《一次函数》精选压轴题（一）—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2023八下·满城期末）如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2，
∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为．
由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，
即当时，不等式成立，
∴不等式的解集为．
故答案为：C．
【分析】先求出A点坐标，然后结合函数图象得到直线y=2x在y=kx+b的上方的自变量的值即可解答．
2．（2024八上·钱塘期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴直线和直线交于点，
若，则直线在直线的上方，如图1，
则，故A正确，C错误；
若时，如图2，
则，则，则．故B，D错误．
故答案为：A．
【分析】联立两直线的解析式求解得到直线和直线交于点，由于M、N两点的横坐标相同，故根据K的取值范围判断出两直线的大概位置，画出草图，进而结合m的取值范围判断出a、b的大小即可逐一判断得出答案.
3．（2025八上·定海期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
，
，
，
，，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，或，，，
，或，整理后均不符合条件，
由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成：
一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
则动点P的轨迹长度为，
故选：C
【分析】本题是新定义题型（中和距离），考查了坐标与图形以及绝对值的化简.首先根据“中和距离”的定义列出等式，通过分类讨论化简绝对值，分情况讨论出动点P的轨迹方程，进而确定轨迹长度.
4．（2025八上·柯城期末）如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】解：如图所示，
由图象可知，直线所对应的函数值最大．
故答案为：C.
【分析】画出四条直线的函数图象，然后找出直线x=a与四条函数图象的交点中位置在最上方的点，该点的函数值就是最大的.
5．（2024八上·浦江期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，有，当时，有，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理可得：，，......都是等腰直角三角形，
∴，，，，
......
∴，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，从而证明是等腰直角三角形，进而同理可证，，......都是等腰直角三角形，即可得到出，，，的坐标，于是根据坐标的变化得到规律：，最后即可得出的坐标.
二、填空题
6．（2025八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
设，则 ，
，
，
，
解得：，
，
的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，知识点涉及到一次函数的交点坐标、坐标与线段长度的关系以及三角形面积公式．先联立两条直线的解析式求出交点C坐标，再设，进而表示 ，根据EF=ED列方程求出a值，最后结合点坐标计算三角形面积.
7．（2024·天桥模拟）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米．
【答案】1.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，
设（t>0），把(0，0)，(2，4) 代入得：
，解得，
所以；
同理求出直线BD的解析式为．
当时，，，所以．
故答案为：1.5
【分析】分别利用待定系数法求出直线AC和BD的解析式，再代入x=3时甲、乙到A地的距离差解题．
8．（2024八上·浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为： ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：设点，
∵直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，
∴当时，；当时，，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵以为斜边在下方作等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴点或，
∵点在直线的下方，
∴，
∵点，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】求出点A，B的坐标，即可求出求出，进而得到，过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，利用勾股定理可得，，即可得到，然后根据两点间的距离公式得到，求出的值，然后根据解题即可．
9．（2025八上·柯桥期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，如图所示：
直线分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，令，则，
∴点，点，
∴在中，，，
根据勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴AD=BD，，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，即轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
∴所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，求得点，点，从而得出，，然后证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，分和两种情况：进行讨论即可得出点P的坐标.
10．（2025八上·定海期末）如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题知，
当过点的直线经过点B时，
，
解得，
则此时的函数解析式为，
同理可得，
当直线经过点D时的解析式为，
所以函数m经过点和，
所以函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，核心是理解一次函数图象与几何图形的交点关系以及函数图象与坐标轴交点的代数意义.本题通过分析一次函数与四边形ABCD的交点情况，结合函数图象与横轴交点的意义(m=0时的k值)，求出两个交点之间的距离.
11．（2025八上·宁波期末）如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则 （用含a的代数式表示）．
【答案】
【知识点】探索规律-函数图象与几何图形的规律；等腰三角形的性质-三线合一；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，，…，在直线上，
∴，，，，…，；
又∵，
故，
∴；
，
；
，
；
；
…
∴（n为奇数），（n为偶数），
∴ ．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将B1、B2、B3三点的横坐标分别代入直线y=2x+3上算出对应的函数值，得到、、的纵坐标，根据等腰三角形的三线合一可求出A1A2=2(1-a)，然后根据三角形面积公式求出S1，同理求出S2、S3、S4……，从而总结出规律：（n为奇数），（n为偶数），然后求出S2025与S2024，再求出即可.
