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七年级上册期末模拟预测（2）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：浙教版七年级上册第1—6章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25重庆市北碚区七年级期中）的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】C
【详解】解：的绝对值是2024，故选：C．
2．（24-25七年级上·湖北·期中）2024年3月14日（国际圆周率日），某国际数据机构公布最新的圆周率小数点后位数，已经计算到小数点后约105万亿位．据悉，这次计算历时75天，使用了36个固态硬盘，储存了大约100万数据．素材中出现的105万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：105万，故选：C．
3．（2025·浙江·校考一模）如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：A．
4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．的平方根是1 C．是的立方根 D．的立方根是
【答案】C
【详解】解：A、没有平方根，故选项错误，不符合题意；
B、的平方根是，故选项错误，不符合题意；
C、是的立方根，故选项正确，符合题意；
D、的立方根是，故选项错误，不符合题意．故选：C．
5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、，，该选项变形正确，不符合题意；
、，当时，；当时，无意义，该选项变形错误，符合题意；
、，，该选项变形正确，不符合题意；
、，∴，，该选项变形正确，不符合题意；故选：．
6．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．2不是单项式 B．的系数是6
C．的系数是 D．的系数是，次数是3
【答案】D
【详解】解：A、2是单项式，故本选项错误，不符合题意；
B、的系数是，故本选项错误，不符合题意；
C、的系数是，故本选项错误，不符合题意；
D、的系数是，次数是3，故本选项正确，符合题意；故选：D
7．（25-26七年级上·山西晋中·期中）重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（ ）
A．它有9个顶点 B．它有6条棱
C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同
【答案】C
【详解】解：有6个顶点，故A选项错误，不符合题意；
有9条棱，故B选项错误，不符合题意；
它的所有侧棱长都相等，故C选项正确，符合题意；
它的上、下底面形状相同，故D选项错误，不符合题意；故选：C．
8．（23-24七年级上·成都·期末）如图，将长方形沿折叠，使得点、点、点E在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据折叠的性质，得，，
∵，∴，∴，故选：C．
9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）题目：“在数轴上，把原点记作，表示数的点记作，对于数轴上任意一点（不与点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点，，，求线段的长．”甲答：，乙答：，丙答：，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙合在一起才正确 B．乙、丙合在一起才正确
C．甲、丙合在一起才正确 D．三人合在一起才正确
【答案】A
【详解】解：∵点O为原点（坐标0），点A坐标为2，点M的坐标为1．设点N的坐标为n，则特征值．
解方程：当时，，解得．当时，，解得．
当时，方程为，解得，不符合的条件，应舍去，∴点N的坐标为或．
点M坐标为1，若，则．若，则．
∴的长度为或，甲和乙的答案合在一起才正确．故选A．
10．（25-26七年级上·重庆·期中）对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作；……，以此类推，下列说法：
①；②当，时，化简后结果为；
③第（k为正整数）次操作后，；第（k为正整数）次操作后，．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】解：已知
第一次操作：，
第二次操作：，
第三次操作：，
第四次操作：，
第五次操作：，
第六次操作：，
观察得的规律是：，，
将代入得：计算得，故说法①正确；
当时，的系数：；
系数：；故，故②正确．
……
故第次操作后，（因交替项抵消），和为0，
第次操作后，和为，故③正确．
综上，①②③正确，共3个．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
【答案】
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入方程得．即．
合并同类项得．移项得．故答案为：．
12．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价 元．
【答案】200
【详解】解：设一套精装《红楼梦》原价为x元，
，
则一套精装《红楼梦》原价为200元，故答案为：200
13．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合．
【答案】3或6
【详解】解：，，．设点的运动时间为 ，
当时，，，根据题意得：，解得：；
当时，，，根据题意得：，解得：．
综上所述，当点出发或时，，两点重合．故答案为：3或6．
14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
【答案】256
【详解】根据例题操作可知：要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为，
根据定义可知，两边同时平方可得，所以p最大取．
对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时，
根据定义，两边同时平方得到，所以最大取16．
对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得，所以最大为256．
验证：对256进行如下操作：
∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：256．
15．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是 （用含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：由题意和图可知：从左边数第3条斜线的第1个数是：1；
从左边数第3条斜线的第2个数是：；
从左边数第3条斜线的第3个数是：；
从左边数第3条斜线的第4个数是：；
依次类推：从左边数第3条斜线的第个数是：；故答案为：．
16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
【答案】或
【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒；
∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：，
∵，∴，
当时：，
∴，，∴，∴，
∴，即：；
当，在上方时：如图，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
当，在下方时：如图2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算或化简：
(1)； (2)
(3) (4)
【答案】(1)(2)0(3)(4)(4)
【详解】（1）
．
（2）
；
（3）
；
（4）解：
；
18．（25-26七年级上·成都·期中）解下列方程：
(1)．(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得．
