《二次函数》精选新题之填空题—浙江省九（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2025九上·平湖期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为 ．（填序号）
2．（2025九上·绍兴期中） 已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是 ．
3．（2025九上·嵊州期中） 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。若关于x的二次函数是“对偶函数”，则实数a的取值范围为 .
4．（2025九上·慈溪期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 m．
5．（2025九上·义乌期中）已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为 .
6．（2025九上·义乌月考）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
7．（2025九上·嘉兴月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ．
8．（2025九上·杭州月考）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x'，y'），使得x'﹣m＝y'-k≠0，则称2|x'﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
9．（2025九上·绍兴月考）定义：在平面且角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）：若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点，当为直角三角形时，则 ．
10．（2024九上·西湖月考）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离x（m）之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．
11．（2025九上·嵊州期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为 ．
12．（2025九上·温州期中）已知抛物线 当-5≤x≤0时，y 的取值范围是0≤y≤6.若将该抛物线向右平移6个单位后经过点(1，0)，则b的值是 .
13．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接．
⑴当点恰好落在边上时， ．
⑵当 时，有最小值．
答案解析部分
1．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确；
方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确；
故答案：③④.
【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值.
2．【答案】x=2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的对称轴是直线x
∴二次函数 的对称轴也是直线x =x=
由题意可知 与x轴的一个交点为(4，0)，
设 与x轴的另一个交点为(x，0)，根据对称性可得：
解得x=2，
的另一个解为：x=2，
故答案为：x=2.
【分析】二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以 的两个根在数轴上关于1对称，由此即可得出答案.
3．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意知a≠0，
①-②得，得代入①式得
，即有，此方程必有实数根，
当时，得x1=，y1=-，此时x1+y1=0，不符合题意，故此情况舍去；
当得，满足题意；
故答案为： .
【分析】由题意知y2=-x1，y1=-x2，得，①-②整理得，方程必有根，当△=0时不符合题意，于是△>0，即得a的取值范围.
4．【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系，
点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，
则0=1600a+200，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+200，
当y=150时，即150=-x2+200，
解得：x=±20，
则CD=20-(-20)=40m.
故答案为：40.
【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案.
5．【答案】675
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数过点，，
抛物线的对称轴方程为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线顶点纵坐标为1，即抛物线的顶点坐标为，
该抛物线的顶点式为，
将点代入顶点式，得，
，
．
故答案为：675 .
【分析】根据两点确定该抛物线对称轴为直线，然后根据抛物线与直线只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1，写出抛物线顶点式为，将点的坐标代入顶点式求出，最后代入所求代入式即可求解．
6．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，
即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或
故答案为：或
【分析】
由于直线是由直线向上平移t个单位长度得到的，显然当t>0时，直线与原函数图象只有一个交点；当t<0时，则可联立，即得，则关于x的一元二次方程根的判别式等于0，再解关于t的方程并求解即可．
7．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，作的直线平行轴，
∵抛物线，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，则，
∴，
由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
【分析】作的直线平行轴，先求出图象的顶点坐标为，从而得点和图象的顶点间的一半，横坐标为，代入抛物线解析式即可求出点坐标，然后由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，进而得点与点中的纵坐标是相等的，即可求解.
8．【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线
解得
∴抛物线 开口大小”为
故答案为：4.
【分析】先将抛物线 化为顶点式，再根据“开口大小”的定义解答即可.
9．【答案】b=2a；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的伴随直线是，
∴y=a(x+1)2-3=ax2+2ax+a-3，
∴b=2a；
∵当x=-1时，y=-3，
∴点Q的坐标为(-1，-3)，
又∵抛物线与x轴交于点A和B，
∴QA=QB，
又∵为直角三角形，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AB=6，
即与x轴交点的坐标为(-4，0)和(2，0)，
把(2，0)代入得9a-3=0，
解得a=，
故答案为：b=2a；.
【分析】根据 伴随直线 的定义得到抛物线的解析式为y=a(x+1)2-3，然后展开，对应系数相等解答即可；根据题意得到顶点Q的坐标为(-1，-3)，然后证明△ABQ是等腰直角三角形，得到点A和B的坐标，代入解析式求出a的值即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵乙原地起跳可接球的高度为2.4米，且乙因接球高度不够而失球
∴当x=n时，羽毛球的飞行高度y＞2.4米，
由题意，得，
解得（舍去），
又∵网BC离点O的水平距离为5米，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由“乙原地起跳可接球的高度为2.4米，且乙因接球高度不够而失球”可得当x=n时，羽毛球的飞行高度y＞2.4米，从而将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可知，从而可得的取值范围．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，
∵两点在函数图象上，
∴，，
∴==2a(x1+x2)(x1-x2)①，
∵点与点为一对“对偶点”，
∴，，
∴，，
∴=x1-x2②，
∴①-②得，2a(x1+x2)=1，
∴x2=，
∴，
∴，
∴此关于的一元二次方程必有实数根，
当时，（不符合题意），
则，解得．
故答案为：．
【分析】设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，根据题意可得，与，，再对以上4个式子进行变形得出，再代入 中，最后根据用关于的一元二次方程必有实数根，分别讨论判别式等于零和大于零的情况进行求解即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线 向右平移6个单位长度得新的抛物线解析式为：
在抛物线上
且抛物线的对称轴为直线
当时有最大值
当时，的最小值为，的最大值为
故答案为： .