12．（2025八上·龙泉期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
【答案】1；或
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
【分析】
（1）将代入函数解析式得关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）对于一次函数，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，因此应分两种情况讨论，对于时，对应的自变量x的取值范围为，而对于时，对应的自变量x的取值范围为，再结合已知x恰好有两个负整数解分别解不等式组即可．
三、解答题
13．（2024八上·余杭期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：将点B的坐标代入解析式，得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式，然后求出点A的坐标即可；
（2）过点D作轴于点E，即可得到，进而求得，然后得到点，再利用待定系数法求出直线的解析式解题；
（3）利用勾股定理得到AB长，即可得到和点C的坐标是，设点P的坐标为，即可得到，然后根据的面积是面积的一半得到方程求出m值即可解题．
（1）解：将点B的坐标代入解析式，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
14．（2024八上·海曙期末）如图，点，点，，线段的端点从点出发沿线段向点运动，同时另一端点随之只在轴上运动，运动过程中点始终不在点左边，当点到达点后，两点都停止运动，设点的坐标为．
（1）求直线的表达式．
（2）求的最大值．
（3）求点运动的总路程；
（4）当点的横坐标为时，求与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的表达式为y=kx+b，
将A（-6，0）、B（0，8)代入表达式，
得：，
解得：，
∴
答：直线AB的表达式为.
（2）解：∵点Q始终不在点P的左边，
当P点在A点时，PQ=8，A（-6，0），
∴Q（2，0），
当P点在A点时，PQ=8，B（0，8），
∴Q（0，0），
若要m的值最大，即当PQ⊥AB时，m的值才最大，
当PQ⊥AB时，∠APQ=∠AOB=90°，
在△AOB和△APQ中，
，
∴△AOB≌△APQ（AAS），
∴AQ=AB==10，
∴OQ=AQ-OA=4，
∴m的最大值为4.
（3）解：∵点Q的运动轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），
∴点Q运动的总路程为2+4=6.
（4）解：∵ 点从点出发沿线段向点运动，
∴点P在直线AB：上，
将点P得横坐标 代入得y=× （ ）+8= ，
∴点P（，）
过点P作PH⊥x轴于点H，如图所示：
在Rt△PQH中，由勾股定理可得：HQ==，
∴OQ=HQ-OH=，
∴点Q（，0），
设直线PQ得表达式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线PQ得表达式为，
∴当点的横坐标为时，与轴的交点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系；数形结合
【解析】【分析】（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，代入A、B两点，利用待定系数即可求解；
（2）当PQ⊥AB时，m的值才最大，通过证明△AOB≌△APQ即可得到AQ的最大值为10，从而得到M的最大值为4；
（3）点Q的运动轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0）即可得出答案；
（4）先求出点的坐标（，），然后过点P作PH⊥x轴于点H，在Rt△PQH中，利用勾股定理可得HQ=，进而可得点Q（，0），再利用待定系数法求得直线PQ的表示式为，即可得出直线PQ与y轴的交点坐标.
（1）解：设直线的关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以；
（2）解：当时有最大值，
∵点，
∴，根据勾股定理，得.
∵，
∴，
∴，
∴．
所以的最大值为4.
