《一次函数》精选压轴题（二）—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
2．（2025八上·鄞州期末）如图是甲，乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．乙车前 6 秒行驶的路程为 48 米
B．在 0 到 6 秒内甲车的速度每秒增加 米
C．当两车速度相等时，乙车行驶了 19.6 米
D．在第 3 秒到第 9 秒内甲车的速度都大于乙车的速度
3．（2025八上·海曙期末）小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程（米）与出发时间（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小明到达球场时小华离球场3150米
B．小华家距离球场3500米
C．小华到家时小明已经在球场待了8分钟
D．整个过程一共耗时30分钟
4．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 .
6．（2025八上·滨江期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ．
7．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ．
8．（2025八上·海曙期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ．
9．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为 ．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
10．（2025八上·西湖期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ．
11．（2025八上·吴兴期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
三、解答题
12．（2025八上·镇海区期末）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，已知 ．
（1）求 点坐标和直线 的解析式；
（2）已知点 为直线 上一动点，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，连结 ． .
①求 的度数．
②当 为直角三角形时，请直接写出点 的坐标．
13．（2025八上·海曙期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且．
（1）求直线的函数表达式．
（2）当点E恰好是中点时，求长．
（3）是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
14．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
（1）若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
（2）连接，若，当最小时，求点的坐标．
15．（2025八上·义乌期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
17．（2025八上·吴兴期末）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及的函数表达式；
（2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
点的坐标为_____；（用含有的代数式表示）
在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围．
18．（2025八上·余姚期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．
例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
19．（2025八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
2．【答案】C
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A.根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为：6×8=48(米)，故A正确，不符合题意；
B.根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则
每秒增加：30÷9=(米)，故B正确，不符合题意；
C、当两车速度相等时的时间为：8÷=2.4(秒)，乙车行驶：2.4×8=19.2(米)，故C错误，符合题意；
D、由图象知，3秒时甲的速度为×3=10>8米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据图中自变量时间与因变量速度关系结合速度、时间及路程的关系依次判断即可.
3．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设小华的速度为x米/分，则依题意得：
（20-18）x+180×20=10x
解得：x=450
∴（450×10-3600）÷180=5（分）
∴当小明到达球场时小华离球场的距离为：450×（5+2）=3150（米）．
故A选项正确；
小华家距球场450×10=4500米，故B选项错误；
小华到达家时小明在球场呆的时间为：10+8+10-4500÷180=3（分）
故C选项错误；
整个过程耗时10+8+10=28（分）
故D选项错误．
故答案为：A．
【分析】设小华的速度为x米/分，利用小华返回时与小明相遇时所走的路程之和=小华家与球场之间的距离列一元一次方程方程求出小华的速度，然后根据图象，求出当小明到达球场时小华从球场出发返回家所用的时间为5分钟，然后利用“路程=速度×时间”即可求出当小明到达球场时小华离球场的距离．
4．【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H，
，
，
线段绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
当点B在第二象限时，设点B的坐标为（），
则，，
，，
，
令，
消去m，得，
点C在直线上，
令，则，
所以直线与y轴的交点为，
令，则，
解得，
所以直线与x轴的交点为，
，
，
，
分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，，
则，，，，，
，
，，
，
，
的周长，
当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
所以点C的坐标为．
故选：D．
【分析】
由旋转知，BO＝CO、，则可分别过点B、C作x轴的垂线段BG、CH，则由一线三垂直全等模型可证明，则有BG＝OH、GO＝HC，再由直线上点的坐标特征可设点B的坐标为，则，即点C在直线上，再分别作点A关于y轴和直线的对称点和，则由轴对称的性质可得当点C，D都在线段上时的周长最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，即联立直线与直线的解析式并解方程即可．
5．【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
6．【答案】或
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：是一次函数，
当时，随的增大而减小，
至少有一个的值使得，
当时，有，
解得：；
当时，随的增大而增大，
至少有一个的值使得，
当时，有，
解得：；
的取值范围为或．
故答案为： 或．
【分析】根据一次函数的增减性可以得到或，求不等式得到的取值范围解题．
7．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
8．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行线的判定；等腰三角形的判定；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则，
∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，即可得到，即可求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P，过作直线交x轴于点C，求出直线的解析式，即可得到点C的坐标，然后利用勾股定理求出的长，根据，得到关于a的方程解题即可．
9．【答案】；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出A、B的坐标，则OA、OB长可得，再利用勾股定理求出斜边AB的长，最后再利用等面积法求出OC长即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征设出点坐标，则可利用两点距离公式求出点C的坐标，再由角平分线可知，再分类讨论，即或时，都为直角三角形．对于，可过点P作平行x轴的直线，再分别过点A、C作该直线的垂线段AN、CM，则可利用一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质结合A、C的坐标即可；同理对于，可过点A作平等于y轴的直线，再分别过点P、C作该直线的垂线段CE、PF，再利用一线三垂直全等模型证明即可.
