初中数学七年级上册专题6.1几何图形（浙教版）
一、几何体的识别
1．（2024七上·高明期中）下列物体从左到右可近似地看成（ ）
A．球、正方体、圆柱、圆锥 B．球、长方体、棱柱、圆锥
C．球、正方体、棱柱、棱锥 D．圆柱、正方体、圆柱、棱锥
2．（2024七上·成都月考）下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，形状为圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
二、几何体的构成
4．（2024七上·重庆市月考）下列说法错误的是（ ）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
5．（2023六上·招远期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
6．（2024七上·肇源月考）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、几何体的分类
7．如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（ ）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
8．（2021七上·北海期末）下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
四、几何体的点、棱、面
10．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面．
11．（2023七上·永修月考）一个漂亮的礼物盒是九棱柱，那么它有 个顶点．
12．如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是．
（1）这个棱柱共有 顶点；
（2）这个棱柱共有 条棱，所有棱长的和 ；
（3）这个棱柱的侧面积是 ．
五、欧拉公式
13．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）【观察总结】五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是 （用所给的字母表达）；
（2）【简单应用】①能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是 ▲ ．
（3）【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是 ；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多 个．
14．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
（1）操作探究：观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
15．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4
棱数 6
面数 4
（2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为： ；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 ；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
六、点线面体之间的关系
16．如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这给我们“ ”的形象．
17．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明 ；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明 ；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明 ．
18．如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．
七、旋转体的辨别
19．（2024七上·七星关月考）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（ ）
A． B． C． D．
20．如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
21．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
八、旋转体的相关计算
22．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同
B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同
D．甲乙的侧面积相同，体积不同
23．（2024七上·武侯期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，）
（1）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
（2）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
24．如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，．
（1）旋转后得到的几何体是第 个几何体；
（2）请计算这个几何体的体积．（不作近似计算）
九、七巧板的相关计算
25．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ．
26．五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
27．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意可得，从左到右几何图形的形状为成球、正方体、圆柱、圆锥，
故选：A．
【分析】根据题意可知，几何图形的形状为球，正方体，圆柱，圆锥，据此可得答案．
2．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A选项中的几何体是三棱柱，B选项中的几何体是圆锥，C选项中的几何体是三棱锥，D选项中的几何体是正方体，
故答案为：A．
【分析】根据三棱柱的特征解题即可．
3．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、此立体图形是四棱锥，不符合题意；
B、此立体图形是三棱，不符合题意；
C、此立体图形是圆锥，符合题意；
D、此立体图形是球，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据圆锥、圆柱、棱锥、棱柱的特点分别进行分析即可.
4．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面是曲面，正确，故不符合题意；
B、正方体的所有棱长都相等，正确，故不符合题意；
C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，故不符合题意；
D、圆柱的侧面展开图为长方形，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【分析】根据各种几何体的特点分别确定圆锥的侧面，正方体的棱长，棱柱的侧面进行及圆柱的侧面展开图的形状，再判断即可．
5．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：A．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，故选项正确，不符合题意；
B．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有5个侧面，故选项正确，不符合题意；
C．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱是一个五棱柱，故选项错误，符合题意；
D．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有条棱，故选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据棱柱的特征解题即可．
6．【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：由题意知，长方体，正方体都是棱柱，正确，故符合要求；
圆锥和圆柱的底面都是圆，正确，故符合要求；
若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等，正确，故符合要求；
棱锥底面边数与侧棱数相等，正确，故符合要求；
故答案为：D．
【分析】利用棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义逐项判断解题．
7．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，
故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④，
故答案为：A．
【分析】根据几何体的形状分类即可.
8．【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、B、D都是柱体，只有C选项是锥体.
故答案为：C.
【分析】根据题意从组成图形的面分别考虑进行判断即可.
9．【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【分析】根据柱体和锥体的定义、围城图形的面的类型解答即可.
10．【答案】10；7
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵一个棱柱有15条棱，，
∴该棱柱为五棱柱，
∴底面是五边形，共个顶点，个面．
故答案为：10，7．
【分析】先由棱的条数确定是五棱柱，由此可得到顶点数和面的数量.