（3）解：当点P与点A重合时，点在，运动到点再运动回到，运动的总路程为6；
（4）解：把代入得，
所以，
作轴于点，
在中，，
，
设直线的表达式为，根据题意，得
，
解得，
所以，
当时，，
所以当点的横坐标为时，与轴的交点坐标为．
15．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
16．（2024八上·浙江期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
（1）求出直线的函数表达式；
（2）在轴上有一点，使得最小，求点的坐标；
（3）若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：∵与轴交于点，
∴令，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与轴相交于点，
∴设直线的解析式为：，
将和代入中得：
，解得：，
∴，
∴直线的函数表达式：；
（2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值， ，
∵，
∴，
∵，的函数表达式：，
∴，解得：，
∴，
∴设直线解析式为：，
∴将，代入中得，
，解得：，
∴，
∵轴上有一点，
∴令，即，
∴点的坐标：；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
设直线与轴交于，过点作轴，
，
∴，轴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点作轴的对称点，连接交轴于，这时有最小值，然后求出，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出P点坐标；
（3）设直线与轴交于，过点作轴，推理得到，求出，再根据两点间距离公式得到CF2，CB2，FB2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
（1）解：∵与轴交于点，
∴令，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与轴相交于点，
∴设直线的解析式为：，
将和代入中得：
，解得：，
∴，
∴直线的函数表达式：；
（2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，
，
∵，
∴，
∵，的函数表达式：，
∴，解得：，
∴，
∴设直线解析式为：，
∴将，代入中得，
，解得：，
∴，
∵轴上有一点，
∴令，即，
∴点的坐标：；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
设直线与轴交于，过点作轴，
，
∴，轴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
17．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
（1）填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．
（2）当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
（3）当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：设点，由点A、B、P的坐标得，，，，
当时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当时，，
解得，
∴点P，
综上，点P的坐标为：或；
（3）B'或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】
解：（1）
∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（3）
当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B'或．
【分析】
（1）由直角三角形两锐角互余可得，再利用含角的直角三角形的性质可得，则再由勾股定理可得，即点，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）由直线上点的坐标特征可设点，根据两点间距离公式可分别得，由于，则当时是直角三角形时，或当时也是直角三角形时，分别利用勾股定理列关于m的方程并求解即可；
（3）如图：
当时，作轴于，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=OB，再由等边对等角、三角形的内角和及折叠的性质可得，，则可计算得，再利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标；
如图：
当时，可利用待定系数法求出直线OP解析式为，再利用等面积法可求得BH的长，再由直线上点的坐标特征可设，再利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，最后再利用中点坐标公式即可求出坐标．
（1），
解：∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（2）设点，
由点A、B、P的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点P，
当为斜边时，
解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
（3）当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B'或．
18．（2025八上·长兴期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）点坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
【分析】本题是平面直角坐标系中结合几何图形（等腰直角三角形）、平移变换、一次函数的综合题，涉及坐标求解、函数解析式确定、动点坐标探究，综合性比较强.
（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，通过构造全等三角形得，利用三角形性质从而得出，，结合已知点得坐标推导OA的长度，从而确定A点坐标；
（2）根据平移规律得出坐标为，坐标为，再将点代入已知直线方程求出平移距离m，最后用待定系数法求出直线A1C1的解析式；
（3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得到全等三角形，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，分情况讨论点E的位置，再利用中点坐标公式求出另一种情况的坐标.
（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，
∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）解：如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
19．（2025八上·丽水期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且
（1）直接写出，的值，______，______；
（2）若G与A重合（如图2），求证：；
（3）若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
即 ；
（3）解：
理由如下：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
∴∠OHF=∠OHE=90°，
∵，OH=OH
∴△EOH≌△FOH(ASA)，
∴，
，
由（2）知：，
即
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解（1）∵ 直线相交于点O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，即，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，；
故答案为：；
【分析】先根据垂线的定义得∠AOB的度数，再利用三角形的内角和可得，然后因式分解，再结合平方的非负性，得到，结合，进行求解即可；
如图2，连接利用角平分线的的性质可得∠AOH、∠FOH的度数，结合垂线的定义可推出∠OAH的度数，再根据三角形的内角和可推出OF=OA，然后利用SAS证，可得，再结合，的度数，等角对等边的性质即可解求证；
如图3，作交于点，先利用等角对等边证则再利用ASA证△EOH≌△FOH，可得OE=OF，然后利用线段的和差得，结合（2）中，再利用线段的和差即可得
（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
；
（3）解：结论：
理由：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
同理，
，
由（2）知：，
即
20．（2024八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由 10 弹簧构成且成本不超过 40 元的弹簧拉力计．
来材 1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图 1， .5弹簧 拉力 与长度 之间有关系式 ；测得弹簧 拉力 与长度 的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材 2：在弹性限度内，弹簧 伸长后最大长度均为 30 cm ．弹簧 每根 6 元，弹簧 每根 3 元．
（1）任务 1：在图 2 中描出以弹簧 测得数据的各对 与 的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务 2：求 关于 的函数表达式，并求出弹簧 在弹性限度内的最大拉力。
（3）任务 3：如何购买 两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
【答案】（1）解：描点如图，
由图可知，这些点在同一条直线上
（2）解：设y2=kx + b，
则：，
解得： ，
则y2=x-5，
当x =30时，y2=25，
则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为25N
（3）解：设购买A种弹簧a根，弹簧拉力计的最大拉力为y，
当x=30时，A的最大拉力为35N，B的最大拉力为25N，
则： y= 35a+25(10 -a) = 10a +250，
∵ 6a + 3 (10 -a)≤40，
解得： a≤
又∵a≥0，
∴0≤a≤，
∴当a = 3时，y的最大值为280，
即：购买3根A弹簧，7根B弹簧，弹簧拉力计的最大拉力为280N
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据秒点法作图；
（2）根据待定系数法求解；
（3）先列出最大拉力的函数，再根据函数的性质求解.