10．【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】由题意得，当x=7时，△ACP面积最大，此时
AP=AB=7×1=7(cm)；当x=11时，△ACP面积为0，此时可得BC=4×1=4(cm).
又∵∠ACB=90°，
∴(cm)
∴△ABC的面积为：(cm2)，周长为(cm)，
故答案为：；.
【分析】依据题意，由x=7时和x=11，分别求出AB、BC，再由∠ACB=90°，可得，进而可以计算得解．
11．【答案】；
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用SAS可证得，再根据全等三角形的性质可求出OQ的长。由此即可得到点Q的坐标.
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
12．【答案】（1）解：当 时，
（2）解：①如图1，
在AB上截取AD = AC， 连接CD， 作QE⊥x轴于点E，
∴∠ABO=30°，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AC， ∠ADC =∠ACD =60°，
∵点P绕点C(1，0)顺时针旋转60°得到点Q，
∴∠PCQ =60°， CP=CQ，
∴∠PCQ=∠ACD，
∴∠PCQ-∠DCQ=∠ACD-∠DCQ，
∴∠PCD=∠CAQ，
∴△PCQ≌△QCA(SAS)，
∴∠CAQ =∠PDC =180°-∠ADC=120°；
②如图1，
当∠AQC=90°时，
∵C(1，0)，
∴当 时，
∴；
如图2，
当
同理可得，
综上所述： 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先求得OB的值，进而根据三角形面积公式列出 从而求得OA的值，进而得出A的坐标，将其代入函数的解析式，求得k的值，进一步得出结果；
(2)①在AB上截取AD = AC， 连接CD， 作QE⊥x轴于点E， 可得出∠CAD =60°， 进而得出△ACD是等边三角形， 进而证明△PCQ≌△QCA，从而得出∠CAQ =∠PDC =120°；
②分两种情形： 当∠AQC =90°时， 可得出∠ACP =90°， 进而求得( 在直角三角形CQE中求得QE和CE，进一步得出结果； 当∠APQ =90°， 同样得出∠ACQ=90°，∠AQC =30°， 进一步得出结果.
13．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：
，
解得，，
故直线的表达式为：；
（2）解：当时，解得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
（3）解：①当时，，则是中线，则，故点，
设直线的表达式为，
把点C、F的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为，
故点，则；
②当时，则点，
则，
故点，
同理直线的表达式为：，
故；
综上，或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，即可得到解题即可；
（3）①当时AC是中线，则根据勾股定理求出AF长，即可得到点，然后求出直线CF的解析式，即可得到点E的坐标；②当时，得到点，求出点，然后求出直线CF的解析式，即可得到点E的坐标．
（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：
，
解得，，
故直线的表达式为：；
（2）解：当时，
解得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
（3）解：①当时，，则是中线，则，
故点，
设直线的表达式为，
把点C、F的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为，
故点，则；
②当时，则点，
则，
故点，
同理直线的表达式为：，
故；
综上，或2．
14．【答案】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出，，然后根据勾股定理求出长，然后根据解题；
②设，即可得到，然后在中利用勾股定理求出m的值，再根据等腰三角形的定义分情况解题即可；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，得到，即可得到，即可得到当在上时，取得最小值；设，利用勾股定理可得，即可求出的解析式为，设，则，，求出m值，然后得到的解析式为解题即可．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
15．【答案】（1）
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
【分析】
（1）由直线上点的坐标特征可分别把代入两个函数解析式中解方程即可；
（2）由轴对称知，则由题意可得点A`在线段OC上且直线AB与直线CD的交点在y轴右侧，则可得关于k的不等式组并求解即可；
（3）先由直线上点的坐标特征可得，再由中点坐标公式可得，则利用待定系数法可得，则直线AB的解析式为；则当点E`在x轴上时，点，则由轴对称的性质可知EE`中点的坐标为，则点Q的纵坐标为，再把代入到直线AB的解析式中即可；当点E`在y轴上时，由勾股定理结合轴对称可得DE`=DE=5，即，则EE`的中点F的坐标可求，再利用待定系数法求出直线DF的解析式，再联立直线AB的解析式列方程并求解即可．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
16．【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
17．【答案】（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴
（3）；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：
【知识点】旋转的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：①过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）将点D代入直线中，即可求出，再将代入直线中，即可求出b的值，即可得到的函数表达式；
