情境中抽象出函数关系，理解函数概念的三要素（变量、对应关系、唯一性），初步建立函数模型。
教学目标 1.经历从实例中抽象出变量之间对应关系的过程，了解函数的概念及三种表示法，体会从特殊到一般的思想、数形结合思想、函数思想，发展抽象能力、模型观念。 2.理解函数值的概念，会根据函数表达式、表格、图象求函数值，体会对应思想。
教学重点 函数是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，是发展学生抽象、推理、模型等数学基本思想方法的有效载体，是变量数学学习的开始，也为后续学习具体函数模型提供理论准备。因此，本节的教学重点是函数概念的形成。
教学难点 本节研究的内容较为抽象，用解析法、列表法、图象法刻画变量关系，是学生第一次用数学的眼光看待“万物皆变”的客观规律。它需要从具体实例中抽象出共性，并运用“变化和对应”的思想体会函数概念，学生在接受和理解上有一定困难，因此，本节教学的难点是理解函数的概念。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习引入教师活动1： 在一个变化过程中，什么是常量？什么是变量？ 在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。 我们用数学的眼光观察现实世界，抽象出了常量与变量的概念。用数学的思维思考世界，这些变量间有怎样的数量关系，又该如何表示呢？ 学生活动1： 回顾常量与变量的概念，举例说明。 思考变量之间可能存在的关系活动意图说明：复习旧知，建立新旧知识联系，引出函数概念。环节二：情境探究——发现函数关系教师活动2： 问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司实习，报酬按20元/时计算。小明的哥哥工作了若干小时后，获得了一定的报酬。 （1）这个问题中有哪些常量与变量？ （2）这两个变量之间有怎样的关系？怎么用符号语言表示？ 设工作时间为x小时，工作报酬为y元. 请填写表格： （3）变量y随着哪个量的变化而变化？ （4）当x=12时,y的值为多少？其实际意义是什么？ 问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远(m/s). （1）这个问题中有哪些常量与变量？ （2）变量s随着哪个量的变化而变化？ （3）当v=8时,s的值为多少？其实际意义是什么？ 问题3 如图为某地区的某一天24小时气温图。 （1）这个问题中有哪些变量？ （2）变量W随着哪个量的变化而变化？ （3）当T=12时,W的值为多少？其实际意义是什么？ 学生活动2： 分组讨论，填写表格，归纳三个实例中变量的共同特征。活动意图说明：通过多个实例归纳函数关系的本质特征，为概念形成做铺垫。环节三：归纳概念——理解函数定义教师活动3： 问题4 以上三个问题虽然背景不同，但都有共同之处。问题中有几个变量？变量与变量间有怎样的关系？ 共同特征：都有两个变量，假设记为x，y，变量y随x的变化而变化；当x取某个值时，y的值也唯一确定。 概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 练习1 在下列问题中，请说出函数关系，并指出哪个量是自变量。 问题1中，y是x的函数，x是自变量。 问题2中，s是v的函数，v是自变量。 学生活动3： 发现：都有两个变量，其中一个变量随另一个变量的变化而变化，且对应关系唯一确定。 理解并复述函数定义，举例说明。 活动意图说明：形成函数概念，强调“一一对应”的关键特征。环节四：再探概念教师活动4： 问题5 刻画变量与变量间的关系有几种方法？ 解析法——用含符号 (数 字或 字母)的等式表示 列表法——用列表的方式表示 图象法——用图象的方式表示 追问 这三种表示方法各有什么优缺点？ 对于函数y=20x，当x=6时，把它代入函数表达式，得y=20x=20×6=120(元). y=120是当自变量x=6时的函数值. 函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 怎么求函数值？ 若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值。若函数用列表法表示，我们可以通过查表得到. 掌握函数的多元表示方法，提升数学表达与理解能力。 学生活动4： 结合实例理解三种表示方法，比较其优缺点。 练习求函数值，理解其实际意义。活动意图说明：理解常量与变量的相对性，发展抽象思维和应用意识。环节五：巩固概念例1 北仑港某一天潮汐高度(简称潮高)随时间变化如图5-4所示。 请观察图象，解答下列各题： (1) 潮高y(cm)是时间t(h)的函数吗 为什么 (2)求当t=10时的函数值，并说明函数值的实际意义。 (3) 一天内,有几次潮高为200cm 解: (1) 在0≤t≤24的范围内,任意取一个t的值t 时,过点(t ,0)作t轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点 A(t_0 ,y_0 ),，也就是说，对于时间t的每一个确定的值，潮高y都有唯一确定的值与之对应，所以潮高y(cm)是时间t(h)的函数。 (2)过点(10，0)作t轴的垂线，交图象于点B(10,280)。所以当t=10时,函数值为.y=280(cm),它的实际意义是10：00时的潮高为280cm。 (3)过点(0，200)作垂直于y轴的直线，交图象于C，D，E三点，所以一天内有3次潮高为200cm。学生活动5： 独立思考或小组合作完成例题，汇报解答过程。活动意图说明：通过例题与练习巩固函数概念，提升应用能力。课堂小结 1. 什么是函数？函数关系的核心是什么？
2. 函数有哪些表示方法？各有什么特点？
3. 如何求函数值？
板书设计 5.2 认识函数（1）
一、函数的概念
- 两个变量x、y
- 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应
- y是x的函数，x是自变量
二、函数的表示方法
- 解析法：y=20x
- 列表法
- 图象法
三、函数值
- 代入求值、查表、读图
课堂练习 1.某市民用电费的价格是0.538元/千瓦时。设用电量为x千瓦时，应付电费为y元，则y关于x的函数表达式是 。当x=40时，函数值是 ，它的实际意义是 。若某用户的用电量为65千瓦时，则该用户应付电费为 元。 2.求下列函数当x=4时的函数值。 (1)y=2x^2; (2)y=1/(2x+1) 。 3.已知 △ABC的底边BC上的高线长是6cm。当BC的长改变时，三角形的面积也将改变。 (1) 若 △ABC的底边BC的长为x(cm),则 △ABC的面积 y(cm^2 )可表示为 。 (2)当底边BC的长x从12cm变化到3cm时，三角形的面积y从 cm 变化到 cm 。 4.某小区临时停车收费规则如下：半小时内(含半小时)收费5元；超过半小时，每小时收费10元(不足1小时按1小时计)；每天不超过40元。如果停车时间为x(h)，停车费为y(元)。 (1)y是关于x的函数吗 为什么 (2)分别求当x=0.5，1，3.4，6时的函数值，并说明它们的实际意义。 5.下图是某水库的库容曲线图，其中x(米)表示水库的平均水深，V(万立方米)表示水库的库容。根据图象回答下面的问题。 (1)当平均水深取5m至25m之间的一个确定的值时，相应的库容V唯一确定吗 (2)库容V可以看成平均水深x的函数吗 (3) 当.x=25时，求V的值，并说明它的实际意义。
作业设计 1. 配套作业本《5.2 认识函数（1）》 2. 从生活中找出一个函数关系的例子，用至少两种方式表示（如文字、表格、公式或草图），并说明哪个是自变量，哪个是因变量。
教学反思 一、教学亮点
1. 实例丰富，贴近生活，便于学生理解抽象概念。
2. 强调“一一对应”的本质，帮助学生建立准确的函数观念。
3. 结合图象、表格、公式多种表示方法，提升学生的数学表达能力。
二、存在问题与改进方向
1. 部分学生对“唯一确定”理解不深，需加强反例辨析。
2. 函数表示方法的转换练习可进一步增加，如图象到表格、表格到解析式等。
3. 课堂时间分配可进一步优化，确保练习与反馈环节更充分。 三、教学启示
1. 函数教学应注重“关系”的理解，而非仅记忆定义。
2. 可结合信息技术工具动态展示函数图象，增强直观感知。
3. 为后续学习函数图像与性质做好铺垫，逐步构建函数知识体系。(共19张PPT)
5.2 认识函数（1）
浙教版（2024） 八年级 上册
我们用数学的眼光观察现实世界，抽象出了常量与变量的概念。用数学的思维思考世界，这些变量间有怎样的数量关系，又该如何表示呢？
在一个变化过程中，什么是常量？什么是变量？
复习回顾
在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。
问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司实习，报酬按20元/时计算。小明的哥哥工作了若干小时后，获得了一定的报酬。
（1）这个问题中有哪些常量与变量？
（2）这两个变量之间有怎样的关系？怎么用符号语言表示？
创设情境
设工作时间为x小时，工作报酬为y元.
请填写表格：
时间x小时 6 8 12 16 ··· x ···
报酬y元
120
160
240
320
20x
y=20x
（3）变量y随着哪个量的变化而变化？
（4）当x=12时,y的值为多少？其实际意义是什么？
当x=12时,y=240.小明哥哥工作12小时获得的报酬是240元。
常量：时薪20元/时，变量：时间、报酬
变量x
问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米／秒)有关．根据经验，跳远(m/s).
