浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训七
一、解方程
1．（2025七上·玉环期末）解方程：
（1）；
（2）．
2．（2025七上·上城期末）解方程：
（1）．
（2）．
3．（2025七上·青羊期末）计算：
（1）
（2）
（3）解方程：
（4）解方程：
4．（2024七上·红桥期末）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
5．（2024七上·滕州期末）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，则a的值为 ．
二、新定义
6．（2025七上·路桥期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ．
7．（2025七上·柯桥期末）我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得．
请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ．
8．（2024七上·宁江期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程和为“美好方程”．
（1）方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
9．（2025七上·慈溪期末）定义运算“*”如下：当a<0时，a*b=2a+b；当a≥0时，a*b=ab-，若（-2）*m=3*m，则m的值是（ ）
A．-2 B． C． D．无法确定
10．若规定 则方程 的解 .
11．（2025七上·海淀期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整a”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题：
（1）方程是 方程；
（2）已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整3”方程，并说明理由；
（3）若关于x的方程是“分”方程，则关于的方程是 方程．
12．（2025七上·东阳期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ．
三、规律探索
13．（2025七上·信宜期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐个人，短边只能坐个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子．
（1）型号的大桌子可以坐多少人？
（2）型号的大桌子可以坐多少人？
（3）如果有人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由．
14．（2025七上·宁乡市期末）阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即．
请你仿照上述方法完成下列问题：
（1）将化成分数形式；
（2）将化成分数形式．
四、特殊解问题
15．（2025七上·廉江期末）若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ．
16．（2021七上·扬州月考）方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值.
17．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
五、分类应用
18．（2025七上·拱墅期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025七上·上城期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，可列方程
A．4x-1=3x+9 B．4（x+1）=3x-9
C．4（x-1）=3x+9 D．4（x-1）=3（x+9）
20．（2024七上·台州期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，六两分之多三两，八两分之少四两，问客、银各几许？”其题意为：客人一起分银子，若每人6两，还剩3两；若每人8两，还差4两．问客人共有几人，银子共有几两？若设客人共有x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024七上·钱塘期末）为有效开展大课间体育锻炼活动，李老师将班级同学进行分组（组数固定），若每组7人，则多余2人：若每组8人，则还缺3人，设班级同学有人，则可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025七上·镇海区期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 240 里，慢马每天行 160 里，慢马先行 12 天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023七上·余姚月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”大意为：有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？设共有x个人，根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020七上·太湖期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
25．（2024七上·玉环期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
（1）解：，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
2．【答案】（1）解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）由于一元一次方程未知数的系数为整数，直接移项，再合并同类项，最后再系数化1即可；
（2）由于一元一次方程未知数的系数为分数，先去分母，再去括号，移项并合并同类项，最后系数化1，注意去分母时不要漏乘．
（1）解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
3．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
，
解得：
（4）解：
，
解得：
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先化简绝对值，再利用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先计算乘方，再进行括号内运算，然后进行乘除运算，最后进行加减计算；
（3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解；
（4）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
解得：；
（4）解：
，
解得：．
4．【答案】（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（3）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答；
（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（3）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
5．【答案】1
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：根据小明的错误解法得：
即
∵解为
∴把代入得
∴
故答案为：1．
【分析】先求出小明错误解法的解，再将其代入方程求出a的值即可.
6．【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：解方程，
解得：，
∵关于的方程与方程为“和谐方程”，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】将n作为参数，分别根据解一元一次方程的步骤“移项、系数化为1”将两个方程中的x都用含n的式子来表示，然后根据互为相反数的两个数的和为零，列出关于字母n的方程，解方程即可得出n的值．
7．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设，即，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】设，再表示出100x，根据题意列出方程把化为分数即可．
8．【答案】（1）解：不是“美好方程”，理由如下：由，解得：，
由，解得：，
∵，
∴方程与方程不是“美好方程”
（2）解：由，解得：，由，解得：，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得：
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）先求解每一个方程得，，再根据“美好方程”的定义即可判断；
（2）先求解每一个方程，，再根据“美好方程”的定义得，求解即可.
