《相似三角形》精选压轴题—浙江省九（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·丽水期末）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
2．（2025九上·宁波期末）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 （如图所示），连结 并延长交 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过I点作IM⊥CF于M点，如图，
∵，可以设 BI =2k，IC =k，
∴BC = BI + IC =3k，
依题意得：∠FGD =∠BFC =∠IMC =90°，
∴DH // BF // IM ，
∴△ ICM ~ △BCF ，
∴，
设 CM = a ， IM = b ，则 BF =3b， CF =3a，
∴BE = CF = DG =3a，FM = CF - CM =3a- a =2a，
∴EF = GF = BF - BE =3b-3a，
∵DH // IM ，
∴△IMF ~ △DGF ，
，∴
∵a和b均大于0，∴2a= b
因此BE =3a， AE = BF =3b=6a，
在 Rt △ ABE 中， tan∠BAE =。
故答案为：B。
【分析】本题反复利用相似三角形的相似比，最后得出BE =3a， AE = BF =3b=6a，然后放到直角三角形中即可求出正切值。
3．（2025九上·海曙期末）如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，AF，CJ交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 连接OJ， OC.
∵正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，
设
(负根已经舍去)，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OJ， OC.首先证明. 设， ，利用相似三角形的性质求出y可得结论.
4．（2025九上·镇海区期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，
∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
延长至点，使得，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，根据三线合一得到，，再利用得到，然后证明，得到为等腰直角三角形，即可得到，延长至点，使得，连接，根即可得到，进而得到，推理得到到，求出值然后利用解题．
5．（2025九上·西湖期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转全等模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：，，
∴，
∴，故①正确；
如图，连接、，则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图，取格点、，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
【分析】
①由勾股定理可分别得，，即；
②连接、，则，，可由两直线平行内错角相等证明，再由相似比可得；
③由勾股定理得，由②知，则，又，则证明即可；
④取格点P、Q，由勾股定理得，，则由勾股逆定理可得是直角三角形，且，则．
6．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理． 取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则 ，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，， 再利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出：，进而可推出当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，利用勾股定理可推出， 再通过计算可得：， 再结合， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则，进而可选出答案．
7．（2024九上·浙江期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴的长为．
故答案为：A．
【分析】先求出，继而得到，即可得到，根据对应边成比例得到，然后在中，利用勾股定理得到解题即可．
二、填空题
8．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是 ．
【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
9．（2025九上·杭州期末）如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 如图，作于点 ，
正方形，
，
，
，
顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，，
∴平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作于点，根据旋转可得，，然后得到，即可得到，，进而得到，求得，得到，，然后求比值即可．
10．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
11．（2024九上·杭州期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 若，则
【答案】90°；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC'，
∴AD垂直平分线段CC'，DC=DC’，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB=DC=DC'，
∴∠CC'B=90°，
∴∠DOC =∠CC'B，
∴AD//BC'，
∵DC=DB，CO=OC'，
∴，
设OD=m，则BC'=2m，
∵BC'//OA，
∴BC'：OA=BE：AE=3：4，
∴，
∴，
∵BC'//AD，
∴，
∵BE：AE=3：4，
∴可以假设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，
∴，
∴，
∴.
故答案为：90°，.
【分析】证明BC'//AD，，设OD=m，则BC'=2m，利用平行线分线段成比例定理求出，再求出BF：AF=6：11，设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，求出EF可得结论.
12．（2025九上·湖州期末）数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为 ．
【答案】40
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点T作TK⊥AB于点K，过点M作MN⊥TK于点N，ML⊥AD于点L，
则∠MNT=∠TKH=90°，MT=TH，
∵∠MTN+∠HTK=∠MTN+∠TMN=90°，
∴∠HTK=∠TMN，
∴△THK≌△MTN(AAS)，
∴HK=NT，TK=MN，
∵∠MNK=∠NKP=∠MPK=90°，
∴四边形MNKP是矩形，
∴MN=PK=TK，KN=MP=1cm，
设HK=NT=xcm，则MN=PK=TK=(x+1)cm，
∵∠ELM=∠MNT=90°，∠MEL=∠TMN，
∴△EML∽△MTN，
∴，
∴ML=2NT=2xcm，
同理可得：四边形APML是矩形，
∴AP=ML，
∴AH=AP+PK+KH=2x+x+1+x=(4x+1)cm
同理可得：△HGB∽△THK，
∴，
∴BH=2TK=2(x+1)cm，
∵，
∴，
∴x=1，
∴TK=2cm，HK=1cm，
∴TH2=TK2+HK2=22+12 =5(cm2)，
∴幻方(阴影部分)的面积=5×8=40(cm2)，
故答案为：40.