【分析】先利用二次函数的平移变换得出平移后的抛物线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可得a、b的数量关系，即，从而可化原抛物线解析式为顶点式，则可得原抛物线的对称轴为直线，又因为原二次函数的二次项系数为负，则该函数有最大值，因此在区间内的最大函数值即这个二次函数的最大值，故，再求出a的值，则b的值可得.
13．【答案】 ；
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)当点F落在CD边上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形， 且AB=4， BC =5，
∴CD=AB=4， AD=BC=5，∠A=∠AD
C=∠BCD=90°，
在Rt△ABE中， ∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF =90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∵BE=2EF
∴设EF =a， 则BE=2EF =a，
在△ABE和△DEF中，
∠A =∠ADC =90°， ∠ABE =∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴ ，
由 得：
由 得：
在 中，由勾股定理得：BF=
故答案为：
(2)过点F作直线MN与AD的垂线，垂足为M，交BC于点N，如图所示：
∴四边形MNCD是矩形，
设AE=x，
同 (1) 证明：
在 中，由勾股定理得：
整理得：
∴当x=4时， 为最小，即当x=4时，CF为最小，最小值
在 中，
由勾股定理得：
∴当 时，CF为最小.
故答案为：
【分析】(1)当点F落在CD边上时， 设EF =a， 则BE=2EF= a， 证明△ABE和△DEF相似得 由 得 则DE=2， AE=3， 由 得 ，则 进而得 然后由勾股定理即可求出BF的长，
(2)过点F作直线MN与AD的垂线，垂足为M，交BC于点N，则四边形MNCD是矩形，进而得DM=CN， MN=CD=4， 设AE =x， 同 (1)证明△ABE∽△MEF得 由此得 x， 在Rt△CFN中，由勾股定理得 整理得 据此得当x =4时， 为最小，即当x =4时，CF为最小，最小值 然后在Rt△EMF中，根 据EM= 2 ，M F 由勾股定理可得出EF的长.
1 / 1《二次函数》精选新题之填空题—浙江省九（上）数学期末复习
一、填空题
1．（2025九上·平湖期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为 ．（填序号）
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确；
方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确；
故答案：③④.
【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值.
2．（2025九上·绍兴期中） 已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是 ．
【答案】x=2
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 的对称轴是直线x
∴二次函数 的对称轴也是直线x =x=
由题意可知 与x轴的一个交点为(4，0)，
设 与x轴的另一个交点为(x，0)，根据对称性可得：
解得x=2，
的另一个解为：x=2，
故答案为：x=2.
【分析】二次函数与x轴的两个交点的横坐标关于对称轴对称，所以 的两个根在数轴上关于1对称，由此即可得出答案.
3．（2025九上·嵊州期中） 我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。若关于x的二次函数是“对偶函数”，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意知a≠0，
①-②得，得代入①式得
，即有，此方程必有实数根，
当时，得x1=，y1=-，此时x1+y1=0，不符合题意，故此情况舍去；
当得，满足题意；
故答案为： .
【分析】由题意知y2=-x1，y1=-x2，得，①-②整理得，方程必有根，当△=0时不符合题意，于是△>0，即得a的取值范围.
4．（2025九上·慈溪期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 m．
【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系，
点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，
则0=1600a+200，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+200，
当y=150时，即150=-x2+200，
解得：x=±20，
则CD=20-(-20)=40m.
故答案为：40.
【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案.
5．（2025九上·义乌期中）已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为 .
【答案】675
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数过点，，
抛物线的对称轴方程为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线顶点纵坐标为1，即抛物线的顶点坐标为，
该抛物线的顶点式为，
将点代入顶点式，得，
，
．
故答案为：675 .
【分析】根据两点确定该抛物线对称轴为直线，然后根据抛物线与直线只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1，写出抛物线顶点式为，将点的坐标代入顶点式求出，最后代入所求代入式即可求解．
6．（2025九上·义乌月考）函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：与平行，
当时，直线与原图象只有一个交点，
联立，
，
即，，
只有一个交点，
，
，
的取值范围为：或
故答案为：或
【分析】
由于直线是由直线向上平移t个单位长度得到的，显然当t>0时，直线与原函数图象只有一个交点；当t<0时，则可联立，即得，则关于x的一元二次方程根的判别式等于0，再解关于t的方程并求解即可．
7．（2025九上·嘉兴月考）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；探索规律-函数上点的规律
【解析】【解答】解：如图，作的直线平行轴，
∵抛物线，
∴图象的顶点坐标为，
∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为，
把代入，则，
∴，
由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，
∵，，
∴点与图象的点中的纵坐标是相等的，
∴，
故答案为：．
【分析】作的直线平行轴，先求出图象的顶点坐标为，从而得点和图象的顶点间的一半，横坐标为，代入抛物线解析式即可求出点坐标，然后由图象可得，每4个单位长度的图象为一个循环，进而得点与点中的纵坐标是相等的，即可求解.
