《圆与三角形》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习

《圆与三角形》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·杭州期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
2．（2025九上·慈溪期末）小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 ， ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024九上·浙江期末）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是　 　．
4．（2024九上·平湖期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
5．（2024九上·长兴期末）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连接，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是　 　．
三、综合题
6．（2025九上·钱塘期末）如图，是的直径，弦，点在上，点是中点，连结分别交，于点，．
（1）请直接写出与的度数．
（2）求证：．
（3），的面积分别记为，．若，求的值．（用含的式子表示）
7．（2025九上·宁波期末）如图， 为 的直径，点 是半径 上一动点（ 不与 重合），过点 作弦 垂直 ，连结 ，以 为直角边作等腰 Rt ，且 ，连结 ，分别与 和 交于 两点．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）当点 在半径 上运动时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。
8．（2025九上·温州期末）如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②当时，求的值．
9．（2025九上·丽水期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接．
（1）当点E是的中点时，求的度数；
（2）当时，求的值；
（3）求证：．
10．（2025九上·温州期末）如图，等腰 内接于 ． 为 上一点，连结 交 于点 ，连结 并延长交 延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ．
①求证： ．
②当 时，求 的值．
11．（2025九上·鹿城期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记．
【认识图形】求证：．
【探索关系】求证：．
【问题解决】若点与点关于对称
①当时，求k的值．
②求的最大值．
12．（2025九上·江北期末）如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
13．（2025九上·嘉兴期末）如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，请直接写出的值．
14．（2025九上·新昌期末）如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，．
（1）求的长．
（2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值．
（3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？
15．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 A B C D 内接于 于点 ．
（1）直接写出 的值为 　 　 ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的值．
16．（2025九上·上城期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
17．（2025九上·婺城期末）如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：．
18．（2025九上·慈溪期末）如图 1， 是 的直径，点 在 上，作 ，垂足为 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连结 。
（1）判断 的形状，并说明理由。
（2）若 ，求 和 的长。
（3）如图 2，若 是 中点，求 的正弦值。
19．（2025九上·鄞州期末）如图 1，Rt 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点，连结 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如图 2，过点 作 的平行线交 于点 ．
①求 的长；
②如图 3，点 在线段 上，连结 交并延长交 于点 ，当 时，求 的值．
20．（2025九上·杭州期末）已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数．
（2）如图2，连结交于点M，求证：．
（3）如图3，连结交于点F，若，，
①试求的长；
②直接写出的值．
21．（2025九上·玉环期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度；
（3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比．
22．（2025九上·镇海区期末）如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
23．（2025九上·湖州期末）如图1，在中，直径是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点．
（1）如图2，连结，求证：．
（2）如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度．
（3）在点的运动过程中，当时，求的面积．
24．（2025九上·台州期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN．
（1）________；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长度；
（4）如图4，当时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
是的直径，
，
，
又，则，
，
又因为，
所以是等边三角形，
则，即，
但根据题目现有条件不能推导出，
即不能推导出，
故②错误．
故答案为：B．
【分析】连接，，得到，即可得到，然后得到，然后根据，得到，再根据三角形内角和判断①；得到是等边三角形，即可得到，但不能推导得到，判断②解题．
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设小正六边形的边长为x，则BC=3+x，
∵∠BCD是小正六边形的外角，
∴∠BCD=60°，
将△BCD作简化图如下，
过D作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，，
，
∴，
在Rt△BDF中，DF2+BF2=BD2，
∴，
整理得x2+3x-40=0，
解得x1=5，x2=-8(舍)，
∴小正六边形得边长为5，
∵小正六边形与圆内接正六边形是相似图形，
∴相似比为5：7，
∴面积比为25：49，
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的性质，勾股定理，确定两正六边形的边长：AB=7，CD=3，再计算两正六边形的面积，并得到面积比，即可得出答案.
3．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：根据作图可得，
∴，
如图所示，连接，
设的半径为，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵以为圆心，长为半径作弧交于点，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴的半径长是，
故答案为： ．
【分析】由作图可得，连接，设的半径为，则，在中根据勾股定理得到，即可得到，然后在中，运用勾股定理解题即可．
4．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE sin∠EOH=，
由垂径定理可知EF=2EH=，
故答案为．
【分析】连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可知当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2OE sin60°，当半径OE最短时，EF最短，然后在Rt△ADB中，解直角三角形得到直径AD长，由圆周角定理可知∠EOH=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH长，即可解题．
5．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，
∵为直径，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，
∵，
∴设，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
化简得：，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】设交于点，设，即可得到，根据，可以得到，，进而求出，，设，既有，求得，在中，运用勾股定理得到，解题即可．
6．【答案】（1）解：60°.
