《二次函数》精选压轴题（一）—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·杭州期末）已知抛物线的顶点在第一象限，且过点和，则的值的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·长兴期末）二次函数（，，为常数，且），满足，则以下结论正确的是（ ）
A．若，该函数图象经过点
B．若，该函数图象经过点
C．若，，的绝对值相等，则该函数图象可能经过点
D．若，，中有两数相等，则该函数图象可能经过点
3．（2024九上·瑞安期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·平湖期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·浙江期末）已知二次函数是实数，且，设该函数的最大值为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2024九上·瑞安期末）已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·鄞州期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ）
A．
B．若点在图象上，则
C．
D．若点，在图象上，则
8．（2024九上·天台期末）如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
9．（2025九上·柯桥期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
10．（2024九上·温州期末）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ．
12．（2024九上·杭州期末）已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是
13．（2024九上·嵊州期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ．
14．（2024九上·三门期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示．
（1）m的值为 ．
（2）面积的最大值为 ．
三、解答题
15．（2024九上·温岭期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点．
（1）试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由；
（2）若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值；
（3）若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线过点和，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点在第一象限，即对称轴在第一象限，
当时，即图象开口向上，最小值在第一象限，则最小值，
∴二次函数与轴无交点，不符合题意；
当时，即图象开口向下，最大值在第一象限，
∴二次函数与轴有交点，符合题意；
∴，
∴，
∵对称轴直线为，
∴，即，
∴，
综上所述，，即，
故答案为：D ．
【分析】把两点坐标代入解析式可得，即可得到，然后根据a的取值范围解题即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意；
B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意；
C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意；
D、若，则，，当，，当，；故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可解答．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
令y=ax2-2ax中的y=0，得ax2-2ax=0，
解得x1=2，x2=0，
∵，
∴点离对称轴要比点离对称轴远，，
∴，
∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，
∴，
解得：，
综上所述，，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线解析式，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，则抛物线上离对称轴越远的点，其函数值越大；结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，从而可得关于字母M的不等式组，求解得出m的取值范围，则点A在对称轴的左边，点B在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
对称轴，
抛物线经过点，，且，
时，抛物线开口向上，且，
，即，
；
当时，抛物线开口向下，且，
，即，
，
故答案为：D．
【分析】先得到抛物线的对称轴是直线，再利用得到与时，与的大小关系即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵二次函数 ， b是实数，且 设该函数的最大值为k，
且当 时，
若 则 故选项A、B错误；
若 则 故选项D正确，选项C错误.
故答案为： D.
【分析】利用抛物线的解析式求得对称轴，即可求出函数的最小值 然后根据a，b的取值，判断（a-b）2的大小即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
又∵，离对称轴越远，函数的值越小，
当时，且，
∴当时，y有最大值，
当时，y有最小值，
由题意得，即，
∴（舍去），，
故答案为：B．
【分析】先根据平移得到过点，得到b=-2a，即可得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的增减性得到时，y有最大值，时，y有最小值解题即可．
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方，
当时，，即，
将代入可得，
，
，故选项A正确；
∵
∴关于对称轴的对称点的坐标为，
∵，
∴点和点都在点右侧，在x轴的上方，
∴，
解得：，故选项B错误；
将代入可得，
，
，
，
，
即，故选项C正确，
∵，
∴在抛物线上关于对称轴对称，
∴点的纵坐标相等，即，
∴，
∴，
∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于，
当时，，
将代入可得，，
∴
∴，故选项D正确，
故选：B．
【分析】
本题主要考查二次函数图象与性质，根据二次函数对称轴求出b和a的关系，再结合函数图象的特征对各选项逐一分析判断．
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵是的中点，
∴
∴，
∴的最小值为的长，
设，则，
在中，
∵，当时，有最小值
∴的最小值为
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质及已知推出DE=CF，由正方形性质及矩形的判定定理推出四边形ABNE是矩形，可得EN=AB=BC，NC=CF，从而由SAS判断出△BCF≌△ENC，由全等三角形对应角相等得∠FBC=∠CEN，结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠EGF=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出MD=MG=EF，从而可得DM+GM的最小值为EF；进而设AE=x，则DE=6-x，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：，解得，
