《三角形的动态问题》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习

《三角形的动态问题》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·临海期末）如图，在中，，，为边上的动点，连接，作，交于点，交于点，连接．对于下列两个命题的判断： ①当平分时，；②当为边上中线时，．正确的是（　　）
A．都是真命题 B．都是假命题
C．①是真命题②是假命题 D．①是假命题②是真命题
3．（2025八上·吴兴期末）如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·余姚期末）如图，已知线段 为 的中点， 是平面内的一个动点，在运动过程中保持 不变，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，连结 ，在点 运动过程中线段 的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．
5．（2025八上·镇海区期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023八上·新昌期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为　 　．
7．（2025八上·路桥期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为　 　．
8．（2025八上·临海期末）如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为　 　．
9．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 的平分线与 的延长线相交于点 ，连结 的延长线与 的延长线相交于点 ，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位質时，连接 ．若 的面积为 1，则 的面积为　 　。
10．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，是边上一点（不与重合），和的角平分线交于点．
（1）若，则的度数为　 　；
（2）记和的度数之和为，则的取值范围为　 　．
11．（2024八上·浦江期末）如图，在边长为4的等边中，D是的中点，E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）当点E是线段的中点时，的长为　 　．
（2）在点E的运动过程中，线段长度最小时，点D到的距离为　 　．
三、综合题
12．（2023八上·文成期中）如图，在等腰直角中，．点P是斜边上的动点（不与点A重合），以C为直角顶点、为直角边，在左侧作等腰直角，交于点E．
（1）求证：
（2）若，当为等腰三角形时，求所有符合条件的的长；
（3）若，，的面积记为S，求______（用含m、n的代数式表示）．
13．（2025八上·鄞州期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．
（1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）．
（2）当与的一条边垂直时，求的值．
（3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
14．（2025八上·苍南期末）已知和都是等腰直角三角形，且．
（1）如图1，点D在内，求证：；
（2）如图2，A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小
15．（2025八上·丽水期末）如图，直线相交于点，直线分别交射线，射线于，两点，平分，交于点，点是直线上一动点，过作的垂线，交于，交于，垂足为，设，，且．
（1）直接写出，的值，　 　，　 　；
（2）若与重合如图，求证：；
（3）若是直线上任意一点如图，试判断，，之间的数量关系．
16．（2024八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形中，，，若点D为射线上的一点，将沿折叠，点C落在平面内一点处（如图）．
（1）若点C落在线段上，求点D的坐标．
（2）当的面积为50时，求的面积．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，求点D的坐标．
17．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
18．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；真命题与假命题
【解析】【解答】解：过B作交的延长线于Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
①当平分时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此命题是真命题；
②当为边上中线时，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此命题是真命题；
综上可得，①②都是真命题.
故答案为：A．
【分析】过B作交的延长线于Q，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，①当平分时，用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得，然后根据等角对等边可得；②当为边上中线时，可得，根据等腰直角三角形的性质可得到，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差可求解．
