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解直角三角形 单元综合提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知 的两条弦 ， 相交于点E， ， ，连接OE，若E为AC中点，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列各图中，射线OA表示南偏东32°方向的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
4．已知cosα=，且α是锐角，则α=( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m.
A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8
6．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6，则AB的长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：在中，，则BC的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个
9．如图，在中，，点在BA的延长线上，点在边BC上，且EC.若，则BD的边长为( )
A．2.5 B．3.5 C．2 D．
10．如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，cos∠FGO=0.6，则点F的坐标是 ．
12．如图，在等腰三角形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，，当时，的长为 ．
13．某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示．支撑柱AB垂直于地面，cm，P是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，．若∠APE=30°，则BF的长度为 cm．
14．一副三角板按如图叠放，与的直角顶点A，D重合，斜边BC，EF的重叠部分为EC，已知=45°，=30°，则CF：BE= .
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则 的值是 ．
16．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形的边与底座四边形的边在同一条直线上，已知，米，，雕塑的高为米，底座梯形下底边长为米，斜坡的坡度为．
（1）判断四边形的形状；
（2）求底座四边形中的长度；
（3）若雕塑中弧所在圆的圆心为点D，且点P为边的三等分点，求弧的长度．（精确到，，，，）
18．如图，扶梯AB的坡度为4：3，滑梯CD的坡度为1：2．设AE＝30dm，BC＝50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
19．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28≈0.47，cos28≈0.88，tan28≈0.53】
20．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：
∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376， ≈1.732）
21．如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据： ， ， ， ， ， ）
22．如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为37°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB和楼房MN的高度．
（ ， ， ， ，结果精确到0.1m）
23．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
24．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连结BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°.
（1）若∠BDC=90°，以 AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB= 90°，∠EBA = 30°，连结DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 .
（2）如图2，在（1）的条件下，若 DE⊥AB，AB=-4，AC=2，求 BC的长.
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
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解直角三角形 单元综合提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知 的两条弦 ， 相交于点E， ， ，连接OE，若E为AC中点，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵E为AC中点，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和为180度求得，再根据特殊角的锐角三角函数值求解即可。
2．下列各图中，射线OA表示南偏东32°方向的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
解：A、OA表示北偏西32°，故本选项错误；
B、OA表示南偏西32°，故本选项错误；
C、OA表示南偏东32°，故本选项正确；
D、OA表示北偏东32°，故本选项错误．
故选C．
【分析】南偏东32°，则射线的大概位置在东方和南方所围成的区域。
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．4米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作于点C，如图所示：
∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米
∴ ，
∴米，
在中，，
由勾股定理得米 ，
故答案为：D．
【分析】过点B作于点C，根据“传送带和地面所成斜坡的坡度为”可得 ，再结合BC的长求出AC的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
4．已知cosα=，且α是锐角，则α=( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵cosα=，且α是锐角，
∴α=30°，
故答案为：A.
【分析】利用特殊角的三角函数值分析求解即可.
5．数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树 的高度，如图，老师测得大树前斜坡 的坡度i=1：4，一学生站在离斜坡顶端 的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为 ，已知 ，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（ ）m.
A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.8
【答案】D
【解析】【解答】如图所示：过点C作 延长线于点G，交EF于点N，
根据题意可得： ，
计算得出： ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
故 ，即 ，
计算得出： ，
故 ，
则 ，
故答案为：D.
【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。即：过点C作 C G ⊥ A B 延长线于点G，交EF于点N，因为斜坡 D E 的坡度i=1：4，所以，解得EF=2，而 sinα=，设AG=3x，则AC=5x ，所以BC=4x ，即8+1.6=4x ，解得 x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ，则AB=AG BG=7.2 0.4=6.8m。
6．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=6，则AB的长度为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，、
∵cosA==，
∴AB=×6=10．
故选B．
【分析】根据余弦的定义得到cosA==，然后利用比例性质求AB．
7．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA= ，tanB= 和a2+b2=c2．
∵sinA= ，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB= ．
故选A．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
∵A、B互为余角，
∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA= ．
又∵sin2B+cos2B=1，
∴sinB= = ，
∴tanB= = = ．
故选A．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．
8．已知：在中，，则BC的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图， 过A作于D，
∴，
∵，
∴以A为圆心，为半径画弧，则弧与的两个交点都为C的位置，
∴的值有两个．
故答案为：B．
【分析】过A作AD⊥BC于D，利用解直角三角形求出，由可知弧与的两个交点，据此即可判断.