8．（2025九上·杭州月考）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x'，y'），使得x'﹣m＝y'-k≠0，则称2|x'﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线
解得
∴抛物线 开口大小”为
故答案为：4.
【分析】先将抛物线 化为顶点式，再根据“开口大小”的定义解答即可.
9．（2025九上·绍兴月考）定义：在平面且角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）：若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点，当为直角三角形时，则 ．
【答案】b=2a；
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的伴随直线是，
∴y=a(x+1)2-3=ax2+2ax+a-3，
∴b=2a；
∵当x=-1时，y=-3，
∴点Q的坐标为(-1，-3)，
又∵抛物线与x轴交于点A和B，
∴QA=QB，
又∵为直角三角形，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∴AB=6，
即与x轴交点的坐标为(-4，0)和(2，0)，
把(2，0)代入得9a-3=0，
解得a=，
故答案为：b=2a；.
【分析】根据 伴随直线 的定义得到抛物线的解析式为y=a(x+1)2-3，然后展开，对应系数相等解答即可；根据题意得到顶点Q的坐标为(-1，-3)，然后证明△ABQ是等腰直角三角形，得到点A和B的坐标，代入解析式求出a的值即可.
10．（2024九上·西湖月考）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离x（m）之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵乙原地起跳可接球的高度为2.4米，且乙因接球高度不够而失球
∴当x=n时，羽毛球的飞行高度y＞2.4米，
由题意，得，
解得（舍去），
又∵网BC离点O的水平距离为5米，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由“乙原地起跳可接球的高度为2.4米，且乙因接球高度不够而失球”可得当x=n时，羽毛球的飞行高度y＞2.4米，从而将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可知，从而可得的取值范围．
11．（2025九上·嵊州期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，
∵两点在函数图象上，
∴，，
∴==2a(x1+x2)(x1-x2)①，
∵点与点为一对“对偶点”，
∴，，
∴，，
∴=x1-x2②，
∴①-②得，2a(x1+x2)=1，
∴x2=，
∴，
∴，
∴此关于的一元二次方程必有实数根，
当时，（不符合题意），
则，解得．
故答案为：．
【分析】设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，根据题意可得，与，，再对以上4个式子进行变形得出，再代入 中，最后根据用关于的一元二次方程必有实数根，分别讨论判别式等于零和大于零的情况进行求解即可.
12．（2025九上·温州期中）已知抛物线 当-5≤x≤0时，y 的取值范围是0≤y≤6.若将该抛物线向右平移6个单位后经过点(1，0)，则b的值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线 向右平移6个单位长度得新的抛物线解析式为：
在抛物线上
且抛物线的对称轴为直线
当时有最大值
当时，的最小值为，的最大值为
故答案为： .
【分析】先利用二次函数的平移变换得出平移后的抛物线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可得a、b的数量关系，即，从而可化原抛物线解析式为顶点式，则可得原抛物线的对称轴为直线，又因为原二次函数的二次项系数为负，则该函数有最大值，因此在区间内的最大函数值即这个二次函数的最大值，故，再求出a的值，则b的值可得.
13．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接．
⑴当点恰好落在边上时， ．
⑵当 时，有最小值．
【答案】 ；
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(1)当点F落在CD边上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形， 且AB=4， BC =5，
∴CD=AB=4， AD=BC=5，∠A=∠AD
C=∠BCD=90°，
在Rt△ABE中， ∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEF =90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∵BE=2EF
∴设EF =a， 则BE=2EF =a，
在△ABE和△DEF中，
∠A =∠ADC =90°， ∠ABE =∠DEF，
∴△ABE∽△DEF，
∴ ，
由 得：
由 得：
在 中，由勾股定理得：BF=
故答案为：
(2)过点F作直线MN与AD的垂线，垂足为M，交BC于点N，如图所示：
∴四边形MNCD是矩形，
设AE=x，
同 (1) 证明：
在 中，由勾股定理得：
整理得：
∴当x=4时， 为最小，即当x=4时，CF为最小，最小值
在 中，
由勾股定理得：
∴当 时，CF为最小.
故答案为：
【分析】(1)当点F落在CD边上时， 设EF =a， 则BE=2EF= a， 证明△ABE和△DEF相似得 由 得 则DE=2， AE=3， 由 得 ，则 进而得 然后由勾股定理即可求出BF的长，
(2)过点F作直线MN与AD的垂线，垂足为M，交BC于点N，则四边形MNCD是矩形，进而得DM=CN， MN=CD=4， 设AE =x， 同 (1)证明△ABE∽△MEF得 由此得 x， 在Rt△CFN中，由勾股定理得 整理得 据此得当x =4时， 为最小，即当x =4时，CF为最小，最小值 然后在Rt△EMF中，根 据EM= 2 ，M F 由勾股定理可得出EF的长.
1 / 1
