26.2.2.2二次函数y=a(x-h)?的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.2.2.2二次函数y=a(x-h) 的图象和性质
二次函数 y = ax2 +c 的图象和性质:
a的符号 a>0 a<0
图象 c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c

函数 y = ax2 + c 的图象，可以由函数 y = ax2 的图象上下平移所得，那么函数 的图象，是否也可以由函数 平移而得呢？
26.2.2.2 二次函数y＝a(x-h) 的图象与性质 教学过程
幻灯片1：温故知新，引发思考（5分钟）
师问1：上节课我们学习了y＝ax ＋k，它的图象是由y＝ax 如何变换得到的？核心性质中，a和k分别决定什么？
生答引导：上下平移|k|个单位；a决定开口方向与大小，k决定顶点纵坐标（上下位置），对称轴始终是y轴。
师问2：如果将y＝ax 中的x替换为(x-h)，得到新函数y＝a(x-h) （a≠0），这里的“h”会让函数图象和性质发生怎样的变化？是上下平移还是左右平移？今天我们就通过动手操作揭开谜底。
设计意图：关联上节课“k的作用”，以“h的影响”制造认知冲突，既巩固旧知又明确新课探究方向，激发学生求知欲。
幻灯片2：动手描点，绘制特殊函数图象（10分钟）
任务1：以a＞0为例，用描点法画y＝2x 、y＝2(x-1) 、y＝2(x+1) 的图象，具体步骤：
1. 列表：选取x值时，围绕“使括号内为0的x值”（即x=1、x=-1）选取，如x＝-2、-1、0、1、2、3，计算对应y值并填表；
2. 描点：在坐标系中精准标出各点，注意区分三个函数的点（可用不同颜色笔标记）；
3. 连线：用平滑曲线连接，延伸曲线两端，体现抛物线的无限延伸性。
教师活动：重点指导y＝2(x+1) 的列表计算（提示x+1＝x-(-1)，方便后续规律总结），巡视纠正描点偏差，用多媒体展示标准图象。
小组讨论：对比三个图象，从形状、开口方向、对称轴、顶点位置四个方面找联系与区别，3分钟后分享成果。
幻灯片3：聚焦特征，归纳a＞0时的性质（15分钟）
递进提问：结合图象，师生共同拆解问题，突破核心难点：
1. 形状与开口方向：三个图象形状是否相同？开口方向是否变化？（形状相同，开口均向上，由a＝2＞0决定，a不变则开口方向和形状不变）
2. 对称轴探究：y＝2x 的对称轴是y轴（x=0），y＝2(x-1) 的对称轴在哪里？（观察图象，顶点在（1,0），对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线x=1）；y＝2(x+1) 的对称轴呢？（顶点（-1,0），对称轴x=-1）
3. 顶点坐标：三个函数的顶点分别是（0,0）、（1,0）、（-1,0），对比函数解析式与顶点横坐标，你发现了什么？（顶点横坐标是“使x-h=0的x值”，即h的值，顶点坐标为（h,0））
4. 增减性：以y＝2(x-1) 为例，x＜1时y随x增大而减小，x＞1时y随x增大而增大，与y＝2x 相比，增减性的“分界点”发生了什么变化？（由x=0变为x=1，即对称轴位置）
5. 最值：a＞0，顶点为最低点，三个函数的最小值均为0，为何？（顶点纵坐标始终为0，h不影响最值大小，只影响顶点位置）
平移规律：引导学生总结：y＝2(x-1) 是y＝2x 向右平移1个单位，y＝2(x+1) 是y＝2x 向左平移1个单位，即h＞0向右平移|h|个单位，h＜0向左平移|h|个单位（简称“左加右减”）。
幻灯片4：类比验证，完善a＜0时的性质（10分钟）
任务2：自主探究a＜0的情况，以y＝-2x 、y＝-2(x-2) 、y＝-2(x+3) 为例，完成下列问题：
1. 开口方向：________（向下，由a＝-2＜0决定）
2. 对称轴分别是：________（x=0、x=2、x=-3）
3. 顶点坐标分别是：________（（0,0）、（2,0）、（-3,0））
4. 最值：________（顶点为最高点，最大值均为0）
5. 平移规律：y＝-2(x-2) 是y＝-2x ________，y＝-2(x+3) 是y＝-2x ________（向右平移2个单位，向左平移3个单位）
成果展示：邀请小组代表发言，教师补充：a＜0时，增减性与a＞0相反（如y＝-2(x-2) ，x＜2时y随x增大而增大，x＞2时y随x增大而减小），但平移规律、对称轴与顶点坐标的规律和a＞0时完全一致。
幻灯片5：典例精析，强化应用（15分钟）
例题1：已知二次函数y＝3(x-4) ，回答下列问题：
1. 该函数图象由y＝3x 如何平移得到？（向右平移4个单位）
2. 开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（开口向上，对称轴x=4，顶点（4,0））
3. 当x为何值时，y取得最小值？最小值是多少？（x=4时，最小值为0）
4. 当x＜4时，y随x的增大如何变化？（逐渐减小）
例题2：若抛物线y＝a(x-h) 经过点（2,0）和（0,8），且开口向下，求该抛物线的解析式。
解题步骤：①由顶点坐标特征，过点（2,0）可知顶点为（2,0），故h=2，解析式为y＝a(x-2) ；②代入（0,8）得8＝a(0-2) →4a=8→a=2；③因开口向下，a需为负数，故a=-2，最终解析式为y＝-2(x-2) 。
即时练习：“已知y＝-1/2(x+5) ，求图象平移方式、对称轴及x＞-5时y的增减性”，学生独立完成后同桌互查，教师点评共性问题。
幻灯片6：总结对比，布置作业（5分钟）
课堂小结：师生共同梳理，对比y＝ax 、y＝ax ＋k、y＝a(x-h) 的核心区别：
1. 平移方向：k决定上下平移，h决定左右平移（左加右减）；
2. 对称轴：y＝ax 和y＝ax ＋k为x=0，y＝a(x-h) 为x=h；
3. 顶点坐标：分别为（0,0）、（0,k）、（h,0），a均决定开口方向与大小。
作业布置：1. 教材习题：画出y＝2(x-3) 和y＝-1(x+2) 的图象，写出其性质；2. 思考：若函数为y＝a(x-h) ＋k，它的图象和性质会是怎样的？（为下节课铺垫）
在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 和 的图象。
列表：
2
0
2
8
8
2
0
2
描点、连线，画出这两个函数的图象 .