（2）如图，连接，设点，求出，得到，根据的面积为，由，列方程求解即可；
（3）过点G作轴于点H，证明，得到，即可得到点G的坐标；由知，点G在直线上运动，分当点G在上时，点G在上时，当点G在上时，求出x的值，结合图形即可得出结论．
（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴；
（3）解：过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：．
18．【答案】解：（1）是
（2）或．
（3）设
当时，如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
即
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图过作于点，
同理可得
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
综上所述：或．
（4）．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点，
∴，，，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为 ：是；
（2）∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，
∴∠CEB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ECB=∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
又AB=BC，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴，
∴，
∴；
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案 ：或；
（4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线为，
如图过点分别作，
∵，，，
∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形，
∴
∴，
∴，
即，
，
所以．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AC、AB及BC的长，则AB=BC，根据点的坐标与图形性质可得∠ABC=90°，从而根据“等垂点”定义得出结论；
（2）当C分点在B点上方时，首先利用AAS判断出△BCE≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得BE=OA=4，CE=BO=3，则CF=OE=BE+OB=7，从而可得点C的坐标；当C分点在B点下方时，同理可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF=OA=4，BF=AE=BO=3，则BH=CF=4，CH=BF=3，OH=BH-OB=1，从而可得点C的坐标；
（3）当点B在轴上方，利用AAS判断出△CBM≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CM=OB=n，MB=OA=5，则C(n，n+5)或(-n，n-5)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；当B在y轴下方时，同理可得C(n，-n-5)或(-n，5-n)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；
（4）特殊点法求一次函数解析式，等面积法求出△EMP的高PN，进而根据三角形面积公式计算可得答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，
解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
∴弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先描点、再连线，得出函数图象，从而可作出判断；
（2）利用待定系数法计算即可得出y2关于x的函数关系式，进而根据函数的增减性即可计算出弹簧B在弹性限度内的最大拉力 ；
（3）设弹簧A为m根，则弹簧B为（10-m）根，根据购买两种弹簧成本不超过40元，列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；然后根据y=y1+y2列出最大拉力y关于m的函数解析式，根据增减性解题即可．
（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
1 / 1《一次函数》精选压轴题（二）—浙江省八（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
2．（2025八上·鄞州期末）如图是甲，乙两车在某时段速度随时间变化的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．乙车前 6 秒行驶的路程为 48 米
B．在 0 到 6 秒内甲车的速度每秒增加 米
C．当两车速度相等时，乙车行驶了 19.6 米
D．在第 3 秒到第 9 秒内甲车的速度都大于乙车的速度
【答案】C
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A.根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为：6×8=48(米)，故A正确，不符合题意；
B.根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则
每秒增加：30÷9=(米)，故B正确，不符合题意；
C、当两车速度相等时的时间为：8÷=2.4(秒)，乙车行驶：2.4×8=19.2(米)，故C错误，符合题意；
D、由图象知，3秒时甲的速度为×3=10>8米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据图中自变量时间与因变量速度关系结合速度、时间及路程的关系依次判断即可.
