《二次函数》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025九上·江北期末）已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵当时，，
∴抛物线经过点，
又∵ 抛物线（且都是常数）经过点，
∴
即该抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，
∴ 恒正， 恒负．
该抛物线经过点和，
设该抛物线的函数表达式为 ，
代入，得，
解得，
当 时， ，
即抛物线顶点的纵坐标.
故答案为：B．
【分析】先根据二次函数解析式特点结合已知求出抛物线的对称轴，再根据题意找到抛物线与x轴的交点坐标，设该抛物线的顶点式，代入求得的值，进一步即可求得顶点的纵坐标．
2．（2025九上·上城期末）已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当和时，，
抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线开口向上，
，
，，
，
即，
，
没有符合的选项；
当时，抛物线开口向下，
，
，，
，
解得，
符合题意；
综上所述，符合题意．
故选：B．
【分析】由题意知，抛物线经过两个定点，，所以对称轴为直线，分和两种情况讨论，利用轴对称性，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案．
3．（2025九上·鹿城期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将代入得：，
，
，
解得：或（舍去）
，
即，
，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，
当时，二次函数有最大值，
即二次函数的最大值与最小值的差为．
故选D．
【分析】由抛物线的解析式（m为常数）知，抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，函数有最小值0；因为点A在抛物线上，可把点A的坐标代入到函数解析式中，得出，从而确定出m的取值范围，再分别代入计算即可．
4．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B．或 C．或1 D．1
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 二次函数得图象向右平移3个单位，
平移后的函数图象经过原点，
，
整理得：，
∴二次函数的对称轴为直线为，
①当时，
当时函数值有最小值，
当时，，
，
，
解得：；
②当时，
，
当时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或1．
故答案为：C．
【分析】由二次函数图象平移的规律“左加右减”得，由平移后函数图象经过原点得，由抛物线的对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线；分类讨论：①当时，由题意得时，函数有最小值y=2，从而代入可求出b的值；②当时，由图象上离对称轴越远的点函数值越小得出当x=-4时函数值最小为y=-2，从而代入可求出b的值，综上即可得出答案.
5．（2025九上·温州期末）已知二次函数 ．当 时，函数的最大值与最小值的差为 12 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由条件可知：抛物线在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当 时， 当 时，y随的x增大而增大，
那么 时取得最小值， x=n时取得最大值， 最小值为 ，最大值为
则可列出方程：
解得
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当 时，
此时 时取得最大值， 时取得最小值，
最大值为9，最小值为
此时最大值与最小值的差为12，
符合题意；
③当 时，
此时 时取得最大值， 时取得最小值，
最大值为9，最小值为
已知最大值与最小值的差为12，
则
解得
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去.
∴综上，得到n的取值范围为：
故答案为： B.
【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为 和 三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断.
6．（2025九上·鄞州期末）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，对称轴为直线 ．其中判断错误的是（ ）
A．
B．若点 在图象上，则
C．
D．若点 在图象上，则
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知
∵A(m，0)， m<3，
结合函数图象可知，当x=3时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方，
当x=3时， 即
9a+3b+c>0，
将b =-2a代入9a+3b+c>0可得，
9a+3(-2a)+c>0
3a+c>0， 故选项A正确；
由条件可知Q(-1，4n+2)关于对称轴直线x =1的对称点的坐标为(3，4n﹢2)，
则点(3，4n+2)和P(4，2n)都在对称轴右侧， y随x的增大而增大，
∵4>3，
∴4n+2<2n， 故选项B正确；
将 代入 可得，
即 故选项C正确，
在抛物线上关于对称轴对称，
∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于 当 时，
将 代入 可得，
故选项D错误，
故答案为： D.
【分析】先得到x=3时，函数值y>0，然后根据对称轴可得b=-2a，代入计算判断A选项；然后求出点Q关于直线x=1的对称点，然后根据函数的增减性判断B选项；把代入A选项的结论即可判断C选项；先根据对称性求出n的值，然后可以得到最小值为小于等于-1，即x=1时y<0，代入b=-2a计算判断D选项解题.
