《三角形的综合》精选压轴题（二）—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·海曙期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·温岭期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
3．（2025八上·路桥期末）如图，在中，为上一点，，为上一点，，若要求和的周长之差，则只需要知道（ ）
A．的值 B．的值 C．的值 D．的值
4．（2022八上·常山期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·柯桥期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
8．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·宁波期末）如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．（2025八上·温岭期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ．
12．（2025八上·嵊州期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ．
13．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
14．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
15．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
三、综合题
16．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的度数；
（3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积．
17．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
18．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）探究与的数量关系，并说明理由．
19．（2025八上·玉环期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由．
20．（2025八上·滨江期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
（1）求的度数．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，，求的长．
21．（2025八上·奉化期末）如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图，当时，，，求四边形的面积．
22．（2025八上·鄞州期末）如图，在 Rt 和 Rt 中， ，点 在 上， 的延长线恰好经过点 ．
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）已知 ，设 ．
①求 关于 的函数关系式；②若 ，求线段 的长．
23．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
24．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据题意可知，△ACD和△BCE是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在△BCD和△ECA中
∴（SAS），
∴，
∴当点D在线段BA的延长线上时，BD最大，
此时BD=AB+AD=4+2=6，
过点C作CF⊥AB交BA延长线于点F，如下图所示：
∵AC=CD=AD=2，
∴DF=AF=AD=1，
∴CF=AF=，
∵AB=4，
∴BF=AB+AF=5，
∴BC==，
故答案为：A.
【分析】根据SAS证明，可得，得出当点D在线段BA的延长线上时，BD最大，即最大，然后画出图形，再过点C作CF⊥AB交BA延长线于点F，最后利用勾股定理即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵四边形EFGH是正方形，且△ABE是直角三角形，
∴，，
∴图中阴影部分的面积
∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长.
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的对应边相等得AE=BF，正方形的性质得∠AEB=∠AEF=90°，AE∥CG，由平行线间的距离处处相等得出△ACE中，AE边上的高等于EF的长，然后根据三角形面积公式，将阴影部分面积转化为，从而确定所需条件．
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在上取一点，使得，
∴
∴
∴，
∵，，
∴
∵
∴
∴，
∵的周长为，的周长为，且
∴；
∴和的周长之差为的值，
故选：A．
【分析】
先在上取一点，使得，则由等边对等角可得，再由等角的补角相等可得，又已知，又，则可依据AAS证明，则，则的周长与的周长的差转化为．
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；胡不归模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
，
、、，
，
，
∴，
∴，
∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为，
此时再连接CD，则CD＝AC、，
∴，
，
∴，
，即：点的纵坐标为；
故选：C．
【分析】
如图，连接AB， 作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM，再连接CD，可利用勾股定理先求出AB的值，则可得，再由轴对称的性质可判定为等边三角形，再由等腰三角形三线合一知，即可把转化为线段CE，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，则当点E与点M重合时取最小值，即线段AM的长，此时再连接CD，由轴对称的性质可得CD＝AC，再由等腰三角形三线合一结合直角三角形中30度角的性质可得点C为AM的三等分点，进而可求得AC、OC的长，由于点C在y轴上，即坐标可得．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作交的延长线于，过作于，如图所示：
∵AG∥BC，
∴∠GAE=∠E，∠CAG+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAG=180°-∠C=90°，
在△AEG和△BED中，
，
∴△AEG≌△BED（ASA），
∴AG=BD，EG=ED=，
∵AE=BD，
∴AG=AE，
∵AH⊥EG，
∴EH=GH=EG=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，
∴DH=DE+EH=1，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB，
∴∠DAH=∠EAH+∠DAB=∠EAG+∠CAB=∠CAG=45°，
∴Rt△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=1，
∴AD==，
故答案为：A.
