26.2.2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.2.2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-16 18:01:26 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章 二次函数
26.2.2.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
例如
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x = -2
(-2，2)
怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象
画出函数 的图象并说明这个函数具有哪些性质？
因为 ，
所以函数即为
因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为（1，-2）.
先配方，将函数关系式化为 y=a(x-h)2+k的形式.
二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与性质 教学过程
幻灯片1：温故引新，搭建桥梁（5分钟）
师问1：上节课我们学习了二次函数的顶点式y＝a(x-h) ＋k，谁能说说它的顶点坐标和对称轴分别是什么？我们是如何快速判断其图象位置的？
生答引导：顶点坐标（h,k），对称轴x＝h，通过a、h、k的值可直接确定开口方向、平移情况和顶点位置。
师问2：在实际问题中，二次函数常以y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的形式出现，比如“物体自由下落的高度与时间的关系”。这种一般式无法直接看出顶点和对称轴，我们该如何研究它的图象与性质呢？今天我们就来解决这个问题。
设计意图：以顶点式为认知锚点，通过“一般式的局限性”制造问题冲突，激发学生将一般式转化为顶点式的探究欲望，自然衔接新课。
幻灯片2：探究转化，突破核心难点（10分钟）
任务1：自主尝试将二次函数一般式y＝ax ＋bx＋c转化为顶点式，以y＝2x ＋4x＋1为例，教师板书示范转化过程：
1. 提取二次项系数：y＝2(x ＋2x)＋1（将含x的项归为一组，提取a使括号内二次项系数为1）；
2. 配方：在括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回相应值，即x ＋2x＝(x ＋2x＋1)－1＝(x＋1) －1；
3. 整理成顶点式：y＝2[(x＋1) －1]＋1＝2(x＋1) －2＋1＝2(x＋1) －1。
教师引导：类比示范过程，小组讨论“一般式转化为顶点式的关键步骤”，得出核心方法——“配方”，并推导通用结论：
y＝ax ＋bx＋c＝a(x＋b/(2a)) ＋(4ac－b )/(4a)，因此顶点坐标为(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，对称轴为直线x＝-b/(2a)。
幻灯片3：归纳性质，构建知识体系（15分钟）
递进提问：结合转化后的顶点式和具体例子y＝2x ＋4x＋1（转化后为y＝2(x＋1) －1），师生共同梳理一般式的性质：
1. 开口方向：由什么决定？与顶点式是否一致？（由a决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下，与顶点式完全一致，如a＝2＞0，开口向上）
2. 对称轴：如何计算？（直线x＝-b/(2a)，代入y＝2x ＋4x＋1得x＝-4/(2×2)＝-1，与顶点式对称轴x＝-1一致）
3. 顶点坐标：通用公式是什么？（(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，代入得(-1，(8－16)/8)＝(-1，-1)，与顶点式顶点一致）
4. 最值情况：a＞0时，顶点为最低点，最小值为(4ac－b )/(4a)；a＜0时，顶点为最高点，最大值为(4ac－b )/(4a)（如y＝2x ＋4x＋1最小值为-1）
5. 增减性：以对称轴为界，a＞0时，x＜-b/(2a)，y随x增大而减小；x＞-b/(2a)，y随x增大而增大（如y＝2x ＋4x＋1，x＜-1时y随x增大而减小，x＞-1时y随x增大而增大）
即时小结：教师板书核心性质，强调“配方是连接一般式与顶点式的桥梁，对称轴和顶点坐标公式是解决一般式问题的关键工具”。
幻灯片4：典例解析，强化应用能力（15分钟）
例题1：已知二次函数y＝-x ＋2x＋3，回答下列问题：
1. 求该函数的对称轴、顶点坐标和最值；（对称轴x＝-2/(2×(-1))＝1，顶点(1，(4×(-1)×3－4)/(4×(-1)))＝(1,4)，a＜0，最大值为4）
2. 该函数图象由y＝-x 如何平移得到？（先配方为y＝-(x－1) ＋4，由y＝-x 向右平移1个单位，再向上平移4个单位）
3. 当x取何值时，y＞0？（结合图象或解方程-x ＋2x＋3＝0，得x＝-1或3，a＜0，开口向下，故-1＜x＜3时y＞0）
例题2：某商场销售一批童装，每件成本50元，售价x元与月销量y件的关系为y＝-10x＋1500，求月销售利润w（元）与售价x（元）的函数关系式，并求售价为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？
解题步骤：①利润＝（售价－成本）×销量，得w＝(x－50)(-10x＋1500)＝-10x ＋2000x－75000；②配方得w＝-10(x－100) ＋25000；③a＝-10＜0，顶点(100,25000)，故售价100元时，月利润最大，最大利润25000元。
即时练习：“已知y＝3x －6x＋2，求对称轴、顶点坐标及x＞2时y的增减性”，学生独立完成后同桌互查，教师点评。
幻灯片5：对比总结，布置分层作业（5分钟）
课堂总结：师生共同对比二次函数两种形式的优缺点，构建知识框架：
1. 一般式y＝ax ＋bx＋c：适用范围广，易代入点求解析式，但需配方才能确定顶点和对称轴；
2. 顶点式y＝a(x-h) ＋k：易确定图象位置和最值，但需转化才能体现与自变量的直接关系；
3. 核心关联：通过“配方”实现两种形式的转化，a始终决定开口方向与大小。
