《图形的初步知识》（二）精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025七上·东阳期末）如图，，为线段上一点，为线段的中点，为的中点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵为线段的中点，为的中点，
∴，
即，
∴，
即的值是定值，
故答案为：D.
【分析】根据中点的定义可得，整理即可求解．
2．（2024七上·丽水期末） 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分类讨论：如图所示
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，∠DBE=90°，
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=360°-60°-40°-90°=170°；
如图，
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-40°=20°，
又∵∠DBE=90°
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=∠ABD+∠DBE=20°+90°=110°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠DBE=90°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=90°-40°=50°，
∵∠ABC=60°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-50°=10°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-40°=20°，
∵∠EBD=90°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠EBD-∠ABE=90°-20°=70°；
综上，只有B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类四种情况解答：①DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC外，②DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC内，③EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC外，④EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC内，分别画出图形，根据旋转的性质及角的构成求出三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角，即可判断得出答案.
3．（2025七上·上城期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点0与三角尺①的顶点A重合。若三角尺②）的一条直角边与 AC 边的夹角为 40°，则三角尺②）的另一条直角边与 AB 边
的夹角的度数全部正确的（ ）
A．50°、80°、100°、130° B．20°、50° 、130°、160°
C．20°、80°、100°、160° D．20°、80°、130°、160°
【答案】C
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：
(1)当OD与AC边的夹角为 时，
①当OD在AC下方时，
②当OD在AC上方时，
(2)当OE与AC边的夹角为 时，
①当OE在AC下方时，
②当OE在AC上方时，
综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是
故答案为：C.
【分析】根据题意，画出图形，利用角的和差计算即可.
4．（2024七上·拱墅期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵，射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，，，，结合角的和差关系可得即可．
二、填空题
5．（2024七上·嵊州期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm ．
【答案】6或4或8
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，点是线段的巧点，
∴①当点是中点时，有，
∴；
②当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
③当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
综上所述，的长为或或，
故答案为：6或4或8.
【分析】根据巧点的定义，分三种情况讨论：①当点是中点时，有，②当点是的三等分点，且靠近点时，有，③当点是的三等分点，且靠近点时，有，结合的长即可求解.
6．（2025七上·西湖期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ．
【答案】；
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质得，
∵，
∴，
即，
∴；
根据折叠得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定及角的和差计算.(1)由折叠的性质折叠后角相等，即∠APE=∠A'PE，，结合平角为180°，可推出；(2)同样依据折叠的性质，先确定，再通过角度的和差关系，结合已知∠A'PG=∠EPB'，逐步推导出∠A'PB'的度数.
三、综合题
7．（2025七上·嵊州期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）．
（1）用含t的代数式表示的度数．
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据的度数=旋转速度×旋转时间解题；
（2）根据第二次达到时，在的左侧，利用解题即可；
（3）分为：①平分时，根据，列方程求解，②平分时，根据，列方程求解，③平分时，根据，三种情况列方程解答即可．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
8．（2025七上·椒江期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且．
（1）若是的差余角，求；
（2）将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分，
①判断和的数量关系，并说明理由；
②图中的差余角有哪些？请说明理由；
（3）将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系．
【答案】（1）解：∵是的差余角，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据“差余角”的定义得到，然后根据平角的定义求出∠BOC的度数；
（2）①利用平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，然后根据平角解题即可；
②由（2）①可得，然后利用，可得，解题即可；
（3）分为在左侧，在右侧，在下方三种情况，画图利用“差余角”的定义即可得到，再根据角的和差解题即可．
（1）解：∵是的差余角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，
∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
9．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差 ，则称这两个角互为＂优角＂，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图 1 所示摆放，其中 三点共线，我们可以说 和 都是 的优角．
（1）在图 1 中， 的优角有 个。
（2）如图 2，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 至 ．
①当旋转的角度 为何值时， 与 互为优角？
②如图 3，作 的角平分线 ，是否存在这样的 ，使得 这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3
（2）解：①，
当与互为优角时，可列出方程：
解得或.
②解：，
根据定义可得，同角的优角要么相等，要么相差30°.
当时，
（i）
解得.
（ii）
解得或.
当时，
（i）
解得.
（ii）
解得或.
综上所述，
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）如图可得：∠COD=60°，∠AOB=45°，
∴∠BOC=180°-∠COD-∠AOB=180°-60°-45°=75°，
∴∠BOC的优角度数为60°或90°，即为∠BOC，∠D，∠A，
故答案为：3；
【分析】（1）先求出∠BOC的度数，然后根据“优角”的定义解答即可；
（2） ① 根据旋转得到的度数，然后根据“优角”的定义列方程解题即可；
②由题可得同角的优角要么相等，要么相差30°，然后表示∠AOE和∠BOC'，然后分为和两种情况列方程解题即可.