1 / 1《一次函数》精选压轴题（一）—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2023八下·满城期末）如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·钱塘期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025八上·定海期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2025八上·柯城期末）如图，在直角坐标系中，有A，B，C，D四点．当时，直线的函数值分别是，，，，则这四个值中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·浦江期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2025八上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，并与直线相交于点，点在线段上，过点作轴的垂线与直线交于点，与轴交于点，且，则的面积为 ．
7．（2024·天桥模拟）如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米．
8．（2024八上·浙江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，连接，则的长为： ．
9．（2025八上·柯桥期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ．
10．（2025八上·定海期末）如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点P，Q（点P和点Q可以重合）．以k的值为点的横坐标，线段的长度m为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2，则函数m的图象与横轴两交点之间的距离为 ．
11．（2025八上·宁波期末）如图，已知，，……在直线上，在x轴上取点，使，作等腰面积为，等腰面积为，等腰面积为……，则 （用含a的代数式表示）．
12．（2025八上·龙泉期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
三、解答题
13．（2024八上·余杭期末）在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标．
14．（2024八上·海曙期末）如图，点，点，，线段的端点从点出发沿线段向点运动，同时另一端点随之只在轴上运动，运动过程中点始终不在点左边，当点到达点后，两点都停止运动，设点的坐标为．
（1）求直线的表达式．
（2）求的最大值．
（3）求点运动的总路程；
（4）当点的横坐标为时，求与轴的交点坐标．
15．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
16．（2024八上·浙江期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
（1）求出直线的函数表达式；
（2）在轴上有一点，使得最小，求点的坐标；
（3）若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由．
17．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点．
（1）填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______．
（2）当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标．
（3）当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标．
18．（2025八上·长兴期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
19．（2025八上·丽水期末）如图，直线相交于点O，直线l分别交射线，射线于A，B两点，平分，交于点D，点G是直线l上一动点，过G作的垂线，交于E，交于F，垂足为H，设，，且
（1）直接写出，的值，______，______；
（2）若G与A重合（如图2），求证：；
（3）若G是直线上任意一点（如图3），试判断之间的数量关系．
20．（2024八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由 10 弹簧构成且成本不超过 40 元的弹簧拉力计．
来材 1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图 1， .5弹簧 拉力 与长度 之间有关系式 ；测得弹簧 拉力 与长度 的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材 2：在弹性限度内，弹簧 伸长后最大长度均为 30 cm ．弹簧 每根 6 元，弹簧 每根 3 元．
（1）任务 1：在图 2 中描出以弹簧 测得数据的各对 与 的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务 2：求 关于 的函数表达式，并求出弹簧 在弹性限度内的最大拉力。
（3）任务 3：如何购买 两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2，
∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为．
由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，
即当时，不等式成立，
∴不等式的解集为．
故答案为：C．
【分析】先求出A点坐标，然后结合函数图象得到直线y=2x在y=kx+b的上方的自变量的值即可解答．
2．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴直线和直线交于点，
若，则直线在直线的上方，如图1，
则，故A正确，C错误；
若时，如图2，
则，则，则．故B，D错误．
故答案为：A．
【分析】联立两直线的解析式求解得到直线和直线交于点，由于M、N两点的横坐标相同，故根据K的取值范围判断出两直线的大概位置，画出草图，进而结合m的取值范围判断出a、b的大小即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
，
，
，
，，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，或，，，
，或，整理后均不符合条件，
由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成：
一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
则动点P的轨迹长度为，
故选：C
【分析】本题是新定义题型（中和距离），考查了坐标与图形以及绝对值的化简.首先根据“中和距离”的定义列出等式，通过分类讨论化简绝对值，分情况讨论出动点P的轨迹方程，进而确定轨迹长度.
