《图形的初步知识》（一）精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025七上·金东期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（ ）
A．与线段、线段的长度都有关
B．仅与线段的长度有关
C．仅与线段的长度有关
D．与线段、线段的长度无关
2．（2025七上·西湖期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．① C．③ D．①②③
3．（2024七上·丽水期末） 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七上·拱墅期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2024七上·嵊州期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm ．
6．（2025七上·江北期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ．
三、解答题
7．（2025七上·乐清期末）如图，O是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；
（2）在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由．
8．（2025七上·拱墅期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
9．（2025七上·东阳期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．
（1）当时，是的平分线吗？试说明理由．
（2）若，．
①求的度数．
②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．
10．（2025七上·玉环期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
11．（2025七上·海曙期末）如图，长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，F为边CD上一点.AB沿BE折叠得BA'，BC沿BF折得BC'（BA'、BC'都在∠ABC的内部），记∠ABE=α，∠CBF=β， ∠A'BC'=.
（1）直接写出a=10°，β=20°时，= ； a=30°， β=25°时， =
（2）求=10°时，∠EBF的值；
（3）当BA'平分∠EBF时，若y=a，则= （直接写出结果）
12．（2025七上·金东期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
（2）若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
13．（2025七上·温岭期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、．
（1）如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______；
（2）已知是的角平分线，是的角平分线，
①如图2，当时，计算的度数；
②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）．
14．（2025七上·上城期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长．
【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题．
∵点D是线段中点，点E是线段的中点
∴，
∴
城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段，
则∵点D是线段中点，∴
∵点E是线段中点，∴∴
【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题
如图，在的外部，平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，用含x的代数式表示的度数；
（3）若与互余，与互补．求的度数．
15．（2025七上·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“数”说时钟
素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间．
素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为．
素材3 作息时间表 第一节 第五节
第二节 第六节
大课间 眼保健操
第三节 第七节
眼保健操 体育活动
第四节 课后服务
解决问题
任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数．
任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？
任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：将AP和CP用AC表示，如下图所示：
∵CP=3AP，AP+CP=AC，
∴AP+3AP=AC，
即4AP=AC，
∴AP=AC，CP=AC，
同理可得：BQ=BC，CQ=BC，
∴PQ=CP-CQ=AC-BC=（AC-BC）=AB（线段AC由线段AB和线段BC组成），
故答案为：B．
【分析】根据已知的线段比例关系，将AP、CP、BQ、CQ用AC、BC表示出来，再代入PQ的表达式中，即可得出结论.
2．【答案】A
【知识点】等式的基本性质；余角；补角
【解析】【解答】解： 与互为余角，与互为补角，
即，故①符合题意；
，
，故②不符合题意；
∵，
∴，
，故③符合题意；
综上分析可知：正确的有①③．
故选：A．
【分析】本题考查的余角与补角的性质以及等式的基本性质，由题可得与相加90°，与相加180°，两式相减得 ，即，①正确；由结合∠1与∠2的关系进行等量代换得∠3，故②错误，由，推出，故③正确.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分类讨论：如图所示
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，∠DBE=90°，
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=360°-60°-40°-90°=170°；
如图，
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-40°=20°，
又∵∠DBE=90°
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=∠ABD+∠DBE=20°+90°=110°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠DBE=90°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=90°-40°=50°，
∵∠ABC=60°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-50°=10°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-40°=20°，
∵∠EBD=90°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠EBD-∠ABE=90°-20°=70°；
综上，只有B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类四种情况解答：①DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC外，②DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC内，③EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC外，④EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC内，分别画出图形，根据旋转的性质及角的构成求出三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角，即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵，射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，，，，结合角的和差关系可得即可．
5．【答案】6或4或8
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，点是线段的巧点，
∴①当点是中点时，有，
∴；
②当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
③当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
综上所述，的长为或或，
故答案为：6或4或8.
【分析】根据巧点的定义，分三种情况讨论：①当点是中点时，有，②当点是的三等分点，且靠近点时，有，③当点是的三等分点，且靠近点时，有，结合的长即可求解.