9．如图，在中，，点在BA的延长线上，点在边BC上，且EC.若，则BD的边长为( )
A．2.5 B．3.5 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，如图：
∵ED=EC，
∴DF=FC.
∵AB=3，AE=4，∠B=60°，
∴，
∵BC=5，
∴.
∴AE=2
故答案为：C.
【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质得DF=CF，解直角三角形求出BF的长，再求DF，即可得到BD长.
10．如图，，是的弦，劣弧沿弦翻折恰好经过点O，交于点D，连接，若，，则的半径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，如图所示：
则，
∵劣弧沿弦翻折恰好经过点O，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且由翻折而成，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故B正确．
故答案为：B．
【分析】连接，，，过点B作于点E，过点O作于点F，先证出为等边三角形，得出， 再利用勾股定理求出，， 最后求出即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，cos∠FGO=0.6，则点F的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】过点F作直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图：
∴ （两直线平行，内错角相等），
又∵∠EFG=90°，
∴∠AFE+∠HEG=90°，
又∵∠AFE+∠FEA=90°，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，则
∴ （勾股定理），
∴ ，
在 中， ，
∴ （勾股定理），
∴ ，
故答案为： ．
【分析】过点F作直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明，根据cos∠FGO=0.6，以及勾股定理即可得出答案。
12．如图，在等腰三角形中，，，点为的中点，点为边上一个动点，连接，点关于直线的对称点为点，分别连接，，当时，的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵AC=BC=2，D为AC的中点，
∴AD=1.
①当直线EF与直线AC垂直时，
∵点A关于直线DE的对称点为点F，
∴∠A=∠F=30°，∠AED=∠FED.
∵∠AGE=90°，
∴∠AEG=60°，
∴∠AED=∠FED=30°，
∴AD=DE=1.
过点D作DM⊥AE于点M，则AE=2AM=2××1=；
②当直线EF与直线AC垂直时，
∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴∠A=∠F=30°，∠ADE=∠FDE.
∵∠AGE=∠FGD=90°，
∴∠FDG=60°，
∴∠ADE=∠FDE=30°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AG=AD=，
∴AE=÷cos30°=.
故答案为：或.
【分析】由中点的概念可得AD=1，当直线EF与直线AC垂直时，由轴对称的性质可得∠A=∠F=30°，∠AED=∠FED，结合∠AGE=90°可得∠AED=∠FED=30°，推出AD=DE=1，过点D作DM⊥AE于点M，由等腰三角形的性质可得AE=2AM，然后由三角函数的概念进行计算.
13．某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示．支撑柱AB垂直于地面，cm，P是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，．若∠APE=30°，则BF的长度为 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AP，垂足为F，
∵E是PC的中点，
∴PE=EC=PC=20cm，
又∵AE=PC，
∴AE=PE=CE=20cm，
在Rt△PEF中，∠APE=30°，PE=20cm，
∴PF=PE cos∠APE
=20×
=30（cm），
∵AE=PE，EF⊥AB，
∴AP=2PF=60cm，
∴BP=AB-AP
=120-60
=60（cm）．
故答案为：60
【分析】过点E作EF⊥AP，垂足为F，先求出∠APE=30°，PE=20cm，PF=PE cos∠APE=30（cm），再利用线段的和差求出BP=AB-AP=60（cm）即可。
14．一副三角板按如图叠放，与的直角顶点A，D重合，斜边BC，EF的重叠部分为EC，已知=45°，=30°，则CF：BE= .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BC于点G，
由题意得，，，，
设EG=t，在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴.
同理，在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴CF：BE=.
故答案为：.
【分析】过A作AG⊥BC于点G，由题意得∠AGE=∠AGC=90°，∠AEG=60°，∠ACG=45°，设EG=t，根据三角函数的概念可得AG=t，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=t，AG=GC=-t，则BE=t-t，GF=3t，CF=3t-t，据此求解.