【分析】过点T作TK⊥AB于点K，过点M作MN⊥TK于点N，ML⊥AD于点L，可证得△THK≌△MTN(AAS)，则HK=NT，TK=MN，再结合矩形性质得出：MN=PK=TK，KN=MP=1cm，设HK=NT=xcm，则MN=PK=TK=(x+1)cm，再证得△EML∽△MTN，△HGB∽△THK，得出AH=(4x+1)cm，BH=2(x+1)cm，根据题意建立方程求解得出x=1，即可求得答案.
13．（2025九上·义乌期末）如图，是边上一点，且，，若，，则 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
由于已知，则求BC的长实质是求BP的长，又因为，则可过点C作交的延长线于点，则，则可证明，由相似比可得CE的长，再利用勾股定理可得AE的长，则由相似比可得AP长，再利用勾股定理求出BP的长即可．
14．（2025九上·鄞州期末）如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是 ．
【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：中，90°，，，
，，
，
，
，
；
∵，
，
，
设，则有，
，
；
，
，
当时，
，
，
解得：；
当时，
，
，
解得：；
综上所述，线段的长是或．
故答案为：或．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．先证明三角形相似得到线段比例关系，设未知数表示相关线段，再分两种相似情况（和），根据相似三角形对应边成比例列方程求解.
15．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
【答案】30
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵正整数a，b，c，满足，，均为正整数，
∴，，，
∴，，
假设，则，，则为正整数，为正整数，，
∴为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
故的最大值为，因此，，，此时，，，满足题意，
∴的最大值是，
故答案为：
【分析】本题考查比例的性质. 根据题意可得：，，，利用不等式的性质可推出，，，假设，则，，则为正整数，为正整数，，再根据，，均为正整数可推出为正整数，再分四种情况：，，，，依次求出的值，进而可求出k的最大值，求出a，b，c的值，求出的最大值.
16．（2024九上·浙江期末）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．若，矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AE=CG=x，BE=DG=y，则
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠AEF=∠BFG=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBF+∠ABE=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即BF=3x，FC=3y，BC=3，
∴，，
∵ 矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为，
∴，
解得y=(负值舍去)，
∴GH=y-3x=2x，
∴，
故答案为：.
【分析】设AE=CG=x，BE=DG=y，则，然后根据△ABE∽△BCF，得到BF=3x，FC=3y，BC=3，然后表示矩形EFGH与矩形ABCD的面积，根据题意列方程求出y=，解题即可.
17．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
【分析】要求的比值，可把AE、AD放到一组相似三角形中。由于图中有中线可倍长中线构造全等三角形，即延长EM至点H，使HM＝EM，连接AH，则显然有，则可证AH//EF//CD，即B、A、H三点共线，此时可证，利用比例式即可求出的值。
18．（2025九上·镇海区期末）如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长至点，过点作，连接、．
∵内接于，，
∴是的直径，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，点E为中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，过点作，连接、．可以得到，即可得到，进而可得，然后得到，即可得嗲解题．
19．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
20．（2025九上·路桥期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接交于点M，取中点，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即得到点M为定点，
∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，
当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接BD交EF于点M，取CM中点O，连接OG， 由矩形的性质及勾股定理算出BD，根据路程、速度、时间三者的关系设DF=4x，BE=3x，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DMF∽△BMF，由相似三角形对应边成比例得出点M为顶点； 根据直径所对的圆周角为直角得出点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当G、M重合时，CG有最大值，最大值为CM的长，此时，过点M作MH⊥BC于点H，由∠CBD的正弦与余弦函数定义可求出MH、BH的长，然后根据CH=BC-BH算出CH的长，最后在Rt△CMH中，利用勾股定理算出CM即可.