作业布置：1. 基础题：教材习题，求y＝-2x ＋8x－3的对称轴、顶点坐标及最值；2. 提升题：已知二次函数过点（0,1）、（1,3）、（2,3），求其解析式并判断开口方向；3. 拓展题：结合生活实例，编一道用二次函数一般式解决的最值问题并求解。
列表：
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x < 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；
当 x > 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；
当x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2.
做
一
做
（1）试按照上面的方法，画出函数 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
解：将函数
配方得，
x … 1 2 3 4 5 6 7 …
y … …
列表：
描点，连线.
（2）通过配方，说出函数 y = -2x2 + 8x -8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值 还是最小值？这个值是什么？
解：将函数
配方得，
y = -2x2 + 8x -8
y = -2(x-2)2
开口向下
对称轴是直线 x = 2
顶点坐标是（2,0）
函数有最大值，y = 0.
思 考
对于任意一个二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）
二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 通过配方可以转化成
y = a(x -h)2 + k 形式.
y=ax2+bx+c
二次函数的顶点式
对称轴为 。
二次函数的一般表达式
因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 。
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
增减性？
最小值
最大值
返回
1. 二次函数y＝2x2＋8x＋7的图象是( )
C
返回
2. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
C
返回
3. [2025福建]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3A. 1C. 1A
4. 若将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________.
2
【点拨】抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后得到y＝ax2＋bx＋3－5＝ax2＋bx－2，把点(－2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx－2，得4＝a×(－2)2－2b－2，即2a－b＝3，∴6a－3b－7＝3(2a－b)－7＝3×3－7＝2.
返回
5. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)， B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是______________.
－1＜n＜0
返回
6. 已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4).
(1)求a的值.
(2)直接写出y随x的增大而减小的x的取值范围.
(3)当－4≤x≤2时，函数y的取值范围为________.
【解】∵二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)，
∴－4＝9a＋12＋2，解得a＝－2，∴a的值为－2.
当x>1时，y随x的增大而减小.
－46≤y≤4
(4)如图，设抛物线y＝ax2＋4x＋2的顶点为M，
与y轴相交于C，连结MC，MA，AC. 求S△AMC.
返回
(4)如图，作AD⊥y轴于D，MN⊥AD于N.
∵y＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，
∴M(1，4)，C(0，2). ∵A(3，－4)，
∴D(0，－4)，N(1，－4)，AD＝3，
∴CD＝6，MN＝8，DN＝1，∴AN＝2，
返回
7. 已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A
返回
8. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y1＝－x2－(2m＋2n)x－6n＋9与y2＝x2＋(5m－n)x＋m2关于x轴对称，则m2＋n2的值为( )
A. 13 B. 18 C. 24 D. 26
B
【答案】B
返回
10. [2025天津益中学校月考]将二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大. 如图，在矩形ABCD中，点A(－1，1)，点D(2，1)，则二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1的图象与矩形ABCD有交点时，m的取值范围是( )
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与系数 a,b,c及b2-4ac 的符号之间的关系:
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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章 二次函数
26.2.2.4二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
问题: 说说画二次函数y=a(x-h)2+k的图象的要点是什么？
例如
开口方向：
对称轴：
顶点：
向下
x = -2
(-2，2)
怎么画二次函数y=ax2+bx+c的图象
画出函数 的图象并说明这个函数具有哪些性质？
因为 ，
所以函数即为
因此这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x = 1，顶点坐标为（1，-2）.
