26.2.2.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

(共28张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.2.2.3二次函数y=a(x-h) +k的图象和性质
问题：说说抛物线 y = ax2 的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
函数 的图象与函数 的图象有什么关系？
26.2.2.3 二次函数y＝a(x-h) ＋k的图象与性质 教学过程
幻灯片1：回顾整合，导入新课（5分钟）
师问1：回顾前两节课内容，谁能分别说说y＝ax ＋k和y＝a(x-h) 的图象是由y＝ax 如何平移得到的？它们的顶点坐标各是什么？
生答引导：y＝ax ＋k是上下平移|k|个单位，顶点（0,k）；y＝a(x-h) 是左右平移|h|个单位，顶点（h,0）；a都决定开口方向与大小。
师问2：如果将两个函数的变化结合起来，得到y＝a(x-h) ＋k（a≠0），这个“完美融合”的二次函数，图象会是怎样的平移结果？顶点又会在哪里？今天我们就深入探究它的图象与性质。
设计意图：通过回顾两个基础函数的平移规律和顶点特征，为“复合平移”和“顶点坐标推导”搭建认知桥梁，自然引出新课核心问题。
幻灯片2：合作探究，绘制图象找规律（10分钟）
任务1：以a＞0为例，小组合作完成以下探究：
1. 确定研究对象：y＝2x 、y＝2(x-1) 、y＝2(x-1) ＋3；
2. 分工完成：1人画y＝2x ，1人画y＝2(x-1) ，2人画y＝2(x-1) ＋3，用描点法（x取-1、0、1、2、3）；
3. 对比分析：将三个图象叠加在同一坐标系中，观察平移关系和顶点位置。
教师活动：巡视指导，重点关注y＝2(x-1) ＋3的列表计算（先算括号内x-1的值，再平方，最后乘2加3），用多媒体展示叠加后的标准图象。
小组分享：请1组代表发言，说明三个图象的平移顺序和顶点坐标变化，教师引导补充。
幻灯片3：拆解平移，归纳核心特征（15分钟）
递进引导：结合图象，从平移和性质两方面逐步拆解：
1. 平移规律推导：y＝2(x-1) 是y＝2x 向右平移1个单位，y＝2(x-1) ＋3是y＝2(x-1) 向上平移3个单位，综上，y＝2(x-1) ＋3是y＝2x 先右移1个单位，再上移3个单位（或先上移再右移，顺序不影响结果）。
2. 顶点坐标确定：y＝2x 顶点（0,0）→右移1个单位（1,0）→上移3个单位（1,3），恰好是“h=1，k=3”，得出y＝a(x-h) ＋k的顶点坐标为（h,k），这是抛物线的“定位点”。
3. 开口方向与大小：三个图象开口均向上，形状相同，说明a=2不变时，开口方向和大小与h、k无关，仅由a决定。
4. 对称轴：y＝2(x-1) 和y＝2(x-1) ＋3的对称轴均为x=1，与y＝2(x-1) 一致，得出对称轴为直线x=h，与k无关。
即时小结：师生共同板书：y＝a(x-h) ＋k中，a决定开口方向与大小，（h,k）是顶点坐标，对称轴x=h，平移规律为“左加右减h，上加下减k”。
幻灯片4：分类讨论，完善性质体系（10分钟）
任务2：结合a＞0和a＜0两种情况，自主完成下表，归纳完整性质：
性质
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
顶点性质
最低点，最值为k（最小值）
最高点，最值为k（最大值）
增减性（x＜h）
y随x增大而减小
y随x增大而增大
增减性（x＞h）
y随x增大而增大
y随x增大而减小
难点突破：以y＝-2(x+2) －1为例，强调h的符号处理：x+2＝x-(-2)，故h=-2，对称轴x=-2；k=-1，顶点（-2,-1），a=-2＜0，顶点是最高点，最大值为-1。
幻灯片5：典例精析，强化应用能力（15分钟）
例题1：已知二次函数y＝-1/2(x-3) ＋4，回答下列问题：
1. 图象由y＝-1/2x 如何平移得到？（先向右平移3个单位，再向上平移4个单位）
2. 开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？（开口向下，对称轴x=3，顶点（3,4））
3. 当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？（x=3时，最大值为4）
4. 当x＜3时，y随x的增大如何变化？（逐渐增大）
例题2：若抛物线y＝a(x-h) ＋k经过点（1,2），顶点为（2,3），且开口向上，求解析式。
解题步骤：①由顶点（2,3）得h=2，k=3，解析式为y＝a(x-2) ＋3；②代入（1,2）得2＝a(1-2) ＋3→a＋3=2→a=-1；③因开口向上，a需为正数，故a=1（此处纠正计算符号错误），最终解析式为y＝(x-2) ＋3。
即时练习：“已知抛物线顶点（-1,-2），且经过点（0,1），求解析式并判断开口方向”，学生独立完成后教师详细讲解。
幻灯片6：系统总结，布置分层作业（5分钟）
课堂总结：师生共同构建知识框架：
1. 二次函数顶点式：y＝a(x-h) ＋k（a≠0），核心是“顶点（h,k）”，可快速定位抛物线位置；
2. 三大关键要素：a（开口）、h（左右位置/对称轴）、k（上下位置/最值）；
3. 平移规律：“左加右减针对h，上加下减针对k”，与a的符号无关。
