《三角形的综合》精选压轴题（一）—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·温州期末）如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
6．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2025八上·滨江期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·镇海区期末）如图，在 Rt 中， ，从点 射出的光线经过 反射恰好回到 点，根据光的反射性质，有 ，连结 ．若 ，以下结论正确的是：① ，② ，③ ，④ 平分 ．（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
10．（2025八上·淳安期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ．
11．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
12．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ．
13．（2025八上·镇海区期末）如图，在中，，边上有一点，过点作的垂线交延长线于点．若，则 ．
14．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
三、综合题
15．（2024八上·东阳期末）如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．
（1）求的度数．
（2）当点是的中点时，求证：．
（3）取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由．
16．（2024八上·吐鲁番期中）如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
（1）求证∶．
（2）求的度数．
（3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
17．（2024八上·温州期末）【问题背景】如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，求证：；
【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长、交于点，交于点，猜想与的数量关系，并给以证明；
【拓展创新】如图3，A是内一点，，，，直接写出的面积为 ．
18．（2024八上·浙江期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，．
（1）如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：；
（2）如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离；
（3）在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
6．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点E在射线上运动（）．
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】先根据题意，确定点E在射线CE上运动（瓜豆原理），再作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小（将军饮马模型），根据等边三角形的判定及性质即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，连接
当点在上时：
和关于对称
，即
得：
当点在的延长线上时，同理可得
故答案为：A．
【分析】分为当点在上，点在的延长线上两种情况，过点作于，连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理得到，解题即可．
9．【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解： 设∠CEB=∠AED=α， ∠ADE=∠CDB=β，
∴∠DEB=180°-∠CEB-∠AED=180°-2α，
∠FDE=180°-∠ADE-∠CDB=180°-2β，
∵CD⊥EB，
∴∠DFE=∠EFC=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°， 即180°-2α+180°-2β=90°，整理得α+β=135°，
∴∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-α-
β=180°-135°=45°，故①正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
假设AC=BD， 则AC=BD=BC，
∵CD⊥EB，
∴∠EBC=∠EBD，
∴△ECB≌△EDB(SAS)，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠CDB=β=180°-∠EDB=90°， 此时ED与CD重合， 不符合题意，
故②错误；
如图， 作∠DAN=45°交CD延长线于N， 过A作AG⊥DN交于G， AH⊥BE交BE延长线于H， 则∠CEB=∠AED=∠AEH=α，
∠ADE=∠CDB=∠ADN=β，
∴AF平分. 故④正确；
设 则
∴，
，
∴，
中，
解得
∵ ，
，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④.
故答案为： B.
【分析】设 ，利用三角形内角和判断结论①；根据 反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②； 如图，作 交CD延长线于N，过A作 交于G， 交BE延长线于H，则 ，先证明 得到再证明 得到 即可判断AF平分 得到④正确；证明 得到 设 则 利用勾股定理和面积依次求出 再在 中， 利用勾股定理求出. 最后计算即可判断③正确.
10．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图，当时，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有一个，
当时，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，
③当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，
④当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点只有一个，
⑤当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有四个，
故答案为：．
【分析】先表示ON，MN的长，然后根据x的取值范围画图得到点P的个数解题即可．
11．【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则，
∵平分，，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
中，
∴，
故答案为：72 ．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则，则长可得，再借助AE的长可得EG的长，再由平行线的性质结合角平分线的概念可证DF是直角三角形斜边AE上的中线，则EF、FG可依次求得，再利用勾股定理求出DG的长，再在中应用等面积法可求得CF与CD的比，则其平方比可得，再利用勾股定理即可求得CD2．
13．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴即，
又，，
∴
∴，，
设，
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴，
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得出，，设，可用b表示出，再勾股定理得出的关系，进而根据勾股定理求得的值，根据求解即可．
14．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
15．【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，
∴
（2）解：过点作交的延长线于点，如图所示，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴.