11．【答案】18
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵礼物盒是一个九棱柱，
∴侧面有个，
∴顶点数为，
故答案为：18．
【分析】根据n棱柱的顶点个数为2n个解题即可．
12．【答案】（1）12
（2）18；96
（3）144
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】（1）∵上下两个底面各有6个顶点，
∴（个），∴这个棱柱共有12个顶点，
故答案为：12个；
（2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱，
∴（条），∴（），
∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96，
故答案为：18，96；
（3）∵侧面积等于底面周长乘高∴（），
∴这个棱柱的侧面积是144．
故答案为：144．
【分析】(1)根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；
(2)根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和；
(3)运用底面周长乘以高即可得到侧面积.
13．【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；；②12
（3）14；8
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是，
故答案为：；
（2）②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个），
故答案为：12；
（3）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为，
故答案为：14；
②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得
，解得，所以正五边形为12块，正三边形为20块．．
故答案为：8．
【分析】(1)观察 (1)中顶点数、面数、棱数可得答案；
(2)根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断；
(3)根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；
(4)①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形x块，则正三边形 块，则由上面的规律数可以看出，棱数 而顶点数 列出方程即可.
14．【答案】（1）6；9；12；6
（2）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）解：观察表得，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：．
【分析】（1）观察几何体，补充表格即可；
（2）通过观察，发现棱数=定点数+面数-2.
15．【答案】（1）6；9；5；8；12；6；6；12；8
（2）；20
（3）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5；
正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6；
正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8；故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8；
（2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：，
，，，，，故答案为：，20；
（3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，
有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，共有（条，
，解得．．∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是．
【分析】(1)观察图形，直接写出答案即可；
(2)分析表格中的数据，发现 根据 列方程求解；
(3)根据有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据 即可求解.
16．【答案】圆柱；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象；
故答案为：圆柱，面动成体．
【分析】根据“面动成体”解答即可.
17．【答案】线动成面；点动成线；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【分析】根据点动成线，面动成体解答即可.
18．【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体，
故答案为：面动成体
【分析】根据面动成体解答即可.
19．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、图形旋转一周所得的图形即为已知的立体图形，此选项符合题意；
B、 图形半圆旋转一周所得的图形是球，不是已知的立体图形，此选项不符合题意；
C、图形旋转一周所得的图形不是已知的立体图形，此选项不符合题意；
D、图形旋转一周所得的图形为圆柱，不是已知的立体图形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平面图形旋转后所得的立体图形的特征并结合各选项即可判断求解．
20．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D，
故答案为：D．
【分析】根据面动成体解题即可.
21．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是：
，
故答案为：D．
【分析】根据面动成体解题即可.
22．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积
【解析】【解答】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；
故答案为：D．
【分析】根据长方形旋转一周得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得到结果.
23．【答案】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，
∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，
∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据圆锥体积公式计算即可；
（2）分别求出两种图形的底面圆的半径和高，根据圆锥的体积公式计算体积，然后再比较解题．
（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，
∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，
∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
24．【答案】（1）（1）
（2）解：由题意得：这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积
，∴这个几何体的体积．
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】（1）解：旋转后得到的几何体是第（1）个几何体，
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据圆柱和圆锥的特征，即可解答；
（2）根据这个几何体的体积=圆锥的体积+圆柱的体积， 进行计算即可解答.
25．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，即：阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】将图②中的阴影部分转化为求图①中的阴影部分，图①中阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去一个中等大小的等腰直角三角形的面积，根据七巧板各个部分面积特点“大的等腰三角形面积占原正方形面积 中等等腰三角形面积占原正方形面积 等”即可解题.
26．【答案】D
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：依题意可得，∵剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，∴取下来的是⑤，
故答案为：D．
【分析】根据要再拼的正方形求解即可得到答案.
27．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答.
1 / 1初中数学七年级上册专题6.1几何图形（浙教版）
一、几何体的识别
1．（2024七上·高明期中）下列物体从左到右可近似地看成（ ）
A．球、正方体、圆柱、圆锥 B．球、长方体、棱柱、圆锥
C．球、正方体、棱柱、棱锥 D．圆柱、正方体、圆柱、棱锥
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：根据题意可得，从左到右几何图形的形状为成球、正方体、圆柱、圆锥，
故选：A．
【分析】根据题意可知，几何图形的形状为球，正方体，圆柱，圆锥，据此可得答案．
2．（2024七上·成都月考）下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A选项中的几何体是三棱柱，B选项中的几何体是圆锥，C选项中的几何体是三棱锥，D选项中的几何体是正方体，
故答案为：A．
【分析】根据三棱柱的特征解题即可．
3．下列图形中，形状为圆锥的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、此立体图形是四棱锥，不符合题意；
B、此立体图形是三棱，不符合题意；
C、此立体图形是圆锥，符合题意；
D、此立体图形是球，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据圆锥、圆柱、棱锥、棱柱的特点分别进行分析即可.