21．（2025九上·西湖期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 ．若，则 ．
【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，即：
故答案为：，．
【分析】
第1空：由中线的概念及折叠的性质知，即，再由三角形内角和定理可得；
第2空：由折叠的性质知AD垂直平分CC`，则由中位线定理可得，设，则，则由平行线的性质可证明，由相似比可得OA的长，则AD长可得，同理再证，由相似比可得的值，即可分别得BF、BE在AB中的占比，则EF在AB中的占比可得，则的值可求．
22．（2025九上·柯桥期末）如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图所示，由于等腰直角三角形的底角都是45度，则过点E作BC的平行线分别交AB、AC于点P、Q，则由平行线的性质可得，且有AP=AQ、PB=QE，又，再利用平行线的性质可证，再由三角形相似预备定理可证，则由已知可得，则由相似比可得，即，则可得，再利用勾股定理可得、，同理再利用相似比结合勾股定理可得，则．
23．（2024九上·温州期末）如图，正方形的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是
【答案】2
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴=，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴．
∵，
∴==，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故④错误．
故答案为：2个．
【分析】先根据正方形的性质证明，得到，判断①；然后证明，即可得到，判断②；根据得到，，于是得到，即判断③；根据得到，求得，然后计算正切判断④解题即可．
24．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是 ，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴；
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴
∵，
∴，
∵
∵，
∴，即，解得：，
∴，，
∴矩形的周长是．
故答案为：，．
【分析】由矩形的四个内角都是直角得∠D=∠DCB=∠B=90°，由正方形四个内角都是直角得∠FEH=90°，由直角三角形量锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出∠DEF=∠CNE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△CNE，同理△BMN∽△CNE，则△BMN∽△DEF，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则BM=2a，利用勾股定理表示出BN、DF，进而再根据相似三角形对应边成比例建立方程求出NC=4DE=4a，由勾股定理表示出CE；由正方形对边平行得EF∥GC，由二直线平行，同位角相等得∠DEF=∠HCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEFxs6sanjx5HCE，you相似三角形对应边成比例建立方程求出a的值，进而可算出BC、CD，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
25．（2024九上·东阳期末）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，与地面平行，，车轮圆心在的延长线上，支架．支架，测得，，，，并测得扶手前端到地面的距离为．则点与点的距离为 ；手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，则坐板的宽度为 ．
【答案】15；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设地面用表示，如图，过点G作于点M，交于点H，交于点N，过点A作于点Q，过点D作于点P，
∵，，
∴
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，前后车轮半径均为，
∴
∵扶手前端到地面的距离为，
∴，
∴，
解得，
故答案为：15；
如图，过点D作于点M，交的延长线于点P，的延长线交于点Q，过点C作于点R，过点D作于点N，
根据题意，得四边形，四边形，四边形都是矩形，，
∴，，，
根据前面的计算，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】设地面用KM表示，如图，过点G作GM⊥KM于点M，交EF于点H，交AD于点N，过点A作AQ⊥GM于点Q，过点D作DP⊥GM于点P，易得四边形ABGQ，四边形BFHG都是矩形，四边形AFGN是平行四边形，由特殊四边形的性质得AB=QG=42cm，BF=GH，AF=GN，BF=QN，FG=AN，进而可推出AN=DN，从而用AAS判断出△AQN≌△DPN，由全等三角形的对应边相等得NQ=PN=GH=BF，进而根据PM=PN+NQ+QG+MH+GH列出方程，求解即可；
过点D作DM⊥FM于点M，交BC的延长线于点P，BC的延长线交DE于点Q，过点C作CR⊥FM于点R，过点D作DN⊥CR于点N，易得四边形PCGM，四边形DNCP，四边形DNRM都是矩形，由矩形性质得DN=CP=RM，CN=DP，NR=DM，由前面的计算可得BF=CR=PM=15cm，DM=87cm，CN=DP=72cm，由勾股定理算出CP，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCN∽△CER，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出RE；由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DPQ∽△DME，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出PQ，再由有两组角对应相等的两个三角形相似得△LHK∽△CDQ，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出KL.