4．【答案】C
【知识点】比较一次函数值的大小；数形结合
【解析】【解答】解：如图所示，
由图象可知，直线所对应的函数值最大．
故答案为：C.
【分析】画出四条直线的函数图象，然后找出直线x=a与四条函数图象的交点中位置在最上方的点，该点的函数值就是最大的.
5．【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-函数上点的规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，有，当时，有，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理可得：，，......都是等腰直角三角形，
∴，，，，
......
∴，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，从而证明是等腰直角三角形，进而同理可证，，......都是等腰直角三角形，即可得到出，，，的坐标，于是根据坐标的变化得到规律：，最后即可得出的坐标.
6．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为；
设，则 ，
，
，
，
解得：，
，
的面积为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，知识点涉及到一次函数的交点坐标、坐标与线段长度的关系以及三角形面积公式．先联立两条直线的解析式求出交点C坐标，再设，进而表示 ，根据EF=ED列方程求出a值，最后结合点坐标计算三角形面积.
7．【答案】1.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，
设（t>0），把(0，0)，(2，4) 代入得：
，解得，
所以；
同理求出直线BD的解析式为．
当时，，，所以．
故答案为：1.5
【分析】分别利用待定系数法求出直线AC和BD的解析式，再代入x=3时甲、乙到A地的距离差解题．
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数中的线段周长问题
【解析】【解答】解：设点，
∵直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，
∴当时，；当时，，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∵以为斜边在下方作等腰，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，，
∴点或，
∵点在直线的下方，
∴，
∵点，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】求出点A，B的坐标，即可求出求出，进而得到，过点作轴交于点，过点轴交于点，过点作交于点，利用勾股定理可得，，即可得到，然后根据两点间的距离公式得到，求出的值，然后根据解题即可．
9．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，如图所示：
直线分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，令，则，
∴点，点，
∴在中，，，
根据勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴AD=BD，，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴点，
∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，即轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
∴所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，求得点，点，从而得出，，然后证明得，则是等腰直角三角形，进而得是等腰直角三角形，设，则，在中，由勾股定理求出，则点，点，当点P在线段上，与的一边平行时，分和两种情况：进行讨论即可得出点P的坐标.
10．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题知，
当过点的直线经过点B时，
，
解得，
则此时的函数解析式为，
同理可得，
当直线经过点D时的解析式为，
所以函数m经过点和，
所以函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，核心是理解一次函数图象与几何图形的交点关系以及函数图象与坐标轴交点的代数意义.本题通过分析一次函数与四边形ABCD的交点情况，结合函数图象与横轴交点的意义(m=0时的k值)，求出两个交点之间的距离.
11．【答案】
【知识点】探索规律-函数图象与几何图形的规律；等腰三角形的性质-三线合一；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，，，…，在直线上，
∴，，，，…，；
又∵，
故，
∴；
，
；
，
；
；
…
∴（n为奇数），（n为偶数），
∴ ．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将B1、B2、B3三点的横坐标分别代入直线y=2x+3上算出对应的函数值，得到、、的纵坐标，根据等腰三角形的三线合一可求出A1A2=2(1-a)，然后根据三角形面积公式求出S1，同理求出S2、S3、S4……，从而总结出规律：（n为奇数），（n为偶数），然后求出S2025与S2024，再求出即可.
12．【答案】1；或
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
【分析】
（1）将代入函数解析式得关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）对于一次函数，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小，因此应分两种情况讨论，对于时，对应的自变量x的取值范围为，而对于时，对应的自变量x的取值范围为，再结合已知x恰好有两个负整数解分别解不等式组即可．
13．【答案】（1）解：将点B的坐标代入解析式，得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线解析式，然后求出点A的坐标即可；
（2）过点D作轴于点E，即可得到，进而求得，然后得到点，再利用待定系数法求出直线的解析式解题；
（3）利用勾股定理得到AB长，即可得到和点C的坐标是，设点P的坐标为，即可得到，然后根据的面积是面积的一半得到方程求出m值即可解题．
（1）解：将点B的坐标代入解析式，
得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴点A的坐标为；
（2）过点D作轴于点E，，
由旋转可知，，
∴，
又∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）在中，，
∵，
∴，
∴，
对于，
当时，，
∴，
则点C的坐标是，
设点P的坐标为，则，
则，
∵的面积是面积的一半，
∴，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
14．【答案】（1）解：设直线AB的表达式为y=kx+b，
将A（-6，0）、B（0，8)代入表达式，
得：，
解得：，
∴
答：直线AB的表达式为.