（1）解：不是“美好方程”，理由如下：
由，解得：，
由，解得：，
∵，
∴方程与方程不是“美好方程”；
（2）解：由，解得：，
由，解得：，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得：．
9．【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
10．【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3△|x|=4可化为3△x=4或3△（-x）=4，
当3△x=4时，根据新定义，
解得：
当3△（-x）=4时，根据新定义，
解得：
故答案为：
【分析】先将原式变形为3△x=4或3△（-x）=4，再利用题干中的定义及计算方法可得或，最后求出x的值即可.
11．【答案】（1）“分”
（2）解：关于的方程是不可能是“整3”方程，理由如下：
∵，
∴当时，，
解得：，
∵为整数，
∴关于的方程不可能是“整3”方程．
（3）“整”
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：
移项、合并得：，
解得：，
∵不是整数，
∴方程是“分”方程．
故答案为：“分”
（3）解：∵关于x的方程是“分”方程，
∴的解为，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
解得：，
∴关于的方程是“整”方程．
故答案为：“整”
【分析】（1）解方程，再根据“分a”方程的定义即可求出答案.
（2）将x=3代入方程求出k的值，再根据“整a”方程的定义即可求出答案.
（3）根据“整a”方程的定义可得方程的解为， 再代入方程可得，代入，根据即可求出的值，再根据题意进行判断即可求出答案.
（1）解：
移项、合并得：，
解得：，
∵不是整数，
∴方程是“分”方程．
故答案为：“分”
（2）解：关于的方程是不可能是“整3”方程，理由如下：
∵，
∴当时，，
解得：，
∵为整数，
∴关于的方程不可能是“整3”方程．
（3）解：∵关于x的方程是“分”方程，
∴的解为，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
解得：，
∴关于的方程是“整”方程．
故答案为：“整”
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据“格子乘法”法则可知，
若为一位数，则，解得（不合题意，舍去），
若为两位数，则
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据“格子乘法”法则分两种情况：若为一位数，根据“格子乘法”的意义列关于x的方程，解方程可求解；若为两位数，根据“格子乘法”的意义列关于x的方程，解方程可求解．
13．【答案】（1）解：型号1坐了：人，型号2坐了：人，
∴型号3可以坐：人；
（2）解：型号的大桌子可以坐人；
（3）解：，解得，，
∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下．
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题设中图形中的数量关系，分别得到型号1，型号2坐的人数的代数式，进而得到型号3坐的人生的代数式，即可求解；
（2）由（1）中型号1，型号2中，型号3中坐的人数的代数式，据此得到规律，据此规律得到 型号的大桌子 坐的人生，得到答案；
（3）根据（2）中的规律列式，列出关系式，求得n的值，即可得到答案.
求解即可．
（1）解：型号1坐了：人，
型号2坐了：人，
∴型号3可以坐：人；
（2）解：型号的大桌子可以坐人；
（3）解：，
解得，，
∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下．
14．【答案】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：设，
∵，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】
（1）仿照例题，可设，则，再解方程即可；
（2）同（1），设，则，再解方程即可．
（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（2）设，
∵，
∵，
∴，
解得：．
15．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程，
得：，
根据题意可知为整数，是整数，
当的值为0，，，，，时，为整数，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，先通分，去分母，求得，再由为整数，确定实数m的值，结合有理数加法的运算法则，列式计算，即可求解.
16．【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得x=.
∵的倒数是，
∴将x=代入方程，
则，
解得k=1.
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤"去括号、移项、合并同类项、系数化为1”先求得方程2-3（x+1）=0的解，再把求得的x的值的倒数代入关于x的方程-3k-2=2x可得关于k的方程，解这个方程可求解.
17．【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
18．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，，
故答案为：D．
【分析】根据分银子的人数不变，设未知数，列方程即可.
19．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x辆车， 列方程为 4（x-1）=3x+9，
故答案为：C.
