《勾股定理与翻折问题》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025八上·长兴期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2025八上·嘉兴期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·金东期末）如图，在中，点是边上一点，将沿翻折得到，与交于点，当时，求的比值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
5．（2025八上·龙泉期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为( )
A．2 B． C．4 D．
6．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024八上·浙江期末）如图，在中，，点在边AB上运动，点在边BC上运动．将沿DE折叠，当点的对应点恰好落在边AC的三等分点处，此时 ．
8．（2025八上·柯城期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ．
9．（2024八上·钱塘期末）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为 ．
10．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ．
11．（2025八上·温州期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ．
12．（2025八上·上虞期末）如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ．
三、解答题
13．（2025八上·宁波期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度．
14．（2024八上·浙江期末）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是中AB边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点．
（1）【特例感知】
如图1，CD是中AB边上的高，已知，请通过计算说明是否是勾股高三角形．
（2）【深入探究】
如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且是AB边上的高．探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明．
（3）【拓展应用】
如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且为AB边上的高，过点作，垂足分别为E，F．若，求的值．
15．（2025八上·定海期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
（1）特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E．
①求的度数．②求证：为等边三角形．
（2）性质梳理
如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度．
（3）深度探究
如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：．
16．（2025八上·诸暨期末）结合某老师提供的学案设计片段，解决各环节中的问题：
拓展课：《纸张上的折叠和作图》
学习目标： ……
学习重难点： ……
学习环节 学习过程 图形
环节1： 复习引入 复习小学关于正方形的知识．正方形中存在多个等量关系，例如：如图①，因为为正方形，所以，等．
环节2： 折叠正方形 问题1：将正方形纸张对折，使得与重合，折痕为 （如图②），则所在直线是的_____．
环节3： 折叠后作画 问题2：如图③，上取一点G，连接，使得，过点G作的垂线交于点H，连接，求证：．
环节4： 猜测并说理 问题3：图③中，猜测的度数，并说明理由．
…… …… ……
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
【分析】本题涉及了赵爽弦图、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理多个知识点．先由得，再结合赵爽弦图中全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，由求出DH、EH的长度，再利用勾股定理求出正方形的边长．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到，，然后利用外角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵将沿翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】先用x分别表示出，的面积，再将转化为面积比即可求解．
4．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，则A、B、M三点共线，连接，过点作，
则：，，
∴，，
∴当点三点共线时，的值最小为的长，
∵为线段上的一个动点，
∴当时，最小，即点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴，即：；
故答案为：D．
【分析】作点F关于BH的对称点M，过点M作MN⊥AC，根据两点之间线段最短及垂线段最短，得到当点M、H、G三点共线，点G与点N重合时，GH+FH的值最小为MN的长，由轴对称的性质得BM=BF=7，则AM=AB+BM=19，由直角三角形的量锐角互余得∠AMN=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AN的长即可．
5．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由折叠的性质知结合已知，则，即，则过点E分别作BA、BD的垂线段EQ、EP，则由旋转全等模型可证，则有、，再连接，则可证，则有，则可转化为，再利用勾股定理计算得即可．
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
7．【答案】5或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：①当 时，如图
设 则 在 中， 根据勾股定理
；
②当 时，如图，
设 则 在 '中，
根据勾股定理：
综上，BD的长为5或.
故答案为：5或.
【分析】分两种情形：当 时，当 时，设 分别l利用勾股定理构建方程求解即可.