6．【答案】12
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意得，不妨设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当，时，，，
符合题意，此时；
当，时，，，
不符合题意，
综上，k的值是12；
故答案为：12．
【分析】由题意得，不妨设，求出BE、AD、DE、BD长，再分两种情况讨论解题．
7．【答案】（1）解：，
，
平分，
（2）解：与互余，理由如下：
，
，
又∵，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平角定义得出的度数，然后利用角平分线的定义即可计算出 的度数；
（2）先利用平角定义得出的度数，再根据已知推出的度数，然后利用角的和差关系可得和互余，即可解答．
（1）解：，
，
平分，
；
（2）与互余，
理由：，
，
，
，，
；
8．【答案】（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴
（3）解：或，
理由如下：①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）分情况讨论：当在内部时，利用射线是的“割补线”， 可求出∠DOE的度数，再利用垂直的概念可求出∠COE的度数；当在外部时，利用“割补线”的定义可求出∠AOE的度数，利用垂直的定义可求出∠COE的度数；综上所述，可得到∠COE的度数.
（2）利用角平分线的概念可求证得，然后求出∠BOD的度数.
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，由此可证得结论.
（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下：
①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或．
9．【答案】（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，
，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上可得，当为固定值时，或或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
（1）根据题意得，，由等角的余角相等可得∠DOE=∠BOD，再根据角平分线的定义即可判断求解；
（2）①先求出，得到，再根据平角等于180°即可求解；
②分情况讨论即可求解．
（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上所述，当为固定值时，或或．
10．【答案】（1）
（2）解：平分
，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
当未转动到时，
，
解得；
当与重合时，
解得，不符合题意，应舍去；
当越过时，则，所以
，
，
解得，此时，恰好符合题意.
综上所述， 当时，或；
．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；尺规作图-角的和差
【解析】【解答】
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
(3)
②解：当未转动到时，、
；
当越过时，则，所以，
，
，
【分析】
（1）由角之间的和差倍积关系可求得，则当OD位于OC左侧时，，
（2）由角平分线的概念可得，又，，则可列关于t的方程并求解即可；
（3）①分类讨论，即当到达所在的位置前或当到达所在的位置后，分别用含t的代数式表示出，再根据等量关系列议程并求解即可；
②同上，分两种情况分别表示出，则可直观得出其之间的数量关系．
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
①当到达所在的位置前，，
解得；
当到达所在的位置后，，
解得；
的值为10.8或54；
②当与重合时，，
，
此时与重合；
当到达所在的位置前，，，
；
当到达所在的位置后，，，
；
综上所述，．
11．【答案】（1）30°；20°
（2）解：①如图1，当△EBA'与△FBC'不重合时
由于=10°，则∠ABA'+∠CBC'=80°
即2α+2β=80°
∴a+β=40°
∴∠EBF=90°-(a+β)=50°
②)如图2，当△EBA'与△FBB'重合时
由于Y=10°，则∠ABA'+∠CBC'=100°
即2a+2β=100°
∴a+β=50°
∴∠EBF=90°- (a+β)=40°
综上所述，∠EBF=50°或40°
（3）°或10°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
(1)∵长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，F为边CD上一点. AB沿BE折叠得BA'， BC沿BF折叠得 都在∠ABC的内部) ， ∠ABE =α，∠CBF=β， ∠A'BC'=γ，
∴∠A'BE=∠ABE=α， ∠C'BF=∠CBF=β，
∴∠ABA'=2∠ABE = 2α，
∠CBC'=2∠CBF=2β，
当α=10°， β=20°时，
∠A'BC'=∠ABC-∠ABA'-∠CBC'=90°-2α-2β=90°-2×10°-2×20°= 30°，
即γ=30°；
当α=30°， β=25°时，∠A'BC'=∠ABA'+∠CBC'-∠ABC=2α+2β-90°=2×30°+2×25°-90°=20°，
即γ= 20°；
故答案为： 30°， 20°；
或 理由如下：
平分
当点 在 的左侧时， 由 (2)得：
，
，
解得： 当点 在 的右侧时， 由 (2)得：
，
，
解得：
综上所述， 或
故答案为： 或
【分析】(1)由折叠可得： ∠A'BE =∠ABE=α，∠C'BF =∠CBF =β， 则∠ABA'=2∠ABE=2α，∠CBC'=2∠CBF =2β， 当α=10°， β=20°时，根据∠A'BC'=∠ABC-∠ABA'-∠CBC'， 即可求解； α=30°， β= 25°时， 根据
∠A'BC'=∠ABA'+∠CBC'-∠ABC，即可求解；
(2)分两种情况：当点A'在C'的左侧时，当点A'在C'的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可；
(3)由BA'平分∠EBF， 可得∠EBF =2∠A'BE = 2α， 分两种情况： 当点A'在C'的左侧时，当点 '在C'的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可.