【分析】设共有x辆车，根据“ 每4人共乘一车，最终剩余1车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘 ”列一元一次方程解题即可.
20．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设客人共有人，根据“银子数是定量”，即可列出关于的一元一次方程.
21．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设班级同学有人，列方程为，
故答案为：D．
【分析】设班级同学有x人，根据组数不变，即可得出关于x的一元一次方程.
22．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解 设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程：240x= 160 ( x + 12 )
故答案为：C.
【分析】 设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等列一元一次方程解题.
23．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x个人，由题意，
可得9x-11=6x+16.
故答案为：B.
【分析】 设共有x个人 ，由“ 如果每人出九钱，那么多了十一钱 ”可得鸡的钱数为(9x-11)，由“ 如果每人出六钱，那么少了十六钱 ”可得鸡的钱数为(6x+16)，最后根据鸡的钱数不变，列出方程即可.
24．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： ，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，
∴列出方程为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意，列出等量关系式即可。
25．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设完成这一项工程的规定时间为天，则可列方程得：
.
故正确答案选：B.
【分析】由已知可得甲的工作效率为，乙的工作效率为.由工作总量=工作效率×工作时间。甲完成的工作总量+乙完成的工作总量=1，列方程即可.
26．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设A港和B港相距x千米，可得方程：
故选A．
【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为 26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26﹣2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关 系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间﹣3小时，据此列出方程即可．
1 / 1浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训七
一、解方程
1．（2025七上·玉环期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
（1）解：，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得．
2．（2025七上·上城期末）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）由于一元一次方程未知数的系数为整数，直接移项，再合并同类项，最后再系数化1即可；
（2）由于一元一次方程未知数的系数为分数，先去分母，再去括号，移项并合并同类项，最后系数化1，注意去分母时不要漏乘．
（1）解：，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
3．（2025七上·青羊期末）计算：
（1）
（2）
（3）解方程：
（4）解方程：
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
，
解得：
（4）解：
，
解得：
【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数混合运算法则（含乘方）；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先化简绝对值，再利用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）先计算乘方，再进行括号内运算，然后进行乘除运算，最后进行加减计算；
（3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解；
（4）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
解得：；
（4）解：
，
解得：．
4．（2024七上·红桥期末）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（3）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】
（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答；
（3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可解答．
（1）解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（2）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
（3）解：，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
化系数为1，．
5．（2024七上·滕州期末）小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，则a的值为 ．
【答案】1
【知识点】解一元一次方程；一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：根据小明的错误解法得：
即
∵解为
∴把代入得
∴
故答案为：1．
【分析】先求出小明错误解法的解，再将其代入方程求出a的值即可.
二、新定义
6．（2025七上·路桥期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ．
【答案】
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：解方程，
解得：，
∵关于的方程与方程为“和谐方程”，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】将n作为参数，分别根据解一元一次方程的步骤“移项、系数化为1”将两个方程中的x都用含n的式子来表示，然后根据互为相反数的两个数的和为零，列出关于字母n的方程，解方程即可得出n的值．
7．（2025七上·柯桥期末）我们知道分数写成小数形式即，反过来，无限小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式吗？先以无限小数为例，设，由可知，，解方程，得．于是，得．
请仿照以上材料中的做法，将无限循环小数化成分数为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设，即，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】设，再表示出100x，根据题意列出方程把化为分数即可．
8．（2024七上·宁江期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程和为“美好方程”．
（1）方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
【答案】（1）解：不是“美好方程”，理由如下：由，解得：，
由，解得：，
∵，
∴方程与方程不是“美好方程”
（2）解：由，解得：，由，解得：，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得：
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）先求解每一个方程得，，再根据“美好方程”的定义即可判断；
（2）先求解每一个方程，，再根据“美好方程”的定义得，求解即可.
（1）解：不是“美好方程”，理由如下：
由，解得：，
由，解得：，
∵，
∴方程与方程不是“美好方程”；
（2）解：由，解得：，
由，解得：，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得：．
9．（2025七上·慈溪期末）定义运算“*”如下：当a<0时，a*b=2a+b；当a≥0时，a*b=ab-，若（-2）*m=3*m，则m的值是（ ）
A．-2 B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
10．若规定 则方程 的解 .