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使得，连接，，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CF的长及∠ABF的度数，由此可得到BF的长，同时可证得△ABF是等边三角形，可得到∠AFB的度数；再证明∠FBE=∠ABD，利用SAS可证得△FBE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出∠BFE、∠AFE的度数，可推出点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，可求出CH的长，根据CE≥CH，可求出CE的最小值.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，以O点为圆心建立平面直角坐标系，并过C作CD⊥y轴于D点，过P点作PE⊥DC于E点，延长EP交x轴于F点。
∵AB =4， O 为 AB 的中点，∴ A (-2，0)， B (2，0)，
设点 P 的坐标为（ x ， y )，则x2+y2=1，
∵∠EPC +∠BPF =90°，∠EPC + ∠ECP =90°，
∴∠ECP = ∠FPB ，
由旋转的性质可知： PC = PB ，
在△ ECP 和△ FPB 中，
∠ECP = ∠FPB ，∠PEC = ∠PFB ，PC = PB
∴△ ECP≌ △ FPB ( AAS )，
∴EC = PF = y ， FB = EP =2-x，
因此C点坐标为 ( x + y ， y +2-x)，
∵AB =4， O 为 AB 的中点，
∴AC =，
∵x2+y2=1，
∴AC =
∵-1≤ y ≤1，
∴≤ AC ≤3
因此线段 AC 长的最大值是3。
故答案为：B。
【分析】先建立平面直角坐标系，则 A (-2，0)， B (2，0)，设点 P 的坐标为（ x ， y )，利用AAS可证△ ECP≌ △ FPB，从而可得C ( x + y ， y +2-x)，然后利用两点之间的距离计算公式，可得AC =进而可推AC的最大值。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，
又，，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
表示的是到和的距离的和，
如图所示，作关于轴的对称点，
∴的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．
6．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质，则BP=B'P，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，∠ACB =∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△AB C中
∴△ABC≌△AB'C(SAS)，
∴S△ABC=S△AB'C，
∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC，
即AB B'D=2×BC AC，
∴AB B'D=2BC AC，
∴5B'D=24，
∴B'D=．
故答案为：．
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质可得BP=B'P，由题意用边角边可证△ABC≌△AB'C，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△AB'C，然后根据三角形ABB 面积的构成S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC可得关于BD 的方程，解方程即可求得BD 的值，即为PB+PD的最小值．
7．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
由直角三角形两锐角互余可得， 则可在上取点G，使，则是等边三角形，由于也是等边三角形，且与等边有公共顶点D，则连接AF，可由旋转全等模型证明，由全等的性质可得AF=GE，由于点G是AB上的定点，则当GE垂直BC时取小值，此时可过点G作BC的垂线段GH，则GE的最小值为GH，即AF的最小值为GH，此时再利用直角三角形中30度角的性质先求出AC，再由中点的概念求出AD，则BG可求，再利用直角三角形中30度角的性质求出GH即可．
8．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
点关于直线、的对称点分别为、，
，，，
，
，
是等边三角形，
，，
由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长，
此时，
，
故答案为：．
【分析】连接，，，由轴对称的性质可得，，，根据角的和差可得，于是可得是等边三角形，由等边三角形的各边都相等、各角都等于60°可得，，根据垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解．
9．【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵CF 平分∠ACD，∴∠ACF = ∠DCF ，而CA = CD ， CF = CF ，
∴△ ACF≌△ DCF ( SAS )，∴∠A = ∠CDF ，
∵∠ABC=90°，∴∠ A +∠ACB =90°，而 线段 绕点 顾时针旋转 得到线段 ，
∴∠ACB +∠PCD =90°，∴∠PCD =∠CDF ，
∴PC = PD ，
∵将△ BFP 沿 AF 折叠，点 P 落在点 E 的位置，
∴PB = BF ， PE⊥AF ，
∵DE⊥BC ，∴BF // DE ，∴PF = FD ，
设 CE = a ， BC = DE = b ，
因此 BE = BC - CE = b - a ，PE =2BE=2( b -α)，BF =DE =b ，
∴S△CEF =CE · DE =ab =1，
∵∠PED =90°， DE = b ， PE =2( b - a )，PD = PC = PE + CE =2( b - a )+a=2b- a ，
根据勾股定理得到b2+[2( b - a )]2=(2b- a )2，化简得，3a2-4ab+ b2=0
解得b = a 或 b =3a，
∵，∴ b =3a，
此时，得a=，b=，
因此 的面积=，
故答案为：2.
