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专题5.3 一次函数的意义
1.能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念， 体会一次函数的意义，发展抽象能力；
2.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数；
3.能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中“k”、“b”的实际意义；
4.会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式；
5.在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2 TOC \o "1-4" \h \z \u
考点01 正比例函数的辨别 2
考点02 利用正比例函数的概念求参数 3
考点03 一次函数函数的辨别 4
考点04 利用一次函数的概念求参数 6
考点05 待定系数法求函数解析式 7
考点06 一次函数（正比例函数）的坐标特征 8
考点07 几何图形与一次函数的解析式 9
考点08 新定义与一次函数的解析式 13
模块3：培优训练 16
1）一次函数与正比例函数的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。k为比例系数。
故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）求一次函数解析式（待定系数法）
点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
考点01 正比例函数的辨别
例1.．（25-26八年级上·浙江·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：正比例函数的形式为（为常数，且），
A、，符合，且，是正比例函数，选项符合题意；
B、，不符合，不是正比例函数，选项不符合题意；
C、，的指数为，不是，不是正比例函数，选项不符合题意；
D、，有常数项，不是正比例函数，选项不符合题意；故选：A．
变式1.（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ 正比例函数需满足，
A、，不符合形式，不是函数关系，不符合题意；
B、，符合形式，符合题意；
C、，的次数为 2，不为1，不符合题意；
D、，的次数为，不为1，不符合题意．故选：B．
变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积与边长之间的关系
B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系
C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系
D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系
【答案】C
【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意；
B、，不是正比例函数，不符合题意；C、，是正比例函数，符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意；故选C．
变式3.（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：正比例函数的形式为，
A．含有常数项，不是正比例函数；B．是反比例函数，不是正比例函数；
C．符合形式，且，是正比例函数；
D．是二次函数，不是正比例函数．故选C．
考点02 利用正比例函数的概念求参数
例1.（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为
【答案】1
【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：1．
变式1.（24-25八年级上·山东济南·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数．
【答案】3
【详解】解：∵函数是正比例函数，∴，∴，故答案为：3．
变式2.（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵函数是正比例函数，
∴且解得且∴．故选：C．
变式3.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是正比例函数，则 ．
【答案】
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，，解得，故答案为：．
考点03 一次函数函数的辨别
例1.（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：①是一次函数；②不是一次函数；③不是一次函数；
④是一次函数；⑤，若则不是一次函数，因此不一定是一次函数；
⑥不是一次函数；∴一定是一次函数的只有①和④，共2个；故选C．
变式1.（25-26八年级上·浙江·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】∵ 一次函数的一般形式为 （），
① ，符合定义；② ，分母含自变量 ，不是整式，不符合定义；
③ ，符合定义；④ ，符合定义；
⑤ ，最高次项为2次，不符合定义；∴ 是一次函数的有①、③、④，共3个.故选：C.
变式2.（25-26八年级上·山西晋中·期中）下列四个等式中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意；
C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意；
D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意．故选：C．
变式3.（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（ ）
A．
… …
… …
B．
x … 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
C．
x … 1 2 3 …
y … 4 6 12 …
D．
x … 0 1 2 …
y … 0 1 8 …
【答案】A
【详解】解：A、y随着x的增大而减小，且自变量每增加1，函数值减小3，均匀变化，是一次函数，符合题意；B、y随着x的增大先减小后增大，不是一次函数，不符合题意；
C、y随着x的增大先增大后减小再增大，不是一次函数，不符合题意；
D、y随着x的增大而增大，但变化不均匀，不是一次函数，不符合题意；故选：A．
考点04 利用一次函数的概念求参数
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：函数是一次函数，
且，解得．故选：A．
变式1.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵函数 是一次函数，
∴且，解得，故答案为：．
变式2.（25-26八年级上·江苏·课后作业）若函数是一次函数，则 ．
【答案】2
【详解】解：一次函数的一般形式为，其中x的指数为1，
给定函数，令x的指数，解得，
当时，函数为，符合一次函数定义，故答案为：2．
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ．
【答案】3
【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴，解得．故答案为：3．
考点05 待定系数法求函数解析式
例1.（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意，∵“帅”位于点，∴“马”，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∴，∴．∴．故选：A．
变式1.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知与成正比，当时，，则与的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：设y与x的函数关系式为．当时，，代入得，解得．
