《二次函数》精选新题之选择题—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025九上·浙江期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程s（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为s=at2.则表格中m 的值为（ ）
t（秒） 0 1 2 3 4
s（米） 0 20 m
A．40 B．50 C．80 D．160
2．（2025九上·永康期中）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( )
A． B．y=50+50(1+x)
C． D．y=50+50(1+x)+50(1+x)2
3．（2025九上·德清期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为( )
A．6m B．7m C．8m D．9m
4．（2025九上·平武期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
5．（2025九上·温州期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，过点C作直线l∥x轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图像，若直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2025九上·西湖月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D．或
7．（2022九上·义乌月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·金牛期中）已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A．若，函数的最大值是5
B．若，当时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
9．（2024九上·郧西期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九上·衢州月考） 如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是
C．若，则小球的最大速度为
D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
11．（2023九上·丛台月考）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A． B． C． D．
12．（2025九上·温州期中） 如图1， 四边形ABCD， AD∥BC， ∠B=∠BCD=60°， AB=2AD， 点E从点B 出发， 沿B→A→D以每秒2个单位的速度匀速运动到点 D.同时，点F从点 B沿着线段BC向终点C 做匀速运动，它们同时到达终点.连结EF，CE，DE，设运动时间为t(秒)，△CEF的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.下列选项正确的是 ( )
A．m=7 B．点(5，)在该函数图象上
C．S最大时， D．当 时，
13．（2025九上·东坡期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
图象与坐标轴的交点为，，；
当时，函数取得最大值；
当或时，函数值y随x值的增大而增大；
若在函数图象上，则也在函数图象上；
当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
14．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025九上·慈溪期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，36），且经过E（1，100）和F（n，100）两点．下列选项正确的是（ ）
A．m＝8 B．n＝16
C．点C的纵坐标为120 D．点（12，45）在该函数图象上
16．（2025九上·嵊州期中）如图，二次函数(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2023九上·天河期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
18．（2025九上·长兴月考）已知抛物线开口向下，过，两点，且.甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则.乙同学认为：当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
19．（2024九上·青县月考）用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将t=2，s=20代入s=at2，得20=a·22，解得a=5.
∴s=5t2.
当t=4时，m=5×42=80.
故选：C.
【分析】由表格可得一组值t=2，s=20，将它们代入关系式解得a的值，从而可得s与t的解析式，将t=4代入关系式，从而求得m的值.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，八月份生产零件50(1+x)万个，九月份生产零件50(1+x)2万个，故 y=50+50(1+x)+50(1+x)2
故答案为：D .
【分析】分别求出八月份和九月份生产的零件数量，即可得y与x的函数关系式.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离.
即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩，
解此方程得x1=-1（舍），x2=9，
∴小童此次实心球训练的成绩为9m.
故选：D .
【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可.
4．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得
2(x+y)=40
∴x+y=20
∴y=20-x，
即y与x是一次函数关系
∵S=xy
=x(20-x)
=-x2+20x，
∴矩形面积满足的函数关系为S=-x2+20x，即满足二次函数关系，
故选：A.
【分析】矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y，代入S=xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-4，
∴直线l的解析式为y=-4，
又∵ 直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，
∴抛物线的顶点纵坐标为-4.5，
即，
解得a= ，
故答案为：B.
【分析】先求出点 C 的纵坐标，即可得到直线l的解析式，然后根据直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，得到元抛物线的顶点纵坐标，然后代入公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：将代入，得
，
即
，
解得（不符合题意，舍去），或．
故答案为：C．
【分析】把代入，得到关于字母t的一元二次方程，再利用因式分解法后根据t不能为负数，判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质.若a>0，一次函数过一、三象限，二次函数开口向上，与y轴交于负半轴；若a<0，一次函数过二、四象限，二次函数开口向下，与y轴交于正半轴.据此匹配选项即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当a=-1时，y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5
∴当x=-2时，函数取得最大值5，故A正确；
当a=1时，y=x2-4x-1=(x-2)2-5，
∴函数图象开口向上，对称轴为x=2，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，y=a-4-a=-4
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1，-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选：D.