【分析】本题首先证明出△ ACF≌△ DCF，然后根据折叠性质和平行线相纸，综合可以得到PF = FD。随后利用三角形面积公式和勾股定理，即可得出b和a的关系，并进一步求出b和a的值，最后代入计算即可求出的面积。
10．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形-动点问题；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴和的角平分线交于点，
∴，
∴；
故答案为；
（2）由（1）可知：，
∴当点D与点B重合时，取得最大值，即，
∴，
∴的取值范围为；
故答案为．
【分析】
（1）由题意知，，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；
（2）观察图形，由于，则当点D与点B重合时，取得最大值，即 ．
11．【答案】；
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，且边长为4，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接，在的延长线上取点，使得，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在与夹角为的直线上运动，
过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值，延长与的延长线交于点，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在点的运动过程中，线段长度最小时，点到的距离为，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，根据 三角形中位线定理得，由旋转性质得，，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，在的延长线上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，从而得，进而证明，于是得，则点在与夹角为的直线上运动，然后过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值，延长与的延长线交于点，过点作于，依次求出的度数，根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得的值.
12．【答案】（1）证明：在等腰直角中，，，
在等腰直角中，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：在等腰直角中，
，，，
∴；
在等腰直角中，，
①时，
；
②时，，
，，
，
；
③时，P与A重合，不合题意；
综上所述的长为1或；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：，
，，
所以，
，，
，
故答案为：.ji
【分析】（1）由等腰直角三角形性质得CA=CB，CP=CD，∠ACB=∠DCP=90°，从而根据同角的余角相等推出∠DCB=∠PCA，根据“SAS”可证明△APC≌△BDC；
（2）由等腰直角三角形性质得∠A=∠ABC=45°=∠CPD，由勾股定理可得AB=2；分三种情况，①当EC=EP时，由等边对等角得∠ECP=∠CPE=45°，由等腰直角三角形的三线合一及斜边中线等于斜边的一半得出BP=AP=1；②当PC=PE时，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠BPC=∠PEC=∠PCE，由等角对等边得BP=BC=；③当PC=CE时，P与A重合，不符合题意；
（3）由全等三角形对应边相等、对应角相等得∠DBC=∠A=45°，DB=AP，则△BDP是直角三角形，由勾股定理及三角形面积公式可求解.
（1）证明：在等腰直角中，，，
在等腰直角中，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：在等腰直角中，，，，
所以；
在等腰直角中，，
①时，
；
②时，，
，，
，
；
③时，P与A重合，不合题意；
综上所述的长为1或；
（3）解：，
，，
所以，
，，
，
故答案为：
13．【答案】（1）；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：PQ中点O经过的路径长为6cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当点Q在线段BC上运动时，
，；
故答案为：；；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
【分析】（1）根据路程等腰速度乘以时间可表示出AP及BQ，进而根据BP=AB-AP列式计算即可；
（2）分三种情形讨论：当PQ⊥BC时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BPQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PB=2BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AB时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BQP=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得2PB=BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AC时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，根据三角形的内角和定理算出∠APQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AQ，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案；
（3）设PQ与BC交于点N，过点Q作QM∥AB，交BC于点M，易得CQ=BP=(t-12)cm，△CQM是等边三角形，由等边三角形性质推出QM=CQ=BP，从而用AAS判断出△QMN≌△PBN，由全等三角形的性质可得QN=PN，即N与PQ中点O重合，易知PQ中点O的运动轨迹在边BC上， 当Q与点C重合时，P与点B重合，此时PQ中点O位于BC中点， 当Q与点A重合时， PQ中点O与点B重合， 则点O经过的路径长为边BC的一半，即可获得答案．
（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
14．【答案】（1）证明：如图1，延长交于H，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点C作于N，
由（1）可知：，，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
或（舍去），
，
的面积；
（3）解：由（1）可知：，
的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 解决本题的关键在于利用等腰直角三角形的性质，通过构造辅助线、证明三角形全等以及应用勾股定理和三角形面积公式等几何知识。此外，理解和应用几何中的最小值原理（即垂直距离最小）对于求解最后一问至关重要。
（1）先构造辅助线，再根据“共顶点模型”即两个等腰三角形两腰的顶点共用，从而利用三角形全等的判定方法-SAS，从而证明三角形ACD和三角形BCE全等，再利用教的等量代换即可证明AD⊥BE.