3．（2025八上·海曙期末）小明和小华同时从小华家出发到球场去．小华先到并停留了8分钟，发现东西忘在了家里，于是沿原路以同样的速度回家去取．已知小明的速度为180米/分，他们各自距离小华家的路程（米）与出发时间（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小明到达球场时小华离球场3150米
B．小华家距离球场3500米
C．小华到家时小明已经在球场待了8分钟
D．整个过程一共耗时30分钟
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设小华的速度为x米/分，则依题意得：
（20-18）x+180×20=10x
解得：x=450
∴（450×10-3600）÷180=5（分）
∴当小明到达球场时小华离球场的距离为：450×（5+2）=3150（米）．
故A选项正确；
小华家距球场450×10=4500米，故B选项错误；
小华到达家时小明在球场呆的时间为：10+8+10-4500÷180=3（分）
故C选项错误；
整个过程耗时10+8+10=28（分）
故D选项错误．
故答案为：A．
【分析】设小华的速度为x米/分，利用小华返回时与小明相遇时所走的路程之和=小华家与球场之间的距离列一元一次方程方程求出小华的速度，然后根据图象，求出当小明到达球场时小华从球场出发返回家所用的时间为5分钟，然后利用“路程=速度×时间”即可求出当小明到达球场时小华离球场的距离．
4．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数中的动态几何问题；同侧一线三垂直全等模型；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H，
，
，
线段绕点O顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
当点B在第二象限时，设点B的坐标为（），
则，，
，，
，
令，
消去m，得，
点C在直线上，
令，则，
所以直线与y轴的交点为，
令，则，
解得，
所以直线与x轴的交点为，
，
，
，
分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，，
则，，，，，
，
，，
，
，
的周长，
当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
所以点C的坐标为．
故选：D．
【分析】
由旋转知，BO＝CO、，则可分别过点B、C作x轴的垂线段BG、CH，则由一线三垂直全等模型可证明，则有BG＝OH、GO＝HC，再由直线上点的坐标特征可设点B的坐标为，则，即点C在直线上，再分别作点A关于y轴和直线的对称点和，则由轴对称的性质可得当点C，D都在线段上时的周长最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，即联立直线与直线的解析式并解方程即可．
二、填空题
5．（2025八上·慈溪期末）对于一次函数y=kx-k-l（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 .
【答案】2或-2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：因为
所以一次函数的图象过定点(
又因为当 时，y有3个整数值，
则当 时，
解得
则整数k的值为2.
当 时，
解得
则整数k的值为
综上所述，符合条件的整数k的值为2或-2.
故答案为：2或
【分析】根据所给函数解析式，得出函数图象过定点( ，再根据 时，y有3个整数值，结合分类讨论的数学思想即可解决问题.
6．（2025八上·滨江期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：是一次函数，
当时，随的增大而减小，
至少有一个的值使得，
当时，有，
解得：；
当时，随的增大而增大，
至少有一个的值使得，
当时，有，
解得：；
的取值范围为或．
故答案为： 或．
【分析】根据一次函数的增减性可以得到或，求不等式得到的取值范围解题．
7．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
8．（2025八上·海曙期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是直线上的一个动点，若，则点P的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行线的判定；等腰三角形的判定；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴P点纵坐标为4，
又P点在直线上，把代入可求得，
∴P点坐标为；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为，设直线的解析式为，
把A、P坐标代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
令可得，
解得：，
∴C点坐标为，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
则，
∴P点坐标为，
综上可知，P点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，即可得到，即可求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P，过作直线交x轴于点C，求出直线的解析式，即可得到点C的坐标，然后利用勾股定理求出的长，根据，得到关于a的方程解题即可．
9．（2025八上·义乌期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为 ．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】；或
【知识点】坐标与图形性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的角度问题
【解析】【解答】解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
（1）先利用直线上点的坐标特征分别求出A、B的坐标，则OA、OB长可得，再利用勾股定理求出斜边AB的长，最后再利用等面积法求出OC长即可；
（2）先利用直线上点的坐标特征设出点坐标，则可利用两点距离公式求出点C的坐标，再由角平分线可知，再分类讨论，即或时，都为直角三角形．对于，可过点P作平行x轴的直线，再分别过点A、C作该直线的垂线段AN、CM，则可利用一线三垂直全等模型证明，再利用全等的性质结合A、C的坐标即可；同理对于，可过点A作平等于y轴的直线，再分别过点P、C作该直线的垂线段CE、PF，再利用一线三垂直全等模型证明即可.