三、综合题
26．（2024九上·嵊州期末）如图，矩形中，，E是上一点，连接，过点D作交直线于点F，连接交于点G，作交于点M，交直线于点N．
（1）若，求值．
（2）设．
①若，求的值．（用含m的代数式表示）
②若的面积为，的面积为，求的值．（用含m，k的代数式表示）
【答案】（1）解：∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据两角相等得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题；
（2）①根据等角的余角相等得到，即可得到，求出，解题即可；
②先根据正切的定义求得，然后推理得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
（1）解：∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 1《相似三角形》精选压轴题—浙江省九（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·丽水期末）如图，在平行四边形中，，，，是边上的动点，连接，过点作于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·宁波期末）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 （如图所示），连结 并延长交 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·海曙期末）如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，AF，CJ交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·镇海区期末）如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·西湖期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
6．（2024九上·绍兴期末）如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·浙江期末）如图，在中，，，为内一点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是 ．
9．（2025九上·杭州期末）如图，是正方形的边上一点，连结，将顺时针旋转得到，连结，分别交，于点，．若与相似，则 ．
10．（2025九上·鹿城期末）如图，在矩形中，，E为边上一点，正方形的顶点P，Q分别在线段上，M，N在边上，若A，P，M三点恰好在同一直线上，则的长为 ．
11．（2024九上·杭州期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 若，则
12．（2025九上·湖州期末）数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为 ．
13．（2025九上·义乌期末）如图，是边上一点，且，，若，，则 ．
14．（2025九上·鄞州期末）如图，中，90°，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是 ．
15．（2024九上·绍兴期末）已知正整数a，b，c，满足，，均为正整数，则的最大值是 ．
16．（2024九上·浙江期末）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．若，矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为，则 ．
17．（2025九上·婺城期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
18．（2025九上·镇海区期末）如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ．
19．（2024九上·瑞安期末）如图，在中，，分别交边于点，连结交于点，若的面积为3，的面积为13，则的值为 ；的面积为 ．
20．（2025九上·路桥期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ．
21．（2025九上·西湖期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 ．若，则 ．
22．（2025九上·柯桥期末）如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ．
23．（2024九上·温州期末）如图，正方形的边长是3，，连接交于点O，并分别与边交于点，连接，下列结论：；；；当时，，其中正确结论的个数是
24．（2024九上·杭州期末）如图，在矩形内放置6个与正方形相同大小的正方形，点E，F，M，N分别落在上，则的值是 ，若点C，H，G在同一直线上，正方形的边长是1，则矩形的周长是 ．
25．（2024九上·东阳期末）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，与地面平行，，车轮圆心在的延长线上，支架．支架，测得，，，，并测得扶手前端到地面的距离为．则点与点的距离为 ；手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，则坐板的宽度为 ．
三、综合题
26．（2024九上·嵊州期末）如图，矩形中，，E是上一点，连接，过点D作交直线于点F，连接交于点G，作交于点M，交直线于点N．
（1）若，求值．
（2）设．
①若，求的值．（用含m的代数式表示）
②若的面积为，的面积为，求的值．（用含m，k的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质可得，，然后在中，利用正弦得到DH长，即可得到，进而得到，求出的值即可．
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过I点作IM⊥CF于M点，如图，
∵，可以设 BI =2k，IC =k，
∴BC = BI + IC =3k，
依题意得：∠FGD =∠BFC =∠IMC =90°，
∴DH // BF // IM ，
∴△ ICM ~ △BCF ，
∴，
设 CM = a ， IM = b ，则 BF =3b， CF =3a，
∴BE = CF = DG =3a，FM = CF - CM =3a- a =2a，
∴EF = GF = BF - BE =3b-3a，
∵DH // IM ，
∴△IMF ~ △DGF ，
，∴
∵a和b均大于0，∴2a= b
因此BE =3a， AE = BF =3b=6a，
在 Rt △ ABE 中， tan∠BAE =。
故答案为：B。
【分析】本题反复利用相似三角形的相似比，最后得出BE =3a， AE = BF =3b=6a，然后放到直角三角形中即可求出正切值。
3．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 连接OJ， OC.