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则 的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，设B点上方2个单位的格点为D，
连接AD、BD，根据圆周角定理可得 ，
每个小正方形的边长都是1，点A、B、D均
在网格交点上，
，
则 ，
，
故答案为： ．
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，根据勾股定理求出AD，由正弦的定义计算得到答案即可。
16．如图，已知直线 ， 与 之间的距离为2，在 中， ，点 是直线 上的一个动点， ， 中有一边是 的 倍，将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 所在直线交 于点 ，则 的长度为 ．
【答案】 或 或2
【解析】【解答】解：①当 时，
Ⅰ．如图1，当∠ABC为钝角时，作 于 ， 于 ，
与 之间的距离为2，即 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，
，
，
∴
，即 ，
，
， ．
Ⅱ．如图2，当∠ABC为锐角时，作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
又∵BC=2，
∴点E与点C重合， ，
∴ 等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
是等腰直角三角形，
．
②当 时，
Ⅰ．如图3，当∠ACB为锐角时，同①Ⅱ可得，此时 是等腰直角三角形，
绕点 按顺时针方向旋转 得到△ ，
∴ ，
，
；
Ⅱ．如图4，当∠ACB为钝角时，作 于 ，则 ，
，
∴ ，
，
绕点 按顺时针方向旋转 ，得到△ 时，点 在直线 上，
，即直线 与 无交点，
综上所述， 的值为 ， ，2．
故答案为： 或 或2．
【分析】先根据 和 时两种情况，再分别由 的 倍的边与BC所成角为钝角和锐角两种情况画出图形分别求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形的边与底座四边形的边在同一条直线上，已知，米，，雕塑的高为米，底座梯形下底边长为米，斜坡的坡度为．
（1）判断四边形的形状；
（2）求底座四边形中的长度；
（3）若雕塑中弧所在圆的圆心为点D，且点P为边的三等分点，求弧的长度．（精确到，，，，）
【答案】（1）四边形DEFG是平行四边形．
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）设，
如图，过点D、C分别作于点M，于点N，
∵，，
∴∠DMN=90°，MN//NC，
∵，
∴四边形DMNC是矩形，
∴，，
∵ 斜坡的坡度为，
∴，
∴，
∴
又AD=1.6，
∴，解得，
∴，，
在与中，
∴（HL），
∴，
∴（米）．
（3）如图，过点E作于点J，交CD于点I，
则，
∵米，EJ=EI+IJ，
∴EI+1.5=7.5，解得EI=6.
∵，，
∴，
∵∠A是锐角，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得（米），
当DP=2PE时，
，
∴弧PH的长度（米）；
当PE=2PD时，
.，
∴弧PH的长度（米）．
【解析】【分析】（1）证明四边形DEFG的两组对边分别平行，来说明四边形DEFG是平行四边形；
（2）设，过点D、C分别作于点M，于点N，先证明四边形DMNC是矩形，从而可得、，再依据 斜坡的坡度为 ，可用x表示出DM，再利用勾股定理求得AD即x的值，就可求得DM，再利用HL证，从而可求BN的长，再利用线段的和差求得MN；
（3）过点E作于点J，交CD于点I，则，先求得EI，再正切求出，再用正弦求出DE，再根据点P为边的三等分点，分DP=2PE和PE=2PD两种情况讨论，并分别求出相应的弧PH的长．
（1）解：四边形DEFG是平行四边形．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：如图：过点D、C分别作，，垂足分别为M、N，
∵，
∴四边形DMNC是矩形，
∴，，
∵AD的坡度为，
∴，
设，则，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，，
在与中，，，
∴，
∴，
∴（米）．
（3）解：如图：过点E作于点J，交CD于点I，则，
∵雕塑的高为米，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∴（米），
∴或，
∴弧PH的长度（米）或（米）．
18．如图，扶梯AB的坡度为4：3，滑梯CD的坡度为1：2．设AE＝30dm，BC＝50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
【答案】解：∵扶梯AB的坡度为4：3，∴，
∵AE＝30dm，∴BE＝40dm，
由勾股定理得：AB＝＝50（dm），
由题意得，CF＝BE＝40dm，
∵滑梯CD的坡度为1：2，∴，
∴DF＝80dm，
∴CD＝（dm），
∴她经过的总路程为：（100+）dm，
答：她经过的总路程为（100+）dm．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB和CD的长，再利用线段的和差求出她经过的总路程即可.
19．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28≈0.47，cos28≈0.88，tan28≈0.53】
【答案】解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，
易得四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，
在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，
∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，
∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），
答：操作平台C离地面的高度为7.3m．
【解析】【分析】作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，根据矩形的性质得到EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，则∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，再根据正弦函数得到CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，最后根据CE=CF+EF即可求解。
20．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：
∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．
请你计算出这片水田的面积．
（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376， ≈1.732）
【答案】解：作CM⊥BD于M，如图所示：
∵∠A=90°，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AB=400m，
∴AD= AB=200 m，
∴△ABD的面积= ×200×200 =20000 （m2），
∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，
∴CM=BC sin54°=300×0.809=242.7m，
∴△BCD的面积= ×400×242.7=48540（m2），
∴这片水田的面积=20000 +48540≈83180（m2）．
【解析】【分析】作CM⊥BD于M，由含30°角的直角三角形的性质求出BD，由勾股定理求出AD，求出△ABD的面积，再由三角函数求出CM，求出△BCD的面积，然后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，由含30°角的直角三角形的性质，三角函数的运用；熟练掌握勾股定理，由三角函数求出CM是解决问题的关键．
21．如图，在港口A处的正东方向有两个相距 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东 方向航行至D处， 在B、C处分别测得 ， 求轮船航行的距离AD (参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：如图，过点D作 ，垂足为H
在 中，
在 中，
在 中，
（km）
因此，轮船航行的距离 约为
【解析】【分析】过点D作 ，垂足为H，通过解 和 得 和 ，根据 求得DH，再解 求得AD即可.
