2025-2026学年浙教版数学八年级上册期末测试模拟题六
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·甘孜）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于y轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025·达州） 如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
4．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
6．（2025·烟台）如图是一款儿童小推车的示意图，若，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
7．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2024·南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·上海）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．
12．（2025八上·南山期中）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（-3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（-1，0）处，其反射光线BC交y轴于点再被平面镜（y轴）反射得光线CD（其中∠BCO=∠DCE），则直线CD的函数表达式为 .
13．（2025八上·北川期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ．
14．（2024七下·泉州月考）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ．
15．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是 .
16．（2025八上·惠州期中）如图，△ABC中，∠A=30°，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，若CE=CB，则△BCE的周长为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·鄞州期中） 解一元一次不等式（组）：
（1）
（2），并把解表示在数轴上.
18．（2025八上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事.
如何设计志愿者招募方案
素材一 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次专业志愿者/名本地志愿者/名总费用/元第一场次310690第二场次45545
素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展，专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元.
问题解决
任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资；
任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案.
19．（2024八上·南宁月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标为 ；（直接写出答案）
（3）点在轴上，且满足的面积为3，直接写出点坐标为 ．（直接写出答案）
20．（2025八上·安吉期中） 如图
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，求证：BD=CE.
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，连接CE，求∠DCE 的度数.
21．（2025八上·宝安期中）【问题情境】
水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量，并收集、整理相关数据.
（1）【问题发现】
实践小组将收集的数据整理成下面的表格，检查后发现t=40时，y的值是错误的，请你改正过来.
次数（次） 1 2 3 4 5 6
漏水时间t（min） 0 10 20 30 40 50 …
漏水量y（ml） 1 2.2 3.4 4.6 6.7 7 …
y的值是 ；
（2）【问题探究】
实践小组把表中t，y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出草图；
请你在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象，求出这个函数解析式；
（3）【问题解决】
如果这个水龙头持续漏水，且每分钟的漏水量不变，那么一个月的漏水量能否超过十瓶矿泉水的总容量 （一个月按30天计算，一瓶矿泉水容量约为500ml）
22．（2025八上·温州期中）已知： 在△ABC中， AB=5， P是AB 延长线上一点， 作△PA'C与△PAC关于直线 PC 对称.
（1） 如图1， AD 是∠BAC的平分线， 且AD⊥CB 交于点 D.
①求证： BD=CD；
②若AD=4， 当PA'⊥射线AD时， 求线段BP的长；
（2） 如图2， 连结BA'， AA'分别交 PC于点E， F.当 的面积为3时，求△PEA'和△EFA'的面积.
23．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
24．（2025八上·广州期中）如图，等腰中，，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，若交x轴于点M，过C点作交y轴于D点．求证：；
（3）如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为，以为直角边在第二象限作等腰直角，连接交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：设点P关于y轴对应的点为Q.
点Q在第二象限
故正确答案为：B
【分析】
1、关于y轴对应的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变；
2、各象限点的坐标特征：第1象限、第2象限、第3象限、第4象限.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由DE垂直平分AB，
得AD=BD，
∴△BDC的周长=BC+CD+CD=BC+CD+AD=BC+AC=13.
故答案为：C.
【分析】利用中垂线的性质，将BD转化为AD，进而表示△BDC的周长即可.
4．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，随x的增大而增大，故A不符合题意；
B.当x=0时，，，
由图像可知，，则，故B不符合题意；
C.由图像可知，当时，，故C符合题意；
D.由图象可知，两条直线的交点为（2，3），∴的解为：，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行内错角相等，可把转化到的位置上，再直接利用三角形的外角性质即可.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式①得：2x＜6，
则x＜3，
由不等式②得：
x＜m+1，
而不等式的解集为x＜3，
∴m+1≥3，
解得：m≥2.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出不等式①的解集，根据已知的不等式组的解集可得关于m的不等式，解之可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故③正确；
1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；
根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正确，
故答案为：C．
【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。
10．【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
11．【答案】4500
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系 y=kx+b（k≠0）
由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000
∴
解得k=50，b=500
∴ y=50x+500
∴ x=80时，y=50×80+500=4500
故答案为：4500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。
12．【答案】y=-0.5x+0.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ABE=∠CBO，∠BCO=∠DCF，∠BOC=90°
∴∠ABC=180°-2∠CBO，∠DCB=180°-2∠BCO
∴∠ABC+∠DCB=180°-2∠CBO+180°-2∠BCO=180°
∴AB∥CD
设直线AB的解析式为：y=kx+b
∴，解得：
∴直线AB的解析式为y=-0.5x-0.5
∴设直线CD的解析式为y=-0.5x+m
∵BC交y轴于点
∴
∴直线CD的解析式为y=-0.5x+0.5
故答案为：y=-0.5x+0.5
【分析】由题意可得∠ABE=∠CBO，∠BCO=∠DCF，∠BOC=90°，根据角之间的关系可得∠ABC+∠DCB=180°，再根据直线平行判定定理可得AB∥CD，设直线AB的解析式为：y=kx+b，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的解析式为y=-0.5x-0.5，设直线CD的解析式为y=-0.5x+m，再根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵，，
∴A与C关于y轴对称，
∵与关于轴对称，
∴B与D关于y轴对称，
∵，
∴D（-2，-2），
故答案为：.