（2） 由已知 AB= 和 DE = 10 ，结合第一步中证明的AD = BE 。 通过构造辅助线，如过C作垂线CN到直线DE，由于为等腰直角三角形，我们有 ∠ .故 CN = DN = NE 。由于为直角三角形，根据勾股定理，求出 BE 的长度。最后，利用三角形面积公式 × 底 × 高 ，求得 的面积.
（3） 由(1)知 AD = BE ，则 的周长可表示为 BD + BE + DE = BD + AD + DE.为使周长最小，需考虑 CD（即 AD ）的最小值.当 CD⊥ AB 时， CD 达到最小值，此时 CD = （因为 为等腰直角三角形）. 最终， 周长的最小值为 .
15．【答案】（1）60°；30°
（2）证明：如图2中，连接DF．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：结论：．
理由：如图3中，作交OB于点，
即.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
【分析】（1）由完全平方公式得，解出，再由，即可求出，的值 ；
（2）如图2中，连接只要证明，即可解决问题；
（3）结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可．
16．【答案】（1）解：如图，
∵四边形为长方形，
∴，
∵折叠的性质，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，当点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，
∴，，
∵四边形为长方形，，
∴，
∵的面积为50，
∴，
∴，
易证四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
如图，当点在轴下方时，过点作轴，分别交，所在直线于点，，
∴，
∵的面积为50，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
综上所述，的面积为16或144；
（3）解：如图，当时，过点作轴分别交，于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
如图，当时，且点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
如图，当时，且点在轴下方时，过点作分别交，所在直线于点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质得到四边形是正方形，从而得，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，根据矩形的性质以及三角形面积公式求出，易证四边形是矩形，得，从而得，进而利用勾股定理得，于是得，最后利用三角形面积公式求出的面积；
当点在轴下方时，过点作轴，分别交，所在直线于点，，同理求出的面积；
（3）分情况讨论：当时，过点作轴分别交，于点，，根据矩形的性质以及勾股定理求出，得到，然后设，利用两点间距离公式得，，根据折叠的性质得，据此可列出关于的方程并解之可得的坐标；当时，且点在轴上方或下方时，过点作轴，分别交，于点，，根据矩形以及折叠的性质得到，利用勾股定理求出的值，得坐标，然后设，同理可列出关于的方程并解之可得的坐标.
（1）如图所示，
∵长方形中，，，
∴
由折叠得，，
∴四边形是正方形
∴，
∴；
（2）如图所示，当点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F
∴，
∵的面积为50
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴的面积；
如图所示，当点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F
∴，
∵的面积为50
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴的面积，
综上所述，的面积为16或144；
（3）如图所示，当时，过点作分别交，于点E，F
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
如图所示，当时，且点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F
∴
∴
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
如图所示，当时，且点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F
∴
∴
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
综上所述，点D的坐标为或或．
17．【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
18．【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
1 / 1《三角形的动态问题》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
2．（2025八上·临海期末）如图，在中，，，为边上的动点，连接，作，交于点，交于点，连接．对于下列两个命题的判断： ①当平分时，；②当为边上中线时，．正确的是（　　）
A．都是真命题 B．都是假命题
C．①是真命题②是假命题 D．①是假命题②是真命题
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；真命题与假命题
【解析】【解答】解：过B作交的延长线于Q，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
①当平分时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此命题是真命题；
②当为边上中线时，，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此命题是真命题；
综上可得，①②都是真命题.
故答案为：A．
【分析】过B作交的延长线于Q，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得，，①当平分时，用角平分线的定义和三角形的内角和定理可得，然后根据等角对等边可得；②当为边上中线时，可得，根据等腰直角三角形的性质可得到，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差可求解．
3．（2025八上·吴兴期末）如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使得，连接，，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CF的长及∠ABF的度数，由此可得到BF的长，同时可证得△ABF是等边三角形，可得到∠AFB的度数；再证明∠FBE=∠ABD，利用SAS可证得△FBE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出∠BFE、∠AFE的度数，可推出点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，可求出CH的长，根据CE≥CH，可求出CE的最小值.