先配方，将函数关系式化为 y=a(x-h)2+k的形式.
二次函数y＝ax ＋bx＋c的图象与性质 教学过程
幻灯片1：温故引新，搭建桥梁（5分钟）
师问1：上节课我们学习了二次函数的顶点式y＝a(x-h) ＋k，谁能说说它的顶点坐标和对称轴分别是什么？我们是如何快速判断其图象位置的？
生答引导：顶点坐标（h,k），对称轴x＝h，通过a、h、k的值可直接确定开口方向、平移情况和顶点位置。
师问2：在实际问题中，二次函数常以y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的形式出现，比如“物体自由下落的高度与时间的关系”。这种一般式无法直接看出顶点和对称轴，我们该如何研究它的图象与性质呢？今天我们就来解决这个问题。
设计意图：以顶点式为认知锚点，通过“一般式的局限性”制造问题冲突，激发学生将一般式转化为顶点式的探究欲望，自然衔接新课。
幻灯片2：探究转化，突破核心难点（10分钟）
任务1：自主尝试将二次函数一般式y＝ax ＋bx＋c转化为顶点式，以y＝2x ＋4x＋1为例，教师板书示范转化过程：
1. 提取二次项系数：y＝2(x ＋2x)＋1（将含x的项归为一组，提取a使括号内二次项系数为1）；
2. 配方：在括号内加“一次项系数一半的平方”，同时减回相应值，即x ＋2x＝(x ＋2x＋1)－1＝(x＋1) －1；
3. 整理成顶点式：y＝2[(x＋1) －1]＋1＝2(x＋1) －2＋1＝2(x＋1) －1。
教师引导：类比示范过程，小组讨论“一般式转化为顶点式的关键步骤”，得出核心方法——“配方”，并推导通用结论：
y＝ax ＋bx＋c＝a(x＋b/(2a)) ＋(4ac－b )/(4a)，因此顶点坐标为(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，对称轴为直线x＝-b/(2a)。
幻灯片3：归纳性质，构建知识体系（15分钟）
递进提问：结合转化后的顶点式和具体例子y＝2x ＋4x＋1（转化后为y＝2(x＋1) －1），师生共同梳理一般式的性质：
1. 开口方向：由什么决定？与顶点式是否一致？（由a决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下，与顶点式完全一致，如a＝2＞0，开口向上）
2. 对称轴：如何计算？（直线x＝-b/(2a)，代入y＝2x ＋4x＋1得x＝-4/(2×2)＝-1，与顶点式对称轴x＝-1一致）
3. 顶点坐标：通用公式是什么？（(-b/(2a)，(4ac－b )/(4a))，代入得(-1，(8－16)/8)＝(-1，-1)，与顶点式顶点一致）
4. 最值情况：a＞0时，顶点为最低点，最小值为(4ac－b )/(4a)；a＜0时，顶点为最高点，最大值为(4ac－b )/(4a)（如y＝2x ＋4x＋1最小值为-1）
5. 增减性：以对称轴为界，a＞0时，x＜-b/(2a)，y随x增大而减小；x＞-b/(2a)，y随x增大而增大（如y＝2x ＋4x＋1，x＜-1时y随x增大而减小，x＞-1时y随x增大而增大）
即时小结：教师板书核心性质，强调“配方是连接一般式与顶点式的桥梁，对称轴和顶点坐标公式是解决一般式问题的关键工具”。
幻灯片4：典例解析，强化应用能力（15分钟）
例题1：已知二次函数y＝-x ＋2x＋3，回答下列问题：
1. 求该函数的对称轴、顶点坐标和最值；（对称轴x＝-2/(2×(-1))＝1，顶点(1，(4×(-1)×3－4)/(4×(-1)))＝(1,4)，a＜0，最大值为4）
2. 该函数图象由y＝-x 如何平移得到？（先配方为y＝-(x－1) ＋4，由y＝-x 向右平移1个单位，再向上平移4个单位）
3. 当x取何值时，y＞0？（结合图象或解方程-x ＋2x＋3＝0，得x＝-1或3，a＜0，开口向下，故-1＜x＜3时y＞0）
例题2：某商场销售一批童装，每件成本50元，售价x元与月销量y件的关系为y＝-10x＋1500，求月销售利润w（元）与售价x（元）的函数关系式，并求售价为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？
解题步骤：①利润＝（售价－成本）×销量，得w＝(x－50)(-10x＋1500)＝-10x ＋2000x－75000；②配方得w＝-10(x－100) ＋25000；③a＝-10＜0，顶点(100,25000)，故售价100元时，月利润最大，最大利润25000元。
即时练习：“已知y＝3x －6x＋2，求对称轴、顶点坐标及x＞2时y的增减性”，学生独立完成后同桌互查，教师点评。
幻灯片5：对比总结，布置分层作业（5分钟）
课堂总结：师生共同对比二次函数两种形式的优缺点，构建知识框架：
1. 一般式y＝ax ＋bx＋c：适用范围广，易代入点求解析式，但需配方才能确定顶点和对称轴；
2. 顶点式y＝a(x-h) ＋k：易确定图象位置和最值，但需转化才能体现与自变量的直接关系；
3. 核心关联：通过“配方”实现两种形式的转化，a始终决定开口方向与大小。
作业布置：1. 基础题：教材习题，求y＝-2x ＋8x－3的对称轴、顶点坐标及最值；2. 提升题：已知二次函数过点（0,1）、（1,3）、（2,3），求其解析式并判断开口方向；3. 拓展题：结合生活实例，编一道用二次函数一般式解决的最值问题并求解。
列表：
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x < 1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；