【分析】过作交的延长线于，过作于，易证△AEG≌△BED（ASA），可得 AG=BD，EG=ED=， 结合已知条件可得AG=AE，进而得出EH=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，DH=1，根据角平分线可得∠DAH=45°，求得是等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴
即，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD==30°，
∴，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
即的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】首先利用SAS证，可推出，可得点E在射线上运动，结合“将军饮马”模型作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，最后利用等边对等角即可得出答案．
9．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在上截取，连接，如图所示：
∵垂直平分，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
在中，是边上的高线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
【分析】
由于EF垂直平分AB，则在EA上截取EH＝EG可得是等腰直角三角形，则；由于等腰三角形三线合一，则，再由三角形的外角性质可得，即HG＝HA，再由勾股定理可得，则、；又可判定是等腰直角三角形，则由勾定理可得；又由已知知，则CF长可求．
10．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①：由题意知，，，且，，
∴，
在与中，
∴≌，故①正确；
②：由①知，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③和④：如图，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，故③正确；
∴，故④正确；
故答案为： D．
【分析】由等腰直角三角形性质得∠CBA=∠OBD=90°，CB=AB，OB=OD，由角的构成及等式性质推出∠CBO=∠ABD，从而利用“SAS”判断出△BCO≌△BAD，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得，再用八字形模型可推出∠AGM=∠CBM=90°，即可判断②；过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而用“AAS”证△CBE≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CE=BO，BE=AO=8，推出CE=BD，然后再利用“AAS”证△CPE≌△DPB，由全等三角形的对应边相等得PC=PD，BP=EP，据此可判断③④.
11．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
【分析】过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质得BH=DH；从而用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，则可得CD=HD=1，最后根据线段和差可求出BC的长.
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作，交的延长线于H，即可得到，进而得到，，再推理得到，可得，设，则，求出x值即可解题．
13．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
14．【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
15．【答案】10；6
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，
，
，
∴∠ABG=∠CAH，
在和中，
，
∴，
，
，
，
∵在中，
∴，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
∴∠EAG=∠FHC，
在和中，
，
，
，
设，则 =2x，
∴，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，先证是等腰直角三角形，再利用ASA证，可得再结合已知可得的长度，最后利用勾股定理即可得的长 ；
（2）先利用ASA证，设，可得得到，可推出，求解x，再根据即可求解．
16．【答案】（1）解：∵为边上的高线，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的内角和知，又，所以；
（2）因为与互余，则，因为等腰中，所以，即，又，所以；
（3）要计算的面积，由于只知道腰长，但没有特殊角，不能直接计算，考虑到中线BE平分的面积，只需求出的面积，可过点作，连接，因为，则为等腰直角三角形，且；因为，显然，所以有、，所以有，又因为，所以，所以、，又中，等量代换得，即，则、，.
（1）解：∵为边上的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
17．【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
18．【答案】（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用得到解题即可；
（2）连接，根据对称得到，，，然后根据解题；
（3）作于点，然后推理得到，即可得到DG=AB，然后利用勾股定理解题即可.
（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
19．【答案】（1）证明： ∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点关于直线的对称点，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：，理由如下，如图，在上截取，设，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
同（）理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（）由等边三角形的性质结合已知可得，再利用三角形的外角性质可得，又，则等量代换即可；
（）由（1）知，又中，则由三角形的内角和定理可得，再由轴对称的性质可得、，则由三角形的外角性质结合等边三角形的性质可得，等量代换得，即；
（）由（2）知，则可证，又由等边三角形的性质可在上截取，则可证，由于全等三角形的面积相等，则可得 ．
（1）证明： ∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点关于直线的对称点，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：，理由如下，
如图，在上截取，设，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
同（）理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】利用等边三角形的性质，根据得到，即可得到，然后根据三角形外角的性质求出的度数；
过点作于点，先得到，然后根据勾股定理得到，即可得到，再根据勾股定理即求出长解题；
过点作于点，得到，设，根据得到，再根据勾股定理得到，求出的长，解题即可．
（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
21．【答案】（1）解：由题意可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：过点作于点，与相交于点，
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）由于两等腰直角三角形有公共直角顶点C，则可利用旋转全等模型证明即可；
（）由勾股定理结合等腰三角形的性质可得DE2＝2CD2，再由（1）的结论知AE2＝BD2，则由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形且，又，则；
（）由于是等腰直角三角形且，则当BC//DE时，，可过点作于点，则则可证明，再由勾股定理可求出，设与相交于点，则由全等三角形的对应角相等结合对顶角相等可证明，即，又由（1）知，则即可.