因此y与x的函数表达式为．故答案为：．
变式2.50．（25-26八年级上江苏·课后作业）已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，解得，
∴ 这个一次函数表达式是．故答案为：．
变式3.（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是 ．
【答案】
【详解】解：设，当时，，代入得，即，解得，
所以与之间的函数表达式为．故答案为：．
变式4.（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式．
【答案】
【详解】解：设直线的函数表达式为．因为直线经过点，所以．
因为直线与轴正半轴交于点，所以，解得，
所以直线的函数表达式为．
考点06 一次函数（正比例函数）的坐标特征
例1.（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设这条直线表达式为，
则两式相减得，∴只有D符合题意，故选：D．
变式1.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：∵点在直线上，∴，∴，故选：B．
变式2.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设点P的坐标为，则，∴，
代入，得．∴点P始终在直线上．故选：D．
变式3.（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，，故本选项不符合题意．故选C．
考点07 几何图形与一次函数的解析式
例1.（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过作轴于，过作轴于．
是含角的直角三角尺，，，，，
又，．
在和中，，，
，，，，，∴．
设直线的解析式为，把，代入得：
两式相减得：，，把代入得：，，
直线的解析式为，故选C ．
变式1.（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：过点C作于D，如图，
是等腰直角三角形，，，
∵，∴，∴，
直线，当时，，，，， ，
∵关于轴对称的，∴，
把点代入直线得：，解得：．故选：A．
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ．
【答案】或
【详解】解：①点P在点A右侧，如下图所示，过点作，，
设直线的解析式是，把点的坐标代入，
可得：，解得：，直线的解析式是，
当时，可得：，解得：，点坐标是．
②点P在点A左侧，如图所示：交于点，
，，点在直线上，设，
当时，，，得，解得，
，，设直线为，分别代入，，
得，解得，直线为，
时，，，，故答案为：或．
变式3.（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是、、、，将沿对角线翻折得到，边交x轴于点E．则点E的坐标是 ，点D的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是、、、，
∴，，，∴为等腰三角形，
设，则，∴，即，解得：，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴设直线解析式为，
将，代入中得：，解得：，
∴直线解析式为：，∵，，
设点的纵坐标为，∴，解得：，
将代入中得：，∴，故答案为：①，②．
考点08 新定义与一次函数的解析式
例1.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数图像经过点，我们就称此函数为“族函数”，例如：正比例函数经过点，所以正比例函数就是“族函数．”
(1)已知正比例函数是“族函数”，则的值是_____；
(2)若一次函数是“族函数”，且经过点，求一次函数的解析式．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：把代入得，解得；故答案为：；
（2）解：∵一次函数 是“族函数”，且经过点，
∴，解得，∴一次函数解析式为．
变式1.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：如果函数图象经过点，我们就称此函数作“族函数”．例：正比例函数的图象经过点，则正比例函数是“族函数”，已知一次函数（为常数，）是“族函数”，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：将点 代入 ，
得 ，即 ，整理得 ，
移项得 ，解得 ，故答案为 ．
变式2.（24-25八年级下·湖南常德·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是．
(1)①点的“美好点“坐标是 _______ ；②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 ____ ；
(2)若点的“美好点”在直线上，求a的值．
【答案】(1)①；②；(2)a的值为．
【详解】（1）解：①点的“美好点“坐标为；故答案为：；
②设P点坐标为，根据题意得，，
解得，，∴点P的坐标为；故答案为：；
（2）解∶ 点的“美好点”为，
把代入中得，解得，即a的值为．
变式3.（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：(1)点与点_____是一对“对偶点”．
(2)判断：点的对偶点__________函数的图像上（填写“在”或“不在”）；
(3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系；
(4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件．
【答案】(1)(2)不在(3)点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3(4)
【详解】（1）解：由题意得点与点是一对“对偶点”；
（2）解：由题意得，点的对偶点为，在中，当时，，
∴点不在直线上，∴点的对偶点不在直线上；
（3）解：∵点在直线上运动，∴可设，
∴的对偶点的坐标为，
∴点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系为点B的横坐标等于点B的纵坐标的两倍加3；
（4）解：设点是一次函数的图像上一对“对偶点”，
∵关于的一次函数是“对偶函数”，
∴点是一次函数的图像上一点，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵点和点不重合，∴，
∴，∴，∴，∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A．含常数项，不是正比例函数；
B．中的次数为2，不是正比例函数；
C．即（），是正比例函数；
D．中的次数为，不是正比例函数；故选：C．
2．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系
【答案】B
【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式，故选B．
3.（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）
①②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①，符合形式（），是一次函数；
②，即，x的指数为，不是一次函数；
③，即，符合形式（），是一次函数；
④，x的指数为，是二次函数，不是一次函数．
综上可知，一次函数有①和③，共2个．故选：B．
4．（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴一次项系数和常数的值分别是，故选：C．
5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【详解】解：∵函数是关于x的一次函数，
∴，且，∴．故选：C．
6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知直线经过点，则k的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】解：将点代入得，