【分析】根据与关于轴对称，得B与D关于y轴对称，从而得出D的坐标.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有2个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母，利用原不等式组有且只有2个整数解，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.
15．【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
16．【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∠A=30°
∴EA=EB
∴∠A=∠EBA=30°
∴∠CEB=∠A+∠ABE=60°
∵CE=CB，BC=5
∴△CBE是等边三角形
∴EB=CE=BC=5
∴△BCE的周长为3×5=15
故答案为：15
【分析】根据垂直平分线性质可得EA=EB，根据等边对等角可得∠A=∠EBA=30°，再根据三角形内角和定理可得∠CEB，再根据等边三角形判定定理可得△CBE是等边三角形，则EB=CE=BC=5，再根据三角形周长即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
得
（2）解：解不等式，得
解不等式，得
则原不等式组的解集是
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）解不等式，先移项再合并同类项，最后再系数化为1即可；
（2）先求出各个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集，最后再把解集表示到同一数轴上即可.
18．【答案】解：任务一：确定志愿者薪资
解：设专业志愿者每场薪资为x元，本地志愿者每场薪资为y元，可列方程组：
解得：
答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元.
任务二：探究志愿者数量
解：设招募专业志愿者a名，则本地志愿者为 (20-a)名(a为正整数)，可列不等式：
80a+45(20-a)≤1075
解得a≤5
因为a为正整数， 且a≥3， 所以为a=3， 4或5， 于是20-a=17， 16或15.
答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名：方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：确定志愿者薪资
先设未知数；再根据素材一的两场数据列二元一次方程组；最后解方程组，即可得出答案.
任务二：拟定招募方案
先设未知数；再根据素材二列不等式组；最后解不等式并确定正整数解，即可得出答案.
19．【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）(1，2)
（3）或
【知识点】点的坐标；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）
解：∵关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，点C(-1，2)的对称点C1的横坐标为-(-1)=1 ，纵坐标仍为2，∴C1的坐标为(1，2)；
（3）解：设， 由图可知．
∴当以为底时，的高为．
∵的面积为3，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或．
【分析】
（1）根据关于y轴对称点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数）求出对应点坐标，再顺次连接即可；
（2）根据关于y轴对称点的坐标变化规律可知，C( 1，2)关于y轴对称的点的坐标为(1，2)；
（3）先根据点P在y轴上，其横坐标为0，设出点P坐标(0，y)，根据已知点C、C1的坐标关系确定三角形的底，再根据点到直线的距离确定高，最后结合三角形面积公式列出方程求解即可。
（1）解：如图，即为所作；
（2）解：由图可知；
（3）解：由图可知．
设，
∴当以为底时，的高为．
∵的面积为3，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或．
20．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AC=AB，
∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS)，
∴AD=AE
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，·
∵△ABC中，∠BAC=90°AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠B=∠ACD=45°，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD=△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=45+45°=90°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】⑴根据题意得∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而得AD=AE.
⑵根据题意得∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质知∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，从而得 ∠DCE 的度数 .
21．【答案】（1）5.8
（2）解：如图所示：
设y与t之间的函数解析式为y=kt+b（ k≠0）
把（0，1），（10，2.2）代入y=kt+b得：
解得
∴y与t之间的函数解析式为y=0.12t+1.
