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第6章 图形的初步认识 章末检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）。
1．（25-26七年级上·陕西·校考期中）下列几何体中是三棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据三棱锥的定义，选项D中几何体由四个三角形组成，是三棱锥，故选：D．
2．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（ ）
①直线经过点三点，并且点在点与之间；（）
②点在线段的反向延长线上；（）
③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（）
④直线相交于点．（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③
【答案】A
【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确；
②点在线段的反向延长线上，，正确；
③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确；
④直线相交于点，，正确；故选：A．
3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
B．五棱柱有10个顶点
C．在中国地图上，西平可被看作一个点
D．沿直角三角形某条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆锥
【答案】A
【详解】解：A、用两个钉子固定木条的原理是“两点确定一条直线”，而非“两点之间，线段最短”，后者用于描述两点间的最短路径，而前者强调固定木条时直线的唯一性，因此A错误；
B、五棱柱上下底面均为五边形，各有5个顶点，共10个顶点，正确；
C、地图中城市可抽象为点（忽略实际大小，仅表位置），符合点定义，正确；
D、直角三角形绕直角边旋转一周，另一条直角边形成圆，斜边形成母线，几何体为圆锥，正确；
故选：A．
4．（24-25七年级上·四川成都·期末）用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图：①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④
【答案】B
【详解】解：根据尺规作一个角等于已知角的步骤可知，正确的排序如下①③②⑤④，故选：B．
5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设这个角为，∵余角为，∴，∴．∵，∴．
6．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．过两点有一条或两条直线 B．连接两点的线段叫这两点的距离
C．两点之间，直线最短 D．直线和直线表示同一条直线
【答案】D
【详解】解：A、经过两点有一条直线，并且只有一条直线，则此项错误，不符合题意；
B、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，则此项错误，不符合题意；
C、两点之间线段最短，则此项错误，不符合题意；
D、直线和直线表示同一条直线，则此项正确，符合题意；故选：D．
7.（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵线段，是中点，∴，
∵点在上，且，∴，
∴．故选：C．
8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（ ）
A．与互为补角 B．平分
C．图中以为边的角有5个 D．
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴，∴与互为补角，故A不符合题意；
∵，，
∴，∴平分，故B不符合题意；
∵以为边的角为：，，，，，，共6个，
∴C符合题意；
∵，，，
∴．故D不符合题意．故选：C
9．（24-25七年级上·河北·校考期中）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【详解】A：∵M、N分别是、的中点，∴，，
∵C为上任意一点，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A错误，不符合题意；
B：当C为中点时，，∴，∴，
∴B错误，不符合题意；
C：∵，∴，∴，∴C正确，符合题意；
D：∵，∴，∴，∴D错误，不符合题意；故选：C．
10．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：①，，，故正确；
②由题意可得：，
，，即，
，，即射线经过刻度线160，故错误；
③如图：，，
，和互为余角，射线经过刻度线90，，
和，和，和，和，和互为余角，
即共有6对角互为余角，故正确；正确的有①③，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m．
【答案】90
【详解】解：如图，
根据题意，得，，，，，
∴，∴C、A、B三点在同一条直线上，
∴，即B、C两点之间的距离是，故答案为：90．
12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，，
∴，即，解得：．故答案为：．
13．（24-25七年级上·北京昌平·期末）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁，中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片．如图，车次是从北京到上海的高铁，仅需4小时35分钟即可到达，其经停站为北京南—济南西—南京南—无锡东—上海虹桥，则本次高铁二等座的车票共有 种．
【答案】10
【详解】解：从北京到上海，共有5个站点，每两个站点有一种车票，
∴本次高铁二等座的车票共有（种）．故答案为：10．
14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义，“冲浪小组”用边长为的正方形制作七巧板（图1），拼出了如图2所示的“一只飞舞的蝴蝶”，寓意着“自由与追求”，图2中阴影部分的面积为 ．
【答案】200
【详解】解：∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的，
∴大正方形面积，
由图形可知，阴影部分面积．故答案为：200．
15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】②④/④②
【详解】解：∵是的三等分点，，∴，，
∴， ∴， ∴，∴，故①错误；
∵ ，∴， ∵，∴，
∵是线段的中点，∴， ∴，
∴，故②正确； ∵，，
∴ ， ∵，
∴，∴，故③错误；
∵，，∴，
∵， ∴，故④正确；综上，正确的有②④，故答案为：②④．
16．（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ．
【答案】30或50或90
【详解】解：由题图可知．
①当时，和在直线的右侧，如图：，
，；
②当时，如图所示，在直线的左侧，在直线的右侧，
此时，
∵本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角，故，
，
，，解得；
③当时，如图所示，
，
，∴，解得；
④当时，如图：，
，，
，
，，
∵，∴，解得（舍去）．故答案为：30或50或90．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题．
(1)连接；(2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
(3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ．
【答案】(1)见解答(2)见解答(3)画图见解答；两点之间，线段最短
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，射线和线段即为所求．
（3）解：如图，直线即为所求．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
18．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形．
(1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ．
(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由．