8．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，
，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
即的长为
故答案为：
【分析】先根据折叠性质得到，，，，由直角三角形两锐角互余得，由等量代换得到，进而根据平角定义推出，设，则，在Rt△EFK中，根据勾股定理建立方程，然后解方程即可．
9．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∵，
∴设，则，
∵在长方形中，
∴，，，
∵将沿折叠，使得点C落在上，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，，
在中，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，设，，由折叠可得，，，，即可得到，则，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：过点D作于点M，如图所示：
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为a，
则，
根据拼图可知：，
，
，
，
，
∴所拼成的正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得DM=AB=12，AD=BM，结合图形，由已知得出MC=BC-AD=5，在Rt△DMC中，由勾股定理得DC的长，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠得，，，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
由于，则由折叠的性质知，由于等边三角形的每一个内角都是，则，则由三角形的内角和可得，则，所以，则，则由直角三角形中30度的性质和勾股定理可分别得；再由等边三角形的三边相等可得BD＝BE+1，由折叠知DF＝BD、BE＝FE，则FN、FM的长可均用BE的代数式表示，再由直角三角形中30度角的性质可知FM等于FN的一半，则BE可求，即FN、FM、MN均可得，则的面积也可求得，再由折叠知，阴影部分面积等于与的面积差，再过点E作DB的垂线段EH，再利用直角三角形中30度角的性质和勾股定理求出EH即可．
13．【答案】解：等腰中，，，
，，
点恰好落在的中点处，
，
，
由折叠的性质可得，，，
是的垂直平分线，
，，
；
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
如图，过作交于点，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
．
折痕的长度为．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，在Rt△BB'C中，利用勾股定理算出BB'的长，根据轴对称的性质得到DE是BB'的垂直平分线，则可得BF的长及DE⊥BB'；设BD=B'D=x，在Rt△CDB'中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到DF的长；过B'作B'G⊥AB于点，易得△AB'G是等腰直角三角形，得到B'G=AG=1，设BE=B'E=y，在Rt△B'GE中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到EF的长，最后利用即可得出答案．
14．【答案】（1）解：由勾股定理，可得 ， ，
∴△ABC为勾股高三角形.
（2）解：AD=BC，证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，且CA>CB，CD是AB边上的高，
由勾股定理，得 ．
（3）解：若 ，可设 ，由（2）知 ．
由勾股定理，可得 ．
即 ，
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到BC2和CA2，然后求差计算解题；
（2）根据“ 勾股高三角形 ”的定义证明即可解题；
（3）设 ，由（2）可得，然后根据勾股定理求出CD长，然后根据面积公式计算即可.
15．【答案】（1）（1）
解：①∵等边三角形，F为中点，∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形
（2）解：∵，∴，
∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴
（3）证明：作，，分别交于K，G，H．
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题考查几何变换的综合应用，解题的关键是结合三角形的性质(等边对等角，等腰三角形)，全等的判定与性质以及勾股定理等知识，准确分析折叠前后的图形变化，通过作辅助线构建可利用的几何关系.（1）①根据等边三角形的性质和折叠的性质，求出∠ADF的度数；
②通过角度和边长的关系，证明为等边三角形；
（2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理求出BD的长度；
（3）作，证明，利用全等三角形的判定与性质得到，结合平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质可得，即可解答．
（1）解：①∵等边三角形，F为中点，
∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
（2）解：∵，
∴，
∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）证明：作，，分别交于K，G，H．
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
16．【答案】问题1：垂直平分线；
问题2：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
问题3：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
如图，取的中点，连接，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由上已证：，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：问题1：由折叠的性质得：所在直线是的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线．
【分析】问题1：利用折叠的性质即可得到得垂直平分解题；
问题2：根据可以得到，即可得到结论；
问题3：根据折叠可得，取的中点，连接，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，即可得到得，进而得到是等边三角形，求出，再利用角的和差解题即可．
1 / 1《勾股定理与翻折问题》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025八上·长兴期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
【分析】本题涉及了赵爽弦图、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理多个知识点．先由得，再结合赵爽弦图中全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，由求出DH、EH的长度，再利用勾股定理求出正方形的边长．
2．（2025八上·嘉兴期末）如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的对应角相等得到，，然后利用外角得到，再根据三角形的内角和定理解题即可．
3．（2024八上·金东期末）如图，在中，点是边上一点，将沿翻折得到，与交于点，当时，求的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