∵正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，
设
(负根已经舍去)，
故答案为：D.
【分析】如图，连接OJ， OC.首先证明. 设， ，利用相似三角形的性质求出y可得结论.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，
∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
延长至点，使得，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，根据三线合一得到，，再利用得到，然后证明，得到为等腰直角三角形，即可得到，延长至点，使得，连接，根即可得到，进而得到，推理得到到，求出值然后利用解题．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转全等模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：，，
∴，
∴，故①正确；
如图，连接、，则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图，取格点、，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
【分析】
①由勾股定理可分别得，，即；
②连接、，则，，可由两直线平行内错角相等证明，再由相似比可得；
③由勾股定理得，由②知，则，又，则证明即可；
④取格点P、Q，由勾股定理得，，则由勾股逆定理可得是直角三角形，且，则．
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆的判定，勾股定理． 取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则 ，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，， 再利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可推出：，进而可推出当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，过点作于点，利用勾股定理可推出， 再通过计算可得：， 再结合， 利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，由勾股定理得，故，则，由对称性可知：当点在右侧时，此时， 则，进而可选出答案．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴的长为．
故答案为：A．
【分析】先求出，继而得到，即可得到，根据对应边成比例得到，然后在中，利用勾股定理得到解题即可．
8．【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： 如图，作于点 ，
正方形，
，
，
，
顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，，
∴平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作于点，根据旋转可得，，然后得到，即可得到，，进而得到，求得，得到，，然后求比值即可．
10．【答案】4
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交于点，则.
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
，
∴，
∴，
解得：，
∵三点恰好在同一直线上，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
，
∴，
∴，即
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】延长交于点，则；因为三点共线，则，即；由可算出PN的长，则MN、BN、PF、AF都可知；再利用可算出EF长，则AE＝AF+FE。主要是相似三角形的判定与性质的综合应用。
11．【答案】90°；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC'，
∴AD垂直平分线段CC'，DC=DC’，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB=DC=DC'，
∴∠CC'B=90°，
∴∠DOC =∠CC'B，
∴AD//BC'，
∵DC=DB，CO=OC'，
∴，
设OD=m，则BC'=2m，
∵BC'//OA，
∴BC'：OA=BE：AE=3：4，
∴，
∴，
∵BC'//AD，
∴，
∵BE：AE=3：4，
∴可以假设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，
∴，
∴，
∴.
故答案为：90°，.
【分析】证明BC'//AD，，设OD=m，则BC'=2m，利用平行线分线段成比例定理求出，再求出BF：AF=6：11，设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，求出EF可得结论.
12．【答案】40
【知识点】矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点T作TK⊥AB于点K，过点M作MN⊥TK于点N，ML⊥AD于点L，
则∠MNT=∠TKH=90°，MT=TH，
∵∠MTN+∠HTK=∠MTN+∠TMN=90°，
∴∠HTK=∠TMN，
∴△THK≌△MTN(AAS)，
∴HK=NT，TK=MN，
∵∠MNK=∠NKP=∠MPK=90°，
∴四边形MNKP是矩形，
∴MN=PK=TK，KN=MP=1cm，
设HK=NT=xcm，则MN=PK=TK=(x+1)cm，
∵∠ELM=∠MNT=90°，∠MEL=∠TMN，
∴△EML∽△MTN，
∴，
∴ML=2NT=2xcm，
同理可得：四边形APML是矩形，
∴AP=ML，
∴AH=AP+PK+KH=2x+x+1+x=(4x+1)cm
同理可得：△HGB∽△THK，
∴，
∴BH=2TK=2(x+1)cm，
∵，
∴，
∴x=1，
∴TK=2cm，HK=1cm，
∴TH2=TK2+HK2=22+12 =5(cm2)，
∴幻方(阴影部分)的面积=5×8=40(cm2)，
故答案为：40.