4．（2025八上·余姚期末）如图，已知线段 为 的中点， 是平面内的一个动点，在运动过程中保持 不变，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，连结 ，在点 运动过程中线段 的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，以O点为圆心建立平面直角坐标系，并过C作CD⊥y轴于D点，过P点作PE⊥DC于E点，延长EP交x轴于F点。
∵AB =4， O 为 AB 的中点，∴ A (-2，0)， B (2，0)，
设点 P 的坐标为（ x ， y )，则x2+y2=1，
∵∠EPC +∠BPF =90°，∠EPC + ∠ECP =90°，
∴∠ECP = ∠FPB ，
由旋转的性质可知： PC = PB ，
在△ ECP 和△ FPB 中，
∠ECP = ∠FPB ，∠PEC = ∠PFB ，PC = PB
∴△ ECP≌ △ FPB ( AAS )，
∴EC = PF = y ， FB = EP =2-x，
因此C点坐标为 ( x + y ， y +2-x)，
∵AB =4， O 为 AB 的中点，
∴AC =，
∵x2+y2=1，
∴AC =
∵-1≤ y ≤1，
∴≤ AC ≤3
因此线段 AC 长的最大值是3。
故答案为：B。
【分析】先建立平面直角坐标系，则 A (-2，0)， B (2，0)，设点 P 的坐标为（ x ， y )，利用AAS可证△ ECP≌ △ FPB，从而可得C ( x + y ， y +2-x)，然后利用两点之间的距离计算公式，可得AC =进而可推AC的最大值。
5．（2025八上·镇海区期末）如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平移的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，∴，
又，，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
表示的是到和的距离的和，
如图所示，作关于轴的对称点，
∴的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．
二、填空题
6．（2023八上·新昌期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质，则BP=B'P，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，∠ACB =∠ACB=90°，
在Rt△ABC和Rt△AB C中
∴△ABC≌△AB'C(SAS)，
∴S△ABC=S△AB'C，
∴S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC，
即AB B'D=2×BC AC，
∴AB B'D=2BC AC，
∴5B'D=24，
∴B'D=．
故答案为：．
【分析】
作点B关于AC的对称点B'，过点B'作B'D⊥AB于点D，交AC于点P，点P即为所求作的点，此时PB+PD有最小值，连接AB'，根据轴对称的性质可得BP=B'P，由题意用边角边可证△ABC≌△AB'C，由全等三角形的面积相等可得S△ABC=S△AB'C，然后根据三角形ABB 面积的构成S△ABB'=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC可得关于BD 的方程，解方程即可求得BD 的值，即为PB+PD的最小值．
7．（2025八上·路桥期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
由直角三角形两锐角互余可得， 则可在上取点G，使，则是等边三角形，由于也是等边三角形，且与等边有公共顶点D，则连接AF，可由旋转全等模型证明，由全等的性质可得AF=GE，由于点G是AB上的定点，则当GE垂直BC时取小值，此时可过点G作BC的垂线段GH，则GE的最小值为GH，即AF的最小值为GH，此时再利用直角三角形中30度角的性质先求出AC，再由中点的概念求出AD，则BG可求，再利用直角三角形中30度角的性质求出GH即可．
8．（2025八上·临海期末）如图，在中，，，点是边上的动点，点关于直线、的对称点分别为、，当线段的长度最短时，它与所成的夹角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
点关于直线、的对称点分别为、，
，，，
，
，
是等边三角形，
，，
由垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长，
此时，
，
故答案为：．
【分析】连接，，，由轴对称的性质可得，，，根据角的和差可得，于是可得是等边三角形，由等边三角形的各边都相等、各角都等于60°可得，，根据垂线段最短可知：当时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰三角形的三线合一并结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可求解．
9．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 的平分线与 的延长线相交于点 ，连结 的延长线与 的延长线相交于点 ，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位質时，连接 ．若 的面积为 1，则 的面积为　 　。
【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵CF 平分∠ACD，∴∠ACF = ∠DCF ，而CA = CD ， CF = CF ，