7．（2025九上·路桥期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】将点A（0，1.5）代入y=a(x-1)2+2算出a的值，可求出 第一次着地前的抛物线解析式， 令所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值可得点B的坐标，进而由“ 根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的”求出第二次着地前抛物线顶点的纵坐标为m，由“ 弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线 ”可得两抛物线的二次项系数相同，故设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，再将点B的坐标代入算出h的值， 可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
8．（2025九上·湖州期末）已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
【分析】利用根的判别式即可判断①，利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<20，进而可以判断④.
二、填空题
9．（2025九上·新昌期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可．
10．（2025九上·钱塘期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可．
11．（2025九上·温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图 2 是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线 上，圆弧的半径为 米， 米．过拱尖 作 分别交 于点 ．若 ，则高 等于 。
【答案】8米
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意可得该大门的示意图是轴对称图形，对称轴为PN所在直线，
∵ABCD是矩形，CD=4米，
∴CD=AB=4米，AB∥CD，
∴AM=BM=2米，
如图作AP的垂直平分线交AB于点O，连接OP，则点O为弧AB的圆心，
则OA=OP= 米，
∴米，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴米，
又∵ ，
∴MN=5米，
∴PN=MN+PM=3+5=8米，
故答案为：8米.
【分析】作AP的垂直平分线交AB于点O，连接OP，则点O为弧AB的圆心，然后得到OM长，根据勾股定理求出OM长，然后根据比例得到MN的长，再根据PN=MN+PM解题即可.
12．（2025九上·金东期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为 ；
（2）若，则的取值范围为 ．
【答案】4；
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）若，则点关于直线对称，
∴，
故答案为：4；
（2），
图象开口向上，与轴的交点坐标为，
图象有点，点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题意可知点A、B关于直线对称，由抛物线的对称轴的特征可求解；
（2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，然后根据函数的性质即可判断求解．
13．（2025九上·诸暨期末）已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ．
【答案】；；或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，
令，则或，
当时，，
当时，，
无论取何值，抛物线恒过定点，，
故答案为：，；
（2）由题意，先将抛物线化为顶点式：
，
顶点纵坐标为，
展开．
因为时，，
，当且仅当时等号成立，
，对于，
有，
当且仅当，即时等号成立．
此时顶点纵坐标最大，
抛物线为，
其对称轴为．
当时，随的增大而增大．
已知抛物线经过，且，
因为关于对称轴的对称点为，
所以或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；
（2） 当m<0时，抛物线开口向下，顶点位置最高意味着顶点的纵坐标最大 ，将抛物线的解析式配成顶点式得出其顶点的纵坐标值，根据“时，，则，当且仅当时等号成立”可得m=4时顶点纵坐标最大，将m=4代入原抛物线的解析式求出其对称轴直线为x=1，然后求出点(2，y1)关于直线x=1的对称点，再根据抛物线的增减性解答即可.
三、解答题
14．（2025九上·温州期末）【项目】小车沿斜面运动中路程 与时间 的关系．
图1是小车从料面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米。 小温和小州共同填写了如下实验记录表。
1 （秒） 0 2 3
（分米） 0 4 9
（1）小温发现，路程 与时间 可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图 2 中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出 关于 的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个 5 秒和第二个 5 秒通过的路程之差。
（3）小州说：把单位时间设为 1 秒，还可以研究第 秒内通过的路程 （分米）与第 秒之间的函数关系。
请写出一个路程 （分米）与第 秒之间的结论，井通过计算说明理由．
【答案】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
可以采用的函数模型是二次函数，
设路程s与时间t的函数关系式为：
将(0，0)， (2，4)， (3，9)代入， 得：解得
∴路程s与时间t的函数关系式为：
（2）解：当 时， (分米)，
当 时， (分米)，
∴第2个5秒小车通过的路程为： (分米)
∴路程差为：' (分米)；
（3）解：第1秒通过的路程： (分米)，
第2秒通过的路程： (分米)，
第3秒通过的路程： (分米)，
… ，
第t秒通过的路程 (分米)，∴.第t秒内通过的路程： (分米)与第t秒之间的函数关系为
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)在图2中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出s关于t的函数表达式即可；
(2)先求出小车在斜面上第一个5秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个5秒通过的路程，作差即可解答；
(3)根据第t秒通过的路程等于前t秒通过的路程减去前 秒通过的路程列式化简即可解答.