【分析】过点T作TK⊥AB于点K，过点M作MN⊥TK于点N，ML⊥AD于点L，可证得△THK≌△MTN(AAS)，则HK=NT，TK=MN，再结合矩形性质得出：MN=PK=TK，KN=MP=1cm，设HK=NT=xcm，则MN=PK=TK=(x+1)cm，再证得△EML∽△MTN，△HGB∽△THK，得出AH=(4x+1)cm，BH=2(x+1)cm，根据题意建立方程求解得出x=1，即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
由于已知，则求BC的长实质是求BP的长，又因为，则可过点C作交的延长线于点，则，则可证明，由相似比可得CE的长，再利用勾股定理可得AE的长，则由相似比可得AP长，再利用勾股定理求出BP的长即可．
14．【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：中，90°，，，
，，
，
，
，
；
∵，
，
，
设，则有，
，
；
，
，
当时，
，
，
解得：；
当时，
，
，
解得：；
综上所述，线段的长是或．
故答案为：或．
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理．先证明三角形相似得到线段比例关系，设未知数表示相关线段，再分两种相似情况（和），根据相似三角形对应边成比例列方程求解.
15．【答案】30
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵正整数a，b，c，满足，，均为正整数，
∴，，，
∴，，
假设，则，，则为正整数，为正整数，，
∴为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
若，则为正整数，
故的最大值为，因此，，，此时，，，满足题意，
∴的最大值是，
故答案为：
【分析】本题考查比例的性质. 根据题意可得：，，，利用不等式的性质可推出，，，假设，则，，则为正整数，为正整数，，再根据，，均为正整数可推出为正整数，再分四种情况：，，，，依次求出的值，进而可求出k的最大值，求出a，b，c的值，求出的最大值.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AE=CG=x，BE=DG=y，则
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠AEF=∠BFG=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBF+∠ABE=90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即BF=3x，FC=3y，BC=3，
∴，，
∵ 矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为，
∴，
解得y=(负值舍去)，
∴GH=y-3x=2x，
∴，
故答案为：.
【分析】设AE=CG=x，BE=DG=y，则，然后根据△ABE∽△BCF，得到BF=3x，FC=3y，BC=3，然后表示矩形EFGH与矩形ABCD的面积，根据题意列方程求出y=，解题即可.
17．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
【分析】要求的比值，可把AE、AD放到一组相似三角形中。由于图中有中线可倍长中线构造全等三角形，即延长EM至点H，使HM＝EM，连接AH，则显然有，则可证AH//EF//CD，即B、A、H三点共线，此时可证，利用比例式即可求出的值。
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，延长至点，过点作，连接、．
∵内接于，，
∴是的直径，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，点E为中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，过点作，连接、．可以得到，即可得到，进而可得，然后得到，即可得嗲解题．
19．【答案】；
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，设点到的高为，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，整理得，，
∴，
∴，
解得，，，
检验，当，时，原分式方程有意义，
当时，；
当时，，不符合题意，舍去；
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】设点到的高为，根据三角形的面积可得，然后证明，，即可得到，然后设，即可得到，再过点作于点，利用面积得到，即可得到，解出a的值即可解题．
20．【答案】
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接交于点M，取中点，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即得到点M为定点，
∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，
当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【分析】连接BD交EF于点M，取CM中点O，连接OG， 由矩形的性质及勾股定理算出BD，根据路程、速度、时间三者的关系设DF=4x，BE=3x，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DMF∽△BMF，由相似三角形对应边成比例得出点M为顶点； 根据直径所对的圆周角为直角得出点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，当G、M重合时，CG有最大值，最大值为CM的长，此时，过点M作MH⊥BC于点H，由∠CBD的正弦与余弦函数定义可求出MH、BH的长，然后根据CH=BC-BH算出CH的长，最后在Rt△CMH中，利用勾股定理算出CM即可.
