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二次根式 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
3．若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠
C．x≥﹣2且x≠ D．以上答案都不对
4．与 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确是（ ）
A． B．
C． D．
6．当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
7． =（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9． = 成立的条件是（ ）
A．x ≥ - 1 B．x ≤ 3
C．-1＜x ≤3 D．-1 ≤ x ≤ 3
10．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；
…；
以此类推．
下列说法：
①当时，；
②；
③（n为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 .
12．计算 .
13．的结果是 .
14．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．若，则代数式 ．
16．若 +|3﹣y|=0，则xy=
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： .
18．求值
（1）已知a、b满足，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．
（2）已知x、y都是实数，且，求yx的平方根．
19．如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
20．
（1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根．
（2）已知，求．
21．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
22．在下列两道小题中选做一题（多做不加分）.
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值.
23． 已知，x为整数．
（1）当时，求；
（2）当时，求．
24．已知 ，求 的值．
25．若x，y为实数，且 ，化简： .
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二次根式 单元综合强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、属于最简二次根式，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义并结合各选项即可判断求解.
2．已知实数a满足，那么的值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义条件得：解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义条件得，进一步根据去绝对值得方法得，代入得，化简整理得，两边同时平方得，进一步整理即可.
3．若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≠
C．x≥﹣2且x≠ D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴ ，解得 且 ．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式积分式有意义的条件列出不等式求解即可。
4．与 不是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： =
A． = 与 被开方数不同，不是同类二次根式；
B、 = 与 被开方数相同，是同类二次根式；
C、 = 与 被开方数相同，是同类二次根式；
D、 = 与 被开方数相同，是同类二次根式．
故答案为：A
【分析】先利用二次根式的性质把题干和选项中的每个二次根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的被开方数必须相同，即可获得答案。
5．下列运算正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】B. ，选项不符合题意，
C . ，选项不符合题意，；
D. ，选项不符合题意，
故答案为：A
【分析】根据二次根式的四则运算法则和指数的计算法则逐个计算即可。
6．当 时，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ =
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质“”并结合a的范围可求解.
7． =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： =3，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故不符合题意；
B、，原写法错误，故不符合题意；
C、，原写法错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加法，单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
9． = 成立的条件是（ ）
A．x ≥ - 1 B．x ≤ 3
C．-1＜x ≤3 D．-1 ≤ x ≤ 3
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：
由①得：
由②得：
不等式组的解集是：
故答案为：C．
【分析】由二次根式的除法法则，结合二次根式有意义的条件可得答案．
10．已知两个二次根式：，（），将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；
…；
以此类推．
下列说法：
①当时，；
②；
③（n为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，；
，，
∴当时，
，
∴①的说法正确；
由以上计算可知：，
∴②的说法正确；
∵；
；
；
…
∵
∴③的说法正确，
综上可知：正确的个数为3个，
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件，分别求出M1，M2，，M8，N1，N2，，N8，然后根据计算的结果，分别列出各种说法中的算式，进行计算，根据计算结棍判断即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：原式=3
=2
答案：
【分析】化简后直接相减即可.
12．计算 .
【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】先分母有理化，求绝对值，最后根据有理数计算得结果。
13．的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：原式=
=
=
14．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】根据题意得：x+ ≥0，
解得x≥- ，
故答案为：x≥- ．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数即可得出不等式，求解得出x的取值范围。
15．若，则代数式 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴代数式，
故答案为：．
【分析】为了是表达式有意义，被开方数必须是非负数，需要根据x的值确定其具体形式，通过确定x和y的值求解即可.
16．若 +|3﹣y|=0，则xy=
【答案】6
【解析】【解答】由题意得，x﹣2=0，3﹣y=0，解得x=2，y=3，所以xy=2×3=6．故答案为6．
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性来解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： .
【答案】解： = = .
【解析】【分析】第一项根据二次根式的除法法则计算，第二项根据二次根式的乘法法则计算，然后再合并同类二次根式.
18．求值
（1）已知a、b满足，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．
（2）已知x、y都是实数，且，求yx的平方根．
【答案】解：（1）根据题意得：，
解得：，
则（a+2）x+b2=a﹣1即﹣2x+3=﹣5，
解得：x=4；
（2）根据题意得：，
解得：x=3．
则y=4，
故原式=43=64，
∴yx的平方根为：±8．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a，b的值，然后解方程即可；
（2）根据二次根式的被开方数是非负数即可求得x的值，进而求得y的值，代数式的值即可求解．
19．如图，∠B＝90°，点P从点B开始沿射线BA以1cm/s的速度移动；同时，点Q也从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动．问：几秒后△PBQ的面积为35cm2？此时PQ的长是多少厘米？(结果用最简二次根式表示．)
【答案】解：设x(s)后cm2，则PB＝x，BQ＝2x.由题意，得 x·2x＝35，解得x1＝ ，x2＝－ (不合题意，舍去)．∴PQ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 (cm)．答： s后△PBQ的面积为35cm2，此时PQ的长为5 cm.
【解析】【分析】根据题意可设x(s)后△PBQ的面积为35cm2，则PB＝x，BQ＝2x，而△PBQ的面积为35，所以可列方程，x.2x=35，解得=，=（不符合题意，舍去），所以用勾股定理可得PQ＝===.
20．
（1）已知的平方根为，的立方根是3，求的平方根．
（2）已知，求．
【答案】（1）解：∵的平方根为，
∴，
解得，
∵的立方根是3，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用平方根、立方根定义求出x与y的值，即可求出所求；
（2）利用二次根式以及分式有意义的条件求出a与b的值，即可求出所求．
21．若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【答案】解：由题意可知：x＝，y＝3
原式＝（2x+2）﹣（x+5）
＝x﹣3
＝﹣3
＝﹣
【解析】【分析】由二次根式性质可知，，解得，则y=3，对原式进行化简，得 原式 ＝x﹣3 ，然后把x、y值代入，即可求解。
22．在下列两道小题中选做一题（多做不加分）.
（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）解：∵
∴，
∴
∴；
（2）解：∵ a+b=-4＜0，ab=3＞0，
∴ a＜0，b＜0，
∴
【解析】【分析】（1）先求出，进而求得，再求出，即可求得；
（2）先根据题意判断出a＜0，b＜0，根据二次根式的性质化简，再将ab的值代入求值，即可求得.
23． 已知，x为整数．
（1）当时，求；
（2）当时，求．
【答案】（1）解：∵，
∵x为整数，，，
，
∴．
（2）解：∵，
∵x为整数，，，
∴，
，
∴．
【解析】【分析】（1）用“夹逼法”估计的大小，根据x为整数，，进而可得、的值，代入计算即可；
（2）用“夹逼法”估计的大小，根据x为整数，，进而可得、的值，代入计算即可．
24．已知 ，求 的值．
【答案】解：把 代入，
原式=
=
=81-80+3
=4.
【解析】【分析】把 代入原式，再利用二次根式的混合运算求解即可。
25．若x，y为实数，且 ，化简： .
【答案】解：由题意， ，解得x=2，当x=2时，y>2，∴y-2>0，
则原式= = =-1+2=1.
【解析】【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组 求解得出x的值，进而求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质将代数式中的二次根式化简，最后根据分式除法约分，利用有理数的加减法法则算出答案。
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