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求解即可；
（）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定AAS证出，进而得到，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得，进而求证即可；
（）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，最后根据角的关系求证即可．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等可以得到，再利用三角形的内角和定理解题即可；
（3）分为在线段上，在的延长线上两种情况，得到，即可得到，然后格局线段的和差解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
17．【答案】问题背景：
证明：，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
，
在和中，
，
∴．
尝试应用：解：，理由如下：
如图2，过点作交的延长线于．
，，
，
，，
，
，
，
∵，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，即．
拓展创新：
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】拓展创新：解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，
．
∵， ，，
与都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即∠DAB=∠EAC，
∴（SAS），
∴，，
，
∴．
故答案为：9．
【分析】问题背景：如图1，由同角的余角相等得∠DAB=∠EAC，然后根据SAS证明三角形全等即可；
尝试应用：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K，由等腰直角三角形的性质、对顶角相等、垂直的定义可推出∠DBK=∠K=45°，由等角对等边得DK=DB，由全等三角形的性质得∠ABD=∠ACE=135°，DB=EC=DK，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥BF，由二直线平行，同位角相等，得∠G=∠DFK，从而用AAS证明△ECG≌△DKF，得DF=EG，再根据等腰直角三角形的性质及证明即可；
拓展创新：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，易得△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，利用SAS证△ABD≌△ACE，得，即可．
18．【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可证明，再利用＂AAS＂即可求证；
（2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论；
（3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
1 / 1《三角形的综合》精选压轴题（一）—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·西湖期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：于点于点
∵点F是的中点，
即，
故答案为：D．
【分析】由垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角得到，，于是根据平角定义及三角形的内角和定理得到结论．
2．（2025八上·慈溪期末）如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
【分析】由角平分线的性质和判定定理知，点F既是和角平分线的交点，同时也在的角平分线上，则可证明的周长恰好是周长的一半。
3．（2025八上·温州期末）如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
4．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
5．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
6．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点E在射线上运动（）．
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】先根据题意，确定点E在射线CE上运动（瓜豆原理），再作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小（将军饮马模型），根据等边三角形的判定及性质即可得出答案.
7．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可.
8．（2025八上·滨江期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，连接
当点在上时：
和关于对称
，即
得：
当点在的延长线上时，同理可得
故答案为：A．
【分析】分为当点在上，点在的延长线上两种情况，过点作于，连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理得到，解题即可．
9．（2025八上·镇海区期末）如图，在 Rt 中， ，从点 射出的光线经过 反射恰好回到 点，根据光的反射性质，有 ，连结 ．若 ，以下结论正确的是：① ，② ，③ ，④ 平分 ．（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解： 设∠CEB=∠AED=α， ∠ADE=∠CDB=β，
∴∠DEB=180°-∠CEB-∠AED=180°-2α，
∠FDE=180°-∠ADE-∠CDB=180°-2β，
∵CD⊥EB，
∴∠DFE=∠EFC=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°， 即180°-2α+180°-2β=90°，整理得α+β=135°，
∴∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-α-
β=180°-135°=45°，故①正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
假设AC=BD， 则AC=BD=BC，
∵CD⊥EB，
∴∠EBC=∠EBD，
∴△ECB≌△EDB(SAS)，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠CDB=β=180°-∠EDB=90°， 此时ED与CD重合， 不符合题意，
故②错误；
如图， 作∠DAN=45°交CD延长线于N， 过A作AG⊥DN交于G， AH⊥BE交BE延长线于H， 则∠CEB=∠AED=∠AEH=α，
∠ADE=∠CDB=∠ADN=β，
∴AF平分. 故④正确；
设 则
∴，
，
∴，
中，
解得
∵ ，
，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④.
故答案为： B.
【分析】设 ，利用三角形内角和判断结论①；根据 反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②； 如图，作 交CD延长线于N，过A作 交于G， 交BE延长线于H，则 ，先证明 得到再证明 得到 即可判断AF平分 得到④正确；证明 得到 设 则 利用勾股定理和面积依次求出 再在 中， 利用勾股定理求出. 最后计算即可判断③正确.