（2）解：∵点Q始终不在点P的左边，
当P点在A点时，PQ=8，A（-6，0），
∴Q（2，0），
当P点在A点时，PQ=8，B（0，8），
∴Q（0，0），
若要m的值最大，即当PQ⊥AB时，m的值才最大，
当PQ⊥AB时，∠APQ=∠AOB=90°，
在△AOB和△APQ中，
，
∴△AOB≌△APQ（AAS），
∴AQ=AB==10，
∴OQ=AQ-OA=4，
∴m的最大值为4.
（3）解：∵点Q的运动轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0），
∴点Q运动的总路程为2+4=6.
（4）解：∵ 点从点出发沿线段向点运动，
∴点P在直线AB：上，
将点P得横坐标 代入得y=× （ ）+8= ，
∴点P（，）
过点P作PH⊥x轴于点H，如图所示：
在Rt△PQH中，由勾股定理可得：HQ==，
∴OQ=HQ-OH=，
∴点Q（，0），
设直线PQ得表达式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线PQ得表达式为，
∴当点的横坐标为时，与轴的交点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系；数形结合
【解析】【分析】（1）设直线AB的表达式为y=kx+b，代入A、B两点，利用待定系数即可求解；
（2）当PQ⊥AB时，m的值才最大，通过证明△AOB≌△APQ即可得到AQ的最大值为10，从而得到M的最大值为4；
（3）点Q的运动轨迹为：从点（2，0）到点（4，0）再到点（0，0）即可得出答案；
（4）先求出点的坐标（，），然后过点P作PH⊥x轴于点H，在Rt△PQH中，利用勾股定理可得HQ=，进而可得点Q（，0），再利用待定系数法求得直线PQ的表示式为，即可得出直线PQ与y轴的交点坐标.
（1）解：设直线的关系式为，根据题意，得
，
解得，
所以；
（2）解：当时有最大值，
∵点，
∴，根据勾股定理，得.
∵，
∴，
∴，
∴．
所以的最大值为4.
（3）解：当点P与点A重合时，点在，运动到点再运动回到，运动的总路程为6；
（4）解：把代入得，
所以，
作轴于点，
在中，，
，
设直线的表达式为，根据题意，得
，
解得，
所以，
当时，，
所以当点的横坐标为时，与轴的交点坐标为．
15．【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
16．【答案】（1）解：∵与轴交于点，
∴令，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与轴相交于点，
∴设直线的解析式为：，
将和代入中得：
，解得：，
∴，
∴直线的函数表达式：；
（2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值， ，
∵，
∴，
∵，的函数表达式：，
∴，解得：，
∴，
∴设直线解析式为：，
∴将，代入中得，
，解得：，
∴，
∵轴上有一点，
∴令，即，
∴点的坐标：；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
设直线与轴交于，过点作轴，
，
∴，轴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的线段周长问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）过点作轴的对称点，连接交轴于，这时有最小值，然后求出，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求出P点坐标；
（3）设直线与轴交于，过点作轴，推理得到，求出，再根据两点间距离公式得到CF2，CB2，FB2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
（1）解：∵与轴交于点，
∴令，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直线与轴相交于点，
∴设直线的解析式为：，
将和代入中得：
，解得：，
∴，
∴直线的函数表达式：；
（2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，
，
∵，
∴，
∵，的函数表达式：，
∴，解得：，
∴，
∴设直线解析式为：，
∴将，代入中得，
，解得：，
∴，
∵轴上有一点，
∴令，即，
∴点的坐标：；
（3）解：是等腰直角三角形，理由如下：
设直线与轴交于，过点作轴，
，
∴，轴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形．
17．【答案】（1），
（2）解：设点，由点A、B、P的坐标得，，，，
当时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当时，，
解得，
∴点P，
综上，点P的坐标为：或；
（3）B'或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】
解：（1）
∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（3）
当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B'或．
【分析】
（1）由直角三角形两锐角互余可得，再利用含角的直角三角形的性质可得，则再由勾股定理可得，即点，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）由直线上点的坐标特征可设点，根据两点间距离公式可分别得，由于，则当时是直角三角形时，或当时也是直角三角形时，分别利用勾股定理列关于m的方程并求解即可；
（3）如图：
当时，作轴于，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP=OB，再由等边对等角、三角形的内角和及折叠的性质可得，，则可计算得，再利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标；