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
由，不妨设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，经过圆心，
∴，
∴；
【分析】（1）先得到为等边三角形，即，然后由圆周角定理得到，利用垂径定理推论得到，再根据直角三角形两锐角互余解题；
（2）得到，再根据两角相等的两个三角形相似证明；
（3）过点作于点，过点作于点，不妨设，则，即可得到，，然后在中，由勾股定理求出AF长，然后根据，可得OG长，再在中，然后利用三角形的面积公式求比值即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，经过圆心，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
由，不妨设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
7．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
（2）证明：∵AP=AP，∠APC=∠APD=90°，CP=DP，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴。
（3）解：连结 ，
弧长CD对应的圆周角是∠EQD，对应的圆心角是∠COD，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）题反复利用等腰三角形的性质特点，“等边对等角”即可得出证明结果；（2）题利用全等三角形性质特点和等腰直角三角形特点，并且对角度进行变换，即可得出，此时即可构造出新的直角三角形，最后利用勾股定理并即可得出证明结果；（3）题利用三角形相似和余弦公式，即可求出固定比值。
8．【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得，又是公共角相等，则可判定；
（2）①由于等腰三角形三线合一，可过点A作于G，则，再由同角的余角相等可得，再由圆周角定理可得，再等量代换即可；
②由①知，则BH＝CD，此时可延长交于点H，再连接，由垂径定理结合圆周角定理可得，则可证，由相似比可得，再由可得，则由勾股定理可得，则，所以，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
9．【答案】（1）解：
∵，点E是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴设，，，设的半径为，
∴，
在中，，即，
解得，
在中，，
∴；
（3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，，得到是线段的垂直平分线，即可得到，推导出是等边三角形解题即可；
（2）设，，，的半径为，则有，然后在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理得到，解题即可；
（3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，根据垂径定理以及三角形的中位线定理可以得到，然后根据垂径定理得到，再推导，得到解题即可．
（1）解：连接，，
∵，点E是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴设，，，设的半径为，
∴，
在中，，即，
解得，
在中，，
∴；
（3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．【答案】（1）证明： ∵等腰△ABC内接于⊙O， AB= AC， D为 上一点，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠F =∠F，
∴△CDF∽△ABF；
（2）①证明： 等腰△ABC内接于⊙O， 如图1， 过点A作AG⊥BC于G， 则∠AGC = 90°，
∴∠BAC=2∠CAG， ∠ACG+∠CAG=90°，
∵BD⊥AC，
，
②延长AG交⊙O于点H， 连接BH， 如图2，
由①知，
∴AG过点O，
在直角三角形ABG中，由勾股定理得：
由 (1) 知，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；A字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠FCD=180°， 得∠BAD=∠FCD，结合∠F =∠F， 得△CDF∽△ABF；
(2)①过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形性质得∠BAC =2∠CAG， 根据BD⊥AC， 得∠CAG=∠CBE， 结合∠CAD=∠CBD， 得∠BAC=2∠CAF；
②延长AG交⊙O于点H，连接BH，由垂径定理推论知AG过点O， 得∠ABH =∠AGB =90°， 可得△AHB∽△ABG， 得 根据 得 得 即得
11．【答案】[认识图形]
解：，．
在内，，
．
[探索关系]
解：在内，，且，
．
∴，即．
[问题解决]
①解：连结，设，．
点，关于对称，
，．
，
．
，即．
．
，，
．
即．
．
．
②解：设个单位，个单位
由①同理可得：即．
，
．
．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由圆周角定理知，由平行线的性质定理知，等量代换即可；（2）由结论知，即要证明，显然有、，所以结论成立；（3）由圆周角定理可得，连接EF后，由轴对称知、，由圆内接四边形的性质知，由邻补角知则可得出是等腰三角形，且，则的相似比为，进而可求出此时的k值；求k的最大值，实质是化比例式为等积式，从而得到k的二次函数，此时转化为求二次函数的最大值问题。
12．【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
，
，
．
，
，
点 为 的中点，
，
，
．
解法二：
点 为 的中点，
，
．
，
，
，
，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，即可得到解题即可；
（2）证明 ，即可得到 ，燃弧根据得到 ，进而得到，即可得到结论；
（3）连结 ，作 ，然后证明DF∥BC，设 ，则CF=2x+1，然后在 Rt 中，利用勾股定理求出x的值，再在Rt 中，中运用勾股定理求出CE长即可解题.