10．（2024七上·台州期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
（1）如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
（2）如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
【答案】（1）2
（2）解：①根据题意，得，或，
∴，或；
②∵，
∴或，
解得：或；
③相遇时，有，
当时，都在线段上，如图，
∵，，
∴，
∵线段的中点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，都在线段上，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
∵点的速度大于的速度，
∴当时，且当点在点的右侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
当点在点的左侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，的值为或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）①∵为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，
∴
∴，
故答案为：2.
【分析】（1）先求出的值，从而得，进而根据新定义得到答案；
（2）①先由的运动以及的值得到，的值，然后根据新定义进行求解；
②结合①的结论以及题干条件得到关于的方程并解之即可；
③先求出相遇时的时间，然后分情况讨论：当时，都在线段上，求出的值，由可列关于的方程并解之；当时，都在线段上；当时，且当点在点的右侧或左侧时，同理列方程求出的值.
（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，即
∴
（2）解：①依题意，，或
∴，或
②∵
∴或
解得：或；
③相遇时，
当时，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：
当时，如图所示，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
点的速度大于的速度，当时，
当点在点的右侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
当点在点的左侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴．
解得：．
综上所述，的值为或．
11．（2024七上·嵊州期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．
（1）如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________；
（2）如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由；
（3）将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数．
【答案】（1）30°
（2）解：平分，理由如下：
∵，，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴设，则，
①如图，当在内时，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②如图，当在内时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：30°.
【分析】（1）根据角的和差关系进行求解；
（2）先求出，根据角平分线的定义得，从而得，进而得，据此即可得证平分；
（3）设，则，然后分两种情况讨论：①当在内时，由角的和差关系可列出关于的方程并解之，即可求出，于是得；
②当在内时，先求出，则，据此可列出关于的方程并解之，即可求出，于是得.
（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）平分，理由如下：
∵直线上一点，
∴，
∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）∵，
∴设，则，
分两种情况：
①如图，在内，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，在内，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上或．
12．（2025七上·上城期末）【问题提出】如图A、B，C是线l上的三点，AC=3，点D是线股AB中点，点E是线段BC的中点，求线段DE的长。
【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题，
∵点D是线段AB中点，点E是线段8C的中点
∴
∴
城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段BC=2x，则AB=3+2x：点D是线段A8中点，
∴DB=AB=1.5+x，
∵点E是线段BC中点，
BE=-BC=x·DE=DB-BE=15+x-x=1.5
【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题
如图，OB在∠AOC的外部，OD平分∠A0B.OE平分∠BOC
（1）若∠AOC-40"，求∠DOE的度数：
（2）若∠AOC=x，用含x的代数式表示∠DOE的度数：
（3）若∠AOC与∠AOD互余，∠BOC与∠BOE互补：求∠EOD的度数
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
。
（2）解：由(1)知，
（3）解：∵∠AOC与∠AOD互余，∠BOC与∠BOE互补，
∴∠AOC +∠AOD=90°，∠BOC +∠BOE =180°，
设∠AOC=x，∠AOE=a，∠BOD=b，根据（2）可知∠EOD=x，
因此有，
解得x=60，因此x=30°
∴∠EOD=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义即可得到结论；
(3)根据角平分线、互余互补的已知条件，可以列出三元三次方程组，求解即可。
13．（2025七上·江北期末）如图1，OC是∠AOB内的一条射线，若∠AOC=n∠BOC或∠BOC=n∠AOC则称 OC为∠AOB 的n比分线
（1）【概念初识】
①若OC是∠AOB的角平分线，则n=
②已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的2比分线，则∠AOC= °
（2）【概念理解】
已知∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条n比分线，求∠COD的度数（用含n的代数式表示）
（3）【概念应用】
如图2，已知∠AOB是一个平角，OC是∠AOB的比分线，且∠AOC是一个锐角，射线 OM，ON同时从 OB出发，分别以每秒3°和每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，且当射线 ON首次与0A重合时同时停止运动，设运动时间为t秒，当射线0C，OM，ON中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的2比分线时，请直接写出t的值。
【答案】（1）1；20或40
（2）解：∵OC，OD是∠AOB的两条 n比分线
∴不妨设∠AOC-∠BOD=x，∠BOC为nx，则∠COD=|∠BOC-∠BOD|=|n-1|x
∠AOB-∠AOC+∠BOC=(n+1)x，.