（1）解：由题意可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：过点作于点，与相交于点，
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
22．【答案】（1）解：△ADE是等边三角形；理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC =60°，
∴∠DAE=∠BAC =60°，
∵AE= DE，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：①在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠CAB+∠B =90°，∠EDA+∠CDA=90°，
∵AE= DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∵∠CDE=90°，AC=5，设DE=x，BC2=y，
∴y= BC2=CD2=CE2- DE2 =(x + 5)2-x2=10x+25；
②过点C作CH⊥BD于H，
∵BC=CD，
∴BH= DH，
∴AB-AD=BH+AH-(DH-AH)=2AH=6，
∴AH=3，
∵AC=5，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：
设BH =a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BC2= BH2+ CH2= a2+ 42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2=(a+3)2- 52，
∴a2+42=(a+3)2-52，
解得a =，
∴BC2=10x+ 25 =+ 42，
解得x =，
∴AE=DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证明∠EAD=∠BAC=60°，结合AE=DE可得证；
(2)①先证明△BCD是等腰三角形，再结合勾股定理可得结论；
②过点C作CH⊥BD于H，求出CH，AH，设BH=a，在Rt△BCH和Rt△ABC中，根据勾股定理得出两种方式BC2，列方程解出a的值，进而求出x的值，即可得出结论.
得出结论
23．【答案】（1）解：∵ ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H，EC于DB交于点N，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠ADC=∠AEC，
∵∠DNC+∠BDC=90°，∠DNC=∠FNE，
∴∠AEC+∠FNE=90°，
∴∠EFN=180°-（∠AEC+∠FNE）=90°，
∴BD⊥AE，
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，
CG2+DG2=DC2=
∴CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
S四边形ABED=S△ABE+S△ADE
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质可证得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，由此可推出∠ACE= ∠BCD，利用SAS证明 ，然后利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H，EC于DB交于点N，利用全等三角形的性质可证得∠ADC=∠AEC，利用三角形内角和定理和对顶角相等，可证得BD⊥AE，再证明△DCG是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出CG、DG的长，可得到BG的长，再利用勾股定理求出BD的长，可得到AE的长；然后根据S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=AE2，代入计算可求出四边形ABED的面积.
24．【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
1 / 1《三角形的综合》精选压轴题（二）—浙江省八（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2024八上·海曙期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连结，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，如图所示，
根据题意可知，△ACD和△BCE是等边三角形，
∴，
∴，
即，
在△BCD和△ECA中
∴（SAS），
∴，
∴当点D在线段BA的延长线上时，BD最大，
此时BD=AB+AD=4+2=6，
过点C作CF⊥AB交BA延长线于点F，如下图所示：
∵AC=CD=AD=2，
∴DF=AF=AD=1，
∴CF=AF=，
∵AB=4，
∴BF=AB+AF=5，
∴BC==，
故答案为：A.
【分析】根据SAS证明，可得，得出当点D在线段BA的延长线上时，BD最大，即最大，然后画出图形，再过点C作CF⊥AB交BA延长线于点F，最后利用勾股定理即可得出答案．
2．（2025八上·温岭期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∵四边形EFGH是正方形，且△ABE是直角三角形，
∴，，
∴图中阴影部分的面积
∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长.
故答案为：B．
【分析】利用全等三角形的对应边相等得AE=BF，正方形的性质得∠AEB=∠AEF=90°，AE∥CG，由平行线间的距离处处相等得出△ACE中，AE边上的高等于EF的长，然后根据三角形面积公式，将阴影部分面积转化为，从而确定所需条件．
3．（2025八上·路桥期末）如图，在中，为上一点，，为上一点，，若要求和的周长之差，则只需要知道（ ）
A．的值 B．的值 C．的值 D．的值
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在上取一点，使得，
∴
∴
∴，
∵，，
∴
∵
∴
∴，
∵的周长为，的周长为，且
∴；
∴和的周长之差为的值，
故选：A．
【分析】
先在上取一点，使得，则由等边对等角可得，再由等角的补角相等可得，又已知，又，则可依据AAS证明，则，则的周长与的周长的差转化为．
4．（2022八上·常山期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
5．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；胡不归模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
，
、、，
，
，
∴，
∴，
∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为，
此时再连接CD，则CD＝AC、，
∴，
，
∴，
，即：点的纵坐标为；
故选：C．
【分析】
如图，连接AB， 作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM，再连接CD，可利用勾股定理先求出AB的值，则可得，再由轴对称的性质可判定为等边三角形，再由等腰三角形三线合一知，即可把转化为线段CE，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，则当点E与点M重合时取最小值，即线段AM的长，此时再连接CD，由轴对称的性质可得CD＝AC，再由等腰三角形三线合一结合直角三角形中30度角的性质可得点C为AM的三等分点，进而可求得AC、OC的长，由于点C在y轴上，即坐标可得．
6．（2025八上·柯桥期末）如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过作交的延长线于，过作于，如图所示：
∵AG∥BC，
∴∠GAE=∠E，∠CAG+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAG=180°-∠C=90°，
在△AEG和△BED中，
，
∴△AEG≌△BED（ASA），
∴AG=BD，EG=ED=，
∵AE=BD，
∴AG=AE，
∵AH⊥EG，
∴EH=GH=EG=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，
∴DH=DE+EH=1，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB，
∴∠DAH=∠EAH+∠DAB=∠EAG+∠CAB=∠CAG=45°，
∴Rt△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=1，
∴AD==，
故答案为：A.