∴，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即（其中），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②和①，根据，，，，可以得到，从而判断③；根据抛物线的增减性判断④解题即可．
11．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵二次函数的图象过点，点
∴
∴A（2，c），B（-2，16+c），
∵二次函数的图象过点．且，
∴，
∵对称轴是直线，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵二次函数的开口向上，
∴或．
故答案为：或．
【分析】先由函数的解析式得开口方向，对称轴，再算出，结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，再结合二次函数的增减性即可作答．
12．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∴，
∴顶点坐标为：，
如图，当时，则，
∵抛物线的最高点到直线的距离为2，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
如图，当时，则，
此时当时，最高点的纵坐标为：，
同理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
综上：的值为或，
故答案为：或．
【分析】先得到解抛物线的对称轴为直线，再分和两种情况根据最高点坐标得到方程解题即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图：
设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点，
由旋转的性质知，≌，，
∴，，
过点作轴，过点作轴，
则，且，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴
解得：，
由图知，
∴，
∴，，，
，
∴．
故答案为： ．
【分析】画出函数图象和旋转后的图象构造全等三角形，过点作轴，过点作轴，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，设表示AE和B'E的长，然后根据正切求出t值，再利用勾股定理解题即可．
14．【答案】；
【知识点】弧长的计算；动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图象得：扇形的半径为10，
∴ ，
∴，
故答案为：；
（2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y，
则：
∴
∵，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值，为，
故答案为：．
【分析】（1）由图象可得扇形的半径为10，然后弧长公式计算解题；
（2）用二次函数表示△OPQ的面积并得到最值解题即可．
15．【答案】（1）解：当时，，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）解：如图，当时，，
解得：，，
当，时，有最大值，
最大值为4；
（3）解：如图，，
，
当时，的最小值为，
此时；
如图，当时，，
当时，，
当两个y值相等时，h最大，
∴，
解得：，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据纵邻点的定义，先求出抛物线在时的函数值，再计算与点纵坐标差的绝对值，然后作出判断；
（2）求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值；
（3）当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值.
（1）由题意，把代入得，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）如图，将代入得，，
当，时，最大，最大值为4；
（3）如图，把代入得，
的最小值为，
此时；
如图，把代入，把代入，
当两个y值相等时，h最大，
即解得，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
1 / 1《二次函数》精选压轴题（一）—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2024九上·杭州期末）已知抛物线的顶点在第一象限，且过点和，则的值的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：抛物线过点和，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点在第一象限，即对称轴在第一象限，
当时，即图象开口向上，最小值在第一象限，则最小值，
∴二次函数与轴无交点，不符合题意；
当时，即图象开口向下，最大值在第一象限，
∴二次函数与轴有交点，符合题意；
∴，
∴，
∵对称轴直线为，
∴，即，
∴，
综上所述，，即，
故答案为：D ．
【分析】把两点坐标代入解析式可得，即可得到，然后根据a的取值范围解题即可．
2．（2024九上·长兴期末）二次函数（，，为常数，且），满足，则以下结论正确的是（ ）
A．若，该函数图象经过点
B．若，该函数图象经过点
C．若，，的绝对值相等，则该函数图象可能经过点
D．若，，中有两数相等，则该函数图象可能经过点
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意；
B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意；
C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意；
D、若，则，，当，，当，；故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可解答．
3．（2024九上·瑞安期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线开口向上，有最低点，对称轴为，
∴离对称轴越远，函数值越大，
令y=ax2-2ax中的y=0，得ax2-2ax=0，
解得x1=2，x2=0，
∵，
∴点离对称轴要比点离对称轴远，，
∴，
∴点在对称轴的左边，点在对称轴的右边，
∴，
解得：，
综上所述，，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线解析式，得出抛物线开口向上，有最低点，求出对称轴为，当或当时，，则抛物线上离对称轴越远的点，其函数值越大；结合，得出点离对称轴要比点离对称轴远，从而可得关于字母M的不等式组，求解得出m的取值范围，则点A在对称轴的左边，点B在对称轴的右边，得出不等式求解，综合得出答案即可．
4．（2024九上·平湖期末）已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
对称轴，
抛物线经过点，，且，
时，抛物线开口向上，且，
，即，
；
当时，抛物线开口向下，且，
，即，
，
故答案为：D．
【分析】先得到抛物线的对称轴是直线，再利用得到与时，与的大小关系即可．
5．（2024九上·浙江期末）已知二次函数是实数，且，设该函数的最大值为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
∵二次函数 ， b是实数，且 设该函数的最大值为k，
且当 时，
若 则 故选项A、B错误；
若 则 故选项D正确，选项C错误.
故答案为： D.
【分析】利用抛物线的解析式求得对称轴，即可求出函数的最小值 然后根据a，b的取值，判断（a-b）2的大小即可.