当 x > 1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；
当x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2.
做
一
做
（1）试按照上面的方法，画出函数 的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
解：将函数
配方得，
x … 1 2 3 4 5 6 7 …
y … …
列表：
描点，连线.
（2）通过配方，说出函数 y = -2x2 + 8x -8 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.这个函数有最大值 还是最小值？这个值是什么？
解：将函数
配方得，
y = -2x2 + 8x -8
y = -2(x-2)2
开口向下
对称轴是直线 x = 2
顶点坐标是（2,0）
函数有最大值，y = 0.
思 考
对于任意一个二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？
y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）
二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 通过配方可以转化成
y = a(x -h)2 + k 形式.
y=ax2+bx+c
二次函数的顶点式
对称轴为 。
二次函数的一般表达式
因此，抛物线的对称轴是 ，顶点是 。
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
增减性？
最小值
最大值
返回
1. 二次函数y＝2x2＋8x＋7的图象是( )
C
返回
2. 二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
C
返回
3. [2025福建]已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3
4. 若将抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后，经过点(－2，4)，则6a－3b－7＝________.
2
【点拨】抛物线y＝ax2＋bx＋3向下平移5个单位后得到y＝ax2＋bx＋3－5＝ax2＋bx－2，把点(－2，4)的坐标代入y＝ax2＋bx－2，得4＝a×(－2)2－2b－2，即2a－b＝3，∴6a－3b－7＝3(2a－b)－7＝3×3－7＝2.
返回
5. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)， B(n－1，y2)两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是______________.
－1＜n＜0
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6. 已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4).
(1)求a的值.
(2)直接写出y随x的增大而减小的x的取值范围.
(3)当－4≤x≤2时，函数y的取值范围为________.
【解】∵二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)，
∴－4＝9a＋12＋2，解得a＝－2，∴a的值为－2.
当x>1时，y随x的增大而减小.
－46≤y≤4
(4)如图，设抛物线y＝ax2＋4x＋2的顶点为M，
与y轴相交于C，连结MC，MA，AC. 求S△AMC.
返回
(4)如图，作AD⊥y轴于D，MN⊥AD于N.
∵y＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，
∴M(1，4)，C(0，2). ∵A(3，－4)，
∴D(0，－4)，N(1，－4)，AD＝3，
∴CD＝6，MN＝8，DN＝1，∴AN＝2，
返回
7. 已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A
返回
8. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y1＝－x2－(2m＋2n)x－6n＋9与y2＝x2＋(5m－n)x＋m2关于x轴对称，则m2＋n2的值为( )
A. 13 B. 18 C. 24 D. 26
B
【答案】B
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10. [2025天津益中学校月考]将二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大. 如图，在矩形ABCD中，点A(－1，1)，点D(2，1)，则二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m＋1的图象与矩形ABCD有交点时，m的取值范围是( )
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象特征与系数 a,b,c及b2-4ac 的符号之间的关系:
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