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由v-x图可知当0弹簧的初始长度为15cm当x=2时，vmax=b，此时弹簧压缩了2cm，此时弹簧长度为13cm，故B错误；
a=3时，函数过(0，3)，设，将点(0，3)和(6，0）代入得，解得
故，当x=2时，Vmax=4，故C正确；
由函数图知直线x=2为对称轴，x=0与x=4时，速度相同，而弹簧长度为10cm时，压缩的长度为5cm，故D错误；
答案：C.
【分析】直接观察函数图象知当011．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵二次函数与y轴的交点为，且，
∴为x轴，
故答案为：D．
【分析】将解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】分段函数；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；四边形-动点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作DC的平行线交BC于G.
是等边三角形
四边形AGCD是平行四边形
如图，当点E在线段AB上运动时，过点E作BC的垂线段EM.
由题意知点E、F的运动速度相同，AB=4
，
是等边三角形
当时，S1有最大值
如图，当点E在AD上运动时，过点A作BC的垂线段AN.
是等边三角形
当时，S有最小值；
随着t的增大而减小，即当时，S2有最大值
A、，，即；
B、当时，，点不在该函数图象上；
C、如图，过点E作AD的垂线段交DA延长线于点H.
，即
、
D、
当时，则，即或；
故答案为：C .
【分析】观察图象结合题意知，AB＝8，再结合平行四边形的性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度的性质、勾股定理及三角形的面积公式可得S是关于t的分段函数，即，再利用直线和抛物线上点的坐标特征逐项判断即可.
13．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：对于，
由得
函数G的图象与y轴的交点为，
由得
因式分解，得，
或，
解得，
函数G的图象与x轴的交点为，，
函数G的图象与坐标轴的交点为，，，故正确；
对于由图象可知，函数无最大值，故错误；
对于函数G的图象与x轴的交点为，，
结合图象可知，函数图象的对称轴为直线，
当或时，函数值y随x值的增大而增大，故正确；
对于函数图象的对称轴为直线，，
若在函数图象上，则也在函数图象上，故正确；
对于如图，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，
，
，
直线过点时，直线与函数图象恰好有一个交点，
，
，
当时，直线与函数G的图象有2个交点，
当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点，
令，
整理得，，
，
，
结合图象可知，当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是或，故错误．
综上，正确的有．
故答案为：A．
【分析】利用函数解析式G由x=0可求出对应的y的值，由y=0可求出对应的x的值，可得到函数G的图象与两个坐标轴的交点坐标，可对作出判断；观察函数图象可知函数无最大值，可对作出判断；利用函数图象G可得到抛物线的对称轴，由此可得到函数值y随x值的增大而增大时的x的取值范围，可对作出判断；利用二次函数图象的 对称性可对作出判断；当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，可求出m的值；直线过点时，直线与函数图象恰好有一个交点，可得到m的值；当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点，利用两函数解析式可求出m的值，综上所述可得到m的取值范围，可对作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号的选项.
14．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
15．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：作PG⊥AB，
当x=1时，动点Q运动到点H的位置，
由题意和图像可知PH2=100，
当点Q运动到点G的时候，PQ最小，
结合题意和图象可得PG2=36，HG=m-1，
由勾股定理得，100=36+(m-1)2，
解得：m=9，
故选项A不符合题意；
则AG=m=9，HG=m-1=9-1=8，
当x=n时，点Q运动到点B，则PB2=PH2=100，
∴PB=PH，
∵PG⊥ AB，
∴BG=HG=8，
∴n=AB=9+8=17，故选项B不符合题意；
∴当x=0，点Q在点A处，
∴AP2=AG2+PG2=9+36=117，
∴点C的纵坐标为117，故选项C不符合题意；
当x=12时，点Q运动到点K处，
∴AK=12，
∴GK=AK-AG=12-9=3，
∴PK2=KG2+PG2=9+36=45，
∴(12，45)在该函数图象上，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，则PH2=100，当点Q运动到点G的时候，PQ最小，HG=m-1，根据勾股定理得出m的值，当x=n时，点Q运动到点B可得BG=HG=8，即可求出n的值，根据勾股定理得出点C的纵坐标，当x=12时，点Q运动到点K处，再次利用勾股定理即可得出点（12，45）是否在抛物线上.