∵∠AOB=120°，∴(n+1)x=120，解得x=
∴
（3）解：∵∠AOB=180°， OC是∠AOB的 等分线，
或 或∠AOC=
∵∠AOC是一个锐角，
∴∠AOC=45°，
∵∠BOM=3t°， ∠BON=5t°，
∴∠MON=5t°-3t°=2t°，
①当t≤15时， ∠COM=45°-3t°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(45°-3t°)，
②当15﹤t≤30时， ∠COM=3t°-45°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(3t°-45°)，
③当30﹤t≤36时， ∠AOM=3t°-180°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠AOC=2∠AOM，
∴45°=2(3t°-180°)，
④当36∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(360°-3t°-45°)，
⑤当45∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(360°-3t°-45°)，
综上所述， 或 或 或
【知识点】角的运算；角平分线的概念；角n等分模型
【解析】【解答】(1)①∵OC是 的角平分线，
故答案为：1；
②∵OC是 的2等分线，
故答案为：
【分析】(1)①根据角平分线的定义即可得到结论；
②根据n等分线的定义即可得到结论；
(2)根据n等分线的定义即可得到结论；
(3)根据已知条件得到 根据题意列方程即可得到结论，分t≤15、15﹤t≤30、30﹤t≤36、3614．（2025七上·宁波期末）如图①，直角三角尺 和直角三角尺 的顶点 重合，且顶点 在一条直线上， ，保持三角尺 不动，将三角尺 绕顶点 顺时针旋转，点 落在射线 上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺 绕顶点 顺时针旋转 时，则 ° 。
（2）如图③，当三角尺 顺时针旋转任意角度 ，且 在 上方时， 与 大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺 的旋转速度为 秒，当 在 下方时，那么多少秒后 是 的两倍．
【答案】（1）95；80°
（2）解：结论：∠CAD-∠BAE=15°，
理由：由题图得，
∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，
∠CAD-∠BAE=135°-α°-(120°-α°)=15°
（3）解：设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，
∵AB在AE下方，
∴∠BAE=5t°-120°，此时t>24，
①当在AC在AD上方时，如下图，
∠CAD=135°-5t°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(135°-5t°)，
解得t=26秒，符合题意.
②当在AC在AD下方时，如下图，
∠CAD=5t°-135°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(5t°-135°)，
解得t=30秒，符合题意，
综上，26秒或30秒后，∠BAE是∠CAD的两倍
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，
∠CAE=180°-40°=140°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=140°-45°=95°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=140°-60°=80°，
故答案为：95，80°.
【分析】(1)根据旋转的及补角的性质可得∠CAE=180°-40°=140°，再结合三角尺中角的度数分别求出么∠CAD和∠BAE的度数即可；
(2)由题意得∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，再求出∠CAD-∠BAE的度数即可；
(3)设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，分为当在AC在AD上方时及当在AC在AD下方时，分别求解即可.
15．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
16．（2025七上·湖州期末）七年级某数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“动态中的角度问题”．如图，已知点是直线上一点，平分．、绕点同时开始转动，其中从开始按照顺时针方向转动，转至再逆时针返回，到达则停止；从开始按照逆时针方向转动，到达则停止．在区域①和区域③内的转动速度均为每秒，区域②为加速区，转动速度为每秒，其中．
（1）初步探究：求从开始转动至所需的时间；
（2）深入探究：在和转动过程中，当平分时，求的度数；
（3）拓展提升：在转动过程中，当将分成的两部分时，求转动的时间．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（秒），
答：从开始转动至所需的时间为10秒；
（2）解：当从向运动的过程中，当平分时，，
所以运动时间为：（秒），此时，所以
所以
因为运动时间为：（秒），即运动8秒停止，
当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：（秒），∵，
∴此时已经停止运动，
∴此时；
答：当平分时，或；
（3）解：当时，，解得：；
当时，，解得：，
∵运动8秒时，到达，停止运动，
∴此时不符合题意，舍去；
答：在转动过程中，当将分成的两部分时，转动的时间为7秒．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【分析】（1） 求从开始转动至所需的时间 ，实质是求的度数，因为已知，且OD平分，则；
（2） 在和转动过程中，当平分时 ，有两种情形，一种是从OE向OD转动过程中，一种可能是从OD向OE转动过程中，此时应该分类讨论；
（3） 若将分成两部分 ，则也有两种可能，分别是 或，分别列式计算即可。总之，对于动态角度计算问题，一定要弄清哪些量不变，哪些量变化，变化规律是什么，变量与变量之间存在哪些数量关系，必要时还需要分类讨论。
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵（秒），
∴从开始转动至所需的时间为10秒；
（2）解：当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：
（秒），
此时；
运动时间为：（秒），即运动8秒停止，
当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：
（秒），
∵，
∴此时已经停止运动，
∴此时；
综上分析可知：当平分时，或；
（3）解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
∵运动8秒时，到达，停止运动，
∴此时不符合题意，舍去；
综上分析可知：在转动过程中，当将分成的两部分时，转动的时间为7秒．
17．（2024七上·黄岩期末）定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题：
（1）如图1，点A和点E重合时．
①求的度数；
②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由．
（2）如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻．
【答案】（1）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴；
②存在，理由如下：
∵，，
∴，
，
，
∵，为的角平分线，
∴，
，
与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”；
（2）解：如图3，当在的右侧时，
和互为“和合角”，
，
旋转角度为，
，
如图4，当在的左侧时，
和互为“和合角”，
或，
旋转角度为或，
或，
综上所述，的值为20或90或114．
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）①先求出，从而得，根据角平分线的定义得，进而求出的度数；
②求出，，，的度数，根据“和合角”的定义进行判断；
（2）分两种情况：当在的右侧或当在的左侧时，根据“和合角”的定义，得到的度数，从而得到旋转角的度数，进而得关于的方程并解之即可求解.