13．【答案】（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）由、得：，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
∴∠GCD+∠DCB=∠A+∠ACG，
即，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】连结EF，根据直径所对的圆周角是直角可知EF是直径及∠EDF=90°，易得∠CDE=∠CDF=45°，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证CF=CE；
根据等腰直角三角形的性质求得AC=BC=6，设DE=x，在Rt△DEF中，用含x的式子表示出EF，进而再根据等腰直角三角形的性质可得，则有，根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=∠DEC，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似证△ADF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，此题得解；
由同位角相等两直线平行得EF∥AB，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠BCD，从而由AAS判断出△ACG≌△BCD，得AG=BD；根据平行线性质、角的构成及三角形外角性质推出∠GCB=∠CGD，由等角对等边得BC=BG，设CE=a，EB=b，由，整理可得．
（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
14．【答案】（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正弦定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设，则，过D作于点F，根据正弦定义即可得到，再利用三角形面积公式列函数关系式求最值即可；
（3）分E在F的左侧、E在F的右侧，根据相似三角形的对应边成比例得到方程解题即可．
（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，
∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，
∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
15．【答案】（1）2
（2）证明： 如图2，
作射线AO， 交BD于F， 连接CF， 连接OA， OB
由 (1) 知，
，AF是BC的垂直平分线，
（3）解：如图3，
作射线AO， 交BD于F， 交BC于E， 连接CF， 连接OA， OB，
由(1)(2)知，
设 则
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】(1)如图1，
作射线AO， 交BC于E， 连接OB， OC，
∴ AE是BC的垂直平分线，
故答案为：2；
【分析】(1)作射线AO， 交BC于E， 连接OB， OC， 根据 得出
∠BAC=2∠BAE=∠CAE， 由∠AEC=90°得出∠CAE+∠ACB=90°， 由∠BHC=90°得出∠CBD+∠ACB=90°， 从而得出∠CAE=∠CBD， 进一步得出结果；
(2)作射线AO， 交BD于F， 连接CF， 连接OA，OB， 由 (1)知：AF是BC的垂直平分线，可推出AF =AD， 进一步得出结论；
(3)作射线AO， 交BD于F， 交BC于E， 连接CF， 连接OA， OB， 可推出tan∠BFE =tan∠ABC， 从而得出 ， 设EF =a， 则BE =3a， AE =9a，从而得出AD长， 进一步得出结果.
16．【答案】（1）证明：∵是的直径，弦∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴

【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解．
（1）证明：∵是的直径，弦
∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
17．【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，

（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，
，
又，
，
，
是圆内接四边形，
，
又、，
、，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由所证明的结论推测，可证明其所在的两个三角形全等，显然可利用ASA证明；（2）由于无法直接计算的值，但是等腰直角三角形，且，则可转化为求的值，显然有，则，由知，，则可算出的三边数量关系， 进而可计算出所求线段比值；（3）要证明等积式成立，实质是证比例式成立，则必需DE＝AG，即有，此时转化为求证
，结合圆周角及圆内接四边形的性质可证这两个三角形的两组对角相等。注意证明等积式时，一般先把它转化为比例式，再考虑对应线段所在的三角形是否相似。
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，
；
（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，，
，
又，
，
即：，
，
是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
18．【答案】（1）解： 是等腰三角形．理由如下：
平分 ．
而 ．
是直径， ．
是等腰三角形
（2）解：作 ，垂足为 ．
．
．
，即 ．
．
连结 ．
而 ．
，即
（3）解：取 的中点 ，
连结 ．
则 ．
设 ，则 ．
．
，
（另解： ．
和 面积相等， 和 的面积比为 1： 2 ，故
不妨令 ，则
设 ，则 ．
，解之得： ．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠AFB=90°，而∠ACE=∠B，所以∠FAE+∠ACE=∠FAE+∠B=90°，进而可以得出结论；
(2)连接BC，并作FM⊥AB，可推出△AMF∽△AFB，△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质即可求解；
(3)取CE的中点N，连接AN，BN，ON，可推出△AEN∽△CEA，再设EO=x，即可求出正弦值.
19．【答案】（1）证明： 以AB为直径的⊙O交AC于点D， M是BC的中点， 如图1， 连接OD、BD、OM，
∵OD是⊙O的半径，
∴MD是⊙O的切线；
（2）①解：在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=20，BC =15， 如图2， 连结BD，
由勾股定理得： 而
解得CD=9.
∵BE∥DM，
∴∠CDM=∠CEB，
由 (1) 可知DM=CM，
∴∠C =∠CDM，
∴∠C =∠CEB，
∴BE=BC=15.