16．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为x＝1，
∴，
∴﹣b＝2a，
∴①2a+b＝0，故此选项正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故②此选项正确；
∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，故③ac＞0错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故④正确；
故选：C．
【分析】根据对称轴为x＝1可判断出2a+b＝0正确，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
17．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故答案为：C．
【分析】首先求出抛物线与x轴的两个交点，，B（5，0），根据A、B之间的距离可得出抛物线向左平移后的解析式，然后结合图形求出直线 与、共有2个不同的交点时m的值，进一步即可得出答案。
18．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意画草图如下
易知抛物线的对称轴0故答案为：A.
【分析】利用条件画出草图，注意体现出二次函数的细微特征比如对称轴019．【答案】C
【知识点】弧长的计算；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出三种方案中菜园的面积，再比较大小即可.
1 / 1《二次函数》精选新题之选择题—浙江省九（上）数学期末复习
一、选择题
1．（2025九上·浙江期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程s（米）与所经过的时间t（秒）之间的关系为s=at2.则表格中m 的值为（ ）
t（秒） 0 1 2 3 4
s（米） 0 20 m
A．40 B．50 C．80 D．160
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将t=2，s=20代入s=at2，得20=a·22，解得a=5.
∴s=5t2.
当t=4时，m=5×42=80.
故选：C.
【分析】由表格可得一组值t=2，s=20，将它们代入关系式解得a的值，从而可得s与t的解析式，将t=4代入关系式，从而求得m的值.
2．（2025九上·永康期中）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( )
A． B．y=50+50(1+x)
C． D．y=50+50(1+x)+50(1+x)2
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意，八月份生产零件50(1+x)万个，九月份生产零件50(1+x)2万个，故 y=50+50(1+x)+50(1+x)2
故答案为：D .
【分析】分别求出八月份和九月份生产的零件数量，即可得y与x的函数关系式.
3．（2025九上·德清期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式为 由此可知小童此次实心球训练的成绩为( )
A．6m B．7m C．8m D．9m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：根据实际情况，实心球的成绩时实心球落地点与起点的距离.
即当y=0时，方程的正根是实心球训练的成绩，
解此方程得x1=-1（舍），x2=9，
∴小童此次实心球训练的成绩为9m.
故选：D .
【分析】本题要实心球成绩的实际情况，实际情况就是实心球落地点与起点的距离，此时实心球在地面上，飞行高度为0，即二次函数的y值为0，则令函数值为0，构造方程，方程的解取符合实际的即可.
4．（2025九上·平武期中）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为．如图所示，设矩形一边长为 ，另一边长为，矩形的面积为当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得
2(x+y)=40
∴x+y=20
∴y=20-x，
即y与x是一次函数关系
∵S=xy
=x(20-x)
=-x2+20x，
∴矩形面积满足的函数关系为S=-x2+20x，即满足二次函数关系，
故选：A.
【分析】矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y，代入S=xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式.
5．（2025九上·温州期中）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，过点C作直线l∥x轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图像，若直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-4，
∴直线l的解析式为y=-4，
又∵ 直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，
∴抛物线的顶点纵坐标为-4.5，
即，
解得a= ，
故答案为：B.
【分析】先求出点 C 的纵坐标，即可得到直线l的解析式，然后根据直线y=-3.5和新图像恰好有3个交点，得到元抛物线的顶点纵坐标，然后代入公式计算即可.
6．（2025九上·西湖月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）满足的关系为．若“水火箭”的升空高度为，则此时的飞行时间为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：将代入，得
，
即
，
解得（不符合题意，舍去），或．
故答案为：C．
【分析】把代入，得到关于字母t的一元二次方程，再利用因式分解法后根据t不能为负数，判断得出答案.