（1）解：①，，，为的角平分线．
，，
，
；
②存在，理由如下：
，，
，
∵，为的角平分线，
∴，
与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”；
（2）解：如图3，当在的右侧时，
和互为“和合角”，
，
旋转角度为，
，
如图4，当在的左侧时，
和互为“和合角”，
或，
旋转角度为或，
或，
综上所述：的值为20或90或114．
18．（2024七上·拱墅期末）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分．
（1）求初始位置的度数．
（2）若将三角板绕点转到如图2位置，使，且，求的度数．
（3）在（2）的基础上，若继续将三角板绕点转动到图3位置，使，求与存在的等量关系．
【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分平分，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】
（1）先由互为补角可得，再由角平分线的定义可得，则；
（2）先由平角的概念分别求出的，再由角平分线的概念分别表示出和，则；
（3）先由角的和差关系求出，再由平角的概念可求得，再由角平分线的概念可得；再由平角的概念表示出，此时再分别用含和的代数式表示出即可得出与存在的等量关系 ．
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分平分，
，
，
，
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
19．（2025七上·江北期末）如图，是内的一条射线，若或，则称为的比分线．
【概念初识】
（1）若是的角平分线，则 ；
已知，是的比分线，则 ；
【概念理解】
（2）已知，，是的两条比分线，求的度数（用含的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图，已知是一个平角，是的比分线，且是一个锐角，射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，且当射线首次与重合时同时停止运动，设运动时间为秒，当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，请直接写出t的值．
【答案】（）；或；
（）∵，是的两条比分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（）解：∵是的比分线，且是一个锐角，
∴，
∵是一个平角，
∴，
∴，
∵射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，
∴，，
∵当射线首次与重合时同时停止运动，
∴，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
如图，当，
∴，解得：，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
当，
∴，解得：（舍去），
综上可知：当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，的值为或或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；角n等分模型
【解析】【解答】解：（）∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
当，
∵，
∴，
∴，
∴；
当，
∵，
∴，
∴，
综上可知：或，
故答案为：或；
【分析】（）根据角平分线得到解题；
分为和两种情况利用角的和差解题即可；
（）根据等分线可得，，即可得到，，再利用角的和差解题；
（）根据在内部时，即，当，当，根据在内部时，即，当，当四种情况列方程解题即可.