∵将沿翻折得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】先用x分别表示出，的面积，再将转化为面积比即可求解．
4．（2024八上·浙江期末）如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（ ）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于的对称点，则A、B、M三点共线，连接，过点作，
则：，，
∴，，
∴当点三点共线时，的值最小为的长，
∵为线段上的一个动点，
∴当时，最小，即点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，
∴，即：；
故答案为：D．
【分析】作点F关于BH的对称点M，过点M作MN⊥AC，根据两点之间线段最短及垂线段最短，得到当点M、H、G三点共线，点G与点N重合时，GH+FH的值最小为MN的长，由轴对称的性质得BM=BF=7，则AM=AB+BM=19，由直角三角形的量锐角互余得∠AMN=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，求出AN的长即可．
5．（2025八上·龙泉期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由折叠的性质知结合已知，则，即，则过点E分别作BA、BD的垂线段EQ、EP，则由旋转全等模型可证，则有、，再连接，则可证，则有，则可转化为，再利用勾股定理计算得即可．
6．（2025八上·诸暨期末）某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴在中，，
∴，
∴，
同理可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，即可得到和，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，，过点作于点，求出的面积是，即可得到解题即可．
二、填空题
7．（2024八上·浙江期末）如图，在中，，点在边AB上运动，点在边BC上运动．将沿DE折叠，当点的对应点恰好落在边AC的三等分点处，此时 ．
【答案】5或
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：①当 时，如图
设 则 在 中， 根据勾股定理
；
②当 时，如图，
设 则 在 '中，
根据勾股定理：
综上，BD的长为5或.
故答案为：5或.
【分析】分两种情形：当 时，当 时，设 分别l利用勾股定理构建方程求解即可.
8．（2025八上·柯城期末）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，且D，F，G三点共线．已知，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：，分别沿着，折叠，使点B，C恰好都落在F点，
，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得，
即的长为
故答案为：
【分析】先根据折叠性质得到，，，，由直角三角形两锐角互余得，由等量代换得到，进而根据平角定义推出，设，则，在Rt△EFK中，根据勾股定理建立方程，然后解方程即可．
9．（2024八上·钱塘期末）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
10．（2025八上·余姚期末）如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过作于，连接，
∵，
∴设，则，
∵在长方形中，
∴，，，
∵将沿折叠，使得点C落在上，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∵点F是的中点，
∴，
∴，，
在中，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过作于，连接，设，，由折叠可得，，，，即可得到，则，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可．
11．（2025八上·温州期末）如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：过点D作于点M，如图所示：
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设所拼成的正方形的边长为a，
则，
根据拼图可知：，
，
，
，
，
∴所拼成的正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥BC于点M，由有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形ABMD是矩形，由矩形的对边相等得DM=AB=12，AD=BM，结合图形，由已知得出MC=BC-AD=5，在Rt△DMC中，由勾股定理得DC的长，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长．
12．（2025八上·上虞期末）如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠得，，，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
由于，则由折叠的性质知，由于等边三角形的每一个内角都是，则，则由三角形的内角和可得，则，所以，则，则由直角三角形中30度的性质和勾股定理可分别得；再由等边三角形的三边相等可得BD＝BE+1，由折叠知DF＝BD、BE＝FE，则FN、FM的长可均用BE的代数式表示，再由直角三角形中30度角的性质可知FM等于FN的一半，则BE可求，即FN、FM、MN均可得，则的面积也可求得，再由折叠知，阴影部分面积等于与的面积差，再过点E作DB的垂线段EH，再利用直角三角形中30度角的性质和勾股定理求出EH即可．
三、解答题
13．（2025八上·宁波期末）如图，在等腰中，，，点D和E分别是和上的两点，连接，将沿折叠得到，点恰好落在的中点处，与交于点F，求折痕的长度．
【答案】解：等腰中，，，
，，
点恰好落在的中点处，
，
，
由折叠的性质可得，，，
是的垂直平分线，
，，
；
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
如图，过作交于点，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
；
．
折痕的长度为．
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到，再根据折叠的性质得到，，在Rt△BB'C中，利用勾股定理算出BB'的长，根据轴对称的性质得到DE是BB'的垂直平分线，则可得BF的长及DE⊥BB'；设BD=B'D=x，在Rt△CDB'中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到DF的长；过B'作B'G⊥AB于点，易得△AB'G是等腰直角三角形，得到B'G=AG=1，设BE=B'E=y，在Rt△B'GE中利用勾股定理建立方程，解出的值，再利用勾股定理可得到EF的长，最后利用即可得出答案．
14．（2024八上·浙江期末）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是中AB边上的高，且，则称为勾股高三角形，点为勾股顶点．
（1）【特例感知】
如图1，CD是中AB边上的高，已知，请通过计算说明是否是勾股高三角形．
（2）【深入探究】
如图2，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，且是AB边上的高．探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明．
（3）【拓展应用】
如图3，为勾股高三角形，其中为勾股顶点，且为AB边上的高，过点作，垂足分别为E，F．若，求的值．
【答案】（1）解：由勾股定理，可得 ， ，
∴△ABC为勾股高三角形.