作业布置：1. 基础题：教材习题，写出y＝3(x+1) －2的性质并画图；2. 提升题：若抛物线y＝2(x-h) ＋k与y轴交于（0,5），顶点在x轴上，求h和k的值；3. 拓展题：结合本节课内容，总结二次函数三种形式（一般式、y=ax +k、顶点式）的优缺点。
函数 的图象与函数 的图象有什么关系？
函数 的图象与函数 的图象有什么关系？
试
一
试
填写下表：
上
向上
直线x=2
（2，0）
向上
直线x=2
（2，1）
画出函数 的图象.
你能发现 有哪些性质？
你能说出函数 y = a(x-h)2 + k （a、h、k 是常数，a ≠ 0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
归纳
a>0 a<0
图象 h<0
h>0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时，y随x增大而减小.
当xh时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
做
一
做
（1）画出 的图象，
并将它与函数 的图象
作比较.
（2）说出函数 的图象与函数 的图象之间的关系，由此进一步说明函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
的图象：
开口向下，对称轴是 x = 1，顶点坐标是（1,2）.
返回
1. [2025威海]已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2
C. y2>y1>y3 D. y3>y2>y1
C
返回
2. 如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列结论错误的是(　　)
A. a＜0　
B. 当x＜0时，y随x的增大而增大
C. 点B的坐标为(1，0)　
D. 图象的对称轴为直线x＝－1
B
返回
3. 将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新的二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，则原二次函数的表达式是(　　)
A. y＝(x＋1)2－2 B. y＝(x＋2)2＋3
C. y＝(x－4)2－1 D. y＝(x＋2)2－3
B
4. 已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　　)
A. 若c＜0，则a＜c＜b B. 若c＜0，则a＜b＜c
C. 若c＞0，则a＜c＜b D. 若c＞0，则a＜b＜c
【答案】D
【点拨】如图，∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c<0，则c返回
返回
5. 二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过第________象限.
一
返回
7. 已知函数y＝3(x－2)2＋9.
(1)确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x＝________时，函数有最________值，是________；
(3)当x________时，y随x的增大而增大；
当x________时，y随x的增大而减小；
【解】该抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，
顶点坐标是(2，9).
2
小
9
>2
<2
返回
(4)求出该抛物线与y轴的交点坐标；
(5)该函数图象经过怎样的平移可以得到y＝3x2的图象？
当x＝0时，y＝3×(0－2)2＋9＝21，
∴该抛物线与y轴的交点坐标为(0，21).
该函数图象先向下平移9个单位，再向左平移2个单位，
可以得到y＝3x2的图象.
8. 抛物线y＝(x－a)2＋a－1的顶点一定不在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【点拨】∵y＝(x－a)2＋a－1，∴该抛物线的顶点坐标为(a，a－1). 当a－1>0时，a>0，此时顶点在第一象限，故A不符合题意；当0【答案】B
返回
9. 如图，抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点在△AOB的边OA所在的直线上运动，△AOB的顶点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，2)，若抛物线与△AOB的边AB，OA都有公共点，则h的取值范围是(　　)
【答案】D
返回
10. [2025济宁期中]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，经过点A，B的抛物线y＝a(x－2)2＋c(a＞0)的顶点为E，若△ABE为
等腰直角三角形，则a的值为(　　)
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+k
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位
向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位
谢谢观看！