12．【答案】（1）
（2）解：①不是的平分线，
理由：当三角板OAB旋转10秒时，位置如图所示：
此时∠BOM=5°×10=50°，∠DON=3°×（10-5）=15°，
∵∠AOB=30°，∠COD=45°，
∴∠AOC=180°-∠BOM-∠DON-∠AOB-∠COD=180°-50°-15°-30°-45°=40°，
∴∠AOB≠∠AOC，
∴OA不是∠BOC的平分线；
②当OA平分∠BOC时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∴∠AOC=180°-∠BOM-∠DON-∠AOB-∠COD=180°-5°t-（3°t-15°）-30°-45°=120°-8°t，
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC=∠AOB，
即120°-8°t=30°，
解得：t=；
当OB平分∠AOC时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∵∠COM=180°-∠COD-∠DON=180°-45°-（3°t-15°）=150°-3°t，
∴∠BOC=∠BOM-∠COM=5°t-（150°-3°t）=8°t-150°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC=∠AOB，
即8°t-150°=30°，
解得：t=；
当OC平分∠AOB时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∵∠COM=180°-∠COD-∠DON=180°-45°-（3°t-15°）=150°-3°t，
∴∠BOC=∠COM-∠BOM=150°-3°t-5°t=150°-8°t，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOB，
即150°-8°t=×30°，
解得：t=；
综上所述，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）三角板OAB旋转到如图位置，OA平分∠COD，
∵平分，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴，
∵∠MOA=180°-∠DOA，
即30°+5°t=180°-22.5°，
解得：t=22.5，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质求得旋转角，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可；
（2）①根据旋转的性质求得的度数即可得出结论；
②根据题意分平分，平分，平分三种情况讨论即可．
（1）解：如图，
∵平分，
∴，
∵旋转，
∴，
根据题意，得，
解得，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
（2）解：①不是的平分线，
理由：当时，如图，
此时，，
∴，
∴不是的平分线；
②当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
13．【答案】（1）
（2）解：①∵，，∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∴
；
②
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）∵点在直线上，
∴，
又∵，
∴，
∴互余的两个角为与；
故答案为：，；
（2）②如图：设，
则，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）根据角的关系找出和为90°的两个角即可；
（2）①先求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出即可；
②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的定义求解即可．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
又∵，
∴，
∴互余的两个角为与；
故答案为：，；
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∴
；
②如图：设，
则，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
14．【答案】（1）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴；
（3）解：设.
平分
、
解得：
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先根据角平分线的定义得，即；
（2）直接应用（1）的结论即可；
（3）为便于计算，可先设出，则由已知与互余可得，即，再由角平分线的概念可得，，再根据与互补可列关于y的一元一次方程并求解即可．
（1）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，
∵与互余，与互补，
∴，，
∴，
∴，
与（2）同理，设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
15．【答案】解：（1）时钟面角的度数为：
；
（2）设1点整后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则：
，
解得：，
（分）；
或，
解得：，
（分）；
答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况；
（3）时分或时分
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），
分三种情况讨论：
①当为和所成角的平分线时，
，
解得：（不符合题意，故舍去）；
②当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
③当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分．
【分析】
（1）由于钟面上，时针每分钟走，分针每分钟走，且10点整时时针与分针的夹角为，则45分钟后分针指向了9刻度，此时分针与10刻度线的夹角为，由于时针又走了，则10：45时时针与分针的夹角等于；
（2）设1点整后经过分钟时钟面角为，则当分针走过的角度未超过时，由题意可列方程，解方程得，所以；而当分针走过的角度超过时，由题意可列方程，解方程得，所以；
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当OA为的平分线时，分针走了，则，时针走了，则，再由题意列方程并求解即可；②同理，当OC为的平分线时，则、，再由题意列方程并求解即可；③当OB为的平分线时，、，再由题意列方程并求解即可．
1 / 1《图形的初步知识》（一）精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025七上·金东期末）如图，已知点C在线段的延长线上，点P、Q分别在线段上，且满足，．则线段的长（ ）
A．与线段、线段的长度都有关
B．仅与线段的长度有关
C．仅与线段的长度有关
D．与线段、线段的长度无关
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：将AP和CP用AC表示，如下图所示：
∵CP=3AP，AP+CP=AC，
∴AP+3AP=AC，
即4AP=AC，
∴AP=AC，CP=AC，
同理可得：BQ=BC，CQ=BC，
∴PQ=CP-CQ=AC-BC=（AC-BC）=AB（线段AC由线段AB和线段BC组成），
故答案为：B．
【分析】根据已知的线段比例关系，将AP、CP、BQ、CQ用AC、BC表示出来，再代入PQ的表达式中，即可得出结论.