10．（2025八上·西湖期末）如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的面积为 ，周长为 ．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】由题意得，当x=7时，△ACP面积最大，此时
AP=AB=7×1=7(cm)；当x=11时，△ACP面积为0，此时可得BC=4×1=4(cm).
又∵∠ACB=90°，
∴(cm)
∴△ABC的面积为：(cm2)，周长为(cm)，
故答案为：；.
【分析】依据题意，由x=7时和x=11，分别求出AB、BC，再由∠ACB=90°，可得，进而可以计算得解．
11．（2025八上·吴兴期末）当前我国的军事国防能力稳步提升，特别是激光武器发展迅速．
（1）如图1，一束激光从点出发，射向轴上的点，经过反射后射向点，已知光线的反射满足反射定律（即反射角入射角）．若点，点，则直线与轴的交点的坐标为
（2）如图2，线段是一根激光感应器，其函数表达式为，从点射出的激光射向位于轴上的镜面，经过反射后恰好覆盖线段上的4个整数点（横纵坐标都为整数的点），则的最小值为 ．
【答案】；
【知识点】三角形全等的判定-ASA；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，由题意得：，
由对顶角相等得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点位于轴的负半轴上，
∴直线与轴的交点的坐标为，
故答案为：．
（2）对于函数，
要使得y为整数，则x为偶数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴线段上共有5个整数点：，，，，，
∵，
∴由（1）可知，直线与轴的交点坐标均为，
则有以下两个临界位置：
①当点的坐标为，点的坐标为时，
设直线的解析式为，
将点和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，即，
同理可得：直线的解析式为，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
②当点的坐标为，点的坐标为时，
同理可得：直线的解析式为，直线的解析式为，
当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
∴此时的最小值为；
∵，
∴当镜面的端点放在点、端点放在点的位置上时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用SAS可证得，再根据全等三角形的性质可求出OQ的长。由此即可得到点Q的坐标.
（2）先求出线段上共有5个整数点：，，，，，再找出两个临界位置：①当点的坐标为，点的坐标为时，②当点的坐标为，点的坐标为时，分别求出点的坐标，由此即可得．
三、解答题
12．（2025八上·镇海区期末）如图，直线 分别交 轴， 轴于点 ，已知 ．
（1）求 点坐标和直线 的解析式；
（2）已知点 为直线 上一动点，将点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，连结 ． .
①求 的度数．
②当 为直角三角形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】（1）解：当 时，
（2）解：①如图1，
在AB上截取AD = AC， 连接CD， 作QE⊥x轴于点E，
∴∠ABO=30°，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AC， ∠ADC =∠ACD =60°，
∵点P绕点C(1，0)顺时针旋转60°得到点Q，
∴∠PCQ =60°， CP=CQ，
∴∠PCQ=∠ACD，
∴∠PCQ-∠DCQ=∠ACD-∠DCQ，
∴∠PCD=∠CAQ，
∴△PCQ≌△QCA(SAS)，
∴∠CAQ =∠PDC =180°-∠ADC=120°；
②如图1，
当∠AQC=90°时，
∵C(1，0)，
∴当 时，
∴；
如图2，
当
同理可得，
综上所述： 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)先求得OB的值，进而根据三角形面积公式列出 从而求得OA的值，进而得出A的坐标，将其代入函数的解析式，求得k的值，进一步得出结果；
(2)①在AB上截取AD = AC， 连接CD， 作QE⊥x轴于点E， 可得出∠CAD =60°， 进而得出△ACD是等边三角形， 进而证明△PCQ≌△QCA，从而得出∠CAQ =∠PDC =120°；
②分两种情形： 当∠AQC =90°时， 可得出∠ACP =90°， 进而求得( 在直角三角形CQE中求得QE和CE，进一步得出结果； 当∠APQ =90°， 同样得出∠ACQ=90°，∠AQC =30°， 进一步得出结果.