21．【答案】；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，即：
故答案为：，．
【分析】
第1空：由中线的概念及折叠的性质知，即，再由三角形内角和定理可得；
第2空：由折叠的性质知AD垂直平分CC`，则由中位线定理可得，设，则，则由平行线的性质可证明，由相似比可得OA的长，则AD长可得，同理再证，由相似比可得的值，即可分别得BF、BE在AB中的占比，则EF在AB中的占比可得，则的值可求．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】如图所示，由于等腰直角三角形的底角都是45度，则过点E作BC的平行线分别交AB、AC于点P、Q，则由平行线的性质可得，且有AP=AQ、PB=QE，又，再利用平行线的性质可证，再由三角形相似预备定理可证，则由已知可得，则由相似比可得，即，则可得，再利用勾股定理可得、，同理再利用相似比结合勾股定理可得，则．
23．【答案】2
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴=，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，故②错误；
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，
即，故③正确；
∵，
∴．
∵，
∴==，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，故④错误．
故答案为：2个．
【分析】先根据正方形的性质证明，得到，判断①；然后证明，即可得到，判断②；根据得到，，于是得到，即判断③；根据得到，求得，然后计算正切判断④解题即可．
24．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴；
设，则，，，
∵，
∴，解得：，
∴
∵，
∴，
∵
∵，
∴，即，解得：，
∴，，
∴矩形的周长是．
故答案为：，．
【分析】由矩形的四个内角都是直角得∠D=∠DCB=∠B=90°，由正方形四个内角都是直角得∠FEH=90°，由直角三角形量锐角互余、平角定义及同角的余角相等可推出∠DEF=∠CNE，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△CNE，同理△BMN∽△CNE，则△BMN∽△DEF，由相似三角形对应边成比例得，设DE=a，则BM=2a，利用勾股定理表示出BN、DF，进而再根据相似三角形对应边成比例建立方程求出NC=4DE=4a，由勾股定理表示出CE；由正方形对边平行得EF∥GC，由二直线平行，同位角相等得∠DEF=∠HCE，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEFxs6sanjx5HCE，you相似三角形对应边成比例建立方程求出a的值，进而可算出BC、CD，最后根据矩形周长计算公式计算即可.
25．【答案】15；
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设地面用表示，如图，过点G作于点M，交于点H，交于点N，过点A作于点Q，过点D作于点P，
∵，，
∴
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，前后车轮半径均为，
∴
∵扶手前端到地面的距离为，
∴，
∴，
解得，
故答案为：15；
如图，过点D作于点M，交的延长线于点P，的延长线交于点Q，过点C作于点R，过点D作于点N，
根据题意，得四边形，四边形，四边形都是矩形，，
∴，，，
根据前面的计算，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】设地面用KM表示，如图，过点G作GM⊥KM于点M，交EF于点H，交AD于点N，过点A作AQ⊥GM于点Q，过点D作DP⊥GM于点P，易得四边形ABGQ，四边形BFHG都是矩形，四边形AFGN是平行四边形，由特殊四边形的性质得AB=QG=42cm，BF=GH，AF=GN，BF=QN，FG=AN，进而可推出AN=DN，从而用AAS判断出△AQN≌△DPN，由全等三角形的对应边相等得NQ=PN=GH=BF，进而根据PM=PN+NQ+QG+MH+GH列出方程，求解即可；
过点D作DM⊥FM于点M，交BC的延长线于点P，BC的延长线交DE于点Q，过点C作CR⊥FM于点R，过点D作DN⊥CR于点N，易得四边形PCGM，四边形DNCP，四边形DNRM都是矩形，由矩形性质得DN=CP=RM，CN=DP，NR=DM，由前面的计算可得BF=CR=PM=15cm，DM=87cm，CN=DP=72cm，由勾股定理算出CP，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DCN∽△CER，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出RE；由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DPQ∽△DME，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出PQ，再由有两组角对应相等的两个三角形相似得△LHK∽△CDQ，由相似三角形对应边成比例建立方程可算出KL.
26．【答案】（1）解：∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先根据两角相等得到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题；
（2）①根据等角的余角相等得到，即可得到，求出，解题即可；
②先根据正切的定义求得，然后推理得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可．
（1）解：∵矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②由（1）得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
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