2．（2025七上·西湖期末）已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．① C．③ D．①②③
【答案】A
【知识点】等式的基本性质；余角；补角
【解析】【解答】解： 与互为余角，与互为补角，
即，故①符合题意；
，
，故②不符合题意；
∵，
∴，
，故③符合题意；
综上分析可知：正确的有①③．
故选：A．
【分析】本题考查的余角与补角的性质以及等式的基本性质，由题可得与相加90°，与相加180°，两式相减得 ，即，①正确；由结合∠1与∠2的关系进行等量代换得∠3，故②错误，由，推出，故③正确.
3．（2024七上·丽水期末） 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分类讨论：如图所示
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，∠DBE=90°，
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=360°-60°-40°-90°=170°；
如图，
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-40°=20°，
又∵∠DBE=90°
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=∠ABD+∠DBE=20°+90°=110°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠DBE=90°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=90°-40°=50°，
∵∠ABC=60°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-50°=10°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-40°=20°，
∵∠EBD=90°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠EBD-∠ABE=90°-20°=70°；
综上，只有B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类四种情况解答：①DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC外，②DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC内，③EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC外，④EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC内，分别画出图形，根据旋转的性质及角的构成求出三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角，即可判断得出答案.
4．（2024七上·拱墅期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵，射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，，，，结合角的和差关系可得即可．
二、填空题
5．（2024七上·嵊州期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm ．
【答案】6或4或8
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，点是线段的巧点，
∴①当点是中点时，有，
∴；
②当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
③当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
综上所述，的长为或或，
故答案为：6或4或8.
【分析】根据巧点的定义，分三种情况讨论：①当点是中点时，有，②当点是的三等分点，且靠近点时，有，③当点是的三等分点，且靠近点时，有，结合的长即可求解.
6．（2025七上·江北期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ．
【答案】12
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：由题意得，不妨设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当，时，，，
符合题意，此时；
当，时，，，
不符合题意，
综上，k的值是12；
故答案为：12．
【分析】由题意得，不妨设，求出BE、AD、DE、BD长，再分两种情况讨论解题．
三、解答题
7．（2025七上·乐清期末）如图，O是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；
（2）在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
平分，
（2）解：与互余，理由如下：
，
，
又∵，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平角定义得出的度数，然后利用角平分线的定义即可计算出 的度数；
（2）先利用平角定义得出的度数，再根据已知推出的度数，然后利用角的和差关系可得和互余，即可解答．
（1）解：，
，
平分，
；
（2）与互余，
理由：，
，
，
，，
；
8．（2025七上·拱墅期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
【答案】（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴
（3）解：或，
理由如下：①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）分情况讨论：当在内部时，利用射线是的“割补线”， 可求出∠DOE的度数，再利用垂直的概念可求出∠COE的度数；当在外部时，利用“割补线”的定义可求出∠AOE的度数，利用垂直的定义可求出∠COE的度数；综上所述，可得到∠COE的度数.
（2）利用角平分线的概念可求证得，然后求出∠BOD的度数.
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，由此可证得结论.
（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下：
①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或．
9．（2025七上·东阳期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．
（1）当时，是的平分线吗？试说明理由．
（2）若，．
①求的度数．
②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．
【答案】（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，
，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上可得，当为固定值时，或或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
（1）根据题意得，，由等角的余角相等可得∠DOE=∠BOD，再根据角平分线的定义即可判断求解；
（2）①先求出，得到，再根据平角等于180°即可求解；
②分情况讨论即可求解．
（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上所述，当为固定值时，或或．
10．（2025七上·玉环期末）如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：平分
，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
当未转动到时，
，
解得；
当与重合时，
解得，不符合题意，应舍去；
当越过时，则，所以
，
，
解得，此时，恰好符合题意.