②解：过点D作. 于H， 连结BD， AQ，
在 中，
连结AQ，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OD、BD、OM， 利用圆周角定理， 直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到 再利用等量代换得到 ，即可证明MD是⊙O的切线；
(2)①连结BD，利用勾股定理求出AC，利用解直角三角形得到CD， 由 (1)可知. 结合等腰三角形性质和等量代换得到. 再结合等腰三角形性质得到CE，最后根据 求解，即可解题；
②过点D作于H，连结BD，结合题意得到EP，利用解直角三角形得到DH，EH，进而得到PH， DP， 连结AQ， 证明 利用相似三角形性质求解，即可解题.
20．【答案】（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先得到是等边三角形，即可得到，然后得到求出的度数解题；
（2）根据垂径定理、轴对称的性质就饿得，，然后根据圆周角定理可得，即可得到证明结论；
（3）①连接，先利用正弦求出，然后得到，根据相似三角形的对应边成比例求出长；
②由（2）得，，，即可得到求出PD长，再根据求出PH的值，即可得到的值．
（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用两角相等的两个三角形相似证明即可；
（）连接，，即可得到得出，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，推导，得到，解题即可；
（）设，，则，，由（）得：，即可得到，然后得到，得到BC的长度，再根据勾股定理可得，再证明，得到，解题即可.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，
∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
22．【答案】（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理的推论解题即可；
（2）①如图：连接，即可得到，然后得到，可以证明、，即可得到，然后根据正弦求出，即可得到，然后得到，再利用勾股定理解题即可；
②先得到，即可得到，然后证明，可以得到，即可得到，然后根据得到，解得；然后求出OD、OE的值，再利用勾股定理和垂径定理解题．
（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：∵AB是直径，且AB⊥CD，
∴AB平分CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴BC=BD.
（2）解：连接，连接AC，
当点M与圆心O重合时，DN是直径，
∵P是BC中点，
∴DN⊥BC，
∴DN垂直平分BC。
∴DC=DB，
由(1)知BC=BD，
∴BC=BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABC=30，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，
∴，
在Rt△BCE中，∠ABC=30°，
∴BE=BC·cos30°=3，
∴EM=BE-BM=3-2=1.
（3）解：如图，连接BD，连接AD，
由(1)知E是CD中点，
∵P是BC中点，
∴BE和DP是△BCD的中线，即点M是重心，
∴，
∵，
∴，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴DE=EM，
∴，
∵AB直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠ADE=∠DBE=90°-∠BDE，
∴tan∠ADE=tan∠DBE，
即，
设AE=m，则DE=3m，BE=9m，
∴AB=AE+BE=10m=4，
解得，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由垂径定理很容易得证；
(2)易证DC=DB，所以△BCD是等边三角形，从而利用特殊角解直角三角形即可得解；
(3)由中点可知点M是重心，继而得到，再根据题干可证△DEM是等腰直角三角形，最后设参求解即可.
24．【答案】（1）1
（2）解：中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；

（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
【分析】（1）先求出∠OAC=30°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）先推导，即可得到，再根据勾股定理求得长，求比值即可；
（3）连接，，延长交于H，可得垂直平分，设，在中，根据勾股定理求得x的值，进而求出MN的长即可；
（4）连接，，过作交延长线于H，过M作于G，即可得到，分别得到、是等腰直角三角形，即可得到，，，，再根据勾股定理求出CN、CM的值，进而求出长．
（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
（2）解：在图2，中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．
1 / 1《圆与三角形》精选压轴题（二）—浙江省九（上）数学期末复习
一、单选题
1．（2025九上·杭州期末）如图，以的边为直径的半圆分别交，于点D，E，O是圆心，连结，，若给出下列结论：①；②，则．其中下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
是的直径，
，
，
又，则，
，
又因为，
所以是等边三角形，
则，即，
但根据题目现有条件不能推导出，
即不能推导出，
故②错误．
故答案为：B．
【分析】连接，，得到，即可得到，然后得到，然后根据，得到，再根据三角形内角和判断①；得到是等边三角形，即可得到，但不能推导得到，判断②解题．
2．（2025九上·慈溪期末）小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 ， ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设小正六边形的边长为x，则BC=3+x，
∵∠BCD是小正六边形的外角，
∴∠BCD=60°，
将△BCD作简化图如下，
过D作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，，
，
∴，
在Rt△BDF中，DF2+BF2=BD2，
∴，
整理得x2+3x-40=0，
解得x1=5，x2=-8(舍)，
∴小正六边形得边长为5，
∵小正六边形与圆内接正六边形是相似图形，
∴相似比为5：7，
∴面积比为25：49，
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的性质，勾股定理，确定两正六边形的边长：AB=7，CD=3，再计算两正六边形的面积，并得到面积比，即可得出答案.