二、填空题
10．（2025八上·淳安期末）如图，，点边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图，当时，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有一个，
当时，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，
③当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，
④当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点只有一个，
⑤当时，
如图，
∴点，，构成等腰三角形的点恰好有四个，
故答案为：．
【分析】先表示ON，MN的长，然后根据x的取值范围画图得到点P的个数解题即可．
11．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】（1）10
（2）6
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定可证，在由全等三角形的性质及勾股定理即可解答；
（2）由条件易证，由全等三角形的性质得到，所以，即可求解．
12．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则，
∵平分，，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
中，
∴，
故答案为：72 ．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则，则长可得，再借助AE的长可得EG的长，再由平行线的性质结合角平分线的概念可证DF是直角三角形斜边AE上的中线，则EF、FG可依次求得，再利用勾股定理求出DG的长，再在中应用等面积法可求得CF与CD的比，则其平方比可得，再利用勾股定理即可求得CD2．
13．（2025八上·镇海区期末）如图，在中，，边上有一点，过点作的垂线交延长线于点．若，则 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴即，
又，，
∴
∴，，
设，
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∴，
即
解得：（负值舍去）
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得出，，设，可用b表示出，再勾股定理得出的关系，进而根据勾股定理求得的值，根据求解即可．
14．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
三、综合题
15．（2024八上·东阳期末）如图，在中，，，在的延长线上取点，以为斜边作等腰，交于点，延长交于点．
（1）求的度数．
（2）当点是的中点时，求证：．
（3）取的中点，连接，如图，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴，
∵，
∴
（2）解：过点作交的延长线于点，如图所示，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴.
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求解即可；
（）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定AAS证出，进而得到，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得，进而求证即可；
（）过点作于点，连接，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可得，进而可得，，为等边三角形，最后根据角的关系求证即可．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：为等腰直角三角形，理由如下：
过点作于点，连接，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形．
16．（2024八上·吐鲁番期中）如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
（1）求证∶．
（2）求的度数．
（3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等可以得到，再利用三角形的内角和定理解题即可；
（3）分为在线段上，在的延长线上两种情况，得到，即可得到，然后格局线段的和差解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
17．（2024八上·温州期末）【问题背景】如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，求证：；
【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长、交于点，交于点，猜想与的数量关系，并给以证明；
【拓展创新】如图3，A是内一点，，，，直接写出的面积为 ．
【答案】问题背景：
证明：，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
，
在和中，
，
∴．
尝试应用：解：，理由如下：
如图2，过点作交的延长线于．
，，
，
，，
，
，
，
∵，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，即．
拓展创新：
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】拓展创新：解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，
．
∵， ，，
与都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB，即∠DAB=∠EAC，
∴（SAS），
∴，，
，
∴．
故答案为：9．
【分析】问题背景：如图1，由同角的余角相等得∠DAB=∠EAC，然后根据SAS证明三角形全等即可；
尝试应用：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K，由等腰直角三角形的性质、对顶角相等、垂直的定义可推出∠DBK=∠K=45°，由等角对等边得DK=DB，由全等三角形的性质得∠ABD=∠ACE=135°，DB=EC=DK，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AG∥BF，由二直线平行，同位角相等，得∠G=∠DFK，从而用AAS证明△ECG≌△DKF，得DF=EG，再根据等腰直角三角形的性质及证明即可；
拓展创新：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，易得△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，利用SAS证△ABD≌△ACE，得，即可．
18．（2024八上·浙江期末）小明同学在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球A可以自由摆动，如图，点A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从点A摆到点的位置，此时过点作于点，测得，．
（1）如图1，当小球摆到点位置时，与恰好垂直（图中的点在同一平面内），过点作于点，求证：；
（2）如图2，当小球摆到点位置时，，求出点到的距离；
（3）在（2）的条件下，的延长线上有一点，且，连接交于点，求证：为的中点．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
【知识点】直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可证明，再利用＂AAS＂即可求证；
（2）作直线于点，根据直角三角形的性质可证明，再根据全等三角形的判定，即可证明结论；
（3）根据，，可证明，然后根据全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
（1）证明：，
，
，
，
．
，，
又，
；
（2）解：如图，作直线于点，
，，
，，
，
又，，
，
，
点到的距离为；
（3）证明：，，
，
又，，
，
，
是的中点．
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