7．（2022九上·义乌月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质.若a>0，一次函数过一、三象限，二次函数开口向上，与y轴交于负半轴；若a<0，一次函数过二、四象限，二次函数开口向下，与y轴交于正半轴.据此匹配选项即可.
8．（2025九上·金牛期中）已知y关于x的函数表达式是，下列结论不正确的是（ ）
A．若，函数的最大值是5
B．若，当时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：当a=-1时，y=-x2-4x+1=-(x+2)2+5
∴当x=-2时，函数取得最大值5，故A正确；
当a=1时，y=x2-4x-1=(x-2)2-5，
∴函数图象开口向上，对称轴为x=2，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故B正确；
当x=1时，y=a-4-a=-4
∴无论a为何值，函数图象一定经过(1，-4)，故C正确；
当a=0时，y=-4x，此时函数为一次函数，与x轴只有一个交点，故D错误；
故选：D.
【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
9．（2024九上·郧西期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
10．（2025九上·衢州月考） 如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是
C．若，则小球的最大速度为
D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
【答案】C
【知识点】利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由v-x图可知当0弹簧的初始长度为15cm当x=2时，vmax=b，此时弹簧压缩了2cm，此时弹簧长度为13cm，故B错误；
a=3时，函数过(0，3)，设，将点(0，3)和(6，0）代入得，解得
故，当x=2时，Vmax=4，故C正确；
由函数图知直线x=2为对称轴，x=0与x=4时，速度相同，而弹簧长度为10cm时，压缩的长度为5cm，故D错误；
答案：C.
【分析】直接观察函数图象知当011．（2023九上·丛台月考）某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵二次函数与y轴的交点为，且，
∴为x轴，
故答案为：D．
【分析】将解析式转换为顶点式可得顶点坐标，再根据二次函数图象与系数的关系即可求出答案.
12．（2025九上·温州期中） 如图1， 四边形ABCD， AD∥BC， ∠B=∠BCD=60°， AB=2AD， 点E从点B 出发， 沿B→A→D以每秒2个单位的速度匀速运动到点 D.同时，点F从点 B沿着线段BC向终点C 做匀速运动，它们同时到达终点.连结EF，CE，DE，设运动时间为t(秒)，△CEF的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示.下列选项正确的是 ( )
A．m=7 B．点(5，)在该函数图象上
C．S最大时， D．当 时，
【答案】C
【知识点】分段函数；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；四边形-动点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作DC的平行线交BC于G.
是等边三角形
四边形AGCD是平行四边形
如图，当点E在线段AB上运动时，过点E作BC的垂线段EM.
由题意知点E、F的运动速度相同，AB=4
，
是等边三角形
当时，S1有最大值
如图，当点E在AD上运动时，过点A作BC的垂线段AN.
是等边三角形
当时，S有最小值；
随着t的增大而减小，即当时，S2有最大值
A、，，即；
B、当时，，点不在该函数图象上；
C、如图，过点E作AD的垂线段交DA延长线于点H.
，即
、
D、
当时，则，即或；
故答案为：C .
【分析】观察图象结合题意知，AB＝8，再结合平行四边形的性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度的性质、勾股定理及三角形的面积公式可得S是关于t的分段函数，即，再利用直线和抛物线上点的坐标特征逐项判断即可.
13．（2025九上·东坡期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
图象与坐标轴的交点为，，；
当时，函数取得最大值；
当或时，函数值y随x值的增大而增大；
若在函数图象上，则也在函数图象上；
当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是．
其中正确的结论有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：对于，
由得
函数G的图象与y轴的交点为，
由得
因式分解，得，
或，
解得，
函数G的图象与x轴的交点为，，
函数G的图象与坐标轴的交点为，，，故正确；
对于由图象可知，函数无最大值，故错误；
对于函数G的图象与x轴的交点为，，
结合图象可知，函数图象的对称轴为直线，
当或时，函数值y随x值的增大而增大，故正确；
对于函数图象的对称轴为直线，，
若在函数图象上，则也在函数图象上，故正确；
对于如图，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，
，
，
直线过点时，直线与函数图象恰好有一个交点，
，
，
当时，直线与函数G的图象有2个交点，
当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点，
令，
整理得，，
，
，
结合图象可知，当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是或，故错误．
综上，正确的有．
故答案为：A．
【分析】利用函数解析式G由x=0可求出对应的y的值，由y=0可求出对应的x的值，可得到函数G的图象与两个坐标轴的交点坐标，可对作出判断；观察函数图象可知函数无最大值，可对作出判断；利用函数图象G可得到抛物线的对称轴，由此可得到函数值y随x值的增大而增大时的x的取值范围，可对作出判断；利用二次函数图象的 对称性可对作出判断；当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，可求出m的值；直线过点时，直线与函数图象恰好有一个交点，可得到m的值；当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点，利用两函数解析式可求出m的值，综上所述可得到m的取值范围，可对作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号的选项.