【答案】(1)圆柱，圆锥，面动成体(2)小红的说法正确，理由见解析
【详解】（1）解：小红得到的立体图形可以看成是由圆柱和圆锥构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体；故答案为：圆柱，圆锥，面动成体；
（2）解：小红的说法正确，
理由：甲的体积：，
乙的体积：，
∴甲，乙两个立体图形的体积不相等，∴小红的说法正确．
19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点．
(1)若，求的长；
(2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：由题知：，设，，∴，
∵，且，∴，∴，∴，．
∵点是线段的中点，∴，∴；
（2）∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴．
20．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点．
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式．
结合你的知识积累，直接回答下列问题：
三棱锥的，，__（直接填出数据）
八面体的，，___（直接填出数据）
（总结与应用）（1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可）
（2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______．
（深度探究）下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）．
直接回答下列问题：设黑色的正五边形有x块．则（3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答）
（4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答）
【答案】[认识概念] ，，；，，；[总结与应用]（1）；（2） ；[深度探究]（3）（4）
【详解】[认识概念]解：三棱锥的，，
八面体的，，
[总结与应用] （1）欧拉公式：
（2）一个正二十面体有30条棱，则，，
∴∴，故答案为：．
[深度探究]（3）解：设黑色的正五边形有x块，则正五边形的边数为
正六边形的边数的一半是正五边形的边，即正六边形的总边数为
∴正六边形有块，故答案为：．
（4）依题意，此凸多面体的棱数为，故答案为：．
21．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题．
(1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点．
(2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ．
(3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行．
【答案】(1)，，(2)(3)
【详解】（1）解：平面内有3条直线，则最多有个交点，即；
平面内有4条直线，则最多有个交点，即；；
若平面内有条直线，则最多有个交点，即；
（2）解：平面内有10条直线，且在某一方向上有5条是互相平行时，
其交点的个数最多为（个），
其中表示10条直线两两相交时的最多交点个数，表示5条直线相互平行时减少的交点个数；
（3）解：把9条公路看作是9条直线，则9条公路两两相交时交点的个数为：，
，
则可以看作，在某一方向上有5条直线两两互相平行，其余4条直线不平行，如图：
22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；
(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
【答案】(1)(2)在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直
(3)下一个美妙时刻是七点零五分；22
【详解】（1）解：三点整，时针与分针所成角度为，从三点到三点三十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是 ，∴三点三十分时，时针与分针所成角度是；
三点到三点四十分，分针旋转的角度是，时针旋转的角度是，
∴三点四十分时，时针与分针所成角度是； 故答案为：；
（2）设从一点开始过了x分钟时针和分针垂直，由题意，得：分针旋转角度（初始角度时针旋转角度)最终差值，当分针和时针垂直时，最终差值可以是或；
①当最终差值为时：， 解得：，此时为一点二十二分；
②当最终差值为时：，解得：，此时为一点五十五分．
综上：在一点二十二分或一点五十五分时，时针和分针垂直．
（3）解：再次到达美妙时刻时，相当于分针比时针多旋转一周，时针每分钟旋转，分针每分钟旋转，时针每分钟少旋转，∴到达下一个美妙时刻需要时间分钟，此时为七点零五分．
一天有分钟， ，即一天有22个美时刻．故答案为：．
23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点．
(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ；
(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；
(3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．
【答案】(1)(2)见解析，或(3)或
【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，∴，，
∵，∴；故答案为： ；
（2）如图，点在点的左侧，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，
∴
如图，点在点的右侧，
∵点是线段的中点，点是线段的中点，∴，，
∴，
综上，的长为或；
（3）运动秒后，，
∵为的中点，∴，∴，
∵，为的中点，∴，
又∵，∴，或，
由得：或，解得：或．
24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于．
(1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写：
① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ．
(2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中：
①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）．
②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）．
(3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数．
【答案】(1)①；②(2)①是；②是(3)
【详解】（1）解：①因为,
所以,即；
②因为，
所以，
所以；故答案为：；；
（2）解：①是，理由如下：
因为,所以,即；
②是，理由如下：因为,
所以,所以；
（3）解：根据(1)可知，
分别是的平分线，，
，，
．
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第6章 图形的初步认识 章末检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）。
1．（25-26七年级上·陕西·校考期中）下列几何体中是三棱锥的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·河北承德·期末）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（ ）
①直线经过点三点，并且点在点与之间；（）
②点在线段的反向延长线上；（）
③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点；（）
④直线相交于点．（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．②③
3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
B．五棱柱有10个顶点
C．在中国地图上，西平可被看作一个点
D．沿直角三角形某条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆锥
4．（24-25七年级上·四川成都·期末）用尺规作一个角等于已知角：如图，已知，求作，使．可以通过以下步骤作图：①作射线；②以点为圆心，以为半径画弧交于点；③以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；④过点作射线，即为所求作的角；⑤以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点．则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．①②③⑤④ D．①⑤②③④
5．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．过两点有一条或两条直线 B．连接两点的线段叫这两点的距离
C．两点之间，直线最短 D．直线和直线表示同一条直线
7.（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（ ）
A．与互为补角 B．平分
C．图中以为边的角有5个 D．
9．（24-25七年级上·河北·校考期中）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当点C为的中点时，
C．如果，那么 D．如果，那么
10．（25-26七年级上·浙江·期末）如图，点是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若，射线，分别经过刻度线和，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线..；③若，则图中共有对角互为余角．其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m．
12．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，若，于点，，，则 ．
13．（24-25七年级上·北京昌平·期末）有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁，中国高铁已经成为我国对外宣传的一张靓丽名片．如图，车次是从北京到上海的高铁，仅需4小时35分钟即可到达，其经停站为北京南—济南西—南京南—无锡东—上海虹桥，则本次高铁二等座的车票共有 种．
14．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，用自制的“七巧板”进行创意拼图，并赋予图案一定的意义，“冲浪小组”用边长为的正方形制作七巧板（图1），拼出了如图2所示的“一只飞舞的蝴蝶”，寓意着“自由与追求”，图2中阴影部分的面积为 ．
15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
16．（24-25七年级上·四川绵阳·月考）已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．当从如图所示位置绕点顺时针旋转时，满足，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句作图（保留作图痕迹），并回答问题．
(1)连接；(2)画射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
(3)作直线与射线交于点F．观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是： ．
18．（25-26七年级上·浙江·期中）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形．
(1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ．
(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由．
19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，且，点为线段的中点．(1)若，求的长；(2)在直线上有一点，满足，若，请直接写出的长（用含的式子表示）．
20．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点．
十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式．
结合你的知识积累，直接回答下列问题：
三棱锥的，，__（直接填出数据）
八面体的，，___（直接填出数据）
（总结与应用）（1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可）
（2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______．
（深度探究）下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）．
直接回答下列问题：设黑色的正五边形有x块．则（3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答）
（4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答）
21．（24-25七年级下·北京·期中）探究平面内条直线相交的交点个数问题．
(1)研究：平面内条直线相交，当这条直线无任何三条交于一点，且在某一方向上无任何直线相互平行时，交点个数是最多的．也就是说，当这条直线两两相交时交点个数最多．所以容易得出以下结论：平面内有3条直线，则最多有 个交点；平面内有4条直线，则最多有 个交点；若平面内有条直线，则最多有 个交点．
(2)拓展：若平面内的条直线（无任何三条交于一点）在某一方向上有平行直线，则交点的总个数与上题相比便会减少，比如：若平面内有5条直线，当在某一方向上有3条是互相平行时，其交点的个数最多为，其中表示5条直线两两相交时的最多交点个数，表示3条直线相互平行时减少的交点个数．问：若平面内有10条直线（无任何三条交于一点），且在某一方向上有5条是互相平行的，则这10条直线交点的个数最多为 ．
(3)应用：地面上有9条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现在有26位交警刚好满足每个岔口有且只有一位交警，则在某一方向上必须有 条公路互相平行．
22．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，如图1，表盘中1－12均匀分布，分针60分钟转动一周是，时针60分钟移动一周的是，这样，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转度．
课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是．
问题解决：
(1)三点三十分时，时针与分针所成角度是_______°，三点四十分时，时针与分针所成角度是_______°；
(2)一点钟时，时针与分针所成角度，在一点钟到两点钟之间，小明发现存在着时针和分针垂直的情况，请求出具体的时刻；
(3)如图2，当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图，六点整就是一个美妙时刻，时针、分钟继续转动，下一个美妙时刻是什么时刻？从0时到24时共_______个美妙时刻
23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点．
(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ；
(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；
(3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．
24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于．
(1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写：
① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ．
(2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中：
①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）．
②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）．
(3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数．
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