，解得, 故选： ．
7．（24-25·福建八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（ ）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
【答案】C
【详解】解法一：代入检验只有选项C满足 解法二：正比例函数过原点故选：C．
8．（24-25·河北·八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】A
【详解】解：∵是正比例函数，∴，解得，故选：A．
9．（24-25·江苏八年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．36 D．12
【答案】C
【详解】解：将P、Q两点坐标代入一次函数解析式得：，即．
∵，∴将代入上式得：．
故选：C．
10．（24-25·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，
∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．
又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=-2．
∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏·课后作业）（1）正比例函数，若当时，，则它的函数表达式为 ；（2）已知与x成正比例，当时，，则y与x的函数表达式为 ；
（3）已知一次函数中，若当时，；当时，，则 ， ．
【答案】 2
【详解】解：（1）把代入，
得，解得：，故答案为：①．
（2）∵与x成正比例，设
把代入得，，
∴，，故答案为：②．
（3）把和代入，
得解得，故答案为：③，④．
12．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ．
【答案】8
【详解】解：∵点 在函数 的图像上，∴ ，∴ ，
又 ∵ ，∴ ，故答案为：8.
13．（2025八年级上·江苏·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”，
设这个正比例函数为，则有，，
由，可得：，由，可得：，．故答案为：．
14．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ．
【答案】
【详解】解：由折叠可知：
A，B两点的坐标分别是，，，
，，设，则，
在中，，解得，，设直线的解析式为，
把点A的坐标和M点坐标代入得：，解得，．故答案为：．
15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，当与轴交点在负半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，则，
∴，，，∴，，
∵，∴，∴，，
由直线得，当时，；当时，，
∴，，∴，，∴，∴，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，∴直线的函数表达式为；
如图，当与轴交点在正半轴时，过作交于点，过作轴交轴于点，则，
∴，，，∴，，
∵，∴，∴，，
由直线得，当时，；当时，，
∴，，∴，，∴，∴，
设直线的函数表达式为，∴，解得：，∴直线的函数表达式为；
综上，直线的函数表达式为或；故答案为：或．
16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为 ．
【答案】
【详解】解：如图：如图：过点C作轴，垂足为D，
∵，，∴，
∵等腰，
∴，
∴，∴，∴，∴，∴，
设直线解析式为
则，解得，∴设BC直线解析式为．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的关系式；(2)它的图象经过点，求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设，
∵时，，∴，解得：，
∴，即：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：∵它的图象经过点，∴，解得：．
18．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，．
(1)求点C的坐标．(2)求直线的解析式．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解∶ ∵，，∴，，
∵，∴，∴，
又点C在y轴正半轴上，∴；
（2）解：设直线解析式为，
则，解得，∴．
19．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线l和x轴交于，和y轴交于．
(1)求直线l的表达式；(2)在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：设直线l的表达式为，
∵直线l和x轴交于，和y轴交于，
∴，解得：，∴直线l的表达式为；
（2）解：∵在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，∴点P的纵坐标为10，
当时，，解得：，∴点P的坐标为．
20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点．
(1)直线的函数表达式为_____．(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标．
【答案】(1) (2)点C的坐标为或或．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，
把，代入，得：，解得，∴；
（2）解：∵，，∴，，
当时，且点在点的上方，如图：
∴，，即轴，∴，即，∴；
当时，且点在点的上方，如图：作轴于点，
∴，，∴，∴，
当时，∴；
当时，且点在点的下方，如图：同理，；
综上，点C的坐标为或或．
21．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，．
(1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标．
【答案】(1)2；；0；3；(2)(3)或
【详解】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，∴，
又∵点A在原点左侧，∴；∵，∴，即；
（2）解：设直线的函数表达式为，由（1）可得，
∴，∴，∴直线的函数表达式为；
（3）解：∵，，∴，
∵，∴，∴，
当点M在点C的左侧时，则点C为的中点，
∵，，∴；
当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点，
∴的中点坐标为，∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
22．（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：．(1)写出y与x的函数关系式；(2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
【答案】(1)(2)储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度
【详解】（1）每分钟加水量为（升），则，
∴y与x的函数关系式为．
（2）当时，解得，当时，，
∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32摄氏度．
23．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为．
(1)点的“关联点”坐标为_____；(2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：点，点的“关联点”坐标为，即，故答案为：；
（2）当时，点的“关联点”为，
点在函数的图象上，
，，此时，不符合题意；
当时，点的“关联点”为，
点在函数的图象上，
，；点 综上所述：点
24．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小明同学经过思考，给出以下解答：在图1中过作于点.