综上所述， 当时，或；
．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；尺规作图-角的和差
【解析】【解答】
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
(3)
②解：当未转动到时，、
；
当越过时，则，所以，
，
，
【分析】
（1）由角之间的和差倍积关系可求得，则当OD位于OC左侧时，，
（2）由角平分线的概念可得，又，，则可列关于t的方程并求解即可；
（3）①分类讨论，即当到达所在的位置前或当到达所在的位置后，分别用含t的代数式表示出，再根据等量关系列议程并求解即可；
②同上，分两种情况分别表示出，则可直观得出其之间的数量关系．
（1）解：，
，
，
，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
①当到达所在的位置前，，
解得；
当到达所在的位置后，，
解得；
的值为10.8或54；
②当与重合时，，
，
此时与重合；
当到达所在的位置前，，，
；
当到达所在的位置后，，，
；
综上所述，．
11．（2025七上·海曙期末）如图，长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，F为边CD上一点.AB沿BE折叠得BA'，BC沿BF折得BC'（BA'、BC'都在∠ABC的内部），记∠ABE=α，∠CBF=β， ∠A'BC'=.
（1）直接写出a=10°，β=20°时，= ； a=30°， β=25°时， =
（2）求=10°时，∠EBF的值；
（3）当BA'平分∠EBF时，若y=a，则= （直接写出结果）
【答案】（1）30°；20°
（2）解：①如图1，当△EBA'与△FBC'不重合时
由于=10°，则∠ABA'+∠CBC'=80°
即2α+2β=80°
∴a+β=40°
∴∠EBF=90°-(a+β)=50°
②)如图2，当△EBA'与△FBB'重合时
由于Y=10°，则∠ABA'+∠CBC'=100°
即2a+2β=100°
∴a+β=50°
∴∠EBF=90°- (a+β)=40°
综上所述，∠EBF=50°或40°
（3）°或10°
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
(1)∵长方形纸片ABCD中，E为边AD上一点，F为边CD上一点. AB沿BE折叠得BA'， BC沿BF折叠得 都在∠ABC的内部) ， ∠ABE =α，∠CBF=β， ∠A'BC'=γ，
∴∠A'BE=∠ABE=α， ∠C'BF=∠CBF=β，
∴∠ABA'=2∠ABE = 2α，
∠CBC'=2∠CBF=2β，
当α=10°， β=20°时，
∠A'BC'=∠ABC-∠ABA'-∠CBC'=90°-2α-2β=90°-2×10°-2×20°= 30°，
即γ=30°；
当α=30°， β=25°时，∠A'BC'=∠ABA'+∠CBC'-∠ABC=2α+2β-90°=2×30°+2×25°-90°=20°，
即γ= 20°；
故答案为： 30°， 20°；
或 理由如下：
平分
当点 在 的左侧时， 由 (2)得：
，
，
解得： 当点 在 的右侧时， 由 (2)得：
，
，
解得：
综上所述， 或
故答案为： 或
【分析】(1)由折叠可得： ∠A'BE =∠ABE=α，∠C'BF =∠CBF =β， 则∠ABA'=2∠ABE=2α，∠CBC'=2∠CBF =2β， 当α=10°， β=20°时，根据∠A'BC'=∠ABC-∠ABA'-∠CBC'， 即可求解； α=30°， β= 25°时， 根据
∠A'BC'=∠ABA'+∠CBC'-∠ABC，即可求解；
(2)分两种情况：当点A'在C'的左侧时，当点A'在C'的右侧时，根据折叠的性质和角的和差求解即可；
(3)由BA'平分∠EBF， 可得∠EBF =2∠A'BE = 2α， 分两种情况： 当点A'在C'的左侧时，当点 '在C'的右侧时，根据折叠的性质和角的和差列方程求解即可.