（3）当t=30×24×60=43200时，y=0.12×43200+1=5185，
∵5185>500×10，
∴一个月的漏水量超过十瓶矿泉水的总容量.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）观察表格可知，每10分钟漏水量为1.2ml，即得y= 4.6+ 1.2=5.8；
古答案为：5.8，
【分析】
(1)观察表格可知，每10分钟漏水量为1.2ml，计算即可解答；
(2)描点画出图象，设函数解析式为y=kt +b，用待定系数法得y=0.12t+1，解答即可；
(3)求出t= 43200，代入函数解析式计算y=5185，判断后可知一个月的漏水量超过十瓶矿泉水的总容量，解答即可.
22．【答案】（1）解：①证明： 因为AD 是∠BAC的平分线
所以∠BAD=∠CAD
因为AD⊥CD
所以∠ADB=∠ADC=90°
因为AD=AD
所以△ADB≌△ADC
所以BD=CD.
②解： 因为AD⊥CD
所以.
因为AB=5， AD=4
所以CD=BD=3
所以 BC=6
因为 PA'⊥射线AD
AD⊥CD
所以 BC∥PA'
所以∠BCP=∠CPA'
因为△PA' C 与△PAC关于直线 PC对称
所以∠APC=∠CPA'
所以∠APC=∠BCP
所以BC=BP=6.
（2）解：因为
所以AP=8，BP=3
因为△PA'C与 关于直线PC 对称
所以
所以
所以
所以
因为
所以
因为△PA'C与△PAC关于直线PC 对称
所以AF=A'F
所以
所以
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) ①先利用角平分线和垂直的条件，根据三角形的全等判定-ASA，证明三角形全等；再根据全等性质，即查得出结论；
②先利用勾股定理，求BD的长度；再利用平行和对称，推导角相等；最后根据等角对等边，即可得出BP的长度.
(2)先确定线段PA'=AP的长度；再利用面积比求△PA'E的面积；最后即可求△EFA'的面积.
23．【答案】（1）解：直线过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将A、B两点坐标代入解析式，求出k、b的值，即可写出一次函数解析；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
24．【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）证明：∵，∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点C作轴于点D，
由（1）知，，
∴，，
∵点且在x轴负半轴上，点且在y轴正半轴上，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵以为直角边在第二象限作等腰直角，
∴，
∴点E的坐标为，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵直线与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上，
∴点P的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，由题意可得，，，根据AAS可得，得到，即可求解；
（2）根据题意可得，，利用AAS可得，得到，利用线段和差关系，即可求解；
（3）过点C作轴于点D，由（1）可得，得到，，根据A、B两点坐标可得点C的坐标为，点E的坐标为，从而得到，利用“”证明，得到，利用线段之间的关系可得，即可求解．
（1）解：如图，过点C作轴于点D，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点C作轴于点D，
由（1）知，，
∴，，
∵点且在x轴负半轴上，点且在y轴正半轴上，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵以为直角边在第二象限作等腰直角，
∴，
∴点E的坐标为，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵直线与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上，
∴点P的坐标为．
1 / 12025-2026学年浙教版数学八年级上册期末测试模拟题六
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·眉山）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：B，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：A.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
2．（2025·甘孜）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于y轴对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：设点P关于y轴对应的点为Q.
点Q在第二象限
故正确答案为：B
【分析】
1、关于y轴对应的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变；
2、各象限点的坐标特征：第1象限、第2象限、第3象限、第4象限.
3．（2025·达州） 如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由DE垂直平分AB，
得AD=BD，
∴△BDC的周长=BC+CD+CD=BC+CD+AD=BC+AC=13.
故答案为：C.
【分析】利用中垂线的性质，将BD转化为AD，进而表示△BDC的周长即可.
4．（2025·陕西） 在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线解析式为y=kx+b
将点，代入可得
解得：
∴直线解析式为y=-2x+2
将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+2+3=-2x+5
当x=1时，y=-2×1+5=3，经过(1，3)，A错误，B正确
当x=-3时，y=-2×(-3)+5=11，经过(-3，11)，C错误
当x=3时，y=-2×3+5=-1，经过(3，-1)，D错误
故答案为：B
【分析】设直线解析式为y=kx+b，根据待定系数法将点，代入解析式可得直线解析式为y=-2x+2，则将直线向上平移3个单位后的直线解析式为y=-2x+5，再将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
5．（2023·宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于，的方程组的解为
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A. 由图象可知，随x的增大而增大，故A不符合题意；
B.当x=0时，，，
由图像可知，，则，故B不符合题意；
C.由图像可知，当时，，故C符合题意；
D.由图象可知，两条直线的交点为（2，3），∴的解为：，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解即可.