是的中线，，.
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.
（2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为.
【理解内化】如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____；
【综合应用】如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式．
【拓展延伸】如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由．
【答案】[理解内化]；[综合应用]；[拓展延伸] 直线存在，表达式为：
【详解】[理解内化] 解：为边中点，
，；故答案为：；
[综合应用] 设线段的中点为，如图：
，，，即，
直线平分面积，在直线上，
设直线的表达式为，，解得，直线的表达式为；
[拓展延伸] 直线存在，理由如下： 延长交轴于，设直线交轴于，如图：
设直线函数表达式为，
把，代入得：，解得，
直线函数表达式为，令得，，
，，，，，
直线平分四边形面积，，，，，
设直线函数表达式为把，代入得：，
解得，直线函数表达式为．
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专题5.3 一次函数的意义
1.能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念， 体会一次函数的意义，发展抽象能力；
2.认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数；
3.能举出一次函数（包括正比例函数）的实例，初步体会其中“k”、“b”的实际意义；
4.会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式；
5.在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2 TOC \o "1-4" \h \z \u
考点01 正比例函数的辨别 2
考点02 利用正比例函数的概念求参数 3
考点03 一次函数函数的辨别 4
考点04 利用一次函数的概念求参数 6
考点05 待定系数法求函数解析式 7
考点06 一次函数（正比例函数）的坐标特征 8
考点07 几何图形与一次函数的解析式 9
考点08 新定义与一次函数的解析式 13
模块3：培优训练 16
1）一次函数与正比例函数的概念
一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。k为比例系数。
故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）求一次函数解析式（待定系数法）
点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。
图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。
考点01 正比例函数的辨别
例1.．（25-26八年级上·浙江·期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列式子中，表示是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ）
A．正方形的面积与边长之间的关系
B．等腰三角形的周长为，底边长与腰长之间的关系
C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价（元）与购买的数量（支）之间的关系
D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间与速度之间的关系
变式3.（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列函数是正比例函数的是（）
A． B． C． D．
考点02 利用正比例函数的概念求参数
例1.（25-26九年级上·福建福州·期中）已知函数是关于的正比例函数，则的值为 。
变式1.（24-25八年级上·山东济南·月考）已知函数，当 时，是的正比例函数．
变式2.（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是正比例函数，则 ．
考点03 一次函数函数的辨别
例1.（25-26八年级上·山东青岛·期中）下列y与x之间的函数关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式1.（25-26八年级上·浙江·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
变式2.（25-26八年级上·山西晋中·期中）下列四个等式中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（ ）
A．
… …
… …
B．
x … 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
C．
x … 1 2 3 …
y … 4 6 12 …
D．
x … 0 1 2 …
y … 0 1 8 …
考点04 利用一次函数的概念求参数
例1.（25-26八年级上·安徽淮北·月考）已知函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
变式1.（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是一次函数，则的值为 ．
变式2.（25-26八年级上·江苏·课后作业）若函数是一次函数，则 ．
变式3.（25-26八年级上·广东深圳·期中）是关于x的一次函数，则 ．
考点05 待定系数法求函数解析式
例1.（25-26八年级上·全国·期中）中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知与成正比，当时，，则与的函数表达式为 ．
变式2．（25-26八年级上江苏·课后作业）已知一次函数表达式，且当时，；当时，，则这个一次函数表达式是 ．
变式3.（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是 ．
变式4.（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知直线经过点，与轴正半轴交于点，求直线的函数表达式．
考点06 一次函数（正比例函数）的坐标特征
例1.（25-26八年级上·山东济南·期中）已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限．若点A关于x轴的对称点在直线上，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
变式2.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，无论a取何值，点P一定落在下列哪条直线上（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
考点07 几何图形与一次函数的解析式
例1.（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图，将含角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，已知点的坐标为，则直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于A，两点，以为斜边在轴右侧作等腰直角三角形．若作关于轴对称的，点的对应点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2.（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ．
