26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的图象与性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.2.2.1二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
已知二次函数
① y = -x2； ② y = x2； ③ y = 15x2；
④ y = -4x2； ⑤ y = - x2； ⑥ y = 4x2.
(1)其中开口向上的有 (填题号)；
(2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号).
②③⑥
⑤
①④⑤
复习引入
这个函数的图象是如何画出来的？
情境引入
x
y
O
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象.
探究归纳
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
二次函数 y=ax2+k 的图象与性质
x
y
-4
-3
-2
-1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象：
观察与思考
抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0，0）
（0，1）
y 轴
y 轴
想一想：通过上述例子，你能得出函数 y = ax2 + k(a＞0)的性质是什么？
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
2
y
-2
-2
4
2
-4
x
O
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
根据图象回答下列问题：
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 三条抛物线的开口方向______；
(3) 对称轴都是__________；
(4) 从上往下三个顶点坐标分别是
_____________________；
抛物线
向下
直线 x = 0
(0，0)
(0，2)
( 0，-2)
(5) 顶点都是最____点，对应函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑_______；
(6) 对应函数的增减性都相同： ____________________________
____________________________.
高
大
y = 0
y = -2
y = 2
对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小
二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质
y = ax2 + k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y 轴 y 轴
顶点坐标 （0，k） （0，k）
最值 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k
增减性 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0 时，y 随 x 的增大而增大
知识要点
例2 已知二次函数 y＝ax2 + c，当 x 取 x1，x2 (x1 ≠ x2) 时函数值相等，则当 x＝x1 + x2 时，其函数值为_____.
解析：由二次函数 y＝ax2 + c 图象的对称性可知，x1，x2 必然关于 y 轴对称，即 x1 + x2＝0. 把 x＝0 代入二次函数关系式，即得所求函数值.
c
【方法总结】二次函数 y＝ax2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数.
探究归纳
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数
y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y = 2x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
-1
1
3.5
7
二次函数 y = ax2 + c 的图象及平移
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
(1) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y = 2x2 向上 (0，0) y轴
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
(0，1)
(0，-1)
y轴
y轴
(2) 抛物线 y = 2x2+1，y = 2x2-1与抛物线 y = 2x2 有什么关系？
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
下
y = 2x2+1
上
解析式
y = 2x2
y = 2x2 + 1
y = 2x2 - 1
+ 1
- 1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y = 2x2 - 1 … …
y = 2x2 … …
y = 2x2 + 1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2 - 1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2 - 1
2x2
2x2 + 1
从“数”的角度探究
2x2 + 1
二次函数 y = ax2 + k 的图象与平移
y = 2x2 + 1
y = 2x2 - 1
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
下
y = 2x2 + 1
上
从“形”的角度探究
4
x
y
O
-2
2
2
4
6
-4
8
10
-2
二次函数 y = ax2 + k 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到：
当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到；
当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到.
二次函数 y = ax2 与 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
二次函数 y＝－3x2＋1 的图象是将(　　)
A．抛物线 y＝－3x2 向左平移 3 个单位得到
B．抛物线 y＝－3x2 向左平移 1 个单位得到
C．抛物线 y＝3x2 向上平移 1 个单位得到
D．抛物线 y＝－3x2 向上平移 1 个单位得到
练一练
D
想一想 1. 画抛物线 y = ax2 + k 的图象有几步？
2. 抛物线 y = ax2 + k 中的 a 决定什么？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2 的图象，再向上（或向下）平移 |k| 个单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a 决定开口方向和大小；k 决定顶点的纵坐标；
对称轴：y 轴；顶点坐标：(0，k ).
解：抛物线 y＝x2－4 中，令 y＝0，得 x＝±2，
即 A 点的坐标为 (-2，0)，B点的坐标为 (2，0)，
∴ AB＝4.
设 P 点纵坐标为 b. ∵ S△PAB＝4，
∴ ×4|b|＝4，解得 b＝±2.
当 b＝2 时，令 x2 - 4＝2，解得 x＝± ；
当 b＝-2 时，令 x2 - 4＝-2，解得 x＝± .
故 P 点坐标为 ( ，2)或(- ，2)或( ，-2)或(- ，-2).
例3 如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，点P 为抛物线上一点，且 S△PAB＝4，求 P 点的坐标．
1. 将抛物线 y = 2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线
___________．
2. 填表：
y = 2x2 - 4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高/低点
y = 3x2
y = 3x2 + 1
y = -4x2 - 5
向上
向上
向下
(0，0)
(0，1)
(0，-5)
y 轴
y 轴
y 轴
有最低点
有最低点
有最高点
3. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a≠0) 的图象上，则 (-m，n)____(填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a 不为 0) 的图象上.
4. 若 y = x2 + (k - 2) 的顶点是原点，则 k____；若顶点位于 x 轴上方，则 k____；若顶点位于 x 轴下方，则 k .
在
= 2
＞2
＜2
5. 不画函数 y = -x2 和 y = -x2 + 1 的图象回答下面的问题：
（1）抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2 ？
（2）对于函数 y = -x2 + 1，当 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值是 ；其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线 y = x2 - 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移 1 个单位.
＞0
= 0
1
(0，1)
(-1，0)，(1，0)
开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 (0，-3).
能力提升
6. 对于二次函数 y = mxm2-m + 3，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m =____.
7. 已知抛物线 y = (a - 2)x2 + a2 - 2 的最高点为 (0，2)，则 a =_____.
8. 抛物线 y = ax2 + c 与 x 轴交于A (-2，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C (0，-4)，则△ABC 的面积是_____.
2
-2
8
9. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象可能是 (　　)
方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
2．[2024广州期中]关于二次函数y＝－3x2＋5，下列说法中正确的是(　　)
A．图象的开口向上　
B．当x＞－1时，y随x的增大而增大　
C．图象的顶点坐标是(0，5)　
D．当x＝0时，y有最小值是5
返回
C
【答案】 A
返回
返回
【答案】 D
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2－b与y＝ax＋b(ab≠0)的图象大致为(　　)
C
返回
5．[2024东莞南城阳光实验中学一模]已知点(－4，y1)、(－1，y2)、(2，y3)都在函数y＝－x2＋1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________．
返回
y2>y3>y1
(2)画出平移后的函数图象；
x －4 －2 0 2 4
y －6 0 2 0 －6
其函数图象如图所示：
返回
(3)直接写出平移后的函数的最大值或最小值及对应的x的值．
【解】平移后的函数的最大值为2，此时x＝0.
二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质
图象
性质
与 y = ax2的关系
1. 开口方向由 a 的符号决定；
2. k 决定顶点位置；3. 对称轴是 y 轴
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
平移|k|个单位：
k 正→向上平移；
k 负→向下平移
谢谢观看！