6．（2025·烟台）如图是一款儿童小推车的示意图，若，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】先由两直线平行内错角相等，可把转化到的位置上，再直接利用三角形的外角性质即可.
7．（2025·眉山）如图，在四边形ABCD中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可得∠BAG=∠DAG，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=BA=6，
∴CG=BC-BA=10-6=4，
故答案为：A.
【分析】根据作图可得∠BAG=∠DAG，然后根据平行线可得∠DAG=∠AGB，进而得到∠BAG=∠AGB，根据等角对等边得到BG=BA=6，然后根据线段的和差解答即可.
8．（2024·南充）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式①得：2x＜6，
则x＜3，
由不等式②得：
x＜m+1，
而不等式的解集为x＜3，
∴m+1≥3，
解得：m≥2.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出不等式①的解集，根据已知的不等式组的解集可得关于m的不等式，解之可求解.
9．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故③正确；
1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；
根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正确，
故答案为：C．
【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。
10．（2024·威海）同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y（km）与时间x（h）的函数关系．下列结论正确的是（ ）
A．甲车行驶h与乙车相遇 B．A，C两地相距220km
C．甲车的速度是70km/h D．乙车中途休息36分钟
【答案】A
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：如图，D点表示乙车休息，E点表示两车相遇，F点表示乙车继续行驶，
∴乙车中途休息时间为：3-2=1（h），D错误；
在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，
∴甲车的速度为，C错误；
∴A、C两地相距4×60=240（km），B错误；
设乙车休息前的速度为xkm/h，
∴2×60+（40-20）=2x，
解得x=70km/h，即乙车休息前的速度为70km/h，
设甲车行驶yh与乙车相遇，
∴60y=70×2+20，
解得，A正确.
故答案为：A.
【分析】根据函数图象得D、E、F三点所包含的信息，从而有乙车休息时间，在DE-EF时，乙车不动，甲车行驶，从而得甲车的速度，进而有A、C两地的距离，设乙车休息前的速度为xkm/h，观察函数图象得关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可得乙车休息前的速度，接下来设甲车行驶yh与乙车相遇，观察函数图象，列出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得两车相遇的时间.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2024·上海）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元．
【答案】4500
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系 y=kx+b（k≠0）
由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000
∴
解得k=50，b=500
∴ y=50x+500
∴ x=80时，y=50×80+500=4500
故答案为：4500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。
12．（2025八上·南山期中）如图，平面直角坐标系中，一束光经过A（-3，1）照射在平面镜（x轴）上的点B（-1，0）处，其反射光线BC交y轴于点再被平面镜（y轴）反射得光线CD（其中∠BCO=∠DCE），则直线CD的函数表达式为 .
【答案】y=-0.5x+0.5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠ABE=∠CBO，∠BCO=∠DCF，∠BOC=90°
∴∠ABC=180°-2∠CBO，∠DCB=180°-2∠BCO
∴∠ABC+∠DCB=180°-2∠CBO+180°-2∠BCO=180°
∴AB∥CD
设直线AB的解析式为：y=kx+b
∴，解得：
∴直线AB的解析式为y=-0.5x-0.5
∴设直线CD的解析式为y=-0.5x+m
∵BC交y轴于点
∴
∴直线CD的解析式为y=-0.5x+0.5
故答案为：y=-0.5x+0.5
【分析】由题意可得∠ABE=∠CBO，∠BCO=∠DCF，∠BOC=90°，根据角之间的关系可得∠ABC+∠DCB=180°，再根据直线平行判定定理可得AB∥CD，设直线AB的解析式为：y=kx+b，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得直线AB的解析式为y=-0.5x-0.5，设直线CD的解析式为y=-0.5x+m，再根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
13．（2025八上·北川期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】∵，，
∴A与C关于y轴对称，
∵与关于轴对称，
∴B与D关于y轴对称，
∵，
∴D（-2，-2），
故答案为：.
【分析】根据与关于轴对称，得B与D关于y轴对称，从而得出D的坐标.
14．（2024七下·泉州月考）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有2个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母，利用原不等式组有且只有2个整数解，可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集即可.
15．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是 .
【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
16．（2025八上·惠州期中）如图，△ABC中，∠A=30°，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，若CE=CB，则△BCE的周长为 .