（2）解：AD=BC，证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，且CA>CB，CD是AB边上的高，
由勾股定理，得 ．
（3）解：若 ，可设 ，由（2）知 ．
由勾股定理，可得 ．
即 ，
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到BC2和CA2，然后求差计算解题；
（2）根据“ 勾股高三角形 ”的定义证明即可解题；
（3）设 ，由（2）可得，然后根据勾股定理求出CD长，然后根据面积公式计算即可.
15．（2025八上·定海期末）在数学综合实践课上，贺老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
（1）特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点A与边中点F重合，折痕为，分别交边、边于点D、点E．
①求的度数．②求证：为等边三角形．
（2）性质梳理
如图2，等腰三角形． 纸片，，折叠该纸片，使点A落在边上的点F处，折痕为，分别交边、边于点D、点E．若，，求的长度．
（3）深度探究
如图3，折叠（、为锐角）纸片，使点A落在的下方点F处，折痕分别交边、边于点D、点E，线段与分别交于点M、点N，若，点D、点F到的距离相等，求证：．
【答案】（1）（1）
解：①∵等边三角形，F为中点，∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形
（2）解：∵，∴，
∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴
（3）证明：作，，分别交于K，G，H．
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题考查几何变换的综合应用，解题的关键是结合三角形的性质(等边对等角，等腰三角形)，全等的判定与性质以及勾股定理等知识，准确分析折叠前后的图形变化，通过作辅助线构建可利用的几何关系.（1）①根据等边三角形的性质和折叠的性质，求出∠ADF的度数；
②通过角度和边长的关系，证明为等边三角形；
（2）根据等腰三角形的性质，折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理求出BD的长度；
（3）作，证明，利用全等三角形的判定与性质得到，结合平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质可得，即可解答．
（1）解：①∵等边三角形，F为中点，
∴，
∵，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形．
（2）解：∵，
∴，
∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
设，则
在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）证明：作，，分别交于K，G，H．
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴．
16．（2025八上·诸暨期末）结合某老师提供的学案设计片段，解决各环节中的问题：
拓展课：《纸张上的折叠和作图》
学习目标： ……
学习重难点： ……
学习环节 学习过程 图形
环节1： 复习引入 复习小学关于正方形的知识．正方形中存在多个等量关系，例如：如图①，因为为正方形，所以，等．
环节2： 折叠正方形 问题1：将正方形纸张对折，使得与重合，折痕为 （如图②），则所在直线是的_____．
环节3： 折叠后作画 问题2：如图③，上取一点G，连接，使得，过点G作的垂线交于点H，连接，求证：．
环节4： 猜测并说理 问题3：图③中，猜测的度数，并说明理由．
…… …… ……
【答案】问题1：垂直平分线；
问题2：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
问题3：，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
如图，取的中点，连接，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由上已证：，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：问题1：由折叠的性质得：所在直线是的垂直平分线，
故答案为：垂直平分线．
【分析】问题1：利用折叠的性质即可得到得垂直平分解题；
问题2：根据可以得到，即可得到结论；
问题3：根据折叠可得，取的中点，连接，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，即可得到得，进而得到是等边三角形，求出，再利用角的和差解题即可．
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