20．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
1 / 1《图形的初步知识》（二）精选压轴题—浙江省七（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025七上·东阳期末）如图，，为线段上一点，为线段的中点，为的中点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·丽水期末） 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点B重合．若三角尺②的一条直角边与边的夹角为，则三角尺②的另一条直角边与边的夹角不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七上·上城期末）如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点0与三角尺①的顶点A重合。若三角尺②）的一条直角边与 AC 边的夹角为 40°，则三角尺②）的另一条直角边与 AB 边
的夹角的度数全部正确的（ ）
A．50°、80°、100°、130° B．20°、50° 、130°、160°
C．20°、80°、100°、160° D．20°、80°、130°、160°
4．（2024七上·拱墅期末）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2024七上·嵊州期末）如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm ．
6．（2025七上·西湖期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为 ．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为 ．
三、综合题
7．（2025七上·嵊州期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）．
（1）用含t的代数式表示的度数．
（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
8．（2025七上·椒江期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且．
（1）若是的差余角，求；
（2）将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分，
①判断和的数量关系，并说明理由；
②图中的差余角有哪些？请说明理由；
（3）将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系．
9．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差 ，则称这两个角互为＂优角＂，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图 1 所示摆放，其中 三点共线，我们可以说 和 都是 的优角．
（1）在图 1 中， 的优角有 个。
（2）如图 2，将 绕点 按顺时针方向旋转一个角度 至 ．
①当旋转的角度 为何值时， 与 互为优角？
②如图 3，作 的角平分线 ，是否存在这样的 ，使得 这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出 的值，若不存在，请说明理由．
10．（2024七上·台州期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则．
（1）如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______．
（2）如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为．
①请用含有的代数式分别表示和．
②当为何值时，．
③若线段的中点为，直接写出时的值．
11．（2024七上·嵊州期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．
（1）如图1，若直角三角形的一边放在射线上，则________；
（2）如图2，将直角三角形绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请判断是否平分，并说明理由；
（3）将三角形绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数．
12．（2025七上·上城期末）【问题提出】如图A、B，C是线l上的三点，AC=3，点D是线股AB中点，点E是线段BC的中点，求线段DE的长。
【问题解决】圆圆运用整体思想，解决问题，
∵点D是线段AB中点，点E是线段8C的中点
∴
∴
城城发现这一题困难的原因是已知条件太少，于是他运用方程思想，设线段BC=2x，则AB=3+2x：点D是线段A8中点，
∴DB=AB=1.5+x，
∵点E是线段BC中点，
BE=-BC=x·DE=DB-BE=15+x-x=1.5
【问题应用】请选择你喜欢的方法，解决下面两个问题
如图，OB在∠AOC的外部，OD平分∠A0B.OE平分∠BOC
（1）若∠AOC-40"，求∠DOE的度数：
（2）若∠AOC=x，用含x的代数式表示∠DOE的度数：
（3）若∠AOC与∠AOD互余，∠BOC与∠BOE互补：求∠EOD的度数
13．（2025七上·江北期末）如图1，OC是∠AOB内的一条射线，若∠AOC=n∠BOC或∠BOC=n∠AOC则称 OC为∠AOB 的n比分线
（1）【概念初识】
①若OC是∠AOB的角平分线，则n=
②已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的2比分线，则∠AOC= °
（2）【概念理解】
已知∠AOB=120°，OC，OD是∠AOB的两条n比分线，求∠COD的度数（用含n的代数式表示）
（3）【概念应用】
如图2，已知∠AOB是一个平角，OC是∠AOB的比分线，且∠AOC是一个锐角，射线 OM，ON同时从 OB出发，分别以每秒3°和每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，且当射线 ON首次与0A重合时同时停止运动，设运动时间为t秒，当射线0C，OM，ON中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的2比分线时，请直接写出t的值。
14．（2025七上·宁波期末）如图①，直角三角尺 和直角三角尺 的顶点 重合，且顶点 在一条直线上， ，保持三角尺 不动，将三角尺 绕顶点 顺时针旋转，点 落在射线 上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺 绕顶点 顺时针旋转 时，则 ° 。
（2）如图③，当三角尺 顺时针旋转任意角度 ，且 在 上方时， 与 大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺 的旋转速度为 秒，当 在 下方时，那么多少秒后 是 的两倍．
15．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
16．（2025七上·湖州期末）七年级某数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“动态中的角度问题”．如图，已知点是直线上一点，平分．、绕点同时开始转动，其中从开始按照顺时针方向转动，转至再逆时针返回，到达则停止；从开始按照逆时针方向转动，到达则停止．在区域①和区域③内的转动速度均为每秒，区域②为加速区，转动速度为每秒，其中．
（1）初步探究：求从开始转动至所需的时间；
（2）深入探究：在和转动过程中，当平分时，求的度数；
（3）拓展提升：在转动过程中，当将分成的两部分时，求转动的时间．
17．（2024七上·黄岩期末）定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题：
（1）如图1，点A和点E重合时．
①求的度数；
②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由．
（2）如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻．
18．（2024七上·拱墅期末）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分．
（1）求初始位置的度数．
（2）若将三角板绕点转到如图2位置，使，且，求的度数．
（3）在（2）的基础上，若继续将三角板绕点转动到图3位置，使，求与存在的等量关系．
19．（2025七上·江北期末）如图，是内的一条射线，若或，则称为的比分线．
【概念初识】
（1）若是的角平分线，则 ；
已知，是的比分线，则 ；
【概念理解】
（2）已知，，是的两条比分线，求的度数（用含的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图，已知是一个平角，是的比分线，且是一个锐角，射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，且当射线首次与重合时同时停止运动，设运动时间为秒，当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，请直接写出t的值．
20．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵为线段的中点，为的中点，
∴，
即，
∴，
即的值是定值，
故答案为：D.