二、填空题
3．（2024九上·浙江期末）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：根据作图可得，
∴，
如图所示，连接，
设的半径为，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∵以为圆心，长为半径作弧交于点，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴的半径长是，
故答案为： ．
【分析】由作图可得，连接，设的半径为，则，在中根据勾股定理得到，即可得到，然后在中，运用勾股定理解题即可．
4．（2024九上·平湖期末）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，
∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE sin∠EOH=，
由垂径定理可知EF=2EH=，
故答案为．
【分析】连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，可知当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2OE sin60°，当半径OE最短时，EF最短，然后在Rt△ADB中，解直角三角形得到直径AD长，由圆周角定理可知∠EOH=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH长，即可解题．
5．（2024九上·长兴期末）如图是以点为圆心，为直径的圆形纸片．点在上，将该圆形纸片沿直线对折，点落在上的点处（不与点重合）．连接，，分别延长和，并相交于点．若，，用含的代数式表示的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设交于点，
∵为直径，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，
∵，
∴设，
则，
∵，
∴，，
∴，
∴设，
∴，
∴，
∴
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
化简得：，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】设交于点，设，即可得到，根据，可以得到，，进而求出，，设，既有，求得，在中，运用勾股定理得到，解题即可．
三、综合题
6．（2025九上·钱塘期末）如图，是的直径，弦，点在上，点是中点，连结分别交，于点，．
（1）请直接写出与的度数．
（2）求证：．
（3），的面积分别记为，．若，求的值．（用含的式子表示）
【答案】（1）解：60°.
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
由，不妨设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，经过圆心，
∴，
∴；
【分析】（1）先得到为等边三角形，即，然后由圆周角定理得到，利用垂径定理推论得到，再根据直角三角形两锐角互余解题；
（2）得到，再根据两角相等的两个三角形相似证明；
（3）过点作于点，过点作于点，不妨设，则，即可得到，，然后在中，由勾股定理求出AF长，然后根据，可得OG长，再在中，然后利用三角形的面积公式求比值即可．
（1）解：∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵点是中点，经过圆心，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
由，不妨设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴．
7．（2025九上·宁波期末）如图， 为 的直径，点 是半径 上一动点（ 不与 重合），过点 作弦 垂直 ，连结 ，以 为直角边作等腰 Rt ，且 ，连结 ，分别与 和 交于 两点．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）当点 在半径 上运动时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由。
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴
（2）证明：∵AP=AP，∠APC=∠APD=90°，CP=DP，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴。
（3）解：连结 ，
弧长CD对应的圆周角是∠EQD，对应的圆心角是∠COD，
∵ ，
∴ ，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【分析】（1）题反复利用等腰三角形的性质特点，“等边对等角”即可得出证明结果；（2）题利用全等三角形性质特点和等腰直角三角形特点，并且对角度进行变换，即可得出，此时即可构造出新的直角三角形，最后利用勾股定理并即可得出证明结果；（3）题利用三角形相似和余弦公式，即可求出固定比值。
8．（2025九上·温州期末）如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②当时，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得，又是公共角相等，则可判定；
（2）①由于等腰三角形三线合一，可过点A作于G，则，再由同角的余角相等可得，再由圆周角定理可得，再等量代换即可；
②由①知，则BH＝CD，此时可延长交于点H，再连接，由垂径定理结合圆周角定理可得，则可证，由相似比可得，再由可得，则由勾股定理可得，则，所以，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
9．（2025九上·丽水期末）已知：如图，是的两条直径，E为半径上一点（不与点O，C重合），作交于点F，过点F，D分别作的垂线，垂足为点H，G，连接．
（1）当点E是的中点时，求的度数；
（2）当时，求的值；
（3）求证：．
【答案】（1）解：
∵，点E是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴设，，，设的半径为，
∴，
在中，，即，
解得，
在中，，
∴；
（3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，，得到是线段的垂直平分线，即可得到，推导出是等边三角形解题即可；
（2）设，，，的半径为，则有，然后在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理得到，解题即可；
（3）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，根据垂径定理以及三角形的中位线定理可以得到，然后根据垂径定理得到，再推导，得到解题即可．
（1）解：连接，，
∵，点E是的中点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴设，，，设的半径为，
∴，
在中，，即，
解得，
在中，，
∴；
（3）证明：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵，
∴，
∵为直径，，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（2025九上·温州期末）如图，等腰 内接于 ． 为 上一点，连结 交 于点 ，连结 并延长交 延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ．
①求证： ．
②当 时，求 的值．
【答案】（1）证明： ∵等腰△ABC内接于⊙O， AB= AC， D为 上一点，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠F =∠F，
∴△CDF∽△ABF；
（2）①证明： 等腰△ABC内接于⊙O， 如图1， 过点A作AG⊥BC于G， 则∠AGC = 90°，
∴∠BAC=2∠CAG， ∠ACG+∠CAG=90°，
∵BD⊥AC，
，
②延长AG交⊙O于点H， 连接BH， 如图2，
由①知，
∴AG过点O，
在直角三角形ABG中，由勾股定理得：
由 (1) 知，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；A字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠FCD=180°， 得∠BAD=∠FCD，结合∠F =∠F， 得△CDF∽△ABF；
(2)①过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形性质得∠BAC =2∠CAG， 根据BD⊥AC， 得∠CAG=∠CBE， 结合∠CAD=∠CBD， 得∠BAC=2∠CAF；
②延长AG交⊙O于点H，连接BH，由垂径定理推论知AG过点O， 得∠ABH =∠AGB =90°， 可得△AHB∽△ABG， 得 根据 得 得 即得
11．（2025九上·鹿城期末）如图，点是的边上一点，的延长线交的外接圆于点，作交于点，连结交于点，记．
【认识图形】求证：．
【探索关系】求证：．
【问题解决】若点与点关于对称
①当时，求k的值．
②求的最大值．
【答案】[认识图形]
解：，．
在内，，
．
[探索关系]
解：在内，，且，
．
∴，即．
[问题解决]
①解：连结，设，．
点，关于对称，
，．
，
．
，即．
．
，，
．
即．
．
．
②解：设个单位，个单位
由①同理可得：即．
，
．
．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由圆周角定理知，由平行线的性质定理知，等量代换即可；（2）由结论知，即要证明，显然有、，所以结论成立；（3）由圆周角定理可得，连接EF后，由轴对称知、，由圆内接四边形的性质知，由邻补角知则可得出是等腰三角形，且，则的相似比为，进而可求出此时的k值；求k的最大值，实质是化比例式为等积式，从而得到k的二次函数，此时转化为求二次函数的最大值问题。
12．（2025九上·江北期末）如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
，
，
．
，
，
点 为 的中点，
，
，
．
解法二：
点 为 的中点，
，
．
，
，
，
，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，即可得到解题即可；
（2）证明 ，即可得到 ，燃弧根据得到 ，进而得到，即可得到结论；
（3）连结 ，作 ，然后证明DF∥BC，设 ，则CF=2x+1，然后在 Rt 中，利用勾股定理求出x的值，再在Rt 中，中运用勾股定理求出CE长即可解题.
13．（2025九上·嘉兴期末）如图，中，，，点分别在边上，且．经过点的分别交边于点，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）如图，连结，若，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）由、得：，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
∴∠GCD+∠DCB=∠A+∠ACG，
即，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】连结EF，根据直径所对的圆周角是直角可知EF是直径及∠EDF=90°，易得∠CDE=∠CDF=45°，由同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等可证CF=CE；
根据等腰直角三角形的性质求得AC=BC=6，设DE=x，在Rt△DEF中，用含x的式子表示出EF，进而再根据等腰直角三角形的性质可得，则有，根据圆内接四边形对角互补可得∠AFD=∠DEC，从而用有两组角对应相等的两个三角形相似证△ADF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出x的值，此题得解；
由同位角相等两直线平行得EF∥AB，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠BCD，从而由AAS判断出△ACG≌△BCD，得AG=BD；根据平行线性质、角的构成及三角形外角性质推出∠GCB=∠CGD，由等角对等边得BC=BG，设CE=a，EB=b，由，整理可得．
（1）证明：如下图所示，连结，
，
是直径，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，
，，
，
设，则，
，
由可知，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
解得：，
；
（3）解：．
理由如下，
由、得：，
，
，
，
，
，
，
又，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
．
设，，
，
，
，
，
，
，
．
14．（2025九上·新昌期末）如图，点C在以为直径的半圆周上，连结，，点D，点E分别在，上运动，且，连结．已知，．
（1）求的长．
（2）探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值．
（3）过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正弦定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设，则，过D作于点F，根据正弦定义即可得到，再利用三角形面积公式列函数关系式求最值即可；
（3）分E在F的左侧、E在F的右侧，根据相似三角形的对应边成比例得到方程解题即可．
（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，
∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，
∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
15．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 A B C D 内接于 于点 ．
（1）直接写出 的值为 　 　 ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）2
（2）证明： 如图2，
作射线AO， 交BD于F， 连接CF， 连接OA， OB
由 (1) 知，
，AF是BC的垂直平分线，
（3）解：如图3，
作射线AO， 交BD于F， 交BC于E， 连接CF， 连接OA， OB，
由(1)(2)知，
设 则
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】(1)如图1，
作射线AO， 交BC于E， 连接OB， OC，
∴ AE是BC的垂直平分线，
故答案为：2；
【分析】(1)作射线AO， 交BC于E， 连接OB， OC， 根据 得出
∠BAC=2∠BAE=∠CAE， 由∠AEC=90°得出∠CAE+∠ACB=90°， 由∠BHC=90°得出∠CBD+∠ACB=90°， 从而得出∠CAE=∠CBD， 进一步得出结果；
(2)作射线AO， 交BD于F， 连接CF， 连接OA，OB， 由 (1)知：AF是BC的垂直平分线，可推出AF =AD， 进一步得出结论；
(3)作射线AO， 交BD于F， 交BC于E， 连接CF， 连接OA， OB， 可推出tan∠BFE =tan∠ABC， 从而得出 ， 设EF =a， 则BE =3a， AE =9a，从而得出AD长， 进一步得出结果.