12．（2025七上·金东期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒．
（1）若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分；
（2）若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动．
①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由；
②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？
【答案】（1）
（2）解：①不是的平分线，
理由：当三角板OAB旋转10秒时，位置如图所示：
此时∠BOM=5°×10=50°，∠DON=3°×（10-5）=15°，
∵∠AOB=30°，∠COD=45°，
∴∠AOC=180°-∠BOM-∠DON-∠AOB-∠COD=180°-50°-15°-30°-45°=40°，
∴∠AOB≠∠AOC，
∴OA不是∠BOC的平分线；
②当OA平分∠BOC时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∴∠AOC=180°-∠BOM-∠DON-∠AOB-∠COD=180°-5°t-（3°t-15°）-30°-45°=120°-8°t，
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC=∠AOB，
即120°-8°t=30°，
解得：t=；
当OB平分∠AOC时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∵∠COM=180°-∠COD-∠DON=180°-45°-（3°t-15°）=150°-3°t，
∴∠BOC=∠BOM-∠COM=5°t-（150°-3°t）=8°t-150°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠BOC=∠AOB，
即8°t-150°=30°，
解得：t=；
当OC平分∠AOB时，如图所示：
此时∠BOM=5°t，∠DON=3°×（t-5）=3°t-15°，
∵∠COM=180°-∠COD-∠DON=180°-45°-（3°t-15°）=150°-3°t，
∴∠BOC=∠COM-∠BOM=150°-3°t-5°t=150°-8°t，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOB，
即150°-8°t=×30°，
解得：t=；
综上所述，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）三角板OAB旋转到如图位置，OA平分∠COD，
∵平分，
∴，
∵∠AOB=30°，
∴，
∵∠MOA=180°-∠DOA，
即30°+5°t=180°-22.5°，
解得：t=22.5，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
【分析】（1）根据旋转的性质求得旋转角，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可；
（2）①根据旋转的性质求得的度数即可得出结论；
②根据题意分平分，平分，平分三种情况讨论即可．
（1）解：如图，
∵平分，
∴，
∵旋转，
∴，
根据题意，得，
解得，
即三角板旋转秒时，平分，
故答案为：；
（2）解：①不是的平分线，
理由：当时，如图，
此时，，
∴，
∴不是的平分线；
②当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
当平分时，如图，
此时，，
∴，
根据题意，得，
解得；
综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角．
13．（2025七上·温岭期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、．
（1）如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______；
（2）已知是的角平分线，是的角平分线，
①如图2，当时，计算的度数；
②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）．
【答案】（1）
（2）解：①∵，，∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∴
；
②
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）∵点在直线上，
∴，
又∵，
∴，
∴互余的两个角为与；
故答案为：，；
（2）②如图：设，
则，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）根据角的关系找出和为90°的两个角即可；
（2）①先求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出即可；
②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的定义求解即可．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
又∵，
∴，
∴互余的两个角为与；
故答案为：，；
（2）解：①∵，，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∴
；
②如图：设，
则，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
14．（2025七上·上城期末）【问题提出】如图A，B，C是直线l上的三点，，点D是线段中点，点E是线段的中点，求线段的长．
【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题．
∵点D是线段中点，点E是线段的中点
∴，
∴
城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段，
则∵点D是线段中点，∴
∵点E是线段中点，∴∴
【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题
如图，在的外部，平分，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，用含x的代数式表示的度数；
（3）若与互余，与互补．求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴；
（3）解：设.
平分
、
解得：
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）先根据角平分线的定义得，即；
（2）直接应用（1）的结论即可；
（3）为便于计算，可先设出，则由已知与互余可得，即，再由角平分线的概念可得，，再根据与互补可列关于y的一元一次方程并求解即可．
（1）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵平分，平分，
∴，
∵与互余，与互补，
∴，，
∴，
∴，
与（2）同理，设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
15．（2025七上·义乌期末）根据以下素材，探索完成任务．
“数”说时钟
素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间．
素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为．
素材3 作息时间表 第一节 第五节
第二节 第六节
大课间 眼保健操
第三节 第七节
眼保健操 体育活动
第四节 课后服务
解决问题
任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数．
任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？
任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示）
【答案】解：（1）时钟面角的度数为：
；
（2）设1点整后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则：
，
解得：，
（分）；
或，
解得：，
（分）；
答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况；
（3）时分或时分
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），
分三种情况讨论：
①当为和所成角的平分线时，
，
解得：（不符合题意，故舍去）；
②当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
③当为和所成角的平分线时，
，
解得：；
综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分．
【分析】
（1）由于钟面上，时针每分钟走，分针每分钟走，且10点整时时针与分针的夹角为，则45分钟后分针指向了9刻度，此时分针与10刻度线的夹角为，由于时针又走了，则10：45时时针与分针的夹角等于；
（2）设1点整后经过分钟时钟面角为，则当分针走过的角度未超过时，由题意可列方程，解方程得，所以；而当分针走过的角度超过时，由题意可列方程，解方程得，所以；
（3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当OA为的平分线时，分针走了，则，时针走了，则，再由题意列方程并求解即可；②同理，当OC为的平分线时，则、，再由题意列方程并求解即可；③当OB为的平分线时，、，再由题意列方程并求解即可．
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