【分析】根据中点的定义可得，整理即可求解．
2．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：分类讨论：如图所示
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，∠DBE=90°，
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=360°-60°-40°-90°=170°；
如图，
∵∠ABC=60°，∠CBD=40°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-40°=20°，
又∵∠DBE=90°
∴ 三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABE=∠ABD+∠DBE=20°+90°=110°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠DBE=90°，
∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=90°-40°=50°，
∵∠ABC=60°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-50°=10°；
如图，
∵∠CBE=40°，∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-40°=20°，
∵∠EBD=90°，
∴三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角∠ABD=∠EBD-∠ABE=90°-20°=70°；
综上，只有B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分类四种情况解答：①DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC外，②DO与BC夹角为40°，且DO在△ABC内，③EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC外，④EO与BC夹角为40°，且EO在△ABC内，分别画出图形，根据旋转的性质及角的构成求出三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角，即可判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；分类讨论
【解析】【解答】解：
(1)当OD与AC边的夹角为 时，
①当OD在AC下方时，
②当OD在AC上方时，
(2)当OE与AC边的夹角为 时，
①当OE在AC下方时，
②当OE在AC上方时，
综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是
故答案为：C.
【分析】根据题意，画出图形，利用角的和差计算即可.
4．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵，射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∵射线是的角平分线，
∴，
∴，
则，
故选：D．
【分析】
由角平分线的概念可得，，，，结合角的和差关系可得即可．
5．【答案】6或4或8
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，点是线段的巧点，
∴①当点是中点时，有，
∴；
②当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
③当点是的三等分点，且靠近点时，有，
∴；
综上所述，的长为或或，
故答案为：6或4或8.
【分析】根据巧点的定义，分三种情况讨论：①当点是中点时，有，②当点是的三等分点，且靠近点时，有，③当点是的三等分点，且靠近点时，有，结合的长即可求解.
6．【答案】；
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质得，
∵，
∴，
即，
∴；
根据折叠得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角定及角的和差计算.(1)由折叠的性质折叠后角相等，即∠APE=∠A'PE，，结合平角为180°，可推出；(2)同样依据折叠的性质，先确定，再通过角度的和差关系，结合已知∠A'PG=∠EPB'，逐步推导出∠A'PB'的度数.
7．【答案】（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据的度数=旋转速度×旋转时间解题；
（2）根据第二次达到时，在的左侧，利用解题即可；
（3）分为：①平分时，根据，列方程求解，②平分时，根据，列方程求解，③平分时，根据，三种情况列方程解答即可．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：如图，根据题意知：，，
当第二次达到时，，
即，解得：，
故秒时，第二次达到；
（3）解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①平分时，
∵，
∴，
解得：；
②平分时，
∵，即，
∴或，
解得：，或；
③平分时，
∵，
∴，
解得：；
综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线．
8．【答案】（1）解：∵是的差余角，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据“差余角”的定义得到，然后根据平角的定义求出∠BOC的度数；
（2）①利用平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，然后根据平角解题即可；
②由（2）①可得，然后利用，可得，解题即可；
（3）分为在左侧，在右侧，在下方三种情况，画图利用“差余角”的定义即可得到，再根据角的和差解题即可．
（1）解：∵是的差余角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，
∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
9．【答案】（1）3
（2）解：①，
当与互为优角时，可列出方程：
解得或.
②解：，
根据定义可得，同角的优角要么相等，要么相差30°.
当时，
（i）
解得.
（ii）
解得或.
当时，
（i）
解得.
（ii）
解得或.
综上所述，
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）如图可得：∠COD=60°，∠AOB=45°，
∴∠BOC=180°-∠COD-∠AOB=180°-60°-45°=75°，
∴∠BOC的优角度数为60°或90°，即为∠BOC，∠D，∠A，
故答案为：3；
【分析】（1）先求出∠BOC的度数，然后根据“优角”的定义解答即可；
（2） ① 根据旋转得到的度数，然后根据“优角”的定义列方程解题即可；
②由题可得同角的优角要么相等，要么相差30°，然后表示∠AOE和∠BOC'，然后分为和两种情况列方程解题即可.
10．【答案】（1）2
（2）解：①根据题意，得，或，
∴，或；
②∵，
∴或，
解得：或；
③相遇时，有，
当时，都在线段上，如图，
∵，，
∴，
∵线段的中点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当时，都在线段上，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
∵点的速度大于的速度，
∴当时，且当点在点的右侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
当点在点的左侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，的值为或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）①∵为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，
∴
∴，
故答案为：2.