（1）这个问题中有哪些常量与变量？
创设情境
（2）变量s随着哪个量的变化而变化？
（3）当v=8时,s的值为多少？其实际意义是什么？
当v=8时,s=5.44.运动员助跑速度为6m/s时，跑远距离为5.44米。
常量：0.085，变量：跳远距离s米、助跑的速度v米／秒
变量v
问题3 如图为某地区的某一天24小时气温图。
（1）这个问题中有哪些变量？
创设情境
（2）变量W随着哪个量的变化而变化？
（3）当T=12时,W的值为多少？其实际意义是什么？
当T=12时,W=10.中午12点的气温为10℃。
变量：时间T/h，温度W/℃
T/h
W/℃
变量T
问题4 以上三个问题虽然背景不同，但都有共同之处。问题中有几个变量？变量与变量间有怎样的关系？
共同特征：都有两个变量，假设记为x，y，变量y随x的变化而变化；当x取某个值时，y的值也唯一确定。
概念：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。
属性归纳
练习1 在下列问题中，请说出函数关系，并指出哪个量是自变量。
问题1中，y是x的函数，x是自变量。
巩固概念
问题2中，s是v的函数，v是自变量。
练习1 在下列问题中，请说出函数关系，并指出哪个量是自变量。
问题3中，W是T的函数，T是自变量。
巩固概念
练习2 下列各图中，x是自变量，则y是x的函数吗？为什么？
巩固概念
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
y是x的函数
y不是x的函数
问题5 刻画变量与变量间的关系有几种方法？
图象法——用图象的方式表示
明确概念
解析法——用含符号 (数 字或 字母)的等式表示
列表法——用列表的方式表示
y=20x
函数表达式（函数式）
追问 这三种表示方法各有什么优缺点？
对于函数y=20x，当x=6时，把它代入函数表达式，得y=20x=20×6=120(元).
y=120是当自变量x=6时的函数值.
函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
怎么求函数值？
若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值。若函数用列表法表示，我们可以通过查表得到.
例1 北仑港某一天潮汐高度(简称潮高)随时间变化如图所示。
应用概念
请观察图象，解答下列各题：
(1) 潮高y(cm)是时间t(h)的函数吗 为什么
解: (1) 是。在0≤t≤24的范围内,对于时间t的每一个确定的值，潮高y都有唯一确定的值与之对应，所以潮高y(cm)是时间t(h)的函数。
例1 北仑港某一天潮汐高度(简称潮高)随时间变化如图所示。
应用概念
(2)求当t=10时的函数值，并说明函数值的实际意义。
（2）当t=10时,函数值为.y=280(cm),它的实际意义是10：00时的潮高为280cm。
例1 北仑港某一天潮汐高度(简称潮高)随时间变化如图所示。
应用概念
(3) 一天内,有几次潮高为200cm
一天内有3次潮高为200cm
(4) 潮高为200cm的时间分别为几时几分
课堂小结
(1) 什么是函数？
(2) 函数有几种表示方法？
1.某市民用电费的价格是0.538元/千瓦时。设用电量为x千瓦时，应付电费为y元，则y关于x的函数表达式是 。当x=40时，函数值是 ，它的实际意义是 。若某用户的用电量为65千瓦时，则该用户应付电费为 元。
用40千瓦时的电需付电费21.52元
y=0.538x
巩固练习
21.52
34.97
2.求下列函数当x=4时的函数值。
（1）32；
（2）.
3.已知△ABC的底边BC上的高线长是6cm。当BC的长改变时，三角形的面积也将改变。
若△ABC的底边BC的长为x(cm),则△ABC的面积y()可表示为
。
(2)当底边BC的长x从12cm变化到3cm时，三角形的面积y从 cm 变化到 cm 。
y=3x
36
9
4.某小区临时停车收费规则如下：半小时内(含半小时)收费5元；超过半小时，每小时收费10元(不足1小时按1小时计)；每天不超过40元。如果停车时间为x(h)，停车费为y(元)。
(1)y是关于x的函数吗 为什么
(2)分别求当x=0.5，1，3.4，6时的函数值，并说明它们的实际意义。
(1)是。根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值。
(2) 当x=0.5时,y=5,停车时间为0.5小时时，停车费为5元；当x=1时，y=10,停车时间为1小时时，停车费为10元;当x=3.4时,y=40，停车时间为3.4小时时，停车费为40元;当x=6时,y=40,停车时间为6小时时，停车费为40元。
5.下图是某水库的库容曲线图，其中x(米)表示水库的平均水深，V(万立方米)表示水库的库容。根据图象回答下面的问题。
(1)当平均水深取5m至25m之间的一个确定的值时，相应的库容V唯一确定吗
(2)库容V可以看成平均水深x的函数吗
(3) 当.x=25时，求V的值，并说明它的实际意义。
(1) 确定。
(2) 可以。
(3) 当x=25时,V=250万立方米。当水库的平均水深为25米时，库容是250万立方米。