【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∠A=30°
∴EA=EB
∴∠A=∠EBA=30°
∴∠CEB=∠A+∠ABE=60°
∵CE=CB，BC=5
∴△CBE是等边三角形
∴EB=CE=BC=5
∴△BCE的周长为3×5=15
故答案为：15
【分析】根据垂直平分线性质可得EA=EB，根据等边对等角可得∠A=∠EBA=30°，再根据三角形内角和定理可得∠CEB，再根据等边三角形判定定理可得△CBE是等边三角形，则EB=CE=BC=5，再根据三角形周长即可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025八上·鄞州期中） 解一元一次不等式（组）：
（1）
（2），并把解表示在数轴上.
【答案】（1）解：
得
（2）解：解不等式，得
解不等式，得
则原不等式组的解集是
在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）解不等式，先移项再合并同类项，最后再系数化为1即可；
（2）先求出各个不等式的解集，再按照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出不等式组的解集，最后再把解集表示到同一数轴上即可.
18．（2025八上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事.
如何设计志愿者招募方案
素材一 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次专业志愿者/名本地志愿者/名总费用/元第一场次310690第二场次45545
素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展，专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元.
问题解决
任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资；
任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案.
【答案】解：任务一：确定志愿者薪资
解：设专业志愿者每场薪资为x元，本地志愿者每场薪资为y元，可列方程组：
解得：
答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元.
任务二：探究志愿者数量
解：设招募专业志愿者a名，则本地志愿者为 (20-a)名(a为正整数)，可列不等式：
80a+45(20-a)≤1075
解得a≤5
因为a为正整数， 且a≥3， 所以为a=3， 4或5， 于是20-a=17， 16或15.
答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名：方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：确定志愿者薪资
先设未知数；再根据素材一的两场数据列二元一次方程组；最后解方程组，即可得出答案.
任务二：拟定招募方案
先设未知数；再根据素材二列不等式组；最后解不等式并确定正整数解，即可得出答案.
19．（2024八上·南宁月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请画出关于轴的对称图形；
（2）直接写出点的坐标为 ；（直接写出答案）
（3）点在轴上，且满足的面积为3，直接写出点坐标为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：如图，即为所作；
（2）(1，2)
（3）或
【知识点】点的坐标；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）
解：∵关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，点C(-1，2)的对称点C1的横坐标为-(-1)=1 ，纵坐标仍为2，∴C1的坐标为(1，2)；
（3）解：设， 由图可知．
∴当以为底时，的高为．
∵的面积为3，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或．
【分析】
（1）根据关于y轴对称点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标互为相反数）求出对应点坐标，再顺次连接即可；
（2）根据关于y轴对称点的坐标变化规律可知，C( 1，2)关于y轴对称的点的坐标为(1，2)；
（3）先根据点P在y轴上，其横坐标为0，设出点P坐标(0，y)，根据已知点C、C1的坐标关系确定三角形的底，再根据点到直线的距离确定高，最后结合三角形面积公式列出方程求解即可。
（1）解：如图，即为所作；
（2）解：由图可知；
（3）解：由图可知．
设，
∴当以为底时，的高为．
∵的面积为3，
∴，
解得：或，
∴点坐标为或．
20．（2025八上·安吉期中） 如图
（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，求证：BD=CE.
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，连接CE，求∠DCE 的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AC=AB，
∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS)，
∴AD=AE
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，·
∵△ABC中，∠BAC=90°AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠B=∠ACD=45°，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD=△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠DCE=∠ACE+∠ACD=45+45°=90°
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】⑴根据题意得∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，从而得AD=AE.
⑵根据题意得∠BAD=∠CAE，再根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质知∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，从而得 ∠DCE 的度数 .
21．（2025八上·宝安期中）【问题情境】
水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源，为调查漏水量和漏水时间的关系，实践小组在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每10分钟记录一次容器中的水量，并收集、整理相关数据.
（1）【问题发现】
实践小组将收集的数据整理成下面的表格，检查后发现t=40时，y的值是错误的，请你改正过来.
次数（次） 1 2 3 4 5 6
漏水时间t（min） 0 10 20 30 40 50 …
漏水量y（ml） 1 2.2 3.4 4.6 6.7 7 …
y的值是 ；
（2）【问题探究】
实践小组把表中t，y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出草图；
请你在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象，求出这个函数解析式；
（3）【问题解决】
如果这个水龙头持续漏水，且每分钟的漏水量不变，那么一个月的漏水量能否超过十瓶矿泉水的总容量 （一个月按30天计算，一瓶矿泉水容量约为500ml）
【答案】（1）5.8
（2）解：如图所示：
设y与t之间的函数解析式为y=kt+b（ k≠0）
把（0，1），（10，2.2）代入y=kt+b得：
解得
∴y与t之间的函数解析式为y=0.12t+1.