∴△ ACF≌△ DCF ( SAS )，∴∠A = ∠CDF ，
∵∠ABC=90°，∴∠ A +∠ACB =90°，而 线段 绕点 顾时针旋转 得到线段 ，
∴∠ACB +∠PCD =90°，∴∠PCD =∠CDF ，
∴PC = PD ，
∵将△ BFP 沿 AF 折叠，点 P 落在点 E 的位置，
∴PB = BF ， PE⊥AF ，
∵DE⊥BC ，∴BF // DE ，∴PF = FD ，
设 CE = a ， BC = DE = b ，
因此 BE = BC - CE = b - a ，PE =2BE=2( b -α)，BF =DE =b ，
∴S△CEF =CE · DE =ab =1，
∵∠PED =90°， DE = b ， PE =2( b - a )，PD = PC = PE + CE =2( b - a )+a=2b- a ，
根据勾股定理得到b2+[2( b - a )]2=(2b- a )2，化简得，3a2-4ab+ b2=0
解得b = a 或 b =3a，
∵，∴ b =3a，
此时，得a=，b=，
因此 的面积=，
故答案为：2.
【分析】本题首先证明出△ ACF≌△ DCF，然后根据折叠性质和平行线相纸，综合可以得到PF = FD。随后利用三角形面积公式和勾股定理，即可得出b和a的关系，并进一步求出b和a的值，最后代入计算即可求出的面积。
10．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，是边上一点（不与重合），和的角平分线交于点．
（1）若，则的度数为　 　；
（2）记和的度数之和为，则的取值范围为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形-动点问题；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴和的角平分线交于点，
∴，
∴；
故答案为；
（2）由（1）可知：，
∴当点D与点B重合时，取得最大值，即，
∴，
∴的取值范围为；
故答案为．
【分析】
（1）由题意知，，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；
（2）观察图形，由于，则当点D与点B重合时，取得最大值，即 ．
11．（2024八上·浦江期末）如图，在边长为4的等边中，D是的中点，E是直线上一动点，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．
（1）当点E是线段的中点时，的长为　 　．
（2）在点E的运动过程中，线段长度最小时，点D到的距离为　 　．
【答案】；
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形，且边长为4，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，连接，在的延长线上取点，使得，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在与夹角为的直线上运动，
过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值，延长与的延长线交于点，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在点的运动过程中，线段长度最小时，点到的距离为，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，根据 三角形中位线定理得，由旋转性质得，，然后利用勾股定理求出的长；
（2）连接，在的延长线上取点，使得，连接，根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，从而得，进而证明，于是得，则点在与夹角为的直线上运动，然后过点作的垂线，垂足为，当点在点时，取得最小值，延长与的延长线交于点，过点作于，依次求出的度数，根据含30°的直角三角形的性质以及勾股定理得的值.
三、综合题
12．（2023八上·文成期中）如图，在等腰直角中，．点P是斜边上的动点（不与点A重合），以C为直角顶点、为直角边，在左侧作等腰直角，交于点E．
（1）求证：
（2）若，当为等腰三角形时，求所有符合条件的的长；
（3）若，，的面积记为S，求______（用含m、n的代数式表示）．
【答案】（1）证明：在等腰直角中，，，
在等腰直角中，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：在等腰直角中，
，，，
∴；
在等腰直角中，，
①时，
；
②时，，
，，
，
；
③时，P与A重合，不合题意；
综上所述的长为1或；
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（3）解：，
，，
所以，
，，
，
故答案为：.ji
【分析】（1）由等腰直角三角形性质得CA=CB，CP=CD，∠ACB=∠DCP=90°，从而根据同角的余角相等推出∠DCB=∠PCA，根据“SAS”可证明△APC≌△BDC；
（2）由等腰直角三角形性质得∠A=∠ABC=45°=∠CPD，由勾股定理可得AB=2；分三种情况，①当EC=EP时，由等边对等角得∠ECP=∠CPE=45°，由等腰直角三角形的三线合一及斜边中线等于斜边的一半得出BP=AP=1；②当PC=PE时，由等边对等角及三角形内角和定理可推出∠BPC=∠PEC=∠PCE，由等角对等边得BP=BC=；③当PC=CE时，P与A重合，不符合题意；
（3）由全等三角形对应边相等、对应角相等得∠DBC=∠A=45°，DB=AP，则△BDP是直角三角形，由勾股定理及三角形面积公式可求解.