【分析】（1）先求出的值，从而得，进而根据新定义得到答案；
（2）①先由的运动以及的值得到，的值，然后根据新定义进行求解；
②结合①的结论以及题干条件得到关于的方程并解之即可；
③先求出相遇时的时间，然后分情况讨论：当时，都在线段上，求出的值，由可列关于的方程并解之；当时，都在线段上；当时，且当点在点的右侧或左侧时，同理列方程求出的值.
（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和，
∴，即
∴
（2）解：①依题意，，或
∴，或
②∵
∴或
解得：或；
③相遇时，
当时，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：
当时，如图所示，都在线段上，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
点的速度大于的速度，当时，
当点在点的右侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
解得：（舍去）
当点在点的左侧时，如图所示，
∵，
∴
∴
∴
∵
∴．
解得：．
综上所述，的值为或．
11．【答案】（1）30°
（2）解：平分，理由如下：
∵，，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：∵，
∴设，则，
①如图，当在内时，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②如图，当在内时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
故答案为：30°.
【分析】（1）根据角的和差关系进行求解；
（2）先求出，根据角平分线的定义得，从而得，进而得，据此即可得证平分；
（3）设，则，然后分两种情况讨论：①当在内时，由角的和差关系可列出关于的方程并解之，即可求出，于是得；
②当在内时，先求出，则，据此可列出关于的方程并解之，即可求出，于是得.
（1）∵，，
∴，
故答案为：；
（2）平分，理由如下：
∵直线上一点，
∴，
∵，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）∵，
∴设，则，
分两种情况：
①如图，在内，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，在内，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上或．
12．【答案】（1）解：∵OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，
。
（2）解：由(1)知，
（3）解：∵∠AOC与∠AOD互余，∠BOC与∠BOE互补，
∴∠AOC +∠AOD=90°，∠BOC +∠BOE =180°，
设∠AOC=x，∠AOE=a，∠BOD=b，根据（2）可知∠EOD=x，
因此有，
解得x=60，因此x=30°
∴∠EOD=30°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；整体思想
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义即可得到结论；
(3)根据角平分线、互余互补的已知条件，可以列出三元三次方程组，求解即可。
13．【答案】（1）1；20或40
（2）解：∵OC，OD是∠AOB的两条 n比分线
∴不妨设∠AOC-∠BOD=x，∠BOC为nx，则∠COD=|∠BOC-∠BOD|=|n-1|x
∠AOB-∠AOC+∠BOC=(n+1)x，.
∵∠AOB=120°，∴(n+1)x=120，解得x=
∴
（3）解：∵∠AOB=180°， OC是∠AOB的 等分线，
或 或∠AOC=
∵∠AOC是一个锐角，
∴∠AOC=45°，
∵∠BOM=3t°， ∠BON=5t°，
∴∠MON=5t°-3t°=2t°，
①当t≤15时， ∠COM=45°-3t°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(45°-3t°)，
②当15﹤t≤30时， ∠COM=3t°-45°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(3t°-45°)，
③当30﹤t≤36时， ∠AOM=3t°-180°，
∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠AOC=2∠AOM，
∴45°=2(3t°-180°)，
④当36∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(360°-3t°-45°)，
⑤当45∵射线OC是射线OM，ON所成角的2等分线，
∴∠CON=2∠COM，
∴5t°-45°=2(360°-3t°-45°)，
综上所述， 或 或 或
【知识点】角的运算；角平分线的概念；角n等分模型
【解析】【解答】(1)①∵OC是 的角平分线，
故答案为：1；
②∵OC是 的2等分线，
故答案为：
【分析】(1)①根据角平分线的定义即可得到结论；
②根据n等分线的定义即可得到结论；
(2)根据n等分线的定义即可得到结论；
(3)根据已知条件得到 根据题意列方程即可得到结论，分t≤15、15﹤t≤30、30﹤t≤36、3614．【答案】（1）95；80°
（2）解：结论：∠CAD-∠BAE=15°，
理由：由题图得，
∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，
∠CAD-∠BAE=135°-α°-(120°-α°)=15°
（3）解：设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，
∵AB在AE下方，
∴∠BAE=5t°-120°，此时t>24，
①当在AC在AD上方时，如下图，
∠CAD=135°-5t°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(135°-5t°)，
解得t=26秒，符合题意.
②当在AC在AD下方时，如下图，
∠CAD=5t°-135°，
∴当∠BAE=2∠CAD时，
5t°-120°=2(5t°-135°)，
解得t=30秒，符合题意，
综上，26秒或30秒后，∠BAE是∠CAD的两倍
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：(1)当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，
∠CAE=180°-40°=140°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=140°-45°=95°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=140°-60°=80°，
故答案为：95，80°.