15．（2025九上·江北期末）如图 1，过点 作 直线 于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ．线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离．
【探索】
（1）如图 1，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的紧直距离即为 的长度，则 ．（用含 的代数式表示）
（2）当直线 与 轴不平行时，点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的坚直距离 存在一定的数量关系，若此时直线 ，则 AC
（3）【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为 ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ，其最远处落在草坪的 处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 ，请求出支架 的最大值．
（4）【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 轴相切于点 ，若 ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图 1，过点 作 交 于点 ，过 作 平行于 轴交 于点C． 称为点 到直线 的竖直距离
草坪倾斜角为 ．
．
设 横坐标为 ．
当 时， 最大， ．
．
此时 最大， ．
（4）解： 圆弧与 轴相切．
圆心在 轴上，记圆心为 ．
过 作 交圆弧于 ，交 于 ．
过 作 轴垂线交 于 ，
此时 最大，即 最大．
【知识点】垂径定理；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 点 的坐标为 ，
∴，
故答案为：；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，
则点D的坐标为(x，0)，点C的坐标为(x，），点E的坐标为(-5，0)，
∴，
∵∠ECD=∠ACB，
∴sin∠ECD=sin∠ACB，即，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行于y轴的两点的距离等于纵坐标差的绝对值计算即可；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，得到EC长，然后根据sin∠ECD=sin∠ACB解题即可；
（3）根据（2）中的结论计算即可；
（4）过 作 交圆弧于 ，交 于 ．过 作 轴垂线交 于 ，则 最大，即 最大，然后根据（2）终结论解题即可.
1 / 1《二次函数》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025九上·江北期末）已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·上城期末）已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2025九上·鹿城期末）点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2025九上·嘉兴期末）已知二次函数，当时函数值有最小值，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B．或 C．或1 D．1
5．（2025九上·温州期末）已知二次函数 ．当 时，函数的最大值与最小值的差为 12 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·鄞州期末）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与 轴的负半轴交于点 ，对称轴为直线 ．其中判断错误的是（ ）
A．
B．若点 在图象上，则
C．
D．若点 在图象上，则
7．（2025九上·路桥期末）如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
8．（2025九上·湖州期末）已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
二、填空题
9．（2025九上·新昌期末）当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
10．（2025九上·钱塘期末）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
11．（2025九上·温州期末）某大门是轴对称图形，由矩形与哥特式尖拱组成（如图1），图 2 是其设计图，尖拱部分是两条等弧，圆心均落在直线 上，圆弧的半径为 米， 米．过拱尖 作 分别交 于点 ．若 ，则高 等于 。
12．（2025九上·金东期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为 ；
（2）若，则的取值范围为 ．
13．（2025九上·诸暨期末）已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ．
三、解答题
14．（2025九上·温州期末）【项目】小车沿斜面运动中路程 与时间 的关系．
图1是小车从料面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米。 小温和小州共同填写了如下实验记录表。
1 （秒） 0 2 3
（分米） 0 4 9
（1）小温发现，路程 与时间 可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图 2 中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出 关于 的函数表达式．
（2）若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个 5 秒和第二个 5 秒通过的路程之差。
（3）小州说：把单位时间设为 1 秒，还可以研究第 秒内通过的路程 （分米）与第 秒之间的函数关系。
请写出一个路程 （分米）与第 秒之间的结论，井通过计算说明理由．
15．（2025九上·江北期末）如图 1，过点 作 直线 于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ．线段 的长度称为点 到直线 的竖直距离．
【探索】
（1）如图 1，设点 的坐标为 ，则点 到直线 的紧直距离即为 的长度，则 ．（用含 的代数式表示）
（2）当直线 与 轴不平行时，点 到直线 的垂直距离 与点 到直线 的坚直距离 存在一定的数量关系，若此时直线 ，则 AC
（3）【应用】
如图 2，公园有一斜坡草坪（可看作线段 ），其倾斜角为 ，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线 ，其最远处落在草坪的 处．若在山上种一棵树 （垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架 ，请求出支架 的最大值．
（4）【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角 不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与 轴相切于点 ，若 ，为了保证灌溉山上种植的这棵树 （垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高 的最大值是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵当时，，
∴抛物线经过点，
又∵ 抛物线（且都是常数）经过点，
∴
即该抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，
∴ 恒正， 恒负．
该抛物线经过点和，
设该抛物线的函数表达式为 ，
代入，得，
解得，
当 时， ，
即抛物线顶点的纵坐标.