（1）证明：在等腰直角中，，，
在等腰直角中，，，
，
在和中，
，
；
（2）解：在等腰直角中，，，，
所以；
在等腰直角中，，
①时，
；
②时，，
，，
，
；
③时，P与A重合，不合题意；
综上所述的长为1或；
（3）解：，
，，
所以，
，，
，
故答案为：
13．（2025八上·鄞州期末）如图，是边长为的等边三角形，点分别从顶点同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点随之停止运动，连接，设点的运动时间为．
（1）当点在线段上运动时，的长为______（cm），的长为______（cm）（用含的式子表示）．
（2）当与的一条边垂直时，求的值．
（3）当点从点运动到点的过程中，连接，直接写出中点经过的路径长．
【答案】（1）；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
∴，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：PQ中点O经过的路径长为6cm．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当点Q在线段BC上运动时，
，；
故答案为：；；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
【分析】（1）根据路程等腰速度乘以时间可表示出AP及BQ，进而根据BP=AB-AP列式计算即可；
（2）分三种情形讨论：当PQ⊥BC时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BPQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PB=2BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AB时，首先根据三角形的内角和定理算出∠BQP=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得2PB=BQ，据此建立方程，求解即可；当PQ⊥AC时，根据题意易得AP=t，AQ=24-t，根据三角形的内角和定理算出∠APQ=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AQ，据此建立方程，求解即可，综上即可得出答案；
（3）设PQ与BC交于点N，过点Q作QM∥AB，交BC于点M，易得CQ=BP=(t-12)cm，△CQM是等边三角形，由等边三角形性质推出QM=CQ=BP，从而用AAS判断出△QMN≌△PBN，由全等三角形的性质可得QN=PN，即N与PQ中点O重合，易知PQ中点O的运动轨迹在边BC上， 当Q与点C重合时，P与点B重合，此时PQ中点O位于BC中点， 当Q与点A重合时， PQ中点O与点B重合， 则点O经过的路径长为边BC的一半，即可获得答案．
（1）解：根据题意，当点在线段上运动时，
，．
故答案为：；；
（2）解：∵是边长为的等边三角形，
，，
如图1中，当时，
图1
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图3中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
综上所述，或或；
（3）解：根据题意，当点从点运动到点的过程中，
，
如下图，设与交于点，过点作，交于点，
则，，，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即与中点重合，
∴中点的运动轨迹在边上，
当与点重合时，与点重合，此时中点位于中点，
当与点重合时，此时，
∴，
∴，即此时中点与点重合，
∴中点经过的路径长．
14．（2025八上·苍南期末）已知和都是等腰直角三角形，且．
（1）如图1，点D在内，求证：；
（2）如图2，A、D、E三点在同一条直线上，若，，求的面积；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小
【答案】（1）证明：如图1，延长交于H，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点C作于N，
由（1）可知：，，
是等腰直角三角形，，
，，，
，
，
，
，
或（舍去），
，
的面积；
（3）解：由（1）可知：，
的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 解决本题的关键在于利用等腰直角三角形的性质，通过构造辅助线、证明三角形全等以及应用勾股定理和三角形面积公式等几何知识。此外，理解和应用几何中的最小值原理（即垂直距离最小）对于求解最后一问至关重要。
（1）先构造辅助线，再根据“共顶点模型”即两个等腰三角形两腰的顶点共用，从而利用三角形全等的判定方法-SAS，从而证明三角形ACD和三角形BCE全等，再利用教的等量代换即可证明AD⊥BE.