变式3.（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是、、、，将沿对角线翻折得到，边交x轴于点E．则点E的坐标是 ，点D的坐标是 ．
考点08 新定义与一次函数的解析式
例1.（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果函数图像经过点，我们就称此函数为“族函数”，例如：正比例函数经过点，所以正比例函数就是“族函数．”
(1)已知正比例函数是“族函数”，则的值是_____；
(2)若一次函数是“族函数”，且经过点，求一次函数的解析式．
变式1.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：如果函数图象经过点，我们就称此函数作“族函数”．例：正比例函数的图象经过点，则正比例函数是“族函数”，已知一次函数（为常数，）是“族函数”，则的值为 ．
变式2.（24-25八年级下·湖南常德·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是．
(1)①点的“美好点“坐标是 _______ ；②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是 ____ ；
(2)若点的“美好点”在直线上，求a的值．
变式3.（25-26九年级上·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，若点与点满足，，且点与点不重合，则称点与点为一对“对偶点”，例如点与点即为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题：(1)点与点_____是一对“对偶点”．
(2)判断：点的对偶点__________函数的图像上（填写“在”或“不在”）；
(3)当点在直线上运动时，求点的对偶点的横、纵坐标满足的数量关系；
(4)若关于的一次函数是“对偶函数”，请求出满足的条件．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系
3.（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列函数关系中表示一次函数的有（ ）
①②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26八年级上·山东济南·月考）在一次函数中，一次项系数和常数的值分别是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知直线经过点，则k的值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
7．（24-25·福建八年级期中）下列函数的图像经过原点的是（ ）
A．y＝﹣2x+2 B． C．y＝4x D．y＝x2+5
8．（24-25·河北·八年级期中）若函数是正比例函数，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
9．（24-25·江苏八年级专题练习）如图，一次函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．36 D．12
10．（24-25·江苏·八年级专题练习）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏·课后作业）（1）正比例函数，若当时，，则它的函数表达式为 ；（2）已知与x成正比例，当时，，则y与x的函数表达式为 ；
（3）已知一次函数中，若当时，；当时，，则 ， ．
12．（25-26八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，且，则代数式的值为 ．
13．（2025八年级上·江苏·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ．
14．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图所示，A，B两点的坐标分别是，，M是y轴上的一点，沿折叠，点B刚好落在x轴上点处，则直线的解析式为 ．
15．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）直线与轴，轴分别交于点，，直线经过点，与轴交于点，且，则直线的函数表达式为 ．
16．（24-25八年级下·河南商丘·期末）如图，点，，以线段为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形，则边所在直线的函数解析式为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的关系式；(2)它的图象经过点，求m的值．
18．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知，，点C在y轴正半轴上，．
(1)求点C的坐标．(2)求直线的解析式．
19．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，直线l和x轴交于，和y轴交于．
(1)求直线l的表达式；(2)在x轴上方的直线l上有一点P，且点P到x轴的距离为10，求出点P的坐标．
20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点．(1)直线的函数表达式为_____．(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标．
21．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，．
(1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______；
(2)求直线的函数表达式；(3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标．
22．（25-26八年级上·河北张家口·期中）某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水，已知加冷水量y（升）和时间x（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度t（摄氏度）和x（分钟）的关系：．(1)写出y与x的函数关系式；(2)求储水机中的水加满时，储水机内水的温度．
23．（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为．
(1)点的“关联点”坐标为_____；(2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标．
24．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）【预备知识】
（1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？
小明同学经过思考，给出以下解答：在图1中过作于点.
是的中线，，.
据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积.
（2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，，设点为线段的中点，则点的坐标为.
【理解内化】如图2，在中，为边中点，连接，若，则_____；
【综合应用】如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，过点有一条直线将面积平分，求直线的表达式．
【拓展延伸】如图4，在平面直角坐标系中，四边形为小区的一块花园用地，其中为原点，，，，为了方便人们观赏，现计划过点修一条小路(小路宽度忽略不计)，并且可将四边形分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的函数表达式，若不存在，请说明理由．
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