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）有五组整式①；②；③；④；⑤．
这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”．
(1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为，第二个整式为．
①直接写出的值：________；②请求出该“平称整式组”中的第三个整式；
(2)若（为常数）是一个“平移整式组”，求的值．
【答案】(1)①；②(2)
【详解】（1）解：①根据题意得，故答案为：4；
②；∴该“平移整式组”中的第三个整式；
（2）解：由题意得：
∵左边
，
∴，，，∴，，．
20．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 5 6 7 8
顶点数 6 8 b 12
棱数 9 a 15 18
初步探究：（1）填空：_____，_____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】（1）12；10；（2）；（3）12
【详解】解：（1）由题意得；
（2）由表格中的数据可得．
（3）∵多面体的面数比顶点数小8，
∴．∴，
∵该多面体一共有有30条棱，∴，
∴，即这个多面体的面数为12．
21．（24-25七年级上·广东广州·期中）水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）．
【答案】(1)， (2)9，19，25
(3)当时，共需要付费元；当时，共需要付费元；
【详解】（1）解：千克在“不超过10千克的部分”按6元千克收费，元；
第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），
元；故答案为：，；
（2）由小强买梨花了元可知，买梨的千克数不超过10千克，单价为6元/千克，
故小强购买梨千克；
由小强买梨花了105元可知，买梨的千克数超过10千克但不超出20千克，
故小强购买梨千克；
由小强买梨花了130元可知，买梨的千克数超出20千克，
故小强购买梨千克；故答案为：9，19，25；
（3）两次共购买50千克，且第一次购买的数量为a千克，第二次购买千克，
当，时，需要付费为：元，
当，时，需要付费为：元，
故当时，小强两次购买梨共需要付费元；
当时，小强两次购买梨共需要付费元；
22．（24-25七年级上·浙江·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元．
(1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？
(2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？
(3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．
【答案】(1)30天(2)60天
(3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元
【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程，
则，解得，
答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程．
（2）解：设共需y天才能完成此项工程，则．解得．
答：共需60天才能完成此项工程．
（3）解：甲完成工程所需费用为（万元），
乙完成工程所需费用为（万元）．
甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，
由题意得．解得．
所需费用为：万元．
答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元．
23．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）：数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．
例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____．数轴上表示数3和的两点距离为_____．
则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？
图1
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？
图2
⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？
图3
结论应用（填空）：①代数式的最小值是_____；②代数式的最小值是_____；
③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____．
④代数式的最小值是_____．
【答案】材料一：3；4；6；；； 材料二：点、点之间 点 点、点之间
结论应用：①．②．③，．④
【详解】解：探索材料1：数轴上表示数2和5的两点距离为，
数轴上表示数3和的两点距离为，
则的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离，
的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离，故答案为：3；4；6；；；；
探索材料2：①当点P在点A左边时，；
当点P在点A、点之间时，；当点P在点A右边时，．
∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．故答案为：点A、点B之间；
②当点P在点A左边，，
当点P在点A、点B之间时，，
当点P在点C、点B之间时，，
当点P在点C右边，，
∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；故答案为：点；
③当点P在点A左边时，，
当点P在点A、点B之间时，，
当点P在点C、点B之间时，，
当点P在点C、点D之间时，，
当点P在点D右边时，，
∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小．故答案为：点B、点C之间；
结论应用（填空）：①表示点数轴上表示数到数和的距离之和，
由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，故答案为：．
②表示点数轴上表示数到数三点距离之和，
由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
③表示点数轴上表示数到数四点距离之和，
由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为，此时的最大值是．故答案为：，．
④表示点数轴上表示数到数共个点距离之和，
由探究材料2得奇数个距离之和的最小值时，的值为正中间的那一个数，即当时，有最小值，最小值为，
故答案为：．
24．（24-25七年级上·江西赣州·期末）【特例感知】（1）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点．
①若，则______；（直接填写答案）；②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由．
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和，若，，求．
【答案】（1）①；②的长度不会发生变化，；（2）
【详解】解：（1）点和点分别是的中点，
，，
故答案为：．
（2）的长度不会发生变化．
点和点分别是的中点，，，
（2）射线和射线分别平分和，
，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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七年级上册期末模拟预测（2）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：浙教版七年级上册第1—6章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25重庆市北碚区七年级期中）的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