如图：
当时，可利用待定系数法求出直线OP解析式为，再利用等面积法可求得BH的长，再由直线上点的坐标特征可设，再利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，最后再利用中点坐标公式即可求出坐标．
（1），
解：∵，则，，
∴，
∴，则点，
设直线的表达式为，
∴，
解得：
∴直线的表达式为：，
故答案为：，；
（2）设点，
由点A、B、P的坐标得，，，，
当为斜边时，则，
解得：（舍去）或，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点P，
当为斜边时，
解得：（舍去），
综上，点P的坐标为：或；
（3）当点P的坐标为时，如图，作轴于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠性质可知：，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点P的坐标为时，则，
设直线解析式为，与交于点，
∴，
解得：，直线解析式为，
由折叠性质可知：垂直平分，
∵，
∴，
解得：，
设，
∴，
解得：，
∴点，
由中点坐标公式得：点，
综上，B'或．
18．【答案】（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）点坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（3）如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
【分析】本题是平面直角坐标系中结合几何图形（等腰直角三角形）、平移变换、一次函数的综合题，涉及坐标求解、函数解析式确定、动点坐标探究，综合性比较强.
（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，通过构造全等三角形得，利用三角形性质从而得出，，结合已知点得坐标推导OA的长度，从而确定A点坐标；
（2）根据平移规律得出坐标为，坐标为，再将点代入已知直线方程求出平移距离m，最后用待定系数法求出直线A1C1的解析式；
（3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得到全等三角形，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，分情况讨论点E的位置，再利用中点坐标公式求出另一种情况的坐标.
（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，
∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）解：如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
19．【答案】（1）
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
即 ；
（3）解：
理由如下：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
∴∠OHF=∠OHE=90°，
∵，OH=OH
∴△EOH≌△FOH(ASA)，
∴，
，
由（2）知：，
即
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解（1）∵ 直线相交于点O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，即，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，；
故答案为：；
【分析】先根据垂线的定义得∠AOB的度数，再利用三角形的内角和可得，然后因式分解，再结合平方的非负性，得到，结合，进行求解即可；
如图2，连接利用角平分线的的性质可得∠AOH、∠FOH的度数，结合垂线的定义可推出∠OAH的度数，再根据三角形的内角和可推出OF=OA，然后利用SAS证，可得，再结合，的度数，等角对等边的性质即可解求证；
如图3，作交于点，先利用等角对等边证则再利用ASA证△EOH≌△FOH，可得OE=OF，然后利用线段的和差得，结合（2）中，再利用线段的和差即可得
（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
（2）证明：如图2中，连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，，
，
；
（3）解：结论：
理由：如图3中，作交OB于点，
，
，
，
，
同理，
，
由（2）知：，
即
20．【答案】（1）解：描点如图，
由图可知，这些点在同一条直线上
（2）解：设y2=kx + b，
则：，
解得： ，
则y2=x-5，
当x =30时，y2=25，
则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为25N
（3）解：设购买A种弹簧a根，弹簧拉力计的最大拉力为y，
当x=30时，A的最大拉力为35N，B的最大拉力为25N，
则： y= 35a+25(10 -a) = 10a +250，
∵ 6a + 3 (10 -a)≤40，
解得： a≤
又∵a≥0，
∴0≤a≤，
∴当a = 3时，y的最大值为280，
即：购买3根A弹簧，7根B弹簧，弹簧拉力计的最大拉力为280N
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据秒点法作图；
（2）根据待定系数法求解；
（3）先列出最大拉力的函数，再根据函数的性质求解.
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