故答案为：B．
【分析】先根据二次函数解析式特点结合已知求出抛物线的对称轴，再根据题意找到抛物线与x轴的交点坐标，设该抛物线的顶点式，代入求得的值，进一步即可求得顶点的纵坐标．
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当和时，，
抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线开口向上，
，
，，
，
即，
，
没有符合的选项；
当时，抛物线开口向下，
，
，，
，
解得，
符合题意；
综上所述，符合题意．
故选：B．
【分析】由题意知，抛物线经过两个定点，，所以对称轴为直线，分和两种情况讨论，利用轴对称性，结合，，中有且只有两个是正数，分别求出a的取值范围，即可判断答案．
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：将代入得：，
，
，
解得：或（舍去）
，
即，
，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，
当时，二次函数有最大值，
即二次函数的最大值与最小值的差为．
故选D．
【分析】由抛物线的解析式（m为常数）知，抛物线开口向上，对称轴为直线，所以当时，函数有最小值0；因为点A在抛物线上，可把点A的坐标代入到函数解析式中，得出，从而确定出m的取值范围，再分别代入计算即可．
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 二次函数得图象向右平移3个单位，
平移后的函数图象经过原点，
，
整理得：，
∴二次函数的对称轴为直线为，
①当时，
当时函数值有最小值，
当时，，
，
，
解得：；
②当时，
，
当时，，
，
，
解得：；
综上所述：的值为或1．
故答案为：C．
【分析】由二次函数图象平移的规律“左加右减”得，由平移后函数图象经过原点得，由抛物线的对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线；分类讨论：①当时，由题意得时，函数有最小值y=2，从而代入可求出b的值；②当时，由图象上离对称轴越远的点函数值越小得出当x=-4时函数值最小为y=-2，从而代入可求出b的值，综上即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：由条件可知：抛物线在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当 时， 当 时，y随的x增大而增大，
那么 时取得最小值， x=n时取得最大值， 最小值为 ，最大值为
则可列出方程：
解得
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当 时，
此时 时取得最大值， 时取得最小值，
最大值为9，最小值为
此时最大值与最小值的差为12，
符合题意；
③当 时，
此时 时取得最大值， 时取得最小值，
最大值为9，最小值为
已知最大值与最小值的差为12，
则
解得
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去.
∴综上，得到n的取值范围为：
故答案为： B.
【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为 和 三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知
∵A(m，0)， m<3，
结合函数图象可知，当x=3时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方，
当x=3时， 即
9a+3b+c>0，
将b =-2a代入9a+3b+c>0可得，
9a+3(-2a)+c>0
3a+c>0， 故选项A正确；
由条件可知Q(-1，4n+2)关于对称轴直线x =1的对称点的坐标为(3，4n﹢2)，
则点(3，4n+2)和P(4，2n)都在对称轴右侧， y随x的增大而增大，
∵4>3，
∴4n+2<2n， 故选项B正确；
将 代入 可得，
即 故选项C正确，
在抛物线上关于对称轴对称，
∴抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于 当 时，
将 代入 可得，
故选项D错误，
故答案为： D.
【分析】先得到x=3时，函数值y>0，然后根据对称轴可得b=-2a，代入计算判断A选项；然后求出点Q关于直线x=1的对称点，然后根据函数的增减性判断B选项；把代入A选项的结论即可判断C选项；先根据对称性求出n的值，然后可以得到最小值为小于等于-1，即x=1时y<0，代入b=-2a计算判断D选项解题.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
【分析】将点A（0，1.5）代入y=a(x-1)2+2算出a的值，可求出 第一次着地前的抛物线解析式， 令所求抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值可得点B的坐标，进而由“ 根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的”求出第二次着地前抛物线顶点的纵坐标为m，由“ 弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线 ”可得两抛物线的二次项系数相同，故设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，再将点B的坐标代入算出h的值， 可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
【分析】利用根的判别式即可判断①，利用二次函数的对称性即可判断②；根据题意画出图象，结合图象即可判断③；若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，可得抛物线开口向下，又图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<20，进而可以判断④.