16．（2025九上·上城期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，弦∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴

【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论；
（3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解．
（1）证明：∵是的直径，弦
∴
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
如图所示，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，即是等腰三角形
（3）解：连接，
由（2）可得，又
∴垂直平分，
∴，
又∵是的直径，弦，则垂直平分
∴，
∴，
∵
∴
又
∴
∴
设，则，
∴
在中，
∴
解得：或（舍去）
∴
∴
17．（2025九上·婺城期末）如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，

（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，
，
又，
，
，
是圆内接四边形，
，
又、，
、，
，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由所证明的结论推测，可证明其所在的两个三角形全等，显然可利用ASA证明；（2）由于无法直接计算的值，但是等腰直角三角形，且，则可转化为求的值，显然有，则，由知，，则可算出的三边数量关系， 进而可计算出所求线段比值；（3）要证明等积式成立，实质是证比例式成立，则必需DE＝AG，即有，此时转化为求证
，结合圆周角及圆内接四边形的性质可证这两个三角形的两组对角相等。注意证明等积式时，一般先把它转化为比例式，再考虑对应线段所在的三角形是否相似。
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
设，则，，
由（1）可得：，
，，，
，
，，
，
，
即：，
，
；
（3）证明：如图，连接，
是的直径，
，即：，
又，
，，
，
又，
，
即：，
，
是圆内接四边形，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
18．（2025九上·慈溪期末）如图 1， 是 的直径，点 在 上，作 ，垂足为 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连结 。
（1）判断 的形状，并说明理由。
（2）若 ，求 和 的长。
（3）如图 2，若 是 中点，求 的正弦值。
【答案】（1）解： 是等腰三角形．理由如下：
平分 ．
而 ．
是直径， ．
是等腰三角形
（2）解：作 ，垂足为 ．
．
．
，即 ．
．
连结 ．
而 ．
，即
（3）解：取 的中点 ，
连结 ．
则 ．
设 ，则 ．
．
，
（另解： ．
和 面积相等， 和 的面积比为 1： 2 ，故
不妨令 ，则
设 ，则 ．
，解之得： ．
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠AFB=90°，而∠ACE=∠B，所以∠FAE+∠ACE=∠FAE+∠B=90°，进而可以得出结论；
(2)连接BC，并作FM⊥AB，可推出△AMF∽△AFB，△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质即可求解；
(3)取CE的中点N，连接AN，BN，ON，可推出△AEN∽△CEA，再设EO=x，即可求出正弦值.
19．（2025九上·鄞州期末）如图 1，Rt 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 是 的中点，连结 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）如图 2，过点 作 的平行线交 于点 ．
①求 的长；
②如图 3，点 在线段 上，连结 交并延长交 于点 ，当 时，求 的值．
【答案】（1）证明： 以AB为直径的⊙O交AC于点D， M是BC的中点， 如图1， 连接OD、BD、OM，
∵OD是⊙O的半径，
∴MD是⊙O的切线；
（2）①解：在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， AB=20，BC =15， 如图2， 连结BD，
由勾股定理得： 而
解得CD=9.
∵BE∥DM，
∴∠CDM=∠CEB，
由 (1) 可知DM=CM，
∴∠C =∠CDM，
∴∠C =∠CEB，
∴BE=BC=15.
②解：过点D作. 于H， 连结BD， AQ，
在 中，
连结AQ，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)连接OD、BD、OM， 利用圆周角定理， 直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到 再利用等量代换得到 ，即可证明MD是⊙O的切线；
(2)①连结BD，利用勾股定理求出AC，利用解直角三角形得到CD， 由 (1)可知. 结合等腰三角形性质和等量代换得到. 再结合等腰三角形性质得到CE，最后根据 求解，即可解题；
②过点D作于H，连结BD，结合题意得到EP，利用解直角三角形得到DH，EH，进而得到PH， DP， 连结AQ， 证明 利用相似三角形性质求解，即可解题.