（2） 由已知 AB= 和 DE = 10 ，结合第一步中证明的AD = BE 。 通过构造辅助线，如过C作垂线CN到直线DE，由于为等腰直角三角形，我们有 ∠ .故 CN = DN = NE 。由于为直角三角形，根据勾股定理，求出 BE 的长度。最后，利用三角形面积公式 × 底 × 高 ，求得 的面积.
（3） 由(1)知 AD = BE ，则 的周长可表示为 BD + BE + DE = BD + AD + DE.为使周长最小，需考虑 CD（即 AD ）的最小值.当 CD⊥ AB 时， CD 达到最小值，此时 CD = （因为 为等腰直角三角形）. 最终， 周长的最小值为 .
15．（2025八上·丽水期末）如图，直线相交于点，直线分别交射线，射线于，两点，平分，交于点，点是直线上一动点，过作的垂线，交于，交于，垂足为，设，，且．
（1）直接写出，的值，　 　，　 　；
（2）若与重合如图，求证：；
（3）若是直线上任意一点如图，试判断，，之间的数量关系．
【答案】（1）60°；30°
（2）证明：如图2中，连接DF．
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：结论：．
理由：如图3中，作交OB于点，
即.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解得，
故答案为：；
【分析】（1）由完全平方公式得，解出，再由，即可求出，的值 ；
（2）如图2中，连接只要证明，即可解决问题；
（3）结论：如图3中，作交于点，则只要证明即可．
16．（2024八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形中，，，若点D为射线上的一点，将沿折叠，点C落在平面内一点处（如图）．
（1）若点C落在线段上，求点D的坐标．
（2）当的面积为50时，求的面积．
（3）当是以为腰的等腰三角形时，求点D的坐标．
【答案】（1）解：如图，
∵四边形为长方形，
∴，
∵折叠的性质，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，当点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，
∴，，
∵四边形为长方形，，
∴，
∵的面积为50，
∴，
∴，
易证四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
如图，当点在轴下方时，过点作轴，分别交，所在直线于点，，
∴，
∵的面积为50，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
综上所述，的面积为16或144；
（3）解：如图，当时，过点作轴分别交，于点，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
如图，当时，且点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
如图，当时，且点在轴下方时，过点作分别交，所在直线于点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
由折叠得，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质得到四边形是正方形，从而得，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点在轴上方时，过点作轴，分别交，于点，，根据矩形的性质以及三角形面积公式求出，易证四边形是矩形，得，从而得，进而利用勾股定理得，于是得，最后利用三角形面积公式求出的面积；
当点在轴下方时，过点作轴，分别交，所在直线于点，，同理求出的面积；
（3）分情况讨论：当时，过点作轴分别交，于点，，根据矩形的性质以及勾股定理求出，得到，然后设，利用两点间距离公式得，，根据折叠的性质得，据此可列出关于的方程并解之可得的坐标；当时，且点在轴上方或下方时，过点作轴，分别交，于点，，根据矩形以及折叠的性质得到，利用勾股定理求出的值，得坐标，然后设，同理可列出关于的方程并解之可得的坐标.
（1）如图所示，
∵长方形中，，，
∴
由折叠得，，
∴四边形是正方形
∴，
∴；
（2）如图所示，当点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F
∴，
∵的面积为50
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴的面积；
如图所示，当点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F
∴，
∵的面积为50
∴，即
∴
∴
∵
∴
∴
∴的面积，
综上所述，的面积为16或144；
（3）如图所示，当时，过点作分别交，于点E，F
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
如图所示，当时，且点在x轴上方时，过点作分别交，于点E，F
∴
∴
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
如图所示，当时，且点在x轴下方时，过点作分别交，所在直线于点E，F
∴
∴
∴
∴
设
∴，
由折叠得，
∴
解得
∴；
综上所述，点D的坐标为或或．
17．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
18．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
1 / 1