14．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
15．（2025九上·慈溪期中）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，36），且经过E（1，100）和F（n，100）两点．下列选项正确的是（ ）
A．m＝8 B．n＝16
C．点C的纵坐标为120 D．点（12，45）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：作PG⊥AB，
当x=1时，动点Q运动到点H的位置，
由题意和图像可知PH2=100，
当点Q运动到点G的时候，PQ最小，
结合题意和图象可得PG2=36，HG=m-1，
由勾股定理得，100=36+(m-1)2，
解得：m=9，
故选项A不符合题意；
则AG=m=9，HG=m-1=9-1=8，
当x=n时，点Q运动到点B，则PB2=PH2=100，
∴PB=PH，
∵PG⊥ AB，
∴BG=HG=8，
∴n=AB=9+8=17，故选项B不符合题意；
∴当x=0，点Q在点A处，
∴AP2=AG2+PG2=9+36=117，
∴点C的纵坐标为117，故选项C不符合题意；
当x=12时，点Q运动到点K处，
∴AK=12，
∴GK=AK-AG=12-9=3，
∴PK2=KG2+PG2=9+36=45，
∴(12，45)在该函数图象上，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，则PH2=100，当点Q运动到点G的时候，PQ最小，HG=m-1，根据勾股定理得出m的值，当x=n时，点Q运动到点B可得BG=HG=8，即可求出n的值，根据勾股定理得出点C的纵坐标，当x=12时，点Q运动到点K处，再次利用勾股定理即可得出点（12，45）是否在抛物线上.
16．（2025九上·嵊州期中）如图，二次函数(a≠0)的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a－2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞3．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为x＝1，
∴，
∴﹣b＝2a，
∴①2a+b＝0，故此选项正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故②此选项正确；
∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，故③ac＞0错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
故④正确；
故选：C．
【分析】根据对称轴为x＝1可判断出2a+b＝0正确，当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
17．（2023九上·天河期中）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】
抛物线与x轴交于点A、B，
∴=0，
∴x1=5，x2=9，
，
抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
，
，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
，
相切，
，
，
如图，
若直线与、共有3个不同的交点，
--，
故答案为：C．
【分析】首先求出抛物线与x轴的两个交点，，B（5，0），根据A、B之间的距离可得出抛物线向左平移后的解析式，然后结合图形求出直线 与、共有2个不同的交点时m的值，进一步即可得出答案。
18．（2025九上·长兴月考）已知抛物线开口向下，过，两点，且.甲同学认为：若点，在抛物线上，，且，则.乙同学认为：当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：依题意画草图如下
易知抛物线的对称轴0故答案为：A.
【分析】利用条件画出草图，注意体现出二次函数的细微特征比如对称轴019．（2024九上·青县月考）用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案 B．方案 C．方案 D．都一样
【答案】C
【知识点】弧长的计算；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设围成的图形的面积为，
方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米，
由题意得：，
当时，有最大值为；
方案二：如图：
设等腰三角形底边长为，高为，
∵为等腰三角形，
∴，，
∴，即，整理得：，
∵，
∴，
令，则，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最大值，最大值为；
方案三：设圆的半径为米，则：，
解得：，
∴，
∵，
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出三种方案中菜园的面积，再比较大小即可.
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