【分析】(1)根据旋转的及补角的性质可得∠CAE=180°-40°=140°，再结合三角尺中角的度数分别求出么∠CAD和∠BAE的度数即可；
(2)由题意得∠CAD=135°-α°，∠BAE=120°-α°，再求出∠CAD-∠BAE的度数即可；
(3)设旋转时间为t秒，则旋转角度为5t°，分为当在AC在AD上方时及当在AC在AD下方时，分别求解即可.
15．【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
16．【答案】（1）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（秒），
答：从开始转动至所需的时间为10秒；
（2）解：当从向运动的过程中，当平分时，，
所以运动时间为：（秒），此时，所以
所以
因为运动时间为：（秒），即运动8秒停止，
当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：（秒），∵，
∴此时已经停止运动，
∴此时；
答：当平分时，或；
（3）解：当时，，解得：；
当时，，解得：，
∵运动8秒时，到达，停止运动，
∴此时不符合题意，舍去；
答：在转动过程中，当将分成的两部分时，转动的时间为7秒．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【分析】（1） 求从开始转动至所需的时间 ，实质是求的度数，因为已知，且OD平分，则；
（2） 在和转动过程中，当平分时 ，有两种情形，一种是从OE向OD转动过程中，一种可能是从OD向OE转动过程中，此时应该分类讨论；
（3） 若将分成两部分 ，则也有两种可能，分别是 或，分别列式计算即可。总之，对于动态角度计算问题，一定要弄清哪些量不变，哪些量变化，变化规律是什么，变量与变量之间存在哪些数量关系，必要时还需要分类讨论。
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵（秒），
∴从开始转动至所需的时间为10秒；
（2）解：当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：
（秒），
此时；
运动时间为：（秒），即运动8秒停止，
当从向运动的过程中，当平分时，运动时间为：
（秒），
∵，
∴此时已经停止运动，
∴此时；
综上分析可知：当平分时，或；
（3）解：当时，，
解得：；
当时，，
解得：，
∵运动8秒时，到达，停止运动，
∴此时不符合题意，舍去；
综上分析可知：在转动过程中，当将分成的两部分时，转动的时间为7秒．
17．【答案】（1）解：①∵，，
∴，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴；
②存在，理由如下：
∵，，
∴，
，
，
∵，为的角平分线，
∴，
，
与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”；
（2）解：如图3，当在的右侧时，
和互为“和合角”，
，
旋转角度为，
，
如图4，当在的左侧时，
和互为“和合角”，
或，
旋转角度为或，
或，
综上所述，的值为20或90或114．
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【分析】（1）①先求出，从而得，根据角平分线的定义得，进而求出的度数；
②求出，，，的度数，根据“和合角”的定义进行判断；
（2）分两种情况：当在的右侧或当在的左侧时，根据“和合角”的定义，得到的度数，从而得到旋转角的度数，进而得关于的方程并解之即可求解.
（1）解：①，，，为的角平分线．
，，
，
；
②存在，理由如下：
，，
，
∵，为的角平分线，
∴，
与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”；
（2）解：如图3，当在的右侧时，
和互为“和合角”，
，
旋转角度为，
，
如图4，当在的左侧时，
和互为“和合角”，
或，
旋转角度为或，
或，
综上所述：的值为20或90或114．
18．【答案】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分平分，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】
（1）先由互为补角可得，再由角平分线的定义可得，则；
（2）先由平角的概念分别求出的，再由角平分线的概念分别表示出和，则；
（3）先由角的和差关系求出，再由平角的概念可求得，再由角平分线的概念可得；再由平角的概念表示出，此时再分别用含和的代数式表示出即可得出与存在的等量关系 ．
（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分平分，
，
，
，
（3）解：，
，
，
，
平分，
，
，
．
19．【答案】（）；或；
（）∵，是的两条比分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴；
（）解：∵是的比分线，且是一个锐角，
∴，
∵是一个平角，
∴，
∴，
∵射线，同时从出发，分别以每秒和每秒的速度绕点逆时针旋转，
∴，，
∵当射线首次与重合时同时停止运动，
∴，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
如图，当，
∴，解得：，
由在内部时，即，
∴，，
如图，当，
∴，解得：，
当，
∴，解得：（舍去），
综上可知：当射线，，中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的比分线时，的值为或或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；角n等分模型
【解析】【解答】解：（）∵是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：；
当，
∵，
∴，
∴，
∴；
当，
∵，
∴，
∴，
综上可知：或，
故答案为：或；
【分析】（）根据角平分线得到解题；
分为和两种情况利用角的和差解题即可；
（）根据等分线可得，，即可得到，，再利用角的和差解题；
（）根据在内部时，即，当，当，根据在内部时，即，当，当四种情况列方程解题即可.
20．【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
1 / 1