22．如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为37°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB和楼房MN的高度．
（ ， ， ， ，结果精确到0.1m）
【答案】解：在Rt△CDN中，∵tan30°= ，∴CD=tan30° DN=5 ≈8.65，∵∠CBD=37°，∴BD= ，∴BN=DN+BD=11.53+15=26.53，在Rt△ABN中，tan30°= ，∴AB=tan30° BN= ×26.53≈15.3（米），在Rt△MNB中，MN=BN tan37°=0.75×26.53≈19.9（米）∴树高AB是15.3米，楼房MN的高度是19.9米
【解析】【分析】利用解直角三角形，求出CD、BD的长，就可得出BN的长，再在Rt△ABN中，利用解直角三角形求出AB的长，然后利用MN=BN tan37°，可得出答案。
23．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
【答案】（1）解：作BH⊥PQ于点H．在Rt△BHP中，
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260，
∴本次台风会影响B市．
（2）解：如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2 =200，
∴台风影响的时间t= =5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
【解析】【分析】（1）作BH⊥PQ于点H．在Rt△BHP中，由PB长和∠BPQ的度数即可求出BH的长，据此即可判断；
（2）若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束，在Rt△P1HB中由BH及P1B的长利用勾股定理可得P1H的长，再根据等腰三角形三线合一可知P1P2长，据此即可求得B市受台风影响的时间．
24．如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连结BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°.
（1）若∠BDC=90°，以 AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB= 90°，∠EBA = 30°，连结DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 .
（2）如图2，在（1）的条件下，若 DE⊥AB，AB=-4，AC=2，求 BC的长.
【答案】（1）
（2）解：延长DE交AB于F，如图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：；
【分析】（1）先证明得到进而可证明即可得到进而即可求解；
（2）延长DE交AB于F，利用已知条件和三角函数求出EF和AF得长度，进而得到BF的长度，结合（1）中求出DE的长，然后在中，利用勾股定理求出BD得长度，最后利用相似三角形的性质得到进而即可求解.
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点B运动．以点P为顶点，在AB的上方作正方形PQMN，且PQ∥AC，PQ＝1．设点P运动的时间为t（秒），正方形PQMN与△BCD重叠部分图形的面积为S（平方单位）．
（1）CD的长是 ；
（2）当点Q落在△BCD的边上时，求t的值；
（3）当正方形PQMN与△BCD重叠部分图形不是四边形时，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）
（2）解：分两种情况：
①当Q在CD上时，如图1，
Rt△ACD中，，
∵PQ∥AC，
∴，即，
解得：；
②当Q在边BC上时，如图2，
∵PQ∥AC，
∴，即，
解得：；
综上，点Q落在△BCD的边上时t的值是；
（3）解：①当时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是三角形EQF，如图3，
∵PQ∥AC，
∴，即，
∴PF＝3﹣，
∴FQ＝1﹣PF＝1﹣3+＝﹣2，
∵FQ∥AC，
∴∠EFQ＝∠ACD，
∵∠Q＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△EFQ，
∴，即，
∴EQ＝
∴；
②当P在点D的右侧时，点M在CD上，如图4，
∵AC∥MN∥PQ，
∴∠ACD＝∠NMG，
∴tan∠ACD＝tan∠NMG，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图5，当N在CD上时，
∵cos∠DPN＝cos∠ACD，
∴，
∴，
∴，
当时，正方形PQMN与△BCD重叠部分图形是五边形PQMHG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵tan∠ACD＝tan∠NHG，
∴，
∴，
∴S＝1﹣S△GHN
＝1﹣ NH NG
＝
＝；
综上，S与t之间的函数关系式为：．
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【分析】（1）先由勾股定理求出AB的长，再利用等面积法求出CD的长即可；
（2）分两种情况：当点Q落在CD上时，当点Q落在BC上时，分别用平行线分线段成比例求解即可；
（3）分两种情况：当时，当时，先确定重合部分的图形的形状，再根据相似三角形的判定和性质求解即可．
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