【答案】
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程3△|x|=4可化为3△x=4或3△（-x）=4，
当3△x=4时，根据新定义，
解得：
当3△（-x）=4时，根据新定义，
解得：
故答案为：
【分析】先将原式变形为3△x=4或3△（-x）=4，再利用题干中的定义及计算方法可得或，最后求出x的值即可.
11．（2025七上·海淀期末）如果关于x的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整a”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整2”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题：
（1）方程是 方程；
（2）已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整3”方程，并说明理由；
（3）若关于x的方程是“分”方程，则关于的方程是 方程．
【答案】（1）“分”
（2）解：关于的方程是不可能是“整3”方程，理由如下：
∵，
∴当时，，
解得：，
∵为整数，
∴关于的方程不可能是“整3”方程．
（3）“整”
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：
移项、合并得：，
解得：，
∵不是整数，
∴方程是“分”方程．
故答案为：“分”
（3）解：∵关于x的方程是“分”方程，
∴的解为，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
解得：，
∴关于的方程是“整”方程．
故答案为：“整”
【分析】（1）解方程，再根据“分a”方程的定义即可求出答案.
（2）将x=3代入方程求出k的值，再根据“整a”方程的定义即可求出答案.
（3）根据“整a”方程的定义可得方程的解为， 再代入方程可得，代入，根据即可求出的值，再根据题意进行判断即可求出答案.
（1）解：
移项、合并得：，
解得：，
∵不是整数，
∴方程是“分”方程．
故答案为：“分”
（2）解：关于的方程是不可能是“整3”方程，理由如下：
∵，
∴当时，，
解得：，
∵为整数，
∴关于的方程不可能是“整3”方程．
（3）解：∵关于x的方程是“分”方程，
∴的解为，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴，
解得：，
∴关于的方程是“整”方程．
故答案为：“整”
12．（2025七上·东阳期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：根据“格子乘法”法则可知，
若为一位数，则，解得（不合题意，舍去），
若为两位数，则
则有，
解得，
故答案为：．
【分析】根据“格子乘法”法则分两种情况：若为一位数，根据“格子乘法”的意义列关于x的方程，解方程可求解；若为两位数，根据“格子乘法”的意义列关于x的方程，解方程可求解．
三、规律探索
13．（2025七上·信宜期末）某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐个人，短边只能坐个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子．
（1）型号的大桌子可以坐多少人？
（2）型号的大桌子可以坐多少人？
（3）如果有人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由．
【答案】（1）解：型号1坐了：人，型号2坐了：人，
∴型号3可以坐：人；
（2）解：型号的大桌子可以坐人；
（3）解：，解得，，
∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下．
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题设中图形中的数量关系，分别得到型号1，型号2坐的人数的代数式，进而得到型号3坐的人生的代数式，即可求解；
（2）由（1）中型号1，型号2中，型号3中坐的人数的代数式，据此得到规律，据此规律得到 型号的大桌子 坐的人生，得到答案；
（3）根据（2）中的规律列式，列出关系式，求得n的值，即可得到答案.
求解即可．
（1）解：型号1坐了：人，
型号2坐了：人，
∴型号3可以坐：人；
（2）解：型号的大桌子可以坐人；
（3）解：，
解得，，
∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下．
14．（2025七上·宁乡市期末）阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．
例题：利用一元一次方程将化成分数，设，由于，可知，于是，可解得，即．
请你仿照上述方法完成下列问题：
（1）将化成分数形式；
（2）将化成分数形式．
【答案】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：设，
∵，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】
（1）仿照例题，可设，则，再解方程即可；
（2）同（1），设，则，再解方程即可．
（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（2）设，
∵，
∵，
∴，
解得：．
四、特殊解问题
15．（2025七上·廉江期末）若关于x的方程的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为 ．
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解方程，
得：，
根据题意可知为整数，是整数，
当的值为0，，，，，时，为整数，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，先通分，去分母，求得，再由为整数，确定实数m的值，结合有理数加法的运算法则，列式计算，即可求解.