13．（2025八上·海曙期末）如图，直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，点，过作平行x轴的直线，交于点C，点在线段上，延长交x轴于点F，点G在x轴正半轴上，且．
（1）求直线的函数表达式．
（2）当点E恰好是中点时，求长．
（3）是否存在m，使得是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：
，
解得，，
故直线的表达式为：；
（2）解：当时，解得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
（3）解：①当时，，则是中线，则，故点，
设直线的表达式为，
把点C、F的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为，
故点，则；
②当时，则点，
则，
故点，
同理直线的表达式为：，
故；
综上，或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，即可得到解题即可；
（3）①当时AC是中线，则根据勾股定理求出AF长，即可得到点，然后求出直线CF的解析式，即可得到点E的坐标；②当时，得到点，求出点，然后求出直线CF的解析式，即可得到点E的坐标．
（1）解：将点A、B的坐标代入函数表达式得：
，
解得，，
故直线的表达式为：；
（2）解：当时，
解得，
∴点C的坐标为，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
（3）解：①当时，，则是中线，则，
故点，
设直线的表达式为，
把点C、F的坐标代入得
解得
∴直线的表达式为，
故点，则；
②当时，则点，
则，
故点，
同理直线的表达式为：，
故；
综上，或2．
14．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点．
（1）若．
①求的长．
②若是等腰三角形，求点的坐标．
（2）连接，若，当最小时，求点的坐标．
【答案】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的概念；一次函数中的线段周长问题
【解析】【分析】（1）①先求出，，然后根据勾股定理求出长，然后根据解题；
②设，即可得到，然后在中利用勾股定理求出m的值，再根据等腰三角形的定义分情况解题即可；
（2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，得到，即可得到，即可得到当在上时，取得最小值；设，利用勾股定理可得，即可求出的解析式为，设，则，，求出m值，然后得到的解析式为解题即可．
（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴
②如图所示，过点作轴于点，
设，则，则，
在中，，
∴ ，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设，则，，
∵是等腰三角形，
当时，则，
当时，则，
解得：（舍去）或 ，
当时，则，
解得：，
∴或或；
（2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，
∵，，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，取得最小值；
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
设的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
设，则，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为代入，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
当时，，
解得：，
∴当最小时，点的坐标为．
15．（2025八上·义乌期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E．
（1）点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）．
（2）若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围．
（3）如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
【分析】
（1）由直线上点的坐标特征可分别把代入两个函数解析式中解方程即可；
（2）由轴对称知，则由题意可得点A`在线段OC上且直线AB与直线CD的交点在y轴右侧，则可得关于k的不等式组并求解即可；
（3）先由直线上点的坐标特征可得，再由中点坐标公式可得，则利用待定系数法可得，则直线AB的解析式为；则当点E`在x轴上时，点，则由轴对称的性质可知EE`中点的坐标为，则点Q的纵坐标为，再把代入到直线AB的解析式中即可；当点E`在y轴上时，由勾股定理结合轴对称可得DE`=DE=5，即，则EE`的中点F的坐标可求，再利用待定系数法求出直线DF的解析式，再联立直线AB的解析式列方程并求解即可．
（1）解：当时，
，，
，，
，，
故答案为：，；
（2）解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E．
∴
解得：．
（3）解：如图1，
当点落在轴上时，设，
关于直线的对称点为，
，，
当时，，
，
点是的中点，
，
，，
，
，
，
轴，
，，
，
轴，
，
过，
，
，
，
由得，
，
，
如图2，
当点在轴上时，
，，
，
，
，
，
，即，
设直线的解析式为：，
，
，
，
由得，
，
，
综上所述：或．
16．（2025八上·淳安期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上．
（）求函数的“倍差函数”的表达式；
（）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标；
【拓展提升】
（）在（）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，．若直线与有交点，求的取值范围．
【答案】解：（）∵，
∴，
即；
（）∵点在函数的图象上，
∴点的坐标为，
∵函数的“倍差函数”的表达式为，
∴点的坐标为，
∵与点的纵坐标的和为，
∴．
解得，
∴点的坐标为；
（）由（）可得：点的坐标为，，
∵直线交轴于点，
∴点，
设直线的表达式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∵直线与有交点，
∴直线与线段有交点即可，
∴，
解得，
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（）利用 “倍差函数”的定义计算解题；
（）先得到点的坐标，然后利用“倍差点”的定义解题即可；
（）得到的坐标，即可画出，利用函数图象得到临界值解题即可.