二、几何体的构成
4．（2024七上·重庆市月考）下列说法错误的是（ ）
A．圆锥的侧面是曲面 B．正方体的所有棱长都相等
C．棱柱的侧面可能是三角形 D．圆柱的侧面展开图为长方形
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、圆锥的侧面是曲面，正确，故不符合题意；
B、正方体的所有棱长都相等，正确，故不符合题意；
C、棱柱的侧面是长方形，不可能是三角形，故不符合题意；
D、圆柱的侧面展开图为长方形，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【分析】根据各种几何体的特点分别确定圆锥的侧面，正方体的棱长，棱柱的侧面进行及圆柱的侧面展开图的形状，再判断即可．
5．（2023六上·招远期中）若一个棱柱有个顶点，则下列说法错误的是（ ）
A．这个棱柱的底面是五边形 B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱是一个十棱柱 D．这个棱柱有条棱
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类；棱柱及其特点
【解析】【解答】解：A．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，故选项正确，不符合题意；
B．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有5个侧面，故选项正确，不符合题意；
C．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱是一个五棱柱，故选项错误，符合题意；
D．若一个棱柱有个顶点，这个棱柱的底面是五边形，则这个棱柱有条棱，故选项正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据棱柱的特征解题即可．
6．（2024七上·肇源月考）下列说法中正确的个数是（ ）
长方体，正方体都是棱柱；圆锥和圆柱的底面都是圆；若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等；棱锥底面边数与侧棱数相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：由题意知，长方体，正方体都是棱柱，正确，故符合要求；
圆锥和圆柱的底面都是圆，正确，故符合要求；
若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面面积相等，正确，故符合要求；
棱锥底面边数与侧棱数相等，正确，故符合要求；
故答案为：D．
【分析】利用棱柱、棱锥，圆柱、圆锥的定义逐项判断解题．
三、几何体的分类
7．如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（ ）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，
故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④，
故答案为：A．
【分析】根据几何体的形状分类即可.
8．（2021七上·北海期末）下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：A、B、D都是柱体，只有C选项是锥体.
故答案为：C.
【分析】根据题意从组成图形的面分别考虑进行判断即可.
9．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号）
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【分析】根据柱体和锥体的定义、围城图形的面的类型解答即可.
四、几何体的点、棱、面
10．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有 个顶点，有 个面．
【答案】10；7
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵一个棱柱有15条棱，，
∴该棱柱为五棱柱，
∴底面是五边形，共个顶点，个面．
故答案为：10，7．
【分析】先由棱的条数确定是五棱柱，由此可得到顶点数和面的数量.
11．（2023七上·永修月考）一个漂亮的礼物盒是九棱柱，那么它有 个顶点．
【答案】18
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵礼物盒是一个九棱柱，
∴侧面有个，
∴顶点数为，
故答案为：18．
【分析】根据n棱柱的顶点个数为2n个解题即可．
12．如图，是一个六棱柱，它的底面边长都是，高是．
（1）这个棱柱共有 顶点；
（2）这个棱柱共有 条棱，所有棱长的和 ；
（3）这个棱柱的侧面积是 ．
【答案】（1）12
（2）18；96
（3）144
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】（1）∵上下两个底面各有6个顶点，
∴（个），∴这个棱柱共有12个顶点，
故答案为：12个；
（2）∵上下两个底面各有6条棱，侧面6条棱，
∴（条），∴（），
∴这个棱柱共有18条棱，所有棱长的和是96，
故答案为：18，96；
（3）∵侧面积等于底面周长乘高∴（），
∴这个棱柱的侧面积是144．
故答案为：144．
【分析】(1)根据三条棱交于一点，可得棱柱的顶点；
(2)根据六棱柱的特点，可得棱的条数，然后根据底面边长侧棱长可得棱长的和；
(3)运用底面周长乘以高即可得到侧面积.
五、欧拉公式
13．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）【观察总结】五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是 （用所给的字母表达）；
（2）【简单应用】①能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是 ▲ ．
（3）【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是 ；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多 个．
【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；；②12
（3）14；8
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是，
故答案为：；
（2）②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个），
故答案为：12；
（3）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为，
故答案为：14；
②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得
，解得，所以正五边形为12块，正三边形为20块．．
故答案为：8．
【分析】(1)观察 (1)中顶点数、面数、棱数可得答案；
(2)根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断；
(3)根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；
(4)①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形x块，则正三边形 块，则由上面的规律数可以看出，棱数 而顶点数 列出方程即可.