6．（2024九上·瑞安期末）已知抛物线，当时，最大值与最小值的差为，若将抛物线向左平移4个单位后经过点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向左平移4个单位后经过点，
∴抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
又∵，离对称轴越远，函数的值越小，
当时，且，
∴当时，y有最大值，
当时，y有最小值，
由题意得，即，
∴（舍去），，
故答案为：B．
【分析】先根据平移得到过点，得到b=-2a，即可得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的增减性得到时，y有最大值，时，y有最小值解题即可．
7．（2025九上·鄞州期末）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，对称轴为直线．其中判断错误的是（ ）
A．
B．若点在图象上，则
C．
D．若点，在图象上，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方，
当时，，即，
将代入可得，
，
，故选项A正确；
∵
∴关于对称轴的对称点的坐标为，
∵，
∴点和点都在点右侧，在x轴的上方，
∴，
解得：，故选项B错误；
将代入可得，
，
，
，
，
即，故选项C正确，
∵，
∴在抛物线上关于对称轴对称，
∴点的纵坐标相等，即，
∴，
∴，
∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于，
当时，，
将代入可得，，
∴
∴，故选项D正确，
故选：B．
【分析】
本题主要考查二次函数图象与性质，根据二次函数对称轴求出b和a的关系，再结合函数图象的特征对各选项逐一分析判断．
8．（2024九上·天台期末）如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
又∵
∴
∴
∵是的中点，
∴
∴，
∴的最小值为的长，
设，则，
在中，
∵，当时，有最小值
∴的最小值为
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质及已知推出DE=CF，由正方形性质及矩形的判定定理推出四边形ABNE是矩形，可得EN=AB=BC，NC=CF，从而由SAS判断出△BCF≌△ENC，由全等三角形对应角相等得∠FBC=∠CEN，结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠EGF=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得出MD=MG=EF，从而可得DM+GM的最小值为EF；进而设AE=x，则DE=6-x，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
9．（2025九上·柯桥期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
【分析】
观察图象知，可过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，显然可证，由相似比得，由于AB是定值，则当PM最小时最大，此时可利用抛物线上点的坐标特征设出P点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，则点M坐标可表示，则线段PM即为P、M两点横坐标的差，即PM是关于m的二次函数，且二次项系数为负，则PM有最大值，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
10．（2024九上·温州期末）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：，解得，
∴，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴，
∴，，
∴，故①错误；
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即（其中），故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②和①，根据，，，，可以得到，从而判断③；根据抛物线的增减性判断④解题即可．
二、填空题
11．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵二次函数的图象过点，点
∴
∴A（2，c），B（-2，16+c），
∵二次函数的图象过点．且，
∴，
∵对称轴是直线，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵二次函数的开口向上，
∴或．
故答案为：或．
【分析】先由函数的解析式得开口方向，对称轴，再算出，结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，再结合二次函数的增减性即可作答．
12．（2024九上·杭州期末）已知抛物线（为常数），直线，当时，抛物线的最高点到直线的距离为2，则的值是
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∴，
∴顶点坐标为：，
如图，当时，则，
∵抛物线的最高点到直线的距离为2，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
如图，当时，则，
此时当时，最高点的纵坐标为：，
同理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
综上：的值为或，
故答案为：或．
【分析】先得到解抛物线的对称轴为直线，再分和两种情况根据最高点坐标得到方程解题即可．
13．（2024九上·嵊州期末）在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图：
设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点，
由旋转的性质知，≌，，
∴，，
过点作轴，过点作轴，
则，且，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴
解得：，
由图知，
∴，
∴，，，
，
∴．
故答案为： ．
【分析】画出函数图象和旋转后的图象构造全等三角形，过点作轴，过点作轴，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，设表示AE和B'E的长，然后根据正切求出t值，再利用勾股定理解题即可．
14．（2024九上·三门期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示．
（1）m的值为 ．
（2）面积的最大值为 ．
【答案】；
【知识点】弧长的计算；动点问题的函数图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图象得：扇形的半径为10，
∴ ，
∴，
故答案为：；
（2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y，
则：
∴
∵，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y取最大值，为，
故答案为：．
【分析】（1）由图象可得扇形的半径为10，然后弧长公式计算解题；
（2）用二次函数表示△OPQ的面积并得到最值解题即可．
三、解答题
15．（2024九上·温岭期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点．
（1）试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由；
（2）若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值；
（3）若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值．
【答案】（1）解：当时，，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）解：如图，当时，，
解得：，，
当，时，有最大值，
最大值为4；
（3）解：如图，，
，
当时，的最小值为，
此时；
如图，当时，，
当时，，
当两个y值相等时，h最大，
∴，
解得：，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）根据纵邻点的定义，先求出抛物线在时的函数值，再计算与点纵坐标差的绝对值，然后作出判断；
（2）求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值；
（3）当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值.
（1）由题意，把代入得，
，
不是拋物线的纵邻点；
（2）如图，将代入得，，
当，时，最大，最大值为4；
（3）如图，把代入得，
的最小值为，
此时；
如图，把代入，把代入，
当两个y值相等时，h最大，
即解得，
此时为h的最大值，
当时，由对称性可知，n的另外一个值为，
综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或．
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