26.2.2.5二次函数的最值-课件-2025-2026学年数学华东师大版九年级下册

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2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】
第26章　二次函数
26.2.2.5二次函数的最值
1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1）y = 6x2 + 12x； （2）y = -4x2 + 8x -10.
2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出
两个函数的最大值、最小值分别是多少？
配方，得：y = 6(x + 1)2 -6
开口向上，对称轴是直线 x = -1，顶点坐标是（-1, -6）.
配方，得：y = -4(x - 1)2 -6
开口向上，对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是（1, -6）.
y = 6x2 + 12x，有最小值，y = -6.
y = -4x2 + 8x -10，有最大值，y = -6.
二次函数的最值 教学过程
幻灯片1：情境导入，感知最值（5分钟）
生活情境：展示两个实例图片——①篮球运动员投篮的运动轨迹；②某商场销售商品的利润变化曲线。
师问1：篮球出手后，运动到最高点时高度最大；商场销售商品，利润随售价变化，会出现最高或最低利润。这些“最大”“最小”的量，在数学中我们称为“最值”。二次函数作为描述这类变化的重要模型，它的最值该如何求解呢？
回顾旧知：二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线开口向上，有最低点；a＜0时开口向下，有最高点。这个最低点或最高点的纵坐标，就是二次函数的最值。今天我们就系统学习二次函数最值的求解方法。
设计意图：用生活中熟悉的情境唤醒学生对“最值”的直观认知，结合抛物线特征建立“顶点与最值”的关联，自然引出课题。
幻灯片2：探究顶点式，直接求最值（10分钟）
师问1：二次函数顶点式y＝a(x-h) ＋k（a≠0）的顶点坐标是什么？（学生齐答：(h,k)）这个顶点坐标与最值有什么关系呢？
分类探究：结合抛物线开口方向，小组讨论顶点式的最值情况，完成下表：
a的符号
开口方向
最值类型
最值大小
取得最值时的x值
a＞0
向上
最小值
k
x＝h
a＜0
向下
最大值
k
x＝h
即时例题：说出下列函数的最值及取得最值时的x值：①y＝2(x-3) ＋5；②y＝-1/2(x＋2) －1。
生答点评：①a＝2＞0，x＝3时，y有最小值5；②a＝-1/2＜0，x＝-2时，y有最大值-1。强调顶点式中，k直接对应最值，h对应取得最值的x值，无需复杂计算。
幻灯片3：转化一般式，配方求最值（15分钟）
师问1：对于一般式y＝ax ＋bx＋c（a≠0），无法直接看出顶点坐标，该如何求最值呢？（引导学生回忆：将一般式转化为顶点式）
示范讲解：以y＝2x －8x＋3为例，完整演示配方过程及最值求解：
1. 提取二次项系数：y＝2(x －4x)＋3；
2. 配方：x －4x＝(x －4x＋4)－4＝(x－2) －4；
3. 整理顶点式：y＝2[(x－2) －4]＋3＝2(x－2) －5；
4. 求最值：a＝2＞0，x＝2时，y有最小值-5。
公式推导：由一般式配方结果y＝a(x＋b/(2a)) ＋(4ac－b )/(4a)，得出一般式最值结论：
当a＞0时，x＝-b/(2a)，y最小值＝(4ac－b )/(4a)；当a＜0时，x＝-b/(2a)，y最大值＝(4ac－b )/(4a)。
即时练习：用公式求y＝-x ＋6x－2的最值，学生独立完成后，教师核对计算过程，强调符号易错点。
幻灯片4：聚焦实际问题，限定范围求最值（15分钟）
师问1：在实际问题中，自变量x往往有取值范围（如售价不能为负数、时间不能为负），此时二次函数的最值是否还一定是顶点的纵坐标呢？
例题1：某农户种植草莓，已知草莓的产量y（千克）与种植密度x（株/平方米）的函数关系为y＝-2x ＋20x＋50，x的取值范围是3≤x≤7，求草莓的最大产量。
解题步骤：
1. 求顶点横坐标：x＝-b/(2a)＝-20/(2×(-2))＝5，在3≤x≤7范围内；
2. 计算顶点纵坐标：y＝-2×5 ＋20×5＋50＝100；
3. 结论：x＝5时，最大产量为100千克。
例题2：若例题1中x的取值范围改为1≤x≤4，求最大产量。
解题关键：顶点横坐标x＝5不在1≤x≤4范围内，需结合增减性判断：a＝-2＜0，抛物线开口向下，x＜5时y随x增大而增大，故x＝4时y最大，y＝-2×4 ＋20×4＋50＝98千克。
方法总结：限定自变量范围时，①先求顶点横坐标是否在范围内；②在范围内，顶点纵坐标为最值；③不在范围内，根据增减性求端点处的函数值作为最值。
幻灯片5：方法归纳，巩固提升（10分钟）
师生共梳：二次函数最值求解“三步骤”：
1. 定形式：明确函数是顶点式还是一般式；
2. 判范围：确定自变量x的取值范围（无特殊说明则为全体实数）；
3. 求最值：顶点在范围内用顶点纵坐标，不在范围内用端点函数值。
分层练习：
1. 基础题：求y＝3(x＋1) －4和y＝2x －12x＋1的最值；
2. 提升题：某商品进价40元，售价x元与销量y件关系为y＝-10x＋1000，利润w＝(x-40)y，x∈[50,80]，求最大利润。
练习点评：重点讲解提升题中“利润函数构建”和“x范围判断”，强调实际问题中自变量范围的重要性。
幻灯片6：课堂总结，布置作业（5分钟）
核心回顾：
1. 二次函数最值与抛物线开口方向、顶点位置、自变量范围密切相关；
2. 顶点式直接用顶点坐标求最值，一般式通过配方或公式求最值；
3. 实际问题中，务必先确定自变量取值范围，再判断最值。
作业布置：
1. 基础题：教材习题，求3个不同形式二次函数的最值；
2. 实践题：调查家中某商品的价格与销量关系（模拟数据），构建二次函数求最大利润；
3. 拓展题：已知二次函数y＝ax ＋bx＋c的最大值为4，过点(1,3)和(2,4)，求解析式。
问题1
用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃. 怎样围才能使花圃的面积最大？
解：设矩形的宽 AB 为 x m，则矩形的长 BC 为 （20-2x）m，由于x>0，且 20-2x>0，所以0围成的花圃面积 y 与 x 的函数关系式是
y = -2x2+20x ( 0 < x < 10 )
y = -2x2+20x ( 0 < x < 10 )
如何求最大值。
配方得，y = -2(x - 5)2 + 50
函数开口向下，顶点坐标是（5, 50）
所以，当x = 5 时，函数取得最大值，y = 50.