【分析】过作交的延长线于，过作于，易证△AEG≌△BED（ASA），可得 AG=BD，EG=ED=， 结合已知条件可得AG=AE，进而得出EH=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，DH=1，根据角平分线可得∠DAH=45°，求得是等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得出结论．
7．（2025八上·奉化期末）如图，在中，，，点在边上，连结．点是的中点，连接．若，则的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，取中点为点，连接FE交延长交AC于点G.
，，点为中点，
，，
在中，，
为CD中点，
，
是的中位线，
，
，
点是的中点，点为中点，
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形具有三线合一性，因此可取BC中点F，则AF垂直平分BC，可由勾股定理求得AF，又点E是CD中点，则EF是的中位线，则EF平行AB，再延长FE交AC于点G，则FG是中位线，即FG等于AB的一半，再由中线等分三角形的面积可得的面积等于面积的四分之一，再由面积公式即可求得AE长．
8．（2025八上·丽水期末）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴
即，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD==30°，
∴，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
即的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
【分析】首先利用SAS证，可推出，可得点E在射线上运动，结合“将军饮马”模型作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形三线合一得出，最后利用等边对等角即可得出答案．
9．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在上截取，连接，如图所示：
∵垂直平分，
，，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
在中，是边上的高线，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
【分析】
由于EF垂直平分AB，则在EA上截取EH＝EG可得是等腰直角三角形，则；由于等腰三角形三线合一，则，再由三角形的外角性质可得，即HG＝HA，再由勾股定理可得，则、；又可判定是等腰直角三角形，则由勾定理可得；又由已知知，则CF长可求．
10．（2025八上·宁波期末）如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①：由题意知，，，且，，
∴，
在与中，
∴≌，故①正确；
②：由①知，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③和④：如图，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，故③正确；
∴，故④正确；
故答案为： D．
【分析】由等腰直角三角形性质得∠CBA=∠OBD=90°，CB=AB，OB=OD，由角的构成及等式性质推出∠CBO=∠ABD，从而利用“SAS”判断出△BCO≌△BAD，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得，再用八字形模型可推出∠AGM=∠CBM=90°，即可判断②；过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而用“AAS”证△CBE≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CE=BO，BE=AO=8，推出CE=BD，然后再利用“AAS”证△CPE≌△DPB，由全等三角形的对应边相等得PC=PD，BP=EP，据此可判断③④.
二、填空题
11．（2025八上·温岭期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
【分析】过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质得BH=DH；从而用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，则可得CD=HD=1，最后根据线段和差可求出BC的长.