9．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线，然后分为和两种情况，利用函数的增减性得到最大值和最小值解题即可．
10．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数（m为常数）的图象与轴有交点，
∴．
解得：；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而增大，
∴，
∴m的取值范围是．
故答案为：．
【分析】由题可得判别式，再根据增减性得到，解出m的取值范围即可．
11．【答案】8米
【知识点】垂径定理的实际应用；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意可得该大门的示意图是轴对称图形，对称轴为PN所在直线，
∵ABCD是矩形，CD=4米，
∴CD=AB=4米，AB∥CD，
∴AM=BM=2米，
如图作AP的垂直平分线交AB于点O，连接OP，则点O为弧AB的圆心，
则OA=OP= 米，
∴米，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴米，
又∵ ，
∴MN=5米，
∴PN=MN+PM=3+5=8米，
故答案为：8米.
【分析】作AP的垂直平分线交AB于点O，连接OP，则点O为弧AB的圆心，然后得到OM长，根据勾股定理求出OM长，然后根据比例得到MN的长，再根据PN=MN+PM解题即可.
12．【答案】4；
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）若，则点关于直线对称，
∴，
故答案为：4；
（2），
图象开口向上，与轴的交点坐标为，
图象有点，点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题意可知点A、B关于直线对称，由抛物线的对称轴的特征可求解；
（2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，然后根据函数的性质即可判断求解．
13．【答案】；；或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，
令，则或，
当时，，
当时，，
无论取何值，抛物线恒过定点，，
故答案为：，；
（2）由题意，先将抛物线化为顶点式：
，
顶点纵坐标为，
展开．
因为时，，
，当且仅当时等号成立，
，对于，
有，
当且仅当，即时等号成立．
此时顶点纵坐标最大，
抛物线为，
其对称轴为．
当时，随的增大而增大．
已知抛物线经过，且，
因为关于对称轴的对称点为，
所以或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；
（2） 当m<0时，抛物线开口向下，顶点位置最高意味着顶点的纵坐标最大 ，将抛物线的解析式配成顶点式得出其顶点的纵坐标值，根据“时，，则，当且仅当时等号成立”可得m=4时顶点纵坐标最大，将m=4代入原抛物线的解析式求出其对称轴直线为x=1，然后求出点(2，y1)关于直线x=1的对称点，再根据抛物线的增减性解答即可.
14．【答案】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
可以采用的函数模型是二次函数，
设路程s与时间t的函数关系式为：
将(0，0)， (2，4)， (3，9)代入， 得：解得
∴路程s与时间t的函数关系式为：
（2）解：当 时， (分米)，
当 时， (分米)，
∴第2个5秒小车通过的路程为： (分米)
∴路程差为：' (分米)；
（3）解：第1秒通过的路程： (分米)，
第2秒通过的路程： (分米)，
第3秒通过的路程： (分米)，
… ，
第t秒通过的路程 (分米)，∴.第t秒内通过的路程： (分米)与第t秒之间的函数关系为
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)在图2中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出s关于t的函数表达式即可；
(2)先求出小车在斜面上第一个5秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个5秒通过的路程，作差即可解答；
(3)根据第t秒通过的路程等于前t秒通过的路程减去前 秒通过的路程列式化简即可解答.
15．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图 1，过点 作 交 于点 ，过 作 平行于 轴交 于点C． 称为点 到直线 的竖直距离
草坪倾斜角为 ．
．
设 横坐标为 ．
当 时， 最大， ．
．
此时 最大， ．
（4）解： 圆弧与 轴相切．
圆心在 轴上，记圆心为 ．
过 作 交圆弧于 ，交 于 ．
过 作 轴垂线交 于 ，
此时 最大，即 最大．
【知识点】垂径定理；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵ 点 的坐标为 ，
∴，
故答案为：；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，
则点D的坐标为(x，0)，点C的坐标为(x，），点E的坐标为(-5，0)，
∴，
∵∠ECD=∠ACB，
∴sin∠ECD=sin∠ACB，即，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行于y轴的两点的距离等于纵坐标差的绝对值计算即可；
（2）设直线l交x轴于点E，延长AC交x轴于点D，得到EC长，然后根据sin∠ECD=sin∠ACB解题即可；
（3）根据（2）中的结论计算即可；
（4）过 作 交圆弧于 ，交 于 ．过 作 轴垂线交 于 ，则 最大，即 最大，然后根据（2）终结论解题即可.
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