2．（24-25七年级上·湖北·期中）2024年3月14日（国际圆周率日），某国际数据机构公布最新的圆周率小数点后位数，已经计算到小数点后约105万亿位．据悉，这次计算历时75天，使用了36个固态硬盘，储存了大约100万数据．素材中出现的105万用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江·校考一模）如图是由七个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是的平方根 B．的平方根是1 C．是的立方根 D．的立方根是
5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）已知，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．2不是单项式 B．的系数是6
C．的系数是 D．的系数是，次数是3
7．（25-26七年级上·山西晋中·期中）重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（ ）
A．它有9个顶点 B．它有6条棱
C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同
8．（23-24七年级上·成都·期末）如图，将长方形沿折叠，使得点、点、点E在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）题目：“在数轴上，把原点记作，表示数的点记作，对于数轴上任意一点（不与点重合），将线段与线段的长度之比定义为点的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点，，，求线段的长．”甲答：，乙答：，丙答：，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙合在一起才正确 B．乙、丙合在一起才正确
C．甲、丙合在一起才正确 D．三人合在一起才正确
10．（25-26七年级上·重庆·期中）对两个整式，，进行如下操作：记，称为第一次操作；记，称为第二次操作；记，称为第三次操作；记，称为第四次操作；……，以此类推，下列说法：
①；②当，时，化简后结果为；
③第（k为正整数）次操作后，；第（k为正整数）次操作后，．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是
12．（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）一套精装《红楼梦》原价若干元，如果每套降价8元出售，销量就增加，收入增加，一套精装《红楼梦》原价 元．
13．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合．
14．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
15．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）1261年，我国南宋数学家杨辉（13世纪）在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”中蕴含了许多数字的规律，按照它的构造规则可知：从左边数第3条斜线的第个数是 （用含的代数式表示）
16．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）计算或化简：
(1)； (2)
(3) (4)
18．（25-26七年级上·成都·期中）解下列方程：
(1)．(2)．
19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）有五组整式①；②；③；④；⑤．
这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”．
(1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为，第二个整式为．
①直接写出的值：________；②请求出该“平称整式组”中的第三个整式；
(2)若（为常数）是一个“平移整式组”，求的值．
20．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 5 6 7 8
顶点数 6 8 b 12
棱数 9 a 15 18
初步探究：（1）填空：_____，_____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．
21．（24-25七年级上·广东广州·期中）水果批发市场梨的价格如下表：
购买梨（千克） 单价
不超过10千克的部分 6元/千克
超过10千克但不超出20千克的部分 5元/千克
超出20千克的部分 4元千克
(1)小明第一次购买梨5千克．需要付费________元；小明第二次购买梨x千克（x超过10千克但不超过20千克），需要付费________元（用含x的式子表示，并化成最简形式）；
(2)若小强买梨花了54元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了105元，则小强购买梨________千克；若小强买梨花了130元，则小强购买梨________千克；
(3)小强分两次共购买50千克梨，且第一次购买的数量为a千克，请问小强两次购买梨共需要付费多少元？（用含a的式子表示）．
22．（24-25七年级上·浙江·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元．(1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？(2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？(3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费．
23．（25-26七年级上·辽宁锦州·期中）探索材料1（填空）：数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．
例如数轴上表示数2和5的两点距离为____．数轴上表示数3和的两点距离为____．
则的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
的意义可理解为数轴上表示数_____和_____这两点的距离；
探索材料2（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在_____才能使到的距离与到的距离之和最小？
图1
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，，，要在流水线上设一个材料供应点在三个加工点输送材料、材料供应点应设在_____才能使到、、三点的距离之和最小？
图2
⑧如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点、、、．要在流水线上设一个材料供应点往四个加工点输送材料．材料供应点应设在_____，才能使到、、、四点的距离之和最小？
图3
结论应用（填空）：①代数式的最小值是___；②代数式的最小值是____；
③代数式的最小值是_____，此时的最大值是_____．
④代数式的最小值是_____．
24．（24-25七年级上·江西赣州·期末）【特例感知】（1）如图1，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点．
①若，则______；（直接填写答案）；②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由．
【知识迁移】（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和，若，，求．
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