12．（2025八上·嵊州期末）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，连结与直线交于点F，若，则的长是 ．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作，交的延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】作，交的延长线于H，即可得到，进而得到，，再推理得到，可得，设，则，求出x值即可解题．
13．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
14．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
15．（2025八上·丽水期末）如图，在四边形中，对角线，F为上一点，连接交于点E，，已知，且．
（1）则的长是 ；
（2）若，且，则 ．
【答案】10；6
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，
，
，
∴∠ABG=∠CAH，
在和中，
，
∴，
，
，
，
∵在中，
∴，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
∴∠EAG=∠FHC，
在和中，
，
，
，
设，则 =2x，
∴，
，
解得：，
．
故答案为：6．
【分析】（1）延长交的延长线于点H，先证是等腰直角三角形，再利用ASA证，可得再结合已知可得的长度，最后利用勾股定理即可得的长 ；
（2）先利用ASA证，设，可得得到，可推出，求解x，再根据即可求解．
三、综合题
16．（2025八上·慈溪期末）如图，在等腰锐角中，，为边上的高线，为边上的点，连接交于点，设．
（1）用含的代数式表示；
（2）若，求的度数；
（3）在（）的条件下，若为中点，，求的面积．
【答案】（1）解：∵为边上的高线，∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的内角和知，又，所以；
（2）因为与互余，则，因为等腰中，所以，即，又，所以；
（3）要计算的面积，由于只知道腰长，但没有特殊角，不能直接计算，考虑到中线BE平分的面积，只需求出的面积，可过点作，连接，因为，则为等腰直角三角形，且；因为，显然，所以有、，所以有，又因为，所以，所以、，又中，等量代换得，即，则、，.
（1）解：∵为边上的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作，为垂足，连接，
∵
∴，，
∵为中点，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中用勾股定理得，
解得，（负根舍去）
∴，，
∴的面积为．
17．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”及直角三角形的“两个锐角互余”得出，即可计算出∠BAD的度数；
（2）根据表格猜想出AE=2BC，延长BC至点，使得，连接AP，根据线段垂直平分线的性质，得AP=AB，再由等腰三角形的性质导角证明出，根据等腰三角形的性质及判定即可证明出结论；
（3）在Rt△ACD、Rt△ACB中分别利用勾股定理，整理计算后即可得到三者之间的等量关系.
18．（2025八上·嘉兴期末）如图，已知和，，，，点关于直线的对称点为，线段交边于点，交的平分线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用得到解题即可；
（2）连接，根据对称得到，，，然后根据解题；
（3）作于点，然后推理得到，即可得到DG=AB，然后利用勾股定理解题即可.
（1）证明：平分，，
，
，，
，
；
（2）解：连接．
点与点关于直线对称，
，
，
，，
；
（3）解：，理由如下：
作，垂足为．
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
19．（2025八上·玉环期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长；
（3）当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明： ∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点关于直线的对称点，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：，理由如下，如图，在上截取，设，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
同（）理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（）由等边三角形的性质结合已知可得，再利用三角形的外角性质可得，又，则等量代换即可；
（）由（1）知，又中，则由三角形的内角和定理可得，再由轴对称的性质可得、，则由三角形的外角性质结合等边三角形的性质可得，等量代换得，即；
（）由（2）知，则可证，又由等边三角形的性质可在上截取，则可证，由于全等三角形的面积相等，则可得 ．
（1）证明： ∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点关于直线的对称点，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
（3）解：，理由如下，
如图，在上截取，设，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
同（）理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2025八上·滨江期末）如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点．
（1）求的度数．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，，求的长．
【答案】（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】利用等边三角形的性质，根据得到，即可得到，然后根据三角形外角的性质求出的度数；
过点作于点，先得到，然后根据勾股定理得到，即可得到，再根据勾股定理即求出长解题；
过点作于点，得到，设，根据得到，再根据勾股定理得到，求出的长，解题即可．
（1）解：是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
设，
在中，，
，
，
在等边三角形中，，，
又，
，
又，，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
．
21．（2025八上·奉化期末）如图1，和都是等腰直角三角形，，为外一点，，点，，三点不共线，连结，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图，当时，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：由题意可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：过点作于点，与相交于点，
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）由于两等腰直角三角形有公共直角顶点C，则可利用旋转全等模型证明即可；
（）由勾股定理结合等腰三角形的性质可得DE2＝2CD2，再由（1）的结论知AE2＝BD2，则由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形且，又，则；
（）由于是等腰直角三角形且，则当BC//DE时，，可过点作于点，则则可证明，再由勾股定理可求出，设与相交于点，则由全等三角形的对应角相等结合对顶角相等可证明，即，又由（1）知，则即可.