17．（2025八上·吴兴期末）如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与直线相交于点，与轴交于点．
（1）求的值及的函数表达式；
（2）在轴负半轴上有一个点，当的面积为时，求点坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连结点与轴正半轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．
点的坐标为_____；（用含有的代数式表示）
在点运动的过程中，若线段与的边只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴
（3）；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：
【知识点】旋转的性质；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：①过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】（1）将点D代入直线中，即可求出，再将代入直线中，即可求出b的值，即可得到的函数表达式；
（2）如图，连接，设点，求出，得到，根据的面积为，由，列方程求解即可；
（3）过点G作轴于点H，证明，得到，即可得到点G的坐标；由知，点G在直线上运动，分当点G在上时，点G在上时，当点G在上时，求出x的值，结合图形即可得出结论．
（1）解：将点D代入直线中，则；
，
再将代入直线中，
则，
，
的函数表达式为：；
（2）解：如图，连接，设点，
直线与坐标轴交于、两点，
将代入直线，则，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，则，
解得：，
∴；
（3）解：过点G作轴于点H，
，，
，
，
由旋转的性质得：，
，
∴，
∴，
∴；
②由①知，
∴点G在上运动，
当点G在上时，即，则；
当点G在上时，
令，即，则，
此时，有两个交点，故舍去；
当点G在上时，
令，即，则（舍去）；
综上，线段与的边只有一个交点，则n的取值范围为：．
18．（2025八上·余姚期末）【定义理解】在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．
例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
【探究应用】
（1）点，，则____________2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
（2）如图1，若点，，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为____________．
（3）如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C 的坐标．
【拓展提升】
（4）若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
【答案】解：（1）是
（2）或．
（3）设
当时，如图过作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
即
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图过作于点，
同理可得
∵点，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
综上所述：或．
（4）．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点，
∴，，，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为 ：是；
（2）∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示过点分别作轴轴的垂线，垂足分别为点，
∴∠CEB=∠BOA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ECB=∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
又AB=BC，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴，
∴，
∴；
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴如图所示同理可证，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案 ：或；
（4）∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
易求得与x轴交于点，与y轴交于点，
∴直线为，
如图过点分别作，
∵，，，
∴根据勾股定理逆定理得为直角三角形，
∴
∴，
∴，
即，
，
所以．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可得AC、AB及BC的长，则AB=BC，根据点的坐标与图形性质可得∠ABC=90°，从而根据“等垂点”定义得出结论；
（2）当C分点在B点上方时，首先利用AAS判断出△BCE≌△ABO，由全等三角形的对应边相等得BE=OA=4，CE=BO=3，则CF=OE=BE+OB=7，从而可得点C的坐标；当C分点在B点下方时，同理可证△ABE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF=OA=4，BF=AE=BO=3，则BH=CF=4，CH=BF=3，OH=BH-OB=1，从而可得点C的坐标；
（3）当点B在轴上方，利用AAS判断出△CBM≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CM=OB=n，MB=OA=5，则C(n，n+5)或(-n，n-5)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；当B在y轴下方时，同理可得C(n，-n-5)或(-n，5-n)，然后根据一次函数图象上点的坐标特点将点C的坐标代入y=3x-5可求出n的值，从而得到点C的坐标；
（4）特殊点法求一次函数解析式，等面积法求出△EMP的高PN，进而根据三角形面积公式计算可得答案.
19．（2025八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
【答案】（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，
解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
∴弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）先描点、再连线，得出函数图象，从而可作出判断；
（2）利用待定系数法计算即可得出y2关于x的函数关系式，进而根据函数的增减性即可计算出弹簧B在弹性限度内的最大拉力 ；
（3）设弹簧A为m根，则弹簧B为（10-m）根，根据购买两种弹簧成本不超过40元，列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围；然后根据y=y1+y2列出最大拉力y关于m的函数解析式，根据增减性解题即可．
（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
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