16．（2021七上·扬州月考）方程的解与关于x的方程 的解互为倒数，求k的值.
【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得x=.
∵的倒数是，
∴将x=代入方程，
则，
解得k=1.
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】根据一元一次方程的解题步骤"去括号、移项、合并同类项、系数化为1”先求得方程2-3（x+1）=0的解，再把求得的x的值的倒数代入关于x的方程-3k-2=2x可得关于k的方程，解这个方程可求解.
17．（2025七上·三台期末）若关于x的方程mx﹣＝（x﹣）的解是正整数，则整数m为 ．
【答案】2或3．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以6，消去分数，得到：3mx 10=3x 4，
移项，得到：3mx 3x=6，
提取x的系数，得到：3(m 1)x=6，
由于方程有解，且为正整数，所以：m 1≠0，
然后可以得到：，
因为方程的解是正整数，所以：m 1=1或m 1=2
求解m的值，得到：m =2或3.
故答案为：2或3．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是正整数解答，解题过程中，首先通过消去分数简化方程，然后通过提取系数、移项等步骤整理方程，最后通过分析解的性质确定m的可能值，这种解题思路和方法在解决类似的一元一次方程问题时具有普遍适用性.
五、分类应用
18．（2025七上·拱墅期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，，
故答案为：D．
【分析】根据分银子的人数不变，设未知数，列方程即可.
19．（2025七上·上城期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空：三人共车，九人步，问人与车各几何 译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车 设共有x辆车，可列方程
A．4x-1=3x+9 B．4（x+1）=3x-9
C．4（x-1）=3x+9 D．4（x-1）=3（x+9）
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有x辆车， 列方程为 4（x-1）=3x+9，
故答案为：C.
【分析】设共有x辆车，根据“ 每4人共乘一车，最终剩余1车：若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘 ”列一元一次方程解题即可.
20．（2024七上·台州期末）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，六两分之多三两，八两分之少四两，问客、银各几许？”其题意为：客人一起分银子，若每人6两，还剩3两；若每人8两，还差4两．问客人共有几人，银子共有几两？若设客人共有x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设客人共有人，根据“银子数是定量”，即可列出关于的一元一次方程.
21．（2024七上·钱塘期末）为有效开展大课间体育锻炼活动，李老师将班级同学进行分组（组数固定），若每组7人，则多余2人：若每组8人，则还缺3人，设班级同学有人，则可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设班级同学有人，列方程为，
故答案为：D．
【分析】设班级同学有x人，根据组数不变，即可得出关于x的一元一次方程.
22．（2025七上·镇海区期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行 240 里，慢马每天行 160 里，慢马先行 12 天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解 设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程：240x= 160 ( x + 12 )
故答案为：C.
【分析】 设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等列一元一次方程解题.
23．（2023七上·余姚月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”大意为：有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？设共有x个人，根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x个人，由题意，
可得9x-11=6x+16.
故答案为：B.
【分析】 设共有x个人 ，由“ 如果每人出九钱，那么多了十一钱 ”可得鸡的钱数为(9x-11)，由“ 如果每人出六钱，那么少了十六钱 ”可得鸡的钱数为(6x+16)，最后根据鸡的钱数不变，列出方程即可.
24．（2020七上·太湖期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为： ，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为： ，
∴列出方程为： ．
故答案为：B．
【分析】根据题意，列出等量关系式即可。
25．（2024七上·玉环期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解： 设完成这一项工程的规定时间为天，则可列方程得：
.
故正确答案选：B.
【分析】由已知可得甲的工作效率为，乙的工作效率为.由工作总量=工作效率×工作时间。甲完成的工作总量+乙完成的工作总量=1，列方程即可.
26．轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设A港和B港相距x千米，可得方程：
故选A．
【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为 26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26﹣2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关 系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间﹣3小时，据此列出方程即可．
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