14．综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体：
（1）操作探究：观察下列几何体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式．
【答案】（1）6；9；12；6
（2）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 6
棱数E 6 9 12 12
面数F 4 5 6 8
（2）解：观察表得，顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，
故答案为：．
【分析】（1）观察几何体，补充表格即可；
（2）通过观察，发现棱数=定点数+面数-2.
15．欧拉（，1707年1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献.他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式.
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数 4
棱数 6
面数 4
（2）分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系为： ；一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 ；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱.请问该多面体表面三角形与八边形的个数之和是多少？
【答案】（1）6；9；5；8；12；6；6；12；8
（2）；20
（3）
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）解：依题意，三棱柱的顶点数是6，棱数是9，面数是5；
正方体的顶点数是8，棱数是12，面数是6；
正八面体的顶点数是6，棱数是12，面数是8；故答案为：6，9，5；8，12，6；6，12，8；
（2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：，
，，，，，故答案为：，20；
（3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，
有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，共有（条，
，解得．．∴该多面体表面三角形与八边形的个数之和是．
【分析】(1)观察图形，直接写出答案即可；
(2)分析表格中的数据，发现 根据 列方程求解；
(3)根据有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据 即可求解.
六、点线面体之间的关系
16．如图是某酒店大堂的旋转门，将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这给我们“ ”的形象．
【答案】圆柱；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：由图可知，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这给我们面动成体的形象；
故答案为：圆柱，面动成体．
【分析】根据“面动成体”解答即可.
17．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明 ；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明 ；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明 ．
【答案】线动成面；点动成线；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【分析】根据点动成线，面动成体解答即可.
18．如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．
【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体，
故答案为：面动成体
【分析】根据面动成体解答即可.
七、旋转体的辨别
19．（2024七上·七星关月考）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、图形旋转一周所得的图形即为已知的立体图形，此选项符合题意；
B、 图形半圆旋转一周所得的图形是球，不是已知的立体图形，此选项不符合题意；
C、图形旋转一周所得的图形不是已知的立体图形，此选项不符合题意；
D、图形旋转一周所得的图形为圆柱，不是已知的立体图形，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平面图形旋转后所得的立体图形的特征并结合各选项即可判断求解．
20．如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D，
故答案为：D．
【分析】根据面动成体解题即可.
21．如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是：
，
故答案为：D．
【分析】根据面动成体解题即可.
八、旋转体的相关计算
22．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（ ）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同
B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同
D．甲乙的侧面积相同，体积不同
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积
【解析】【解答】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；
故答案为：D．
【分析】根据长方形旋转一周得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得到结果.
23．（2024七上·武侯期中）一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周、（温馨提示你可能用到其中的一个公式，，，）
（1）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
（2）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
【答案】（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，
∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，
∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据圆锥体积公式计算即可；
（2）分别求出两种图形的底面圆的半径和高，根据圆锥的体积公式计算体积，然后再比较解题．
（1）解：绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体是底面半径为8，高为6的圆锥，则其体积为：．
（2）解：绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体，理由如下：
如图：∵，
∴，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为；
所以绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为，
∵，
∴绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
24．如图所示，将直角梯形绕所在的虚线旋转一周，已知，，．
（1）旋转后得到的几何体是第 个几何体；
（2）请计算这个几何体的体积．（不作近似计算）
【答案】（1）（1）
（2）解：由题意得：这个几何体的体积圆锥的体积圆柱的体积
，∴这个几何体的体积．
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】（1）解：旋转后得到的几何体是第（1）个几何体，
故答案为：（1）；
【分析】（1）根据圆柱和圆锥的特征，即可解答；
（2）根据这个几何体的体积=圆锥的体积+圆柱的体积， 进行计算即可解答.
九、七巧板的相关计算
25．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，即：阴影部分的面积；
故答案为：．
【分析】将图②中的阴影部分转化为求图①中的阴影部分，图①中阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去一个中等大小的等腰直角三角形的面积，根据七巧板各个部分面积特点“大的等腰三角形面积占原正方形面积 中等等腰三角形面积占原正方形面积 等”即可解题.
26．五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
【答案】D
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：依题意可得，∵剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，∴取下来的是⑤，
故答案为：D．
【分析】根据要再拼的正方形求解即可得到答案.
27．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答.
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