（1）解：由题意可得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴；
（3）解：过点作于点，与相交于点，
由题意可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
22．（2025八上·鄞州期末）如图，在 Rt 和 Rt 中， ，点 在 上， 的延长线恰好经过点 ．
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）已知 ，设 ．
①求 关于 的函数关系式；②若 ，求线段 的长．
【答案】（1）解：△ADE是等边三角形；理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC =60°，
∴∠DAE=∠BAC =60°，
∵AE= DE，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：①在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠CAB+∠B =90°，∠EDA+∠CDA=90°，
∵AE= DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∵∠CDE=90°，AC=5，设DE=x，BC2=y，
∴y= BC2=CD2=CE2- DE2 =(x + 5)2-x2=10x+25；
②过点C作CH⊥BD于H，
∵BC=CD，
∴BH= DH，
∴AB-AD=BH+AH-(DH-AH)=2AH=6，
∴AH=3，
∵AC=5，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：
设BH =a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BC2= BH2+ CH2= a2+ 42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2=(a+3)2- 52，
∴a2+42=(a+3)2-52，
解得a =，
∴BC2=10x+ 25 =+ 42，
解得x =，
∴AE=DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证明∠EAD=∠BAC=60°，结合AE=DE可得证；
(2)①先证明△BCD是等腰三角形，再结合勾股定理可得结论；
②过点C作CH⊥BD于H，求出CH，AH，设BH=a，在Rt△BCH和Rt△ABC中，根据勾股定理得出两种方式BC2，列方程解出a的值，进而求出x的值，即可得出结论.
得出结论
23．（2025八上·宁波期末）如图1，ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为ΔABC外一点，AB>2CD，A，C，E三点不共线，连结AD，AE，BD，BE，AE与BD交于点F
（1）求证：AE=BD；
（2）当AD2+2CD2=BD2时，求∠ADC的度数；
（3）如图2，当BC∥DE时，CD=，AC=3，求四边形△BED的面积.
【答案】（1）解：∵ ΔABC和ΔCDE都是等腰直角三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE
∴∠ACE= ∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD
（2）解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴△ADE 是直角三角形，∠ADE=90°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=90°-45°=45°
（3）解：过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H，EC于DB交于点N，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠ADC=∠AEC，
∵∠DNC+∠BDC=90°，∠DNC=∠FNE，
∴∠AEC+∠FNE=90°，
∴∠EFN=180°-（∠AEC+∠FNE）=90°，
∴BD⊥AE，
由题意可得，AC=BC=3，∠CED=45°，
∵BC∥DE，
∴∠BCE=∠CED=45°
∴∠DCG=180°-∠DCE-∠BCE
=180°-90°-45°=45°
∴∠CDG=45°，
∴CG=DG，
在 Rt△CDG中，
CG2+DG2=DC2=
∴CG=DG=1，
∴BG=BC+CG=3+1=4，
在Rt△BDG中，
∴AE=BD=，
S四边形ABED=S△ABE+S△ADE
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质可证得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，由此可推出∠ACE= ∠BCD，利用SAS证明 ，然后利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)利用勾股定理逆定理证明 是直角三角形，即可解决问题；
(3)过点D作DG⊥BC于点G，AE与BC相交于点H，EC于DB交于点N，利用全等三角形的性质可证得∠ADC=∠AEC，利用三角形内角和定理和对顶角相等，可证得BD⊥AE，再证明△DCG是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出CG、DG的长，可得到BG的长，再利用勾股定理求出BD的长，可得到AE的长；然后根据S四边形ABED=S△ABE+S△ADE=AE2，代入计算可求出四边形ABED的面积.
24．（2025八上·西湖期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接，交于点F．
求证：，并直接写出的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，，求证：．
②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接，若，，求的面积．
【答案】解：(1)如图1，
∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，∠DCE=∠ACB=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD，
∵∠BOC=∠AOF，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
(2)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB=AE，AD=AC，
∴△ABD≌△AEC(SAS)，
∴BD=CE，
∵AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
∴BE=CE；
②如图3，设CD=x，
∵△ADE是等腰三角形，∠DAE=90°，AE=2，
∴，
由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，
∴，∠ABO=∠ACE，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠CDO=∠BAO=90°，
∴BD2+CD2=BC2，
∴，
，
∴.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)如图1，先根据SAS证明△BCE≌△ACD，即可解答；
(2)①证明△ABD≌△AEC(SAS)，得BD=CE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答；
②设CD=x，由①同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，根据勾股定理和三角形的面积即可解答.
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