这时，AB=5（m），BC = 20-2x = 10（m）.
花圃面积最大，最大面积为 50 m2.
问题2
某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100 件. 该店想通过降低售价﹑增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件. 将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
解：设每件商品降价 x 元（0 ≤ x ≤ 2），该商品每天的利润为 y 元.
商品每天的利润 y 与 x 的函数关系式是
y = ( 10-x-8 )( 100 + 100x )
即 y = -100x2 + 100x + 200
如何求最大值。
y = -100x2 + 100x + 200 （0 ≤ x ≤ 2）
配方得，
当 x = 时，函数取得最大值，最大值 y = 225.
所以将这种商品的售价降低 0.5 元时，能使销售利润最大.
用长为 6 m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
解：设矩形窗框的宽为 x m，则高为 m.
这里应有 x > 0，且 > 0，故 0 < x < 2.
矩形窗框的透光面积 y 与 x 之间的函数关系式是
如何求最大值。
配方得，
当 x = 1，函数取得最大值，最大值 y = 1.5.
x = 1，满足 0 < x < 2，这时 = 1.5.
因此，所做矩形窗框的宽为 1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5 m2.
一般地，当 a > 0 (a < 0) 时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x = 时，二次函数有最小（大）值 。
y = ax2 + bx + c
思考归纳求二次函数 最值问题的步骤:
（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
y = ax2 + bx + c
（2）研究自变量的取值范围;
（3）研究所得的函数;
（4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;
（5）解决提出的实际问题.
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1. 已知二次函数y＝－(x＋1)2＋3，若－3≤x≤2，则函数y的最小值和最大值分别是(　　)
A. －1，3 B. 0，3
C. －6，3 D. －6，－1
C
2. 生物学研究表明：在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜的温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性.
【答案】C
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3. 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　)
A. 25 cm2 B. 50 cm2 C. 100 cm2 D. 不确定
B
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4. 若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2－ax有最______值，最值为______(用含a的代数式表示).
大
5. 如图，已知 ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°，若边长AB＝x cm.
(1) ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为________________，自变量x的取值范围为________________；
(2)当x取______时，y的值最大，
最大值为______.
02
2
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6.【问题背景】
2025年春晚小品《借伞》中集齐京剧、粤剧、川剧、越剧四种不同风格的《白蛇传》，且出现的西湖竹骨绸伞是浙江省杭州地区特有的特色传统手工艺品，造型灵巧、色彩鲜艳，既可遮蔽阳光，又可作为装饰品. 某商店销售一种西湖竹骨绸伞，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)
【建立模型】
(1)求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)求周销售利润w关于x的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)，并求出周销售利润w的最大值.
售价x(元/件) 50 56 76
周销售量y(件) 100 88 48
周销售利润w(元) 1 000 1 408 1 728
(2)进价为50－(1 000÷100)＝40(元/件)，
所以w＝(－2x＋200)(x－40)＝－2(x－70)2＋1 800.
所以当x＝70时，周销售利润最大，最大利润为1 800元.
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7. [2025天津]四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝10 cm，BC＝16 cm. 动点M从点B出发，以2 cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动. 规定其中一个动点到达终点时，另一个
动点也随之停止运动. 设运动的
时间为t s. 当t＝2时，点M，N
的位置如图所示. 有下列结论：
①当t＝6时，CN＝DM；
②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26 cm2；
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2.
其中，正确结论的个数是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
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8. 若二次函数y＝－x2＋mx在－1≤x≤2时的最大值为3，则m的值是____________.
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9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点E从点D出发向终点A运动，连结BE，以BE为边在BE上方作正方形BEFG，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为________.
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10. 公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价y1(元/千克)和成本价y2(元/千克)关于时间t的函数关系式分别为y1＝- t＋60(0y2＝ － t＋30（020（30它们的图象如图①所示，未来40天的
销售量m(千克)关于时间t的函数关系
如图②所示.
(1)求m关于t的函数关系式.
(2)哪一天的销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3 600元以维持各种开支，求a的最大值(精确到0. 01).
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课堂小结
求二次函数 最值问题的步骤:
（1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
y = ax2 + bx + c
（2）研究自变量的取值范围;
（3）研究所得的函数;
（4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;
（5）解决提出的实际问题.
谢谢观看！