20．（2025九上·杭州期末）已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结．
（1）如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数．
（2）如图2，连结交于点M，求证：．
（3）如图3，连结交于点F，若，，
①试求的长；
②直接写出的值．
【答案】（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）先得到是等边三角形，即可得到，然后得到求出的度数解题；
（2）根据垂径定理、轴对称的性质就饿得，，然后根据圆周角定理可得，即可得到证明结论；
（3）①连接，先利用正弦求出，然后得到，根据相似三角形的对应边成比例求出长；
②由（2）得，，，即可得到求出PD长，再根据求出PH的值，即可得到的值．
（1）解：∵作点B关于的对称点H，而且对称点H与点O重合，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，点B关于的对称点H，
∴，．
∵为直径，弦于E，
∴，
∴
∴
∴
∴
（3）解：①连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由（2）得，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2025九上·玉环期末）如图，是等腰三角形，，点为边上一动点，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，为线段的中点．
（1）求证：；
（2）如图，连接交圆于点，当点为弧的中点时，求此时的长度；
（3）如图，当圆与相切时，连接，若，求和的周长之比．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用两角相等的两个三角形相似证明即可；
（）连接，，即可得到得出，然后根据直径所对的圆周角是直角得到，推导，得到，解题即可；
（）设，，则，，由（）得：，即可得到，然后得到，得到BC的长度，再根据勾股定理可得，再证明，得到，解题即可.
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，，
∵点为弧的中点，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为线段的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵为线段的中点，，
∴，
∴，
设，，则，，
由（）得：，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如图，设切点为，连接，，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
经检验：是方程的解，
∴，
由（）得：，
∴和的周长之比为．
22．（2025九上·镇海区期末）如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点．
（1）求证：；
（2）连接交于点M，
①如图2，若恰好经过点，，，求的长度；
②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度．
【答案】（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理的推论解题即可；
（2）①如图：连接，即可得到，然后得到，可以证明、，即可得到，然后根据正弦求出，即可得到，然后得到，再利用勾股定理解题即可；
②先得到，即可得到，然后证明，可以得到，即可得到，然后根据得到，解得；然后求出OD、OE的值，再利用勾股定理和垂径定理解题．
（1）解：∵是直径，，
∴，
∴．
（2）解：如图：连接，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（2025九上·湖州期末）如图1，在中，直径是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点．
（1）如图2，连结，求证：．
（2）如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度．
（3）在点的运动过程中，当时，求的面积．
【答案】（1）证明：∵AB是直径，且AB⊥CD，
∴AB平分CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴BC=BD.
（2）解：连接，连接AC，
当点M与圆心O重合时，DN是直径，
∵P是BC中点，
∴DN⊥BC，
∴DN垂直平分BC。
∴DC=DB，
由(1)知BC=BD，
∴BC=BD=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABC=30，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=4，∠ABC=30°，
∴，
在Rt△BCE中，∠ABC=30°，
∴BE=BC·cos30°=3，
∴EM=BE-BM=3-2=1.
（3）解：如图，连接BD，连接AD，
由(1)知E是CD中点，
∵P是BC中点，
∴BE和DP是△BCD的中线，即点M是重心，
∴，
∵，
∴，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴DE=EM，
∴，
∵AB直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠ADE=∠DBE=90°-∠BDE，
∴tan∠ADE=tan∠DBE，
即，
设AE=m，则DE=3m，BE=9m，
∴AB=AE+BE=10m=4，
解得，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由垂径定理很容易得证；
(2)易证DC=DB，所以△BCD是等边三角形，从而利用特殊角解直角三角形即可得解；
(3)由中点可知点M是重心，继而得到，再根据题干可证△DEM是等腰直角三角形，最后设参求解即可.
24．（2025九上·台州期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN．
（1）________；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长度；
（4）如图4，当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）1
（2）解：中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；

（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
【分析】（1）先求出∠OAC=30°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）先推导，即可得到，再根据勾股定理求得长，求比值即可；
（3）连接，，延长交于H，可得垂直平分，设，在中，根据勾股定理求得x的值，进而求出MN的长即可；
（4）连接，，过作交延长线于H，过M作于G，即可得到，分别得到、是等腰直角三角形，即可得到，，，，再根据勾股定理求出CN、CM的值，进而求出长．
（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
（2）解：在图2，中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．
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