（3）当t=30×24×60=43200时，y=0.12×43200+1=5185，
∵5185>500×10，
∴一个月的漏水量超过十瓶矿泉水的总容量.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】
解：（1）观察表格可知，每10分钟漏水量为1.2ml，即得y= 4.6+ 1.2=5.8；
古答案为：5.8，
【分析】
(1)观察表格可知，每10分钟漏水量为1.2ml，计算即可解答；
(2)描点画出图象，设函数解析式为y=kt +b，用待定系数法得y=0.12t+1，解答即可；
(3)求出t= 43200，代入函数解析式计算y=5185，判断后可知一个月的漏水量超过十瓶矿泉水的总容量，解答即可.
22．（2025八上·温州期中）已知： 在△ABC中， AB=5， P是AB 延长线上一点， 作△PA'C与△PAC关于直线 PC 对称.
（1） 如图1， AD 是∠BAC的平分线， 且AD⊥CB 交于点 D.
①求证： BD=CD；
②若AD=4， 当PA'⊥射线AD时， 求线段BP的长；
（2） 如图2， 连结BA'， AA'分别交 PC于点E， F.当 的面积为3时，求△PEA'和△EFA'的面积.
【答案】（1）解：①证明： 因为AD 是∠BAC的平分线
所以∠BAD=∠CAD
因为AD⊥CD
所以∠ADB=∠ADC=90°
因为AD=AD
所以△ADB≌△ADC
所以BD=CD.
②解： 因为AD⊥CD
所以.
因为AB=5， AD=4
所以CD=BD=3
所以 BC=6
因为 PA'⊥射线AD
AD⊥CD
所以 BC∥PA'
所以∠BCP=∠CPA'
因为△PA' C 与△PAC关于直线 PC对称
所以∠APC=∠CPA'
所以∠APC=∠BCP
所以BC=BP=6.
（2）解：因为
所以AP=8，BP=3
因为△PA'C与 关于直线PC 对称
所以
所以
所以
所以
因为
所以
因为△PA'C与△PAC关于直线PC 对称
所以AF=A'F
所以
所以
【知识点】三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】 (1) ①先利用角平分线和垂直的条件，根据三角形的全等判定-ASA，证明三角形全等；再根据全等性质，即查得出结论；
②先利用勾股定理，求BD的长度；再利用平行和对称，推导角相等；最后根据等角对等边，即可得出BP的长度.
(2)先确定线段PA'=AP的长度；再利用面积比求△PA'E的面积；最后即可求△EFA'的面积.
23．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将A、B两点坐标代入解析式，求出k、b的值，即可写出一次函数解析；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
24．（2025八上·广州期中）如图，等腰中，，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图2，若交x轴于点M，过C点作交y轴于D点．求证：；
（3）如图3，若点A是x轴负半轴上的一个点，坐标为，点B是y轴正半轴上的一个点，坐标为，以为直角边在第二象限作等腰直角，连接交y轴于P点，求点P的坐标（用含m，n的式子表示）
【答案】（1）解：如图，过点C作轴于点D，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）证明：∵，∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点C作轴于点D，
由（1）知，，
∴，，
∵点且在x轴负半轴上，点且在y轴正半轴上，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵以为直角边在第二象限作等腰直角，
∴，
∴点E的坐标为，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵直线与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上，
∴点P的坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点D，由题意可得，，，根据AAS可得，得到，即可求解；
（2）根据题意可得，，利用AAS可得，得到，利用线段和差关系，即可求解；
（3）过点C作轴于点D，由（1）可得，得到，，根据A、B两点坐标可得点C的坐标为，点E的坐标为，从而得到，利用“”证明，得到，利用线段之间的关系可得，即可求解．
（1）解：如图，过点C作轴于点D，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点B的坐标为．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点C作轴于点D，
由（1）知，，
∴，，
∵点且在x轴负半轴上，点且在y轴正半轴上，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵以为直角边在第二象限作等腰直角，
∴，
∴点E的坐标为，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵直线与y轴的交点为P，且在y轴负半轴上，
∴点P的坐标为．
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