探 索
根据所画出的图象，说出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表：
向上
y 轴
（0,0）
向上
直线x=2
（2,0）
概 括
函数 的图象可以看作是将函数 的图象向____平移____个单位得到的.
右
2
你可以由函数 的性质，得到函数 的性质吗？
当 x____时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x____时，函数值 y 随 x的增大而增大；当 x____时，函数取得最____值，y =_____.
<2
>2
=2
小
0
思考
在同一直角坐标系中，函数
的图象与函数 的图象有什么关系？试说出函数
的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质.
函数 的图象可以看作是将函数 的图象向____平移____个单位得到的.
左
2
函数 的开口向____，
对称轴是_________，
顶点坐标_______，
下
直线x = -2
（-2,0）
讨论函数 的性质.
当 x < -2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；
当 x > -2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；
当 x = -2 时，函数取得最大值，y =0.
二次函数y = a(x-h)2的图象和性质:
归纳
a的符号 a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
x=h时，y最大值=0
（h,0）

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1. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法：
①开口向上； ②顶点坐标为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1； ④与x轴的交点坐标为(1，0).
正确的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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2. 已知二次函数y＝3(x－a)2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)
A. a＜2 B. a≥2 C. a≤2 D. a≤－2
C
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3. 函数y＝x2－2x＋1的图象可以由函数y＝x2的图象(　　)
A. 向上平移1个单位得到
B. 向下平移1个单位得到
C. 向左平移1个单位得到
D. 向右平移1个单位得到
D
返回
A
返回
y1>y2
返回
【点拨】当y＝0时，x＋1＝0，解得x＝－1，∴A(－1，0). ∵抛物线y＝－2x2平移后的顶点为A(－1，0)，∴平移后抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2. ∵平移后的抛物线y＝－2(x＋1)2的对称轴为直线x＝－1，开口向下，∴当x＞－1时，y随x的增大而减小. ∵－ ＜x1＜x2，∴－1＜x1＜x2，∴y1＞y2.
7. 把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到抛物线y＝－3(x－h)2. 若抛物线y＝a(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M.
(1)求a，h的值；
(2)求S△MAB的值.
【解】(1)∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位后得到
抛物线y＝－3(x－h)2，
∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2.
(2)∵抛物线y＝－3(x－4)2的顶点为A，且与y轴交于点B，
∴点A(4，0)，B(0，－48).
∵抛物线y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0).
∴S△MAB＝ ×|4－(－2)|×|－48|＝144.
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8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　)
B
9. 如图，在平面直角坐标系中，过点A与x轴平行的直线交抛物线 于点B，C，线段BC的长度为6，若抛物线y＝－2x2＋b与y轴交于点A，则b＝(　　)
A. 1 B. 4. 5
C. 3 D. 6
【点拨】根据题意得，点A的坐标为(0，b)，设点C的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，
【答案】C
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10. [2025温州月考]已知二次函数y＝a(x－m)2(a＞0)的图象经过点A(－1，p)，B(3，q)，且p＜q，则m的值不可能为(　　)
A. 0 B. －2 C. －1 D. 2
【点拨】∵y＝a(x－m)2(a>0)，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m. ∴当抛物线上的点与直线x＝m的距离越小，对应的y值就越小. ∵A(－1，p)，B(3，q)，且p【答案】D
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1≤m≤3
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
y=ax2
y=a(x-h)2
h>0，向右平移 |h| 个单位
h<0，向左平移 |h| 个单位
a>0，开口向上
a<0，开口向下
对称轴是直线 